5.4: Ejercicios

1

Escribe las siguientes permutaciones en notación de ciclo.

1. \[ \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 2 & 4 & 1 & 5 & 3 \end{pmatrix} \nonumber \]
2. \[ \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 4 & 2 & 5 & 1 & 3 \end{pmatrix} \nonumber \]
3. \[ \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 3 & 5 & 1 & 4 & 2 \end{pmatrix} \nonumber \]
4. \[ \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 1 & 4 & 3 & 2 & 5 \end{pmatrix} \nonumber \]

2

Calcular cada uno de los siguientes.

1. \(\displaystyle (1345)(234)\)
2. \(\displaystyle (12)(1253)\)
3. \(\displaystyle (143)(23)(24)\)
4. \(\displaystyle (1423)(34)(56)(1324)\)
5. \(\displaystyle (1254)(13)(25)\)
6. \(\displaystyle (1254) (13)(25)^2\)
7. \(\displaystyle (1254)^{-1} (123)(45) (1254)\)
8. \(\displaystyle (1254)^2 (123)(45)\)
9. \(\displaystyle (123)(45) (1254)^{-2}\)
10. \(\displaystyle (1254)^{100}\)
11. \(\displaystyle |(1254)|\)
12. \(\displaystyle |(1254)^2|\)
13. \(\displaystyle (12)^{-1}\)
14. \(\displaystyle (12537)^{-1}\)
15. \(\displaystyle [(12)(34)(12)(47)]^{-1}\)
16. \(\displaystyle [(1235)(467)]^{-1}\)

3

Expresar las siguientes permutaciones como productos de transposiciones e identificarlas como pares o impares.

1. \(\displaystyle (14356)\)
2. \(\displaystyle (156)(234)\)
3. \(\displaystyle (1426)(142)\)
4. \(\displaystyle (17254)(1423)(154632)\)
5. \(\displaystyle (142637)\)

4

Encuentra\((a_1, a_2, \ldots, a_n)^{-1}\text{.}\)

5

Enumere todos los subgrupos de\(S_4\text{.}\) Encuentra cada uno de los siguientes conjuntos:

1. \(\displaystyle \{ \sigma \in S_4 : \sigma(1) = 3 \}\)
2. \(\displaystyle \{ \sigma \in S_4 : \sigma(2) = 2 \}\)
3. \(\{ \sigma \in S_4 : \sigma(1) = 3\)y\(\sigma(2) = 2 \}\text{.}\)

¿Alguno de estos conjuntos son subgrupos de\(S_4\text{?}\)

6

Encuentra todos los subgrupos en\(A_4\text{.}\) ¿Cuál es el orden de cada subgrupo?

7

Encuentra todos los pedidos posibles de elementos en\(S_7\) y\(A_7\text{.}\)

8

Mostrar que\(A_{10}\) contiene un elemento de orden\(15\text{.}\)

9

\(A_8\)Contiene un elemento de orden\(26\text{?}\)

10

Encuentra un elemento de mayor orden en\(S_n\) for\(n = 3, \ldots, 10\text{.}\)

11

¿Cuáles son las posibles estructuras cíclicas de los elementos de\(A_5\text{?}\) What about\(A_6\text{?}\)

12

Dejar\(\sigma \in S_n\) tener orden\(n\text{.}\) Mostrar eso para todos los enteros\(i\) y\(j\text{,}\)\(\sigma^i = \sigma^j\) si y solo si\(i \equiv j \pmod{n}\text{.}\)

13

Dejar\(\sigma = \sigma_1 \cdots \sigma_m \in S_n\) ser producto de ciclos disjuntos. Demostrar que el orden de\(\sigma\) es el múltiplo menos común de las longitudes de los ciclos\(\sigma_1, \ldots, \sigma_m\text{.}\)

14

Usando la notación de ciclo, enumere los elementos en\(D_5\text{.}\) What are\(r\) y\(s\text{?}\) Write every element as a product of\(r\) and\(s\text{.}\)

15

Si las diagonales de un cubo están etiquetadas como Figura\(5.28\), ¿a qué movimiento del cubo\((12)(34)\) corresponde la permutación? ¿Y las otras permutaciones de las diagonales?

