9.8: Exponentes racionales

Objetivos de aprendizaje

Al final de esta sección, podrás:

• Simplifica expresiones con\(a^{\frac{1}{n}}\)
• Simplifica expresiones con\(a^{\frac{m}{n}}\)
• Usa las leyes de los exponentes para simplemente expresiones con exponentes racionales

Esté preparado

Antes de comenzar, toma este cuestionario de preparación.

1. Agregar:\(\frac{7}{15}+\frac{5}{12}\).
   Si te perdiste este problema, revisa [enlace].
2. Simplificar:\((4x^{2}y^{5})^3\).
   Si te perdiste este problema, revisa [enlace].
3. Simplificar:\(5^{−3}\).
   Si te perdiste este problema, revisa [enlace].

Simplifique expresiones con\(a^{\frac{1}{n}}\)

Los exponentes racionales son otra forma de escribir expresiones con radicales. Cuando usamos exponentes racionales, podemos aplicar las propiedades de los exponentes para simplificar las expresiones.

La Propiedad de Poder para Exponentes dice que\((a^m)^n=a^{m·n}\) cuando m y n son números enteros. Supongamos que ahora no estamos limitados a números enteros.

Supongamos que queremos encontrar un número p tal que\((8^p)^3=8\). Utilizaremos la Propiedad de Poder de los Exponentes para encontrar el valor de p.

\[\begin{array}{cc} {}&{(8^p)^3=8}\\ {\text{Multiply the exponents on the left.}}&{8^{3p}=8}\\ {\text{Write the exponent 1 on the right.}}&{8^{3p}=8^1}\\ {\text{The exponents must be equal.}}&{3p=1}\\ {\text{Solve for p.}}&{p=\frac{1}{3}}\\ \nonumber \end{array}\]

Pero también lo sabemos\((\sqrt[3]{8})^3=8\). Entonces debe ser que\(8^{\frac{1}{3}}=\sqrt[3]{8}\)

Esta misma lógica se puede utilizar para cualquier exponente entero positivo n para mostrar eso\(a^{\frac{1}{n}}=\sqrt[n]{a}\).

Definición: EXPONENTE RATIONAL\(a^{\frac{1}{n}}\)

Si\(\sqrt[n]{a}\) es un número real y\(n \ge 2\),\(a^{\frac{1}{n}}=\sqrt[n]{a}\).

Habrá momentos en los que trabajar con expresiones será más fácil si usas exponentes racionales y momentos en los que será más fácil si usas radicales. En los primeros ejemplos, practicarás la conversión de expresiones entre estas dos notaciones.

Ejemplo\(\PageIndex{1}\)

Escribe como una expresión radical:

1. \(x^{\frac{1}{2}}\)
2. \(y^{\frac{1}{3}}\)
3. \(z^{\frac{1}{4}}\).

Responder

Queremos escribir cada expresión en la forma\(\sqrt[n]{a}\).

1.	\(x^{\frac{1}{2}}\)
El denominador del exponente es 2, por lo que el índice del radical es 2. No mostramos el índice cuando es 2.	\(\sqrt{x}\)
2.	\(y^{\frac{1}{3}}\)
El denominador del exponente es 3, por lo que el índice es 3.	\(\sqrt[3]{y}\)
3.	\(z^\frac{1}{4}}\)
El denominador del exponente es 4, por lo que el índice es 4.	\(\sqrt[4]{z}\)

Ejemplo\(\PageIndex{2}\)

Escribe como una expresión radical:

1. \(t^{\frac{1}{2}}\)
2. \(m^{\frac{1}{3}}\)
3. \(r^{\frac{1}{4}}\).

Responder

1. \(\sqrt{t}\)
2. \(\sqrt[3]{m}\)
3. \(\sqrt[4]{r}\)

Ejemplo\(\PageIndex{3}\)

Escribe como una expresión radical:

1. \(b^{\frac{1}{2}}\)
2. \(z^{\frac{1}{3}}\)
3. \(p^{\frac{1}{4}}\).

Responder

1. \(\sqrt{b}\)
2. \(\sqrt[3]{z}\)
3. \(\sqrt[4]{p}\)

Ejemplo\(\PageIndex{4}\)

Escribe con un exponente racional:

1. \(\sqrt{x}\)
2. \(\sqrt[3]{y}\)
3. \(\sqrt[4]{z}\).

Responder

Queremos escribir cada radical en la forma\(a^{\frac{1}{n}}\).

