3.6: Resolver aplicaciones con desigualdades lineales

Objetivos de aprendizaje

Al final de esta sección, podrás:

• Resolver aplicaciones con desigualdades lineales

Nota

Antes de comenzar, toma este cuestionario de preparación.

1. Escribir como una desigualdad: x es al menos 30.
   Si te perdiste este problema, revisa el Ejercicio 2.7.34.
2. Resolver\(8−3y<41\).
   Si te perdiste este problema, revisa el Ejercicio 2.7.22.

Resolver aplicaciones con desigualdades lineales

Muchas situaciones de la vida real requieren que resolvamos las desigualdades. De hecho, las aplicaciones de desigualdad son tan comunes que muchas veces ni siquiera nos damos cuenta de que estamos haciendo álgebra. Por ejemplo, ¿cuántos galones de gasolina se pueden poner en el auto por $20? ¿La renta de un departamento es asequible? ¿Hay suficiente tiempo antes de clase para ir a almorzar, comerlo y regresar? ¿Cuánto dinero debería costar el regalo navideño de cada miembro de la familia sin sobrepasar el presupuesto?

El método que usaremos para resolver aplicaciones con desigualdades lineales es muy parecido al que usamos cuando resolvimos aplicaciones con ecuaciones. Leeremos el problema y nos aseguraremos de que se entiendan todas las palabras. A continuación, identificaremos lo que estamos buscando y asignaremos una variable para representarlo. Replantearemos el problema en una frase para que sea fácil traducirlo en una desigualdad. Entonces, vamos a resolver la desigualdad.

Ejercicio\(\PageIndex{1}\)

Emma consiguió un nuevo trabajo y tendrá que mudarse. Su ingreso mensual será de $5,265. Para calificar para rentar un departamento, los ingresos mensuales de Emma deben ser al menos tres veces más que la renta. ¿Cuál es la renta más alta para la que Emma calificará?

Contestar

\(\begin{array} {ll} {\textbf{Step 1. Read} \text{ the problem.}} &{} \\ {\textbf{Step 2. Identify} \text{ what we are looking for.}} &{\text{the highest rent Emma will qualify for}} \\ {\textbf{Step 3. Name} \text{ what we are looking for.}} &{} \\ {} &{\text{Let r = rent}} \\ {\text{Choose a variable to represent that quantity.}} &{} \\{\textbf{Step 4. Translate} \text{ into an inequality.}} &{} \\{} &{\text{Emma’s monthly income must be at least}} \\ {\text{First write a sentence that gives the information}} &{\text{three times the rent.}} \\ {\text{to find it.}} &{} \\\\ {\textbf{Step 5. Solve} \text{ the inequality.}} &{5265 \geq 3r} \\ {\text{Remember, } a > x\text{ has the same meaning}} &{1755 \geq r} \\ {\text{as }x < a} &{r \leq 1755} \\ {\textbf{Step 6. Check} \text{ the answer in the problem}} &{} \\ {\text{and make sure it makes sense.}} &{} \\ {\text{A maximum rent of \$1,755 seems}} &{} \\ {\text{reasonable for an income of \$5,265.}} &{} \\ {\textbf{Step 7. Answer} \text{ the answer in the problem}} &{\text{the question with a}} \\ {\text{complete sentence.}} &{\text{The maximum rent is \$1,755.}} \end{array}\)

Ejercicio\(\PageIndex{2}\)

Alan está cargando una tarima con cajas que pesan 45 libras cada una. El palé puede soportar de manera segura no más de 900 libras. ¿Cuántas cajas puede cargar de manera segura en el palé?

Contestar

No puede haber más de 20 cajas.

Ejercicio\(\PageIndex{3}\)

El elevador en el edificio de departamentos de Yehire tiene un letrero que dice que el peso máximo es de 2,100 libras. Si el peso promedio de una persona es de 150 libras, ¿cuántas personas pueden viajar con seguridad en el elevador?

Contestar

Un máximo de 14 personas pueden viajar con seguridad en el elevador.

A veces una aplicación requiere que la solución sea un número entero, pero la solución algebraica a la desigualdad no es un número entero. En ese caso, debemos redondear la solución algebraica a un número entero. El contexto de la aplicación determinará si redondeamos hacia arriba o hacia abajo. Para verificar aplicaciones como esta, redondearemos nuestra respuesta a un número que sea fácil de calcular y nos aseguraremos de que ese número haga realidad la desigualdad.