16

Encuentra el grupo de movimientos rígidos de un tetraedro. Demostrar que este es el mismo grupo que\(A_4\text{.}\)

17

Demostrar que no\(S_n\) es abeliano para\(n \geq 3\text{.}\)

18

Demostrar que no\(A_n\) es abeliano para\(n \geq 4\text{.}\)

19

Demostrar que no\(D_n\) es abeliano para\(n \geq 3\text{.}\)

20

Que\(\sigma \in S_n\) sea un ciclo. \(\sigma\)Demostrar que se puede escribir como producto de como máximo\(n-1\) transposiciones.

21

Vamos\(\sigma \in S_n\text{.}\) Si no\(\sigma\) es un ciclo, demuestre que se\(\sigma\) puede escribir como producto de a lo sumo\(n - 2\) las transposiciones.

22

Si se\(\sigma\) puede expresar como un número impar de transposiciones, mostrar que cualquier otro producto de transposiciones igualadas también\(\sigma\) debe ser impar.

23

Si\(\sigma\) es un ciclo de longitud impar, probar que también\(\sigma^2\) es un ciclo.

24

Demostrar que un\(3\) ciclo es una permutación par.

25

Demostrar que\(A_n\) con\(n \geq 3\text{,}\) cualquier permutación es producto de ciclos de longitud\(3\text{.}\)

26

Demostrar que cualquier elemento en\(S_n\) puede ser escrito como un producto finito de las siguientes permutaciones.

1. \(\displaystyle (1 2), (13), \ldots, (1n)\)
2. \(\displaystyle (1 2), (23), \ldots, (n- 1,n)\)
3. \(\displaystyle (12), (1 2 \ldots n )\)

27

\(G\)Sea un grupo y defina un mapa\(\lambda_g : G \rightarrow G\) por\(\lambda_g(a) = g a\text{.}\) Demostrar que\(\lambda_g\) es una permutación de\(G\text{.}\)

28

Demostrar que existen\(n!\) permutaciones de un conjunto que contiene\(n\) elementos.

29

Recordemos que el centro de un grupo\(G\) es

\[ Z(G) = \{ g \in G : gx = xg \text{ for all } x \in G \}\text{.} \nonumber \]

Encuentra el centro de\(D_8\text{.}\) ¿Qué pasa con el centro de\(D_{10}\text{?}\) Cuál es el centro de\(D_n\text{?}\)

30

Dejar\(\tau = (a_1, a_2, \ldots, a_k)\) ser un ciclo de duración\(k\text{.}\)

1. Demostrar que si\(\sigma\) hay alguna permutación, entonces

   \[ \sigma \tau \sigma^{-1 } = ( \sigma(a_1), \sigma(a_2), \ldots, \sigma(a_k)) \nonumber \]

   es un ciclo de duración\(k\text{.}\)

2. Que\(\mu\) sea un ciclo de duración\(k\text{.}\) Demostrar que hay una permutación\(\sigma\) tal que\(\sigma \tau \sigma^{-1 } = \mu\text{.}\)

31

Para\(\alpha\) y\(\beta\) en\(S_n\text{,}\) definir\(\alpha \sim \beta\) si existe\(\sigma \in S_n\) tal que\(\sigma \alpha \sigma^{-1} = \beta\text{.}\) Mostrar que\(\sim\) es una relación de equivalencia en\(S_n\text{.}\)

32

Que\(\sigma \in S_X\text{.}\) si\(\sigma^n(x) = y\) para algunos\(n \in \mathbb Z\text{,}\) diremos que\(x \sim y\text{.}\)

1. Demostrar que\(\sim\) es una relación de equivalencia en\(X\text{.}\)
2. Definir la órbita de\(x \in X\) bajo\(\sigma \in S_X\) para ser el conjunto

   \[ {\mathcal O}_{x, \sigma} = \{ y : x \sim y \}\text{.} \nonumber \]

   Calcular las órbitas de cada elemento en\