3.3: Aplicaciones de Sistemas Lineales con Dos Variables

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Objetivos de aprendizaje

Configurar y resolver aplicaciones que involucren relaciones entre dos variables.
Configurar y resolver problemas de mezcla.
Configure y resuelva problemas de movimiento uniforme (problemas de distancia).

Problemas que involucran relaciones entre dos variables

Si traducimos una aplicación a una configuración matemática usando dos variables, entonces necesitamos formar un sistema lineal con dos ecuaciones. Establecer problemas verbales con dos variables a menudo simplifica todo el proceso, particularmente cuando las relaciones entre las variables no son tan claras.

Ejemplo$\PageIndex{1}$:

La suma de$4$ veces un entero más grande y$5$ veces un entero más pequeño es$7$. Cuando se resta el doble del número entero menor de$3$ veces el mayor, el resultado es$11$. Encuentra los enteros.

Solución

Comience asignando variables al entero mayor y menor.

Let$x$ representar el entero más grande.

Let$y$ representar el entero más pequeño.

Al usar dos variables, necesitamos establecer dos ecuaciones. La primera frase describe una suma y la segunda frase describe una diferencia.

Esto lleva al siguiente sistema:

$\left\{ \begin{array} { l } { 4 x + 5 y = 7 } \\ { 3 x - 2 y = 11 } \end{array} \right.$

Resuelve usando el método de eliminación. Para eliminar la variable$y$ multiplicar la primera ecuación por$2$ y la segunda por$5$.

$\left\{ \begin{array} { l l } { 4 x + 5y = 7 } & { \stackrel { \times2 } { \Rightarrow } } \\ { 3 x -2y = 11 } & { \stackrel { \Rightarrow } { \times 5 } } \end{array} \right. \left\{ \begin{array} { l } { 8 x + 10 y = 14 } \\ { 15 x -10y = 55 } \end{array} \right.$

Sumar las ecuaciones en el sistema equivalente y resolver para$x$.

$\begin{aligned} 8 x \color{red}{+ 10 y} &\color{black}{=} 14 \\ \pm 15 x \color{red}{- 10 y} & \color{black}{=} 55 \\ \hline\\ 23x & = 99\\ x & = \frac{69}{23}\\x&=3 \end{aligned}$

Volver sustituto para encontrar$y$.

$\begin{aligned} 4 x + 5 y & = 7 \\ 4 ( \color{OliveGreen}{3} \color{black}{)} + 5 y & = 7 \\ 12 + 5 y & = 7 \\ 5 y & = - 5 \\ y & = - 1 \end{aligned}$

Respuesta:

El entero más grande es$3$ y el entero más pequeño es$-1$.

Ejercicio$\PageIndex{1}$

Un entero es$1$ menos del doble que el de otro. Si su suma es$20$, encuentra los enteros.

Responder

Los dos enteros son$7$ y$13$.

www.youtube.com/v/lnzo1_J4x20

A continuación considere aplicaciones que involucren simples intereses y dinero.

Ejemplo$\PageIndex{1}$:

Un total de$$12,800$ se invirtió en dos cuentas. Parte se invirtió en un CD a una tasa de interés anual$3 \frac{1}{8}$% y parte se invirtió en un fondo del mercado monetario a una tasa de interés$4 \frac{3}{4}$% anual. Si el interés simple total de un año fue$$465$, entonces ¿cuánto se invirtió en cada cuenta?

Solución

Comience por identificar dos variables.

Dejar$x$ representar la cantidad invertida en$3 \frac{1}{8}$%$= 3.125$%$= 0.03125$.

Dejar$y$ representar la cantidad invertida en$4 \frac{3}{4}$%$= 4.75$% =$0.0475$.

El monto total en ambas cuentas se puede expresar como

$x+y=12,800$

Para establecer una segunda ecuación, utilice el hecho de que el interés total fue$$465$. Recordemos que el interés por un año es la tasa de interés multiplicada por el principal$(I = prt = pr ⋅ 1 = p)$. Use esto para agregar los intereses en ambas cuentas. Asegúrese de que r utilice los equivalentes decimales para las tasas de interés dadas como porcentajes.