Ejercicio\(\PageIndex{4}\)

Dawn ganó una mini-subvención de $4,000 para comprar computadoras tablet para su salón de clases. Las tabletas que le gustaría comprar cuestan $254.12 cada una, incluyendo impuestos y entrega. ¿Cuál es el número máximo de tabletas que Dawn puede comprar?

Contestar

\(\begin{array} {ll} {\textbf{Step 1. Read} \text{ the problem.}} &{} \\ {\textbf{Step 2. Identify} \text{ what we are looking for.}} &{\text{the maximum number of tablets Dawn can buy}} \\ {\textbf{Step 3. Name} \text{ what we are looking for.}} &{} \\ {} &{\text{Let n = the number of tablets.}} \\ {\text{Choose a variable to represent that quantity.}} &{} \\{\textbf{Step 4. Translate.} \text{ write a sentence that}} &{} \\{\text{gives the information to find it.}} &{$254.12\text{ times the number of tablets is no}} \\ {} &{\text{more than \$4000.}} \\ {\text{Translate into an inequality.}} &{254.12n \leq 4000} \\ {\textbf{Step 5. Solve} \text{ the inequality.}} &{n \leq 15.74} \\ {\text{But n must be a whole number of tablets,}} &{} \\ {\text{so round to 15.}} &{n \leq 15}\\ \\{\textbf{Step 6. Check} \text{ the answer in the problem}} &{} \\ {\text{and make sure it makes sense.}} &{} \\ {\text{Rounding down the price to \$250,}} &{} \\ {\text{15 tablets would cost \$3750, while}} &{} \\ {\text{16 tablets would be \$4000. So a}} &{} \\{\text{maximum of 15 tablets at \$254.12}} &{} \\ {\text{seems reasonable.}} &{} \\{\textbf{Step 7. Answer} \text{ the answer in the problem}} &{\text{the question with a}} \\ {\text{complete sentence.}} &{\text{Dawn can buy a maximum of 15 tablets.}} \end{array}\)

Ejercicio\(\PageIndex{5}\)

Angie tiene $20 para gastar en cajas de jugo para el picnic preescolar de su hijo. Cada paquete de cajas de jugo cuesta $2.63. ¿Cuál es el número máximo de paquetes que puede comprar?

Contestar

siete paquetes

Ejercicio\(\PageIndex{6}\)

Daniel quiere sorprender a su novia con una fiesta de cumpleaños en su restaurante favorito. Tendrá un costo de $42.75 por persona para la cena, incluyendo propina e impuestos. Su presupuesto para el partido es de 500 dólares. ¿Cuál es el número máximo de personas que Daniel puede tener en la fiesta?

Contestar

11 personas

Ejercicio\(\PageIndex{7}\)

Pete trabaja en una tienda de informática. Su pago semanal será un monto fijo, $925, o $500 más 12% de sus ventas totales. ¿Cuánto deben ser sus ventas totales para que su opción de pago variable supere el monto fijo de $925?

Contestar

\(\begin{array} {ll} {\textbf{Step 1. Read} \text{ the problem.}} &{} \\ {\textbf{Step 2. Identify} \text{ what we are looking for.}} &{\text{the total sales needed for his variable pay}} \\ {} &{\text{option to exceed the fixed amount of \$925}} \\ {\textbf{Step 3. Name} \text{ what we are looking for.}} &{} \\ {} &{\text{Let s = the total sales.}} \\ {\text{Choose a variable to represent that quantity.}} &{} \\{\textbf{Step 4. Translate.} \text{ write a sentence that}} &{} \\{\text{gives the information to find it.}} &{$500\text{ plus 12% of total sales is more than \$925.}} \\ {\text{Translate into an inequality. Remember to}} &{500 + 0.12s > 925} \\{\text{convert the percent to a decimal.}} &{} \\\\ {\textbf{Step 5. Solve} \text{ the inequality.}} &{0.12s > 425} \\ {} &{s > 3541.\overline{66}} \\ \\ \\{\textbf{Step 6. Check} \text{ the answer in the problem}} &{} \\ {\text{and make sure it makes sense.}} &{} \\ {\text{Rounding down the price to \$250,}} &{} \\ {\text{15 tablets would cost \$3750, while}} &{} \\ {\text{If we round the total sales up to}} &{} \\{\text{\$4000, we see that}} &{} \\ {\text{500+0.12(4000) = 980, which is more}} &{} \\ {\text{than \$925.}} &{} \\{\textbf{Step 7. Answer} \text{ the the question with a complete sentence.}} &{\text{The total sales must be more than \$3541.67}} \end{array}\)

Ejercicio\(\PageIndex{8}\)

Tiffany acaba de graduarse de la universidad y su nuevo trabajo le pagará 20000 dólares anuales más el 2% de todas las ventas. Ella quiere ganar al menos $100000 al año. ¿Para qué ventas totales podrá lograr su objetivo?