1.	\(\sqrt{x}\)
No se muestra ningún índice, por lo que es 2. El denominador del exponente será 2.	\(x^{\frac{1}{2}}\)
2.	\(\sqrt[3]{y}\)
El índice es 3, por lo que el denominador del exponente es 3.	\(y^{\frac{1}{3}}\)
3.	\(\sqrt[4]{z}\)
El índice es 4, por lo que el denominador del exponente es 4.	\(z^{\frac{1}{4}}\)

Ejemplo\(\PageIndex{5}\)

Escribe con un exponente racional:

1. \(\sqrt{s}\)
2. \(\sqrt[3]{x}\)
3. \(\sqrt[4]{b}\).

Responder

1. \(s^{\frac{1}{2}}\)
2. \(x^{\frac{1}{3}}\)
3. \ (b^ {\ frac {1} {4}}\

Ejemplo\(\PageIndex{6}\)

Escribe con un exponente racional:

1. \(\sqrt{v}\)
2. \(\sqrt[3]{p}\)
3. \(\sqrt[4]{p}\).

Responder

1. \(v^{\frac{1}{2}}\)
2. \(p^{\frac{1}{3}}\)
3. \(p^{\frac{1}{4}}\)

Ejemplo\(\PageIndex{7}\)

Escribe con un exponente racional:

1. \(\sqrt{5y}\)
2. \(\sqrt[3]{4x}\)
3. \(3\sqrt[4]{5z}\).

Responder

1.	\(\sqrt{5y}\)
No se muestra ningún índice, por lo que es 2. El denominador del exponente será 2.	\((5y)^{\frac{1}{2}}\)
2.	\(\sqrt[3]{4x}\)
El índice es 3, por lo que el denominador del exponente es 3.	\((4x)^{\frac{1}{3}}\)
3.	\(3\sqrt[4]{5z}\)
El índice es 4, por lo que el denominador del exponente es 4.	\(3(5z)^{\frac{1}{4}}\)

Ejemplo\(\PageIndex{8}\)

Escribe con un exponente racional:

1. \(\sqrt{10m}\)
2. \(\sqrt[5]{3n}\)
3. \(3\sqrt[4]{6y}\).

Responder

1. \((10^m)^{\frac{1}{2}}\)
2. \((3n)^{\frac{1}{5}}\)
3. \((486y)^{\frac{1}{4}}\)

Ejemplo\(\PageIndex{9}\)

Escribe con un exponente racional:

1. \(\sqrt[7]{3k}\)
2. \(\sqrt[4]{5j}\)
3. \(\sqrt[3]{82a}\).

Responder

1. \((3k)^{\frac{1}{7}}\)
2. \((5j)^{\frac{1}{4}}\)
3. \((1024a)^{\frac{1}{3}}\)

En el siguiente ejemplo, puede resultarle más fácil simplificar las expresiones si las reescribe primero como radicales.

Ejemplo\(\PageIndex{10}\)

Simplificar:

1. \(25^{\frac{1}{2}}\)
2. \(64^{\frac{1}{3}}\)
3. \(256^{\frac{1}{4}}\).

Responder

1.	\(25^{\frac{1}{2}}\)
Reescribir como una raíz cuadrada.	\(\sqrt{25}\)
Simplificar.	5
2.	\(64^{\frac{1}{3}}\)
Reescribir como una raíz cubo.	\(\sqrt[3]{64}\)
Reconocer 64 es un cubo perfecto.	\(\sqrt[3]{4^3}\)
Simplificar.	4
3.	\(256^{\frac{1}{4}}\)
Reescribir como una cuarta raíz.	\(\sqrt[4]{256}\)
Reconocer 256 es una cuarta potencia perfecta.	\(\sqrt[4]{4^4}\)
Simplificar.	4

Ejemplo\(\PageIndex{11}\)

Simplificar:

1. \(36^{\frac{1}{2}}\)
2. \(8^{\frac{1}{3}}\)
3. \(16^{\frac{1}{4}}\).

Responder

1. 6
2. 2
3. 2

Ejemplo\(\PageIndex{12}\)

Simplificar:

1. \(100^{\frac{1}{2}}\)
2. \(27^{\frac{1}{3}}\)
3. \(81^{\frac{1}{4}}\).