$\begin{aligned} \color{Cerulean} { interest\: from\: the\: C D\: +\: interest\: from\: the\: fund\: =\: total\: interest } \\ 0.03125 x \quad\quad\quad +\quad\quad\:\: \quad 0.0475 y \quad\quad\quad\quad = 465\quad\quad\quad\quad\:\: \end{aligned}$

Estas dos ecuaciones juntas forman el siguiente sistema lineal:

$\left\{ \begin{array} { c } { x + y = 12,800 } \\ { 0.03125 x + 0.0475 y = 465 } \end{array} \right.$

Eliminar$x$ multiplicando la primera ecuación por$-0.03125$.

A continuación, agregue las ecuaciones resultantes.

$\begin{aligned} \color{red}{- 0.03125 x}\color{black}{ -} 0.03125 y &= - 400 \\ \pm\:\: \color{red}{0.03125 x}\color{black}{ +} 0.0475 y &= 465 \\ \hline \\0.01625y &=65 \\ y & = \frac{65}{0.01635} \\ y & = 4,000 \end{aligned}$

Volver sustituto para encontrar$x$.

$\begin{aligned} x + y & = 12,800 \\ x + 4000 & = 12,800 \\ x & = 8,800 \end{aligned}$

Respuesta:

$$4,000$se invirtió en$4 \frac{3}{4}$% y$$8,800$ se invirtió en$3 \frac{1}{8}$%.

Ejemplo$\PageIndex{3}$:

Un frasco que consta de solo monedas de cinco centavos y diez centavos contiene$58$ monedas. Si el valor total es$$4.20$, ¿cuántas de cada moneda hay en el frasco?

Solución

Dejar$n$ representar el número de monedas de cinco centavos en el frasco.

Dejar$d$ representar el número de monedas de diez centavos en el frasco.

El número total de monedas en el frasco se puede expresar usando la siguiente ecuación:

$n+d=58$

A continuación, utilice el valor de cada moneda para determinar el valor total$$4.20$.

$\begin{aligned} \color{Cerulean} {value\: of\: nickels\: + \: value\: of\: dimes\: =\: total\:value} \\ 0.05 n\quad\quad\: +\quad\:\:\: 0.10 d\quad\quad\quad = 4.20\quad\quad\quad \end{aligned}$

Esto nos lleva al siguiente sistema lineal:

$\left\{ \begin{array} { l } { n + d = 58 } \\ { 0.05 n + 0.10 d = 4.20 } \end{array} \right.$

Aquí resolveremos usando el método de sustitución. En la primera ecuación, podemos resolver para$n$.

Sustituir$n = 58 − d$ en la segunda ecuación y resolver para$d$.

$\begin{aligned} 0.05 ( \color{Cerulean}{58 - d}\color{black}{ )} + 0.10 d & = 4.20 \\ 2.9 - 0.05 d + 0.10 d & = 4.20 \\ 2.9 + 0.05 d & = 4.20 \\ 0.05 d & = 1.3 \\ d & = 26 \end{aligned}$

Ahora vuelve sustituto para encontrar el número de nickels.

$\begin{aligned} n & = 58 - d \\ & = 58 - 26 \\ & = 32 \end{aligned}$

Respuesta:

Hay$32$ monedas de cinco y$26$ diez centavos en el frasco.

Ejercicio$\PageIndex{2}$

Joey tiene un frasco lleno de$40$ monedas que consta de solo cuartos y monedas de cinco centavos. Si el valor total es$$5.00$, ¿cuántas de cada moneda tiene Joey?

Responder

Joey tiene$15$ cuartos y monedas de$25$ cinco centavos.

www.youtube.com/v/41bxt_tthka

Problemas de mezcla

Los problemas de mezcla suelen incluir un porcentaje y alguna cantidad total. Es importante hacer una distinción entre estos dos tipos de cantidades. Por ejemplo, si un problema indica que un recipiente de$20$ -onza se llena con una solución salina (sal)$2$%, entonces esto significa que el recipiente se llena con una mezcla de sal y agua de la siguiente manera:

Mesa$\PageIndex{1}$
	Porcentaje	Monto
Sal	$2$$= 0.02$	$0.02(20$$) = 0.4$onzas onzas
Agua	$98$%$= 0.98$	$0.98(20$$) = 19.6$onzas onzas

Es decir, multiplicamos el porcentaje por el total para obtener la cantidad de cada parte de la mezcla.

Ejemplo$\PageIndex{4}$:

Se debe combinar una solución salina en$1.8$% y mezclarse con una solución salina$3.2$% para producir$35$ onzas de una solución salina$2.2$%. ¿Cuánto de cada uno se necesita?

