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# 5.4: Ejercicios

$$\newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} }$$

$$\newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}}$$

$$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$$ $$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$

( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) $$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$$

$$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$$ $$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$$

$$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$$ $$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$$

$$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$$

$$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$

$$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$$

$$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$

$$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$$

$$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$$

$$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$$

$$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$$

$$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$$

$$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$$

$$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$$

$$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$ $$\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}$$

$$\newcommand{\vectorA}[1]{\vec{#1}} % arrow$$

$$\newcommand{\vectorAt}[1]{\vec{\text{#1}}} % arrow$$

$$\newcommand{\vectorB}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} }$$

$$\newcommand{\vectorC}[1]{\textbf{#1}}$$

$$\newcommand{\vectorD}[1]{\overrightarrow{#1}}$$

$$\newcommand{\vectorDt}[1]{\overrightarrow{\text{#1}}}$$

$$\newcommand{\vectE}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash{\mathbf {#1}}}}$$

$$\newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} }$$

$$\newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}}$$

## 1

Escribe las siguientes permutaciones en notación de ciclo.

1. $\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 2 & 4 & 1 & 5 & 3 \end{pmatrix} \nonumber$
2. $\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 4 & 2 & 5 & 1 & 3 \end{pmatrix} \nonumber$
3. $\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 3 & 5 & 1 & 4 & 2 \end{pmatrix} \nonumber$
4. $\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 1 & 4 & 3 & 2 & 5 \end{pmatrix} \nonumber$

## 2

Calcular cada uno de los siguientes.

1. $$\displaystyle (1345)(234)$$
2. $$\displaystyle (12)(1253)$$
3. $$\displaystyle (143)(23)(24)$$
4. $$\displaystyle (1423)(34)(56)(1324)$$
5. $$\displaystyle (1254)(13)(25)$$
6. $$\displaystyle (1254) (13)(25)^2$$
7. $$\displaystyle (1254)^{-1} (123)(45) (1254)$$
8. $$\displaystyle (1254)^2 (123)(45)$$
9. $$\displaystyle (123)(45) (1254)^{-2}$$
10. $$\displaystyle (1254)^{100}$$
11. $$\displaystyle |(1254)|$$
12. $$\displaystyle |(1254)^2|$$
13. $$\displaystyle (12)^{-1}$$
14. $$\displaystyle (12537)^{-1}$$
15. $$\displaystyle [(12)(34)(12)(47)]^{-1}$$
16. $$\displaystyle [(1235)(467)]^{-1}$$

## 3

Expresar las siguientes permutaciones como productos de transposiciones e identificarlas como pares o impares.

1. $$\displaystyle (14356)$$
2. $$\displaystyle (156)(234)$$
3. $$\displaystyle (1426)(142)$$
4. $$\displaystyle (17254)(1423)(154632)$$
5. $$\displaystyle (142637)$$

## 4

Encuentra$$(a_1, a_2, \ldots, a_n)^{-1}\text{.}$$

## 5

Enumere todos los subgrupos de$$S_4\text{.}$$ Encuentra cada uno de los siguientes conjuntos:

1. $$\displaystyle \{ \sigma \in S_4 : \sigma(1) = 3 \}$$
2. $$\displaystyle \{ \sigma \in S_4 : \sigma(2) = 2 \}$$
3. $$\{ \sigma \in S_4 : \sigma(1) = 3$$y$$\sigma(2) = 2 \}\text{.}$$

¿Alguno de estos conjuntos son subgrupos de$$S_4\text{?}$$

## 6

Encuentra todos los subgrupos en$$A_4\text{.}$$ ¿Cuál es el orden de cada subgrupo?