Responder

1. 10
2. 3
3. 3

Tenga cuidado con la colocación de los signos negativos en el siguiente ejemplo. Tendremos que usar la propiedad\(a^{−n}=\frac{1}{a^n}\) en un solo caso.

Ejemplo\(\PageIndex{13}\)

Simplificar:

1. \((−64)^{\frac{1}{3}}\)
2. \(−64^{\frac{1}{3}}\)
3. \((64)^{−\frac{1}{3}}\).

Responder

1.	\((−64)^{\frac{1}{3}}\)
Reescribir como una raíz cubo.	\(\sqrt[3]{−64}\)
Reescribe−64 como un cubo perfecto.	\(\sqrt[3]{(−4)^3}\)
Simplificar.	−4
2.	\(−64^{\frac{1}{3}}\)
El exponente aplica sólo a los 64.	\(−(64^{\frac{1}{3}})\)
Reescribir como una raíz cubo.	\(−\sqrt[3]{64}\)
Reescribir 64 como\(4^3\).	\(−\sqrt[3]{4^3}\)
Simplificar.	−4
3.	\((64)^{−\frac{1}{3}}\)
Reescribir como una fracción con un exponente positivo, usando la propiedad,\(a^{−n}=\frac{1}{a^n}\). Escribir como una raíz cubo.	\(\frac{1}{\sqrt[3]{64}}\)
Reescribir 64 como\(4^3\).	\(\frac{1}{\sqrt[3]{4^3}}\)
Simplificar.	\(\frac{1}{4}\)

Ejemplo\(\PageIndex{14}\)

Simplificar:

1. \((−125)^{\frac{1}{3}}\)
2. \(−125^{\frac{1}{3}}\)
3. \((125)^{−\frac{1}{3}}\).

Responder

1. −5
2. −5
3. \(\frac{1}{5}\)

Ejemplo\(\PageIndex{15}\)

Simplificar:

1. \((−32)^{\frac{1}{5}}\)
2. \(−32^{\frac{1}{5}}\)
3. \((32)^{−\frac{1}{5}}\).

Responder

1. −2
2. −2
3. \(\frac{1}{2}\)

Ejemplo\(\PageIndex{16}\)

Simplificar:

1. \((−16)^{\frac{1}{4}}\)
2. \(−16^{\frac{1}{4}}\)
3. \((16)^{−\frac{1}{4}}\).

Responder

1.	\((−16)^{\frac{1}{4}}\)
Reescribir como una cuarta raíz.	\(\sqrt[4]{−16}\)
No hay un número real cuya cuarta potencia sea −16.
2.	\(−16^{\frac{1}{4}}\)
El exponente aplica sólo a los 16.	\(−(16^{\frac{1}{4}})\)
Reescribir como una cuarta raíz.	\(−\sqrt[4]{16}\)
Reescribir 16 como\(2^4\)	\(−\sqrt[4]{2^4}\)
Simplificar.	−2
3.	\((16)^{−\frac{1}{4}}\)
Reescribir como una fracción con un exponente positivo, usando la propiedad,\(a^{−n}=\frac{1}{a^n}\).	\(\frac{1}{(16)^{\frac{1}{4}}}\)
Reescribir como una cuarta raíz.	\(\frac{1}{\sqrt[4]{16}}\)
Reescribir 16 como\(2^4\).	\(\frac{1}{\sqrt[4]{2^4}}\)
Simplificar.	\(\frac{1}{2}\)

Ejemplo\(\PageIndex{17}\)

Simplificar:

1. \((−64)^{\frac{1}{2}}\)
2. \(−64^{\frac{1}{2}}\)
3. \((64)^{−\frac{1}{2}}\).

Responder

1. −8
2. −8
3. \(\frac{1}{8}\)

Ejemplo\(\PageIndex{18}\)

Simplificar:

1. \((−256)^{\frac{1}{4}}\)
2. \(−256^{\frac{1}{4}}\)
3. \((256)^{−\frac{1}{4}}\).

Responder

1. −4
2. −4
3. \(\frac{1}{4}\)

Simplifique expresiones con\(a^{\frac{m}{n}}\)

Trabajemos un poco más con la Propiedad de Potencia para Exponentes.