Solución

Dejar$x$ representar la cantidad de$1.8$% de solución salina necesaria.

Dejar$y$ representar la cantidad de$3.2$% de solución salina necesaria.

La cantidad total de solución salina necesaria es de$35$ onzas. Esto lleva a una ecuación,

$x+y=35$

La segunda ecuación suma la cantidad de sal en los porcentajes correctos. La cantidad de sal se obtiene multiplicando el porcentaje por la cantidad, donde las variables$x$ y$y$ representan las cantidades de las soluciones. La cantidad de sal en la solución final es$2.2$% de las$35$ onzas, o$.022(35)$.

$\begin{aligned} \color {Cerulean} { salt\: in\: 1.8} \%\: \color{Cerulean}{solution } + \color{Cerulean} { salt\: in \:} 3.2 \% \color{Cerulean} { \:solution } = \color{Cerulean} { salt\: in\: the\: end\: solution } \\ 0.018 x \quad\quad\quad+ \quad\:\quad 0.032 y\quad\quad\quad\quad = \quad\quad\quad0.022 ( 35 )\quad\quad\quad \end{aligned}$

La configuración algebraica consiste en ambas ecuaciones presentadas como un sistema:

$\left\{ \begin{array} { c } { x + y = 35 } \\ { 0.018 x + 0.032 y = 0.022 ( 35 ) } \end{array} \right.$

Resolver.

Sumar las ecuaciones resultantes juntas

$\begin{aligned} - 0.018 x - 0.018 y &= - 0.63 \\ \pm\:\: 0.018 x + 0.032 y &= 0.77 \\ \hline \\0.014y &=0.14\\y&=\frac{0.14}{0.014}\\y&=10 \end{aligned}$

Volver sustituto para encontrar$x$.

$\begin{aligned} x + y & = 35 \\ x + \color{OliveGreen}{10} & \color{Black}{=} 35 \\ x & = 25 \end{aligned}$

Respuesta:

Necesitamos$25$ onzas del$1.8$% de solución salina y$10$ onzas de la solución salina$3.2$%.

Ejemplo$\PageIndex{5}$:

Un concentrado$80$% anticongelante se va a mezclar con agua para producir una mezcla de$48$ -litros que contiene$25$% anticongelante. ¿Cuánta agua y concentrado anticongelante se necesita?

Solución

Dejar$x$ representar la cantidad de$80$% de concentrado anticongelante necesario.

Dejar$y$ representar la cantidad de agua necesaria.

La cantidad total de la mezcla debe ser de$48$ litros.

$x+y=48$

La segunda ecuación suma la cantidad de anticongelante de cada solución en los porcentajes correctos. La cantidad de anticongelante en el resultado final es$25$% de$48$ litros, o$0.25(48)$.

$\begin{aligned} \color {Cerulean} { antifreeze\: in\: 80} \%\: \color{Cerulean}{concentrate } + \color{Cerulean} { antrifreeze\: in \: water} = \color{Cerulean} { antifreeze\: in\: the\: end\: mixture } \\ 0.018 x \quad\quad \quad\quad\quad+ \: \quad\:\quad 0.032 y\quad\quad\quad\quad = \quad\quad\quad\quad0.022 ( 35 )\quad\quad\quad\quad\quad \end{aligned}$

Ahora podemos formar un sistema de dos ecuaciones lineales y dos variables de la siguiente manera:

$\left\{ \begin{array} { c } { x + y = 48 } \\ { 0.80 x = 0.25 ( 48 ) } \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array} { l } { x + y = 48 } \\ { 0.80 x = 12 } \end{array} \right.$

Usa la segunda ecuación para encontrar$x$:

$\begin{aligned} 0.80 x & = 12 \\ x & = \frac { 12 } { 0.80 } \\ x & = 15 \end{aligned}$

Volver sustituto para encontrar$y$.

$\begin{aligned} x + y & = 48 \\ \color{OliveGreen}{15} + y & = 48 \\ y & = 33 \end{aligned}$

Respuesta:

Necesitamos mezclar$33$ litros de agua con$15$ litros de concentrado anticongelante.

Ejercicio$\PageIndex{3}$

Un químico desea crear$100$ ml de una solución con$12$% de contenido de ácido. Utiliza dos tipos de soluciones madre, una con$30$% de contenido de ácido y otra con$10$% de contenido de ácido. ¿Cuánto de cada uno necesita?