## 7

Encuentra todos los pedidos posibles de elementos en$$S_7$$ y$$A_7\text{.}$$

## 8

Mostrar que$$A_{10}$$ contiene un elemento de orden$$15\text{.}$$

## 9

$$A_8$$Contiene un elemento de orden$$26\text{?}$$

## 10

Encuentra un elemento de mayor orden en$$S_n$$ for$$n = 3, \ldots, 10\text{.}$$

## 11

¿Cuáles son las posibles estructuras cíclicas de los elementos de$$A_5\text{?}$$ What about$$A_6\text{?}$$

## 12

Dejar$$\sigma \in S_n$$ tener orden$$n\text{.}$$ Mostrar eso para todos los enteros$$i$$ y$$j\text{,}$$$$\sigma^i = \sigma^j$$ si y solo si$$i \equiv j \pmod{n}\text{.}$$

## 13

Dejar$$\sigma = \sigma_1 \cdots \sigma_m \in S_n$$ ser producto de ciclos disjuntos. Demostrar que el orden de$$\sigma$$ es el múltiplo menos común de las longitudes de los ciclos$$\sigma_1, \ldots, \sigma_m\text{.}$$

## 14

Usando la notación de ciclo, enumere los elementos en$$D_5\text{.}$$ What are$$r$$ y$$s\text{?}$$ Write every element as a product of$$r$$ and$$s\text{.}$$

## 15

Si las diagonales de un cubo están etiquetadas como Figura$$5.28$$, ¿a qué movimiento del cubo$$(12)(34)$$ corresponde la permutación? ¿Y las otras permutaciones de las diagonales?

## 16

Encuentra el grupo de movimientos rígidos de un tetraedro. Demostrar que este es el mismo grupo que$$A_4\text{.}$$

## 17

Demostrar que no$$S_n$$ es abeliano para$$n \geq 3\text{.}$$

## 18

Demostrar que no$$A_n$$ es abeliano para$$n \geq 4\text{.}$$

## 19

Demostrar que no$$D_n$$ es abeliano para$$n \geq 3\text{.}$$

## 20

Que$$\sigma \in S_n$$ sea un ciclo. $$\sigma$$Demostrar que se puede escribir como producto de como máximo$$n-1$$ transposiciones.

## 21

Vamos$$\sigma \in S_n\text{.}$$ Si no$$\sigma$$ es un ciclo, demuestre que se$$\sigma$$ puede escribir como producto de a lo sumo$$n - 2$$ las transposiciones.

## 22

Si se$$\sigma$$ puede expresar como un número impar de transposiciones, mostrar que cualquier otro producto de transposiciones igualadas también$$\sigma$$ debe ser impar.

## 23

Si$$\sigma$$ es un ciclo de longitud impar, probar que también$$\sigma^2$$ es un ciclo.

## 24

Demostrar que un$$3$$ ciclo es una permutación par.

## 25

Demostrar que$$A_n$$ con$$n \geq 3\text{,}$$ cualquier permutación es producto de ciclos de longitud$$3\text{.}$$

## 26

Demostrar que cualquier elemento en$$S_n$$ puede ser escrito como un producto finito de las siguientes permutaciones.

1. $$\displaystyle (1 2), (13), \ldots, (1n)$$
2. $$\displaystyle (1 2), (23), \ldots, (n- 1,n)$$
3. $$\displaystyle (12), (1 2 \ldots n )$$

## 27

$$G$$Sea un grupo y defina un mapa$$\lambda_g : G \rightarrow G$$ por$$\lambda_g(a) = g a\text{.}$$ Demostrar que$$\lambda_g$$ es una permutación de$$G\text{.}$$

## 28

Demostrar que existen$$n!$$ permutaciones de un conjunto que contiene$$n$$ elementos.