Contestar

al menos $4000000

Ejercicio\(\PageIndex{9}\)

A Christian se le ha ofrecido un nuevo trabajo que paga $24000 al año más el 3% de las ventas. ¿Por qué ventas totales este nuevo trabajo pagaría más que su trabajo actual que paga 60000 dólares?

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al menos $1200000

Ejercicio\(\PageIndex{10}\)

Sergio y Lizeth tienen un presupuesto vacacional muy ajustado. Planean rentar un auto de una compañía que cobra 75 dólares a la semana más $0.25 la milla. ¿Cuántas millas pueden recorrer y aún mantenerse dentro de su presupuesto de $200?

Contestar

\(\begin{array} {ll} {\textbf{Step 1. Read} \text{ the problem.}} &{} \\ {\textbf{Step 2. Identify} \text{ what we are looking for.}} &{\text{the number of miles Sergio and Lizeth can travel}} \\ {\textbf{Step 3. Name} \text{ what we are looking for.}} &{} \\ {} &{\text{Let m = the number of miles.}} \\ {\text{Choose a variable to represent that quantity.}} &{} \\{\textbf{Step 4. Translate.} \text{ write a sentence that}} &{\text{\$75 plus 0.25 times the number of miles is}} \\{\text{gives the information to find it.}} &{\text{ less than or equal to \$200.}} \\ {\text{Translate into an inequality. }} &{75 + 25m \leq 200} \\\\ {\textbf{Step 5. Solve} \text{ the inequality.}} &{0.25m \leq 125} \\ {} &{m \leq 500 \text{ miles}} \\ \\ \\{\textbf{Step 6. Check} \text{ the answer in the problem}} &{} \\ {\text{and make sure it makes sense.}} &{} \\ {\text{Yes, 75 + 0.25(500) = 200.}} & {}\\{\textbf{Step 7. Answer} \text{ the the question with a complete sentence.}} &{\text{Sergio and Lizeth can travel 500 miles}} \\ {} &{\text{and still stay on budget.}} \end{array}\)

Ejercicio\(\PageIndex{11}\)

El plan telefónico de Taleisha le cuesta 28.80 dólares mensuales más $0.20 por mensaje de texto. ¿Cuántos mensajes de texto puede usar y mantener su factura telefónica mensual no más de $50?

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no más de 106 mensajes de texto

Ejercicio\(\PageIndex{12}\)

La factura de calefacción de Rameen es de $5.42 mensuales más $1.08 por therm. ¿Cuántas termas puede usar Rameen si quiere que su factura de calefacción sea un máximo de $87.50?

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no más de 76 termas

Un objetivo común de la mayoría de los negocios es obtener ganancias. El beneficio es el dinero que queda cuando se han restado los gastos del dinero ganado. En el siguiente ejemplo, encontraremos la cantidad de trabajos que un pequeño empresario necesita hacer cada mes para obtener cierta cantidad de ganancias.

Ejercicio\(\PageIndex{13}\)

Elliot tiene un negocio de mantenimiento paisajístico. Sus gastos mensuales son de $1,100. Si cobra 60 dólares por trabajo, ¿cuántos trabajos debe hacer para obtener una ganancia de al menos $4,000 mensuales?

Contestar

\(\begin{array} {ll} {\textbf{Step 1. Read} \text{ the problem.}} &{} \\ {\textbf{Step 2. Identify} \text{ what we are looking for.}} &{\text{the number of jobs Elliot needs}} \\ {\textbf{Step 3. Name} \text{ what we are looking for.}} &{} \\ {\text{Choose a variable to represent it}} &{\text{Let j = the number of jobs.}} \\{\textbf{Step 4. Translate.} \text{ write a sentence that}} &{\text{\$60 times the number of jobs minus \$1,100 is at least \$4,000.}} \\{\text{gives the information to find it.}} &{\text{ less than or equal to \$200.}} \\ {\text{Translate into an inequality. }} &{60j - 1100 \geq 4000} \\\\ {\textbf{Step 5. Solve} \text{ the inequality.}} &{60j \geq 5100} \\ {} &{j \geq 85\text{ jobs}} \\ \\{\textbf{Step 6. Check} \text{ the answer in the problem}} &{} \\ {\text{and make sure it makes sense.}} &{} \\ {\text{If Elliot did 90 jobs, his profit would be}} & {}\\ {\text{60(90)−1,100,or \$4,300. This is}} &{} \\ {\text{more than \$4,000.}} &{} \\{\textbf{Step 7. Answer} \text{ the the question with a complete sentence.}} &{\text{Elliot must work at least 85 jobs.}} \end{array}\)

Ejercicio\(\PageIndex{14}\)

Caleb tiene un negocio de cuidado de mascotas. Él cobra 32 dólares por hora. Sus gastos mensuales son de 2272 dólares. ¿Cuántas horas debe trabajar para obtener una ganancia de al menos 800 dólares mensuales?