Responder

El químico necesitará mezclar$10$ ml de la solución$30$% ácida con$90$ ml de la solución$10$% ácida.

www.youtube.com/v/nxbyjne9mww

Problemas de movimiento uniforme (problemas de distancia)

Recordemos que la distancia recorrida es igual a la tasa promedio multiplicada por el tiempo recorrido a ese ritmo,$D = r ⋅ t$. Estos problemas de movimiento uniforme suelen tener muchos datos, por lo que ayuda a organizar primero esos datos en un gráfico y luego configurar un sistema lineal. En esta sección, se le anima a utilizar dos variables.

Ejemplo$\PageIndex{6}$:

Un ejecutivo viajó un total de$4$ horas y$875$ millas en automóvil y en avión. Conduciendo al aeropuerto en automóvil, promedió$50$ millas por hora. En el aire, el avión promedió$320$ millas por hora. ¿Cuánto tiempo le tomó conducir hasta el aeropuerto?

Solución

Se nos pide encontrar el tiempo que le lleva conducir hasta el aeropuerto; esto indica que el tiempo es la cantidad desconocida.

Vamos a$x$ representar el tiempo que tardó en conducir hasta el aeropuerto. Dejar$y$ representar el tiempo pasado en el aire.

Rellene la tabla con la información dada.

Usa la fórmula$D = r \cdot t$ para rellenar las distancias desconocidas.

$\begin{array} { l } { \text { Distance traveled in the car: } D = r \cdot t = 50 \cdot x } \\ { \text { Distance traveled in the air: } D = r \cdot t = 320 \cdot y } \end{array}$

La columna de distancia y la columna de tiempo del gráfico nos ayudan a configurar el siguiente sistema lineal.

$\left\{ \begin{array} { c } { x + y = \:4 \:\:\color{Cerulean}{\leftarrow total \:time\:traveled }} \\ { 50 x + 320 y = 875 \color{Cerulean}{\leftarrow total\: distance\: traveled } } \end{array} \right.$

Resolver.

$\begin{aligned} \color{red}{- 50 x}\color{black}{ -} 50 y& = - 200 \\ \pm\:\:\color{red}{ 50 x}\color{black}{ +} 320 y& = 875 \\ \hline\\270y&=675\\y&=\frac{675}{270}\\y&=\frac{5}{2} \end{aligned}$

Ahora vuelve sustituto para encontrar el tiempo$x$ que tardó en conducir hasta el aeropuerto:

$\begin{aligned} x + y & = 4 \\ x + \color{OliveGreen}{\frac { 5 } { 2 }} & \color{Black}{=} 4 \\ x & = \frac { 8 } { 2 } - \frac { 5 } { 2 } \\ x & = \frac { 3 } { 2 } \end{aligned}$

Respuesta:

Le tomó$1 \frac{1}{2}$ horas conducir hasta el aeropuerto.

No siempre ocurre que el tiempo es la cantidad desconocida. Lee el problema detenidamente e identifica lo que te piden que encuentres; esto define tus variables.

Ejemplo$\PageIndex{7}$:

Volando con el viento, un avión ligero viajó$240$ millas en$2$ horas. El avión giró entonces contra el viento y recorrió otras$135$ millas en$1 \frac{1}{2}$ horas. Encuentra la velocidad del avión y la velocidad del viento.

Solución

Comience por identificar variables.

Dejar$x$ representar la velocidad del avión.

Dejar$w$ representar la velocidad del viento.

Utilice la siguiente tabla para organizar los datos:

Con el viento, la velocidad total del avión es$x + w$. Volando contra el viento, la velocidad total es$x − w$.

Utilice las filas del gráfico junto con la fórmula$D = r ⋅ t$ para construir un sistema lineal que modele este problema. Tenga cuidado de agrupar entre paréntesis las cantidades que representan la tasa.