Supongamos que elevamos\(a^{\frac{1}{n}}\) al poder m.

\[\begin{array}{ll} {}&{(a^{\frac{1}{n}})^m}\\ {\text{Multiply the exponents.}}&{a^{\frac{1}{n}·m}}\\ {\text{Simplify.}}&{a^{\frac{m}{n}}}\\ {\text{So} a^{\frac{m}{n}}=(\sqrt[n]{a})^m \text{also.}}&{}\\ \nonumber \end{array}\]

Ahora supongamos que llevamos\(a^m\) al\(\frac{1}{n}\) poder.

\[\begin{array}{ll} {}&{(a^m)^{\frac{1}{n}}}\\ {\text{Multiply the exponents.}}&{a^{m·\frac{1}{n}}}\\ {\text{Simplify.}}&{a^{\frac{m}{n}}}\\ {\text{So} a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m} \text{also.}}&{}\\ \nonumber \end{array}\]

¿Qué forma utilizamos para simplificar una expresión? Por lo general, primero echamos la raíz, de esa manera mantenemos los números en el radical más pequeños.

Definición: EXPONENTE RATIONAL\(a^{\frac{m}{n}}\)

Para cualquier número entero positivo m y n,

\(a^{\frac{m}{n}}=(\sqrt[n]{a})^m\)

\(a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m}\)

Ejemplo\(\PageIndex{19}\)

Escribe con un exponente racional:

1. \(\sqrt{y^3}\)
2. \(\sqrt[3]{x^2}\)
3. \(\sqrt[4]{z^3}\)

Responder

Queremos usar para\(a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m}\) escribir cada radical en la forma\(a^{\frac{m}{n}}\).

1. 
2. 
3. 

Ejemplo\(\PageIndex{20}\)

Escribe con un exponente racional:

1. \(\sqrt{x^5}\)
2. \(\sqrt[4]{z^3}\)
3. \(\sqrt[5]{y^2}\).

Responder

1. \(x^{\frac{5}{2}}\)
2. \(z^{\frac{3}{4}}\)
3. \(y^{\frac{2}{5}}\)

Ejemplo\(\PageIndex{21}\)

Escribe con un exponente racional:

1. \(\sqrt[5]{a^2}\)
2. \(\sqrt[3]{b^7}\)
3. \(\sqrt[4]{m^5}\).

Responder

1. \(a^{\frac{2}{5}}\)
2. \(b^{\frac{7}{3}}\)
3. \(m^{\frac{5}{4}}\)

Ejemplo\(\PageIndex{22}\)

Simplificar:

1. \(9^{\frac{3}{2}}\)
2. \(125^{\frac{2}{3}}\)
3. \(81^{\frac{3}{4}}\).

Responder

Vamos a reescribir cada expresión como un radical primero usando la propiedad,\(a^{\frac{m}{n}}=(\sqrt[n]{a})^m\). Esta forma nos permite tomar la raíz primero y así mantenemos los números en el radical más pequeños que si usáramos la otra forma.

1.	\(9^{\frac{3}{2}}\)
El poder del radical es el numerador del exponente, 3. Dado que el denominador del exponente es 2, esta es una raíz cuadrada.	\((\sqrt{9})^3\)
Simplificar.	\(3^3\)
	27
2.	\(125^{\frac{2}{3}}\)
El poder del radical es el numerador del exponente, 2. Dado que el denominador del exponente es 3, esta es una raíz cuadrada.	\((\sqrt[3]{125})^2\)
Simplificar.	\(5^2\)
	25
3.	\(81^{\frac{3}{4}}\)
El poder del radical es el numerador del exponente, 2. Dado que el denominador del exponente es 3, esta es una raíz cuadrada.	\((\sqrt[4]{81})^3\)
Simplificar.	\(3^3\)
	27

Ejemplo\(\PageIndex{23}\)

Simplificar:

1. \(4^{\frac{3}{2}}\)
2. \(27^{\frac{2}{3}}\)
3. \(625^{\frac{3}{4}}\).

Responder

1. 8
2. 9
3. 125

Ejemplo\(\PageIndex{24}\)

Simplificar:

1. \(8^{\frac{5}{3}}\)
2. \(81^{\frac{3}{2}}\)
3. \(16^{\frac{3}{4}}\).

Responder

1. 32
2. 729
3. 8

Recuerda eso\(b^{−p}=\frac{1}{b^p}\). El signo negativo en el exponente no cambia el signo de la expresión.

Ejemplo\(\PageIndex{25}\)

Simplificar:

1. \(16^{−\frac{3}{2}}\)
2. \(32^{−\frac{2}{5}}\)
3. \(4^{−\frac{5}{2}}\)

Responder

Primero reescribiremos cada expresión usando\(b^{−p}=\frac{1}{b^p}\) y luego cambiaremos a forma radical.