## 29

Recordemos que el centro de un grupo$$G$$ es

$Z(G) = \{ g \in G : gx = xg \text{ for all } x \in G \}\text{.} \nonumber$

Encuentra el centro de$$D_8\text{.}$$ ¿Qué pasa con el centro de$$D_{10}\text{?}$$ Cuál es el centro de$$D_n\text{?}$$

## 30

Dejar$$\tau = (a_1, a_2, \ldots, a_k)$$ ser un ciclo de duración$$k\text{.}$$

1. Demostrar que si$$\sigma$$ hay alguna permutación, entonces

$\sigma \tau \sigma^{-1 } = ( \sigma(a_1), \sigma(a_2), \ldots, \sigma(a_k)) \nonumber$

es un ciclo de duración$$k\text{.}$$

2. Que$$\mu$$ sea un ciclo de duración$$k\text{.}$$ Demostrar que hay una permutación$$\sigma$$ tal que$$\sigma \tau \sigma^{-1 } = \mu\text{.}$$

## 31

Para$$\alpha$$ y$$\beta$$ en$$S_n\text{,}$$ definir$$\alpha \sim \beta$$ si existe$$\sigma \in S_n$$ tal que$$\sigma \alpha \sigma^{-1} = \beta\text{.}$$ Mostrar que$$\sim$$ es una relación de equivalencia en$$S_n\text{.}$$

## 32

Que$$\sigma \in S_X\text{.}$$ si$$\sigma^n(x) = y$$ para algunos$$n \in \mathbb Z\text{,}$$ diremos que$$x \sim y\text{.}$$

1. Demostrar que$$\sim$$ es una relación de equivalencia en$$X\text{.}$$
2. Definir la órbita de$$x \in X$$ bajo$$\sigma \in S_X$$ para ser el conjunto

${\mathcal O}_{x, \sigma} = \{ y : x \sim y \}\text{.} \nonumber$

Calcular las órbitas de cada elemento en$$\{1, 2, 3, 4, 5\}$$ debajo de cada uno de los siguientes elementos en$$S_5\text{:}$$

\ begin {alinear*}\ alfa & = (1254)\\\ beta & = (123) (45)\\\ gamma & = (13) (25)\ text {.} \ end {alinear*}

3. Si$${\mathcal O}_{x, \sigma} \cap {\mathcal O}_{y, \sigma} \neq \emptyset\text{,}$$ prueba que$${\mathcal O}_{x, \sigma} = {\mathcal O}_{y, \sigma}\text{.}$$ Las órbitas bajo una permutación$$\sigma$$ son las clases de equivalencia correspondientes a la relación de equivalencia$$\sim\text{.}$$
4. Un subgrupo$$H$$ de$$S_X$$ es transitivo si por cada$$x, y \in X\text{,}$$ existe un$$\sigma \in H$$ tal que$$\sigma(x) = y\text{.}$$ Demostrar que$$\langle \sigma \rangle$$ es transitivo si y solo si$${\mathcal O}_{x, \sigma} = X$$ para algunos$$x \in X\text{.}$$

## 33

Que$$\alpha \in S_n$$ para$$n \geq 3\text{.}$$ Si$$\alpha \beta = \beta \alpha$$ para todos$$\beta \in S_n\text{,}$$ prueben que$$\alpha$$ debe ser la permutación de identidad; de ahí, el centro de$$S_n$$ es el subgrupo trivial.

## 34

Si$$\alpha$$ es par, prueba que también$$\alpha^{-1}$$ es parejo. ¿Se mantiene un resultado correspondiente si$$\alpha$$ es impar?

## 35

Si$$\sigma \in A_n$$ y$$\tau \in S_n\text{,}$$ mostrar que$$\tau^{-1} \sigma \tau \in A_n\text{.}$$

## 36

Demostrar que$$\alpha^{-1} \beta^{-1} \alpha \beta$$ es parejo$$\alpha, \beta \in S_n\text{.}$$

## 37

Dejar$$r$$ y$$s$$ ser los elementos$$D_n$$ descritos en Teorema$$5.21$$

1. Demostrar que$$srs = r^{-1}\text{.}$$
2. $$r^k s = s r^{-k}$$Demuéstralo en$$D_n\text{.}$$
3. Demostrar que el orden de$$r^k \in D_n$$ es$$n / \gcd(k,n)\text{.}$$

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