$\left\{ \begin{array} { l } { 240 = ( x + w ) \cdot 2 \color{Cerulean}{\leftarrow distance\: traveled\: with \:the \:wind } } \\ { 135 = ( x - w ) \cdot 1.5 \color{Cerulean}{ \leftarrow distance\: traveled\: against\: the\: wind } } \end{array} \right.$

Si dividimos ambos lados de la primera ecuación por$2$ y ambos lados de la segunda ecuación por$1.5$, entonces obtenemos el siguiente sistema equivalente:

$\left\{ \begin{array} { l } { 240 = ( x + w ) \cdot 2 } \quad\quad\overset{\div 2}{\Longrightarrow} \\ { 135 = ( x - w ) \cdot 1.5 \:\quad\underset{\div 1.5}{\Longrightarrow} } \end{array} \right. \quad \left\{ \begin{array} { l } { 120 = x + w } \\ { 90 = x - w } \end{array} \right.$

Aquí$w$ está alineado para eliminar.

$\begin{aligned} x \color{red}{+ w}&\color{black}{ =} 120 \\ \pm x \color{red}{- w}&\color{black}{=} 90 \\ \hline\\2x &=210\\x & = \frac{210}{2} \\x& = 105\end{aligned}$

Sustituto de espalda

$\begin{aligned} x + w & = 120 \\ \color{OliveGreen}{105}\color{black}{ +} w & = 120 \\ w & = 15 \end{aligned}$

Respuesta:

La velocidad del avión es de$105$ millas por hora y la velocidad del viento es de$15$ millas por hora.

Ejercicio$\PageIndex{4}$

Un barco viajó$27$ millas río abajo en$2$ horas. En el viaje de regreso, que fue contra la corriente, el barco sólo pudo recorrer$21$ millas en$2$ horas. ¿Cuáles fueron las velocidades de la embarcación y de la corriente?

Responder

La velocidad de la embarcación era de$12$ millas por hora y la velocidad de la corriente era de$1.5$ millas por hora.

www.youtube.com/V/evdjqTfsUSS

Claves para llevar

Utilice dos variables como medio para simplificar la configuración algebraica de aplicaciones donde la relación entre incógnitas no está clara.
Lee atentamente el problema varias veces. Si se utilizan dos variables, entonces recuerde que necesita configurar dos ecuaciones lineales para resolver el problema.
Asegúrese de responder la pregunta en forma de oración e incluya las unidades correctas para la respuesta.

Ejercicio$\PageIndex{5}$

Configura un sistema lineal y resuelve.

La suma de dos enteros es$45$. El entero más grande es$3$ menos del doble del menor. Encuentra los dos enteros.
La suma de dos enteros es$126$. Cuanto más grande es$18$ menor que$5$ veces más pequeño. Encuentra los dos enteros.
La suma de dos enteros es$41$. Cuando los$3$ tiempos más pequeños se resta de cuanto mayor es el resultado$17$. Encuentra los dos enteros.
La suma de dos enteros es$46$. Cuando cuanto más grande se resta del doble de menor es el resultado$2$. Encuentra los dos enteros.
La diferencia de dos enteros es$11$. Cuando el doble de mayor se resta de$3$ veces más pequeño, el resultado es$3$. Encuentra los enteros.
La diferencia de dos enteros es$6$. La suma del doble de menor y mayor es$72$. Encuentra los enteros.
La suma de$3$ veces un entero mayor y$2$ veces un menor es$15$. Cuando$3$ el número entero más pequeño se resta del doble del mayor, el resultado es$23$. Encuentra los enteros.
La suma de dos veces un entero mayor y$3$ veces un menor es$10$. Cuando las$4$ veces que se agrega el entero más pequeño al mayor, el resultado es$0$. Encuentra los enteros.
La diferencia de dos veces un número entero menor y$7$ veces un mayor es$4$. Cuando las$5$ veces el entero más grande se resta de$3$ veces el menor, el resultado es$−5$. Encuentra los enteros.
La diferencia de un entero menor y dos veces mayor es$0$. Cuando las$3$ veces el entero más grande se resta de$2$ veces el menor, el resultado es$−5$. Encuentra los enteros.
La longitud de un rectángulo es$5$ más del doble de su ancho. Si el perímetro mide$46$ metros, entonces encuentra las dimensiones del rectángulo.
El ancho de un rectángulo es$2$ centímetros menos de la mitad de su longitud. Si el perímetro mide$62$ centímetros, entonces encuentra las dimensiones del rectángulo.
Se construye un corral rectangular particionado junto a un río con un total de$136$ pies de cercado (ver ilustración). Si la esgrima exterior mide$114$ pies, entonces encuentra las dimensiones de la pluma.