1.	\(16^{−\frac{3}{2}}\)
Reescribir usando\(b^{−p}=\frac{1}{b^p}\).	\(\frac{1}{16^{\frac{3}{2}}}\)
Cambio a forma radical. El poder del radical es el numerador del exponente, 3. El índice es el denominador del exponente, 2.	\(\frac{1}{(\sqrt{16})^3}\)
Simplificar.	\(\frac{1}{4^3}\)
	\(\frac{1}{64}\)
2.	\(32^{−\frac{2}{5}}\)
Reescribir usando\(b^{−p}=\frac{1}{b^p}\).	\(\frac{1}{32^{\frac{2}{5}}}\)
Cambio a forma radical.	\(\frac{1}{(\sqrt[5]{32})^2}\)
Reescribir el radicando como un poder.	\(\frac{1}{(\sqrt[5]{2^5})^2}\)
Simplificar.	\(\frac{1}{2^2}\)
	\(\frac{1}{4}\)
3.	\(4^{−\frac{5}{2}}\)
Reescribir usando\(b^{−p}=\frac{1}{b^p}\).	\(\frac{1}{4^{\frac{5}{2}}}\)
Cambio a forma radical.	\(\frac{1}{(\sqrt{4})^5}\)
Simplificar.	\(\frac{1}{2^5}\)
	\(\frac{1}{32}\)

Ejemplo\(\PageIndex{26}\)

Simplificar:

1. \(8^{−\frac{5}{3}}\)8
2. \(81^{−\frac{3}{2}}\)
3. \(16^{−\frac{3}{4}}\).

Responder

1. \(\frac{1}{32}\)
2. \(\frac{1}{729}\)
3. \(\frac{1}{8}\)

Ejemplo\(\PageIndex{27}\)

Simplificar:

1. \(4^{−\frac{3}{2}}\)
2. \(27^{−\frac{2}{3}}\)
3. \(625^{−\frac{3}{4}}\).

Responder

1. \(\frac{1}{8}\)
2. \(\frac{1}{9}\)
3. \(\frac{1}{125}\)

Ejemplo\(\PageIndex{28}\)

Simplificar:

1. \(−25^{\frac{3}{2}}\)
2. \(−25^{−\frac{3}{2}}\)
3. \((−25)^{\frac{3}{2}}\).

Responder

1.	\(−25^{\frac{3}{2}}\)
Reescribir en forma radical.	\(−(\sqrt{25})^3\)
Simplifica el radical	\(−5^3\)
Simplificar.	−125
2.	\(−25^{−\frac{3}{2}}\)
Reescribir usando\(b^{−p}=\frac{1}{b^p}\).	\(−(\frac{1}{25^{\frac{3}{2}}})\)
Reescribir en forma radical.	\(−(\frac{1}{(\sqrt{25})^3})\)
Simplifica lo radical.	\(−(\frac{1}{5^3})\)
Simplificar.	\(−\frac{1}{125}\)
3.	\((−25)^{\frac{3}{2}}\).
Reescribir en forma radical.	\((\sqrt{−25})^3\)
No hay un número real cuya raíz cuadrada sea −25.	No es un número real.

Ejemplo\(\PageIndex{29}\)

Simplificar:

1. \(−16^{\frac{3}{2}}\)
2. \(−16^{−\frac{3}{2}}\)
3. \((−16)^{−\frac{3}{2}}\).

Responder

1. −64
2. \(−\frac{1}{64}\)
3. no es un número real

Ejemplo\(\PageIndex{30}\)

Simplificar:

1. \(−81^{\frac{3}{2}}\)
2. \(−81^{−\frac{3}{2}}\)
3. \((−81)^{−\frac{3}{2}}\).

Responder

1. −729
2. \(−\frac{1}{729}\)
3. no es un número real

Utilice las leyes de los exponentes para simplificar expresiones con exponentes racionales

Las mismas leyes de exponentes que ya usamos se aplican a los exponentes racionales, también. Vamos a enumerar las Propiedades de Exponente aquí para tenerlas como referencia a medida que simplificamos las expresiones.