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al menos 96 horas

Ejercicio\(\PageIndex{15}\)

Felicity tiene un negocio de caligrafía. Ella cobra $2.50 por invitación de boda. Sus gastos mensuales son de 650 dólares. ¿Cuántas invitaciones debe escribir para obtener una ganancia de al menos 2800 dólares mensuales?

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al menos 1380 invitaciones

¡A veces la vida se complica! Son muchas las situaciones en las que varias cantidades contribuyen al gasto total. Debemos asegurarnos de contabilizar todos los gastos individuales cuando resolvamos problemas como este.

Ejercicio\(\PageIndex{16}\)

La mejor amiga de Brenda está teniendo una boda de destino y el evento durará 3 días. Brenda tiene $500 en ahorros y puede ganar $15 la hora de cuidado de niños. Ella espera pagar $350 pasajes aéreos, $375 por comida y entretenimiento y $60 la noche por su parte de una habitación de hotel. ¿Cuántas horas debe cuidar de niños para tener suficiente dinero para pagar el viaje?

Contestar

\(\begin{array} {ll} {\textbf{Step 1. Read} \text{ the problem.}} &{} \\ {\textbf{Step 2. Identify} \text{ what we are looking for.}} &{\text{the number of hours Brenda must babysit}} \\ {\textbf{Step 3. Name} \text{ what we are looking for.}} &{} \\ {\text{Choose a variable to represent that quantity.}} &{\text{Let h = the number of hours.}} \\{\textbf{Step 4. Translate.} \text{ write a sentence that}} &{} \\{\text{gives the information to find it.}} &{} \\ {} &{\text{The expenses must be less than or equal to}} \\ {} &{\text{the income. The cost of airfare plus the}} \\ {} &{\text{cost of food and entertainment and the}} \\ {} &{\text{hotel bill must be less than or equal to the savings}} \\ {} &{\text{plus the amount earned babysitting.}} \\ {\text{Translate into an inequality. }} &{\$350 + \$375 + \$60(3) \leq \$500 + \$15h} \\\\ {\textbf{Step 5. Solve} \text{ the inequality.}} &{905 \leq 500 + 15h} \\{} &{405 \leq 15h} \\ {} &{27 \leq h} \\ {} &{h \geq 27} \\ \\{\textbf{Step 6. Check} \text{ the answer in the problem}} &{} \\ {\text{and make sure it makes sense.}} &{} \\ {\text{We substitute 27 into the inequality.}} & {}\\{905 \leq 500 + 15h} &{} \\ {905 \leq 500 + 15(27)} &{} \\ {905 \leq 905} &{} \\ \\{\textbf{Step 7. Answer} \text{ the the question with a complete sentence.}} &{\text{Brenda must babysit at least 27 hours.}} \end{array}\)

Ejercicio\(\PageIndex{17}\)

Malik está planeando un viaje de vacaciones de verano de 6 días. Tiene 840 dólares en ahorros, y gana 45 dólares por hora por tutoría. El viaje le costará 525 dólares por pasaje aéreo, 780 dólares por comida y turismo, y 95 dólares por noche para el hotel. ¿Cuántas horas debe ser tutor para tener el dinero suficiente para pagar el viaje?

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al menos 23 horas

Ejercicio\(\PageIndex{18}\)

Josue quiere hacer un viaje por carretera de 10 días la próxima primavera. Le costará 180 dólares por gasolina, 450 dólares por comida y 49 dólares por noche para un motel. Tiene $520 en ahorros y puede ganar $30 por camino de entrada paleando nieve. ¿Cuántas entradas debe palear para tener suficiente dinero para pagar el viaje?

Contestar

al menos 20 entradas

Conceptos clave

• Resolver desigualdades
  1. Lee el problema.
  2. Identificar lo que estamos buscando.
  3. Nombra lo que estamos buscando. Elija una variable para representar esa cantidad.
  4. Traducir. Escribe una frase que dé la información para encontrarla. Traducir en una desigualdad.
  5. Resolver la desigualdad.
  6. Comprueba la respuesta en el problema y asegúrate de que tenga sentido.
  7. Contesta la pregunta con una oración completa.