14. Se construye una pluma rectangular particionada con un total de$168$ pies de cercado (ver ilustración). Si el perímetro mide$138$ pies, entonces encuentra las dimensiones de la pluma.

15. Encontrar$a$ y$b$ tal que el sistema$\left\{ \begin{array} { l } { a x + b y = 8 } \\ { b x + a y = 7 } \end{array} \right.$ tenga solución$(2,1)$. (Pista: Sustituir los$y$ valores$x$ - y -dados y resolver el sistema lineal resultante en términos de$a$ y$b$.)

16. Encontrar$a$ y$b$ tal que el sistema$\left\{ \begin{array} { l } { a x - b y = 11 } \\ { b x + a y = 13 } \end{array} \right.$ tenga solución$(3, -1)$.

17. Una línea pasa por dos puntos$(5, −9)$ y$(−3, 7)$. Utilizar estos puntos y$y = mx + b$ construir un sistema de dos ecuaciones lineales en términos de$m$$b$ y resolverlo.

18. Una línea pasa por dos puntos$(2, 7)$ y$(\frac{1}{2}, −2)$. Utilizar estos puntos y$y = mx + b$ construir un sistema de dos ecuaciones lineales en términos de$m$$b$ y resolverlo.

19. Un$$5,200$ principal se invierte en dos cuentas, una ganando$3$% de interés y otra ganando$6$% de interés. Si el interés total del año es$$210$, entonces ¿cuánto se invierte en cada cuenta?

20. El$$2,200$ ahorro de Harry está en dos cuentas. Una cuenta gana$2$% de interés anual y la otra gana$4$%. Su interés total para el año es$$69$. ¿Cuánto tiene en cada cuenta?

21. Janine tiene dos cuentas de ahorro por un total$$6,500$. Una cuenta gana$2 \frac{3}{4}$% de interés anual y la otra gana$3 \frac{1}{2}$%. Si su interés total para el año es$$211$, entonces ¿cuánto hay en cada cuenta?

22. Margaret tiene sus ahorros totales de$$24,200$ en dos cuentas de CD diferentes. Un CD gana$4.6$% interés y otro gana$3.4$% interés. Si su interés total para el año es$$1,007.60$, entonces ¿cuánto tiene en cada cuenta de CD?

23. El año pasado Mandy ganó el doble de interés en su fondo del Mercado Monetario que en su cuenta de ahorros regular. El interés total de las dos cuentas fue$$246$. ¿Cuánto interés ganó en cada cuenta?

24. Una pequeña empresa invirtió$$120,000$ en dos cuentas. La cuenta que gana$4$% de interés anual arrojó el doble de interés que la cuenta que ganaba$3$% de interés anual. ¿Cuánto se invirtió en cada cuenta?

25. Sally gana$$1,000$ por mes más una comisión del$2$% de ventas. Jane gana$$200$ por mes más$6$% de sus ventas. ¿En qué cifra de ventas mensuales tanto Sally como Jane ganarán la misma cantidad de pago?

26. El costo de producir estantes especiales para libros incluye una tarifa inicial de instalación$$1,200$ más un adicional$$20$ por unidad producida. Cada repisa se puede vender$$60$ por unidad. Encuentra el número de unidades que se deben producir y vender donde los costos equivalen a los ingresos generados.

27. Jim pudo comprar una pizza para$$12.35$ con cuartos y monedas de diez centavos. Si usa$71$ monedas para comprar la pizza, entonces ¿cuántos de cada uno tenía?

28. Una caja registradora contiene$$5$ facturas y$$10$ facturas con un valor total de$$350$. Si hay$46$ facturas totales, entonces ¿cuántos de cada uno contiene el registro?

29. Dos familias compraron boletos para el partido de basquetbol en casa. Una familia ordenó boletos$2$ para adultos y boletos para$4$ niños por un total de$$36.00$. Otra familia ordenó boletos$3$ para adultos y boletos para$2$ niños por un total de$$32.00$. ¿Cuánto costó cada boleto?

30. Dos amigos encontraron camisas y pantalones cortos a la venta en un mercadillo. Uno compró$4$ camisas y$2$ pantalones cortos por un total de$$28.00$. El otro compró$3$ camisas y$3$ pantalones cortos por un total de$$30.75$. ¿Cuánto costaba cada camisa y cada par de pantalones cortos?