RESUMEN PROPIEDADES EXPONENTES

Si a, b son números reales y m, n son números racionales, entonces

\[\begin{array}{ll} {\textbf{Product Property}}&{a^m·a^n=a^{m+n}}\\ {\textbf{Power Property}}&{(a^m)^n=a^{m·n}}\\ {\textbf{Product to a Power}}&{(ab)^m=a^{m}b^{m}}\\ {\textbf{Quotient Property}}&{\frac{a^m}{a^n}=a^{m−n} , a \ne 0, m>n}\\ {}&{\frac{a^m}{a^n}=\frac{1}{a^{n−m}}, a \ne 0, n>m}\\ {\textbf{Zero Exponent Definition}}&{a^0=1, a \ne 0}\\ {\textbf{Quotient to a Power Property}}&{(\frac{a}{b})^m=\frac{a^m}{b^m}, b \ne 0}\\ \nonumber \end{array}\]

Cuando multiplicamos la misma base, sumamos los exponentes.

Ejemplo\(\PageIndex{31}\)

Simplificar:

1. \(2^{\frac{1}{2}}·2^{\frac{5}{2}}\)
2. \(x^{\frac{2}{3}}·x^{\frac{4}{3}}\)
3. \(z^{\frac{3}{4}}·z^{\frac{5}{4}}\).

Responder

1.	\(2^{\frac{1}{2}}·2^{\frac{5}{2}}\)
Las bases son las mismas, por lo que sumamos los exponentes.	\(2^{\frac{1}{2}+\frac{5}{2}}\)
Añadir las fracciones.	\(2^{\frac{6}{2}}\)
Simplifica el exponente.	\(2^3\)
Simplificar.	8
2.	\(x^{\frac{2}{3}}·x^{\frac{4}{3}}\)
Las bases son las mismas, por lo que sumamos los exponentes.	\(x^{\frac{2}{3}+\frac{4}{3}}\)
Añadir las fracciones.	\(x^{\frac{6}{3}}\)
Simplificar.	\(x^2\)
3.	\(z^{\frac{3}{4}}·z^{\frac{5}{4}}\)
Las bases son las mismas, por lo que sumamos los exponentes.	\(z^{\frac{3}{4}+\frac{5}{4}}\)
Añadir las fracciones.	\(z^{\frac{8}{4}}\)
Simplificar.	\(z^2\)

Ejemplo\(\PageIndex{32}\)

Simplificar:

1. \(3^{\frac{2}{3}}·3^{\frac{4}{3}}\)
2. \(y^{\frac{1}{3}}·y^{\frac{8}{3}}\)
3. \(m^{\frac{1}{4}}·m^{\frac{3}{4}}\).

Responder

1. 9
2. \(y^3\)
3. m

Ejemplo\(\PageIndex{33}\)

Simplificar:

1. \(5^{\frac{3}{5}}·5^{\frac{7}{5}}\)
2. \(z^{\frac{1}{8}}·z^{\frac{7}{8}}\)
3. \(n^{\frac{2}{7}}·n^{\frac{5}{7}}\).

Responder

1. 25
2. z
3. n

Usaremos la propiedad Power en el siguiente ejemplo.

Ejemplo\(\PageIndex{34}\)

Simplificar:

1. \((x^4)^{\frac{1}{2}}\)
2. \((y^6)^{\frac{1}{3}}\)
3. \((z^9)^{\frac{2}{3}}\).

Responder

1.	\((x^4)^{\frac{1}{2}}\)
Para elevar una potencia a una potencia, multiplicamos los exponentes.	\(x^{4·\frac{1}{2}}\)
Simplificar.	\(x^2\)
2.	\((y^6)^{\frac{1}{3}}\)
Para elevar una potencia a una potencia, multiplicamos los exponentes.	\(y^{6·\frac{1}{3}}\)
Simplificar.	\(y^2\)
3.	\((z^9)^{\frac{2}{3}}\)
Para elevar una potencia a una potencia, multiplicamos los exponentes.	\(z^{9·\frac{2}{3}}\)
Simplificar.	\(z^6\)

Ejemplo\(\PageIndex{35}\)

Simplificar:

1. \((p^{10})^{\frac{1}{5}}\)
2. \((q^8)^{\frac{3}{4}}\)
3. \((x^6)^{\frac{4}{3}}\)

Responder

1. \(p^\)
2. \(q^6\)
3. \(x^8\)

Ejemplo\(\PageIndex{36}\)

Simplificar:

1. \((r^6)^{\frac{5}{3}}\)
2. \((s^{12})^{\frac{3}{4}}\)
3. \((m^9)^{\frac{2}{9}}\)

Responder

1. \(r^{10}\)
2. \(s^9\)
3. \(m^2\)

La Propiedad Cociente nos dice que cuando dividimos con la misma base, restamos los exponentes.