31. Un teatro comunitario vendió$140$ boletos para el musical vespertino por un total de$$1,540$. Cada boleto de adulto se vendió para$$12$ y cada boleto infantil se vendió para$$8$. ¿Cuántos boletos de adulto se vendieron?

32. La librería del campus vende calculadoras gráficas para$$110$ y calculadoras científicas para$$16$. El primer día de clases se vendieron$50$ calculadoras por un total de$$1,646$. ¿Cuántos de cada uno se vendieron?

33. Un frasco que consta de solo monedas de cinco centavos y cuartos contiene$70$ monedas. Si el valor total es$$9.10$, ¿cuántas de cada moneda hay en el frasco?

34. Jill tiene$$9.20$ valor de dimes y cuartos. Si hay$68$ monedas en total, ¿cuántas de cada una tiene?

Responder

1. Los enteros son$16$ y$29$.

3. Los enteros son$6$ y$35$.

5. Los enteros son$25$ y$36$.

7. Los enteros son$−3$ y$7$.

9. Los enteros son$−5$ y$−2$.

11. Largo:$17$ metros; ancho:$6$ metros

13. Ancho:$22$ pies; largo:$70$ pies

15. $a = 3, b = 2$

17. $m = −2, b = 1$

19. $$3,400$al$3$% y$$1,800$ al$6$%

21. $$2,200$al$2 \frac{3}{4}$% y$$4,300$ al$3 \frac{1}{2}$%

23. Ahorro:$$82$; Mercado Monetario:$$164$.

25. $$20,000$

27. $35$cuartos y$36$ dimes

29. Adultos$$7.00$ cada uno y niños$$5.50$ cada uno.

31. $105$Se vendieron boletos para adultos.

33. El frasco contiene$42$ monedas de níquel y$28$ cuartos.

Ejercicio$\PageIndex{6}$

Configura un sistema lineal y resuelve.

Se debe mezclar una solución$17$% ácida con una solución$9$% ácida para producir$8$ galones de una solución$10$% ácida. ¿Cuánto de cada uno se necesita?
Una enfermera desea obtener$28$ onzas de un$1.5$% de solución salina. ¿Cuánto de un$1$% de solución salina debe mezclar con un$4.5$% de solución salina para lograr la mezcla deseada?
Un cliente ordenó$4$ libras de un producto mixto de maní que contenía$12$% de anacardos. El inventario consta de sólo dos mezclas que contienen$10$% y$26$% de anacardos. ¿Cuánto de cada tipo se debe mezclar para llenar el pedido?
Una solución de alcohol contiene$10$% de alcohol y otra contiene$25$% de alcohol. ¿Cuánto de cada uno debe mezclarse para obtener$2$ galones de una solución de$13.75$% de alcohol?
¿Cuánto concentrado de líquido limpiador, con$60$% de contenido de alcohol, debe mezclarse con agua para obtener una mezcla de$24$ -onza con$15$% de contenido de alcohol?
¿Cuántas libras de maní puro se deben combinar con una mezcla de$20$% de maní para producir$2$ libras de una mezcla de$50$% de maní?
Un concentrado de$50$% de jugo de frutas se puede comprar al por mayor. El mejor sabor se logra cuando se mezcla agua con el concentrado de tal manera que se obtenga una mezcla de$15$% de jugo de fruta. ¿Cuánta agua y concentrado se necesita para hacer una bebida de jugo de frutas de$60$ -onza?
El azúcar puro se debe mezclar con una ensalada de frutas que contenga$10$% de azúcar para producir$65$ onzas de una ensalada que contenga$18$% de azúcar. ¿Cuánto azúcar puro se requiere?
Se crea una aleación de aluminio personalizada mezclando$150$ gramos de una aleación de aluminio$15$% y$350$ gramos de una aleación de aluminio$55$%. ¿Qué porcentaje de aluminio hay en la mezcla resultante?
Un asistente de investigación mezcló$500$ mililitros de una solución que contenía un$12$% de ácido con$300$ mililitros de agua. ¿Qué porcentaje de ácido hay en la solución resultante?

Responder

1. $7$galones de la solución de$9$% ácido y$1$ galón de la solución$17$% de ácido

3. $3.5$libras de la mezcla de$10$% de anacardo y$0.5$ libras de la mezcla de$26$% de anacardo

5. $6$onzas de concentrado de líquido limpiador

7. $18$onzas de concentrado de jugo de frutas y$42$ onzas de agua

9. $43$%

Ejercicio$\PageIndex{7}$

Configura un sistema lineal y resuelve.