Ejemplo\(\PageIndex{37}\)

Simplificar:

1. \(\frac{x^{\frac{4}{3}}}{x^{\frac{1}{3}}}\)
2. \(\frac{y^{\frac{3}{4}}}{y^{\frac{1}{4}}}\)
3. \(\frac{z^{\frac{2}{3}}}{z^{\frac{5}{3}}}\).

Responder

1.	\(\frac{x^{\frac{4}{3}}}{x^{\frac{1}{3}}}\)
Para dividir con la misma base, restamos los exponentes.	\(x^{\frac{4}{3}−\frac{1}{3}}\)
Simplificar.	x
2.	\(\frac{y^{\frac{3}{4}}}{y^{\frac{1}{4}}}\)
Para dividir con la misma base, restamos los exponentes.	\(y^{\frac{3}{4}−\frac{1}{4}}\)
Simplificar.	\(y^{\frac{1}{2}}\)
3.	\(\frac{z^{\frac{2}{3}}}{z^{\frac{5}{3}}}\)
Para dividir con la misma base, restamos los exponentes.	\(z^{\frac{2}{3}−\frac{5}{3}}\)
Reescribir sin exponente negativo.	\(\frac{1}{z}\)

Ejemplo\(\PageIndex{38}\)

Simplificar:

1. \(\frac{u^{\frac{5}{4}}}{u^{\frac{1}{4}}}\)
2. \(\frac{v^{\frac{3}{5}}}{v^{\frac{2}{5}}}\)
3. \(\frac{x^{\frac{2}{3}}}{x^{\frac{5}{3}}}\).

Responder

1. u
2. \(v^{\frac{1}{5}}\)
3. \(\frac{1}{x}\)

Ejemplo\(\PageIndex{39}\)

Simplificar:

1. \(\frac{c^{\frac{12}{5}}}{c^{\frac{2}{5}}}\)
2. \(\frac{m^{\frac{5}{4}}}{m^{\frac{9}{4}}}\)
3. \(\frac{d^{\frac{1}{5}}}{d^{\frac{6}{5}}}\).

Responder

1. \(c^2\)
2. \(\frac{1}{m}\)
3. \(\frac{1}{d}\)

A veces necesitamos usar más de una propiedad. En los siguientes dos ejemplos, usaremos tanto el Producto a una Propiedad de Potencia como luego la Propiedad de Potencia.

Ejemplo\(\PageIndex{40}\)

Simplificar:

1. \((27u^{\frac{1}{2}})^{\frac{2}{3}}\)
2. \((8v^{\frac{1}{4}})^{\frac{2}{3}}\).

Responder

1.	\((27u^{\frac{1}{2}})^{\frac{2}{3}}\)
Primero usamos el Producto a una Propiedad de Potencia.	\((27)^{\frac{2}{3}}(u^{\frac{1}{2}})^{\frac{2}{3}}\)
Reescribe 27 como una potencia de 3.	\((3^3)^{\frac{2}{3}}(u^{\frac{1}{2}})^{\frac{2}{3}}\)
Para elevar una potencia a una potencia, multiplicamos los exponentes.	\((3^2)(u^{\frac{1}{3}})\)
Simplificar.	\(9u^{\frac{1}{3}}\)
2.	\((8v^{\frac{1}{4}})^{\frac{2}{3}}\).
Primero usamos el Producto a una Propiedad de Potencia.	\((8)^{\frac{2}{3}}(v^{\frac{1}{4}})^{\frac{2}{3}}\)
Reescribe 8 como una potencia de 2.	\((2^3)^{\frac{2}{3}}(v^{\frac{1}{4}})^{\frac{2}{3}}\)
Para elevar una potencia a una potencia, multiplicamos los exponentes.	\((2^2)(v^{\frac{1}{6}})\)
Simplificar.	\(4v^{\frac{1}{6}}\)

Ejemplo\(\PageIndex{41}\)

Simplificar:

1. \(32x^{\frac{1}{3}})^{\frac{3}{5}}\)
2. \((64y^{\frac{2}{3}})^{\frac{1}{3}}\).

Responder

1. \(8x^{\frac{1}{5}}\)
2. \(4y^{\frac{2}{9}}\)

Ejemplo\(\PageIndex{42}\)

Simplificar:

1. \((16m^{\frac{1}{3}})^{\frac{3}{2}}\)
2. \((81n^{\frac{2}{5}})^{\frac{3}{2}}\).

Responder

1. \(64m^{\frac{1}{2}}\)
2. \(729n^{\frac{3}{5}}\)

Ejemplo\(\PageIndex{43}\)

Simplificar:

1. \((m^{3}n^{9})^{\frac{1}{3}}\)
2. \((p^{4}q^{8})^{\frac{1}{4}}\).

Responder

1.	\((m^{3}n^{9})^{\frac{1}{3}}\)
Primero usamos el Producto a una Propiedad de Potencia.	\((m^{3})^{\frac{1}{3}}(n^{9})^{\frac{1}{3}}\)
Para elevar una potencia a una potencia, multiplicamos los exponentes.	\(mn^3\)
2.	\((p^{4}q^{8})^{\frac{1}{4}}\)
Primero usamos el Producto a una Propiedad de Potencia.	\((p^{4})^{\frac{1}{4}}(q^{8})^{\frac{1}{4}}\)
Para elevar una potencia a una potencia, multiplicamos los exponentes.	\(pq^2\)

Usaremos tanto las Propiedades del Producto como las Propiedades del Cociente en el siguiente ejemplo.

Ejercicio\(\PageIndex{44}\)

Simplificar:

1. \(\frac{x^{\frac{3}{4}}·x^{−\frac{1}{4}}}{x^{−\frac{6}{4}}}\)
2. \(\frac{y^{\frac{4}{3}}·y}{y^{−\frac{2}{3}}}\).

Responder

1.	\(\frac{x^{\frac{3}{4}}·x^{−\frac{1}{4}}}{x^{−\frac{6}{4}}}\)
Utilice la Propiedad del Producto en el numerador, agregue los exponentes.	\(\frac{x^{\frac{2}{4}}}{x^{−\frac{6}{4}}}\)
Usa la Propiedad Cociente, resta los exponentes.	\(x^{\frac{8}{4}}\)
Simplificar.	\(x^2\)
2.	\(\frac{y^{\frac{4}{3}}·y}{y^{−\frac{2}{3}}}\)
Utilice la Propiedad del Producto en el numerador, agregue los exponentes.	\(\frac{y^{\frac{7}{3}}}{y^{−\frac{2}{3}}}\)
Usa la Propiedad Cociente, resta los exponentes.	\(y^{\frac{9}{3}}\)
Simplificar.	\(y^3\)

Ejemplo\(\PageIndex{45}\)

Simplificar:

1. \(\frac{m^{\frac{2}{3}}·m^{−\frac{1}{3}}}{m^{−\frac{5}{3}}}\)
2. \(\frac{n^{\frac{1}{6}}·n}{n^{−\frac{11}{6}}}\).

Responder

1. \(m^2\)
2. \(n^3\)

Ejemplo\(\PageIndex{46}\)

Simplificar:

1. \(\frac{u^{\frac{4}{5}}·u^{−\frac{2}{5}}}{u^{−\frac{13}{5}}}\)
2. \(\frac{v^{\frac{1}{2}}·v}{v^{−\frac{7}{2}}}\).

Responder

1. \(u^3\)
2. \(v^5\)

Conceptos clave

• Resumen de Exponent Properties
• Si a, b son números reales y m, n son números racionales, entonces
  • Propiedad del producto\(a^m·a^n=a^{m+n}\)
  • Propiedad Power\((a^m)^n=a^{m·n}\)
  • Producto a una potencia\((ab)^m=a^{m}b^{m}\)
  • Propiedad del cociente:

    \(\frac{a^m}{a^n}=a^{m−n} , a \ne 0, m>n\)

    \(\frac{a^m}{a^n}=\frac{1}{a^{n−m}}, a \ne 0, n>m\)

  • Definición de exponente cero\(a^0=1, a \ne 0\)
  • Cociente a una propiedad de energía\((\frac{a}{b})^m=\frac{a^m}{b^m}, b \ne 0\)

Glosario

exponentes racionales

• Si\(\sqrt[n]{a}\) es un número real y\(n \ge 2\),\(a^{\frac{1}{n}}=\sqrt[n]{a}\)
• Para cualquier número entero positivo m y n,\(a^{\frac{m}{n}}=(\sqrt[n]{a})^m\) y\(a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m}\)