Las dos piernas de un viaje$432$ de milla tardaron$8$ horas. La velocidad promedio para el primer tramo del viaje fue de$52$ millas por hora y la velocidad promedio para el segundo tramo del viaje fue de$60$ millas por hora. ¿Cuánto tiempo duró cada tramo del viaje?
Jerry tomó dos autobuses en el viaje de una$265$ milla de Los Ángeles a Las Vegas. El primer autobús promedió$55$ millas por hora y el segundo autobús pudo promediar$50$ millas por hora. Si el viaje total tardó$5$ horas, entonces ¿cuánto tiempo se pasó en cada autobús?
Una ejecutiva pudo promediar$48$ millas por hora hasta el aeropuerto en su automóvil y luego abordar un avión que promedió$210$ millas por hora. El viaje de negocios de$549$ -milla tomó$3$ horas. ¿Cuánto tiempo le tomó conducir hasta el aeropuerto?
Joe pasa$1$ una hora cada mañana haciendo ejercicio trotando y luego en bicicleta por un total de$15$ millas. Él es capaz de promediar$6$ millas por hora trotar y$18$ millas por hora en bicicleta. ¿Cuánto tiempo pasa trotando cada mañana?
Nadar con el Jack actual puede nadar$2.5$ millas en$\frac{1}{2}$ hora. Nadando hacia atrás, contra la misma corriente, sólo puede nadar$2$ millas en la misma cantidad de tiempo. ¿Qué tan rápido es la corriente?
Un avión ligero que vuela con el viento puede recorrer$180$ millas en$1 \frac{1}{2}$ horas. El avión puede volar la misma distancia contra el viento en$2$ horas. Encuentra la velocidad del viento.
Un avión ligero que vuela con el viento puede recorrer$600$ millas en$4$ horas. En el viaje de regreso, contra el viento, tomará$5$ horas. ¿Cuáles son las velocidades del avión y del viento?
Un barco puede recorrer$15$ millas con la corriente aguas abajo en$1 \frac{1}{4}$ horas. Al regresar río arriba contra la corriente, el barco solo puede recorrer$8 \frac{3}{4}$ millas en la misma cantidad de tiempo. Encuentra la velocidad de la corriente.
Mary recorrió el sendero desde su auto hasta la cabina a razón de$6$ millas por hora. Luego caminó de regreso a su automóvil a razón de$4$ millas por hora. Si todo el viaje tardó$1$ una hora, entonces ¿cuánto tiempo le tomó caminar de regreso a su auto?
Dos trenes salen de la estación viajando en direcciones opuestas. Un tren es$8$ millas por hora más rápido que el otro y en$2 \frac{1}{2}$ horas están$230$ a millas de distancia. Determinar la velocidad promedio de cada tren.
Dos trenes salen de la estación viajando en direcciones opuestas. Un tren es$12$ millas por hora más rápido que el otro y en$3$ horas están$300$ a millas de distancia. Determinar la velocidad promedio de cada tren.
Un corredor puede mantener una tasa promedio de carrera de$8$ millas por hora a su destino y$6$ millas por hora en el viaje de regreso. Encuentra la distancia total que corrió el jogger si el tiempo total de carrera fue de$1 \frac{3}{4}$ hora.

Responder

1. El partido de ida del viaje tomó$6$ horas y el de vuelta tomó$2$ horas.

3. Le tomó$\frac{1}{2}$ una hora conducir hasta el aeropuerto.

5. $0.5$millas por hora.

7. Avión:$135$ millas por hora; viento:$15$ millas por hora

9. $\frac{3}{5}$hora

11. Un tren promedió$44$ millas por hora y el otro promedió$56$ millas por hora.

Ejercicio$\PageIndex{8}$

Redacte un problema de número o dinero propio y compártelo en el tablero de discusión.
Redacte un problema de mezcla propio y compártelo en el tablero de discusión.
Redacte un problema de movimiento uniforme propio y compártelo en el tablero de discusión.

Responder

1. La respuesta puede variar

3. La respuesta puede variar

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	Porcentaje	Monto
Sal	\(2\)\(= 0.02\)	\(0.02(20\)\() = 0.4\)onzas onzas
Agua	\(98\)%\(= 0.98\)	\(0.98(20\)\() = 19.6\)onzas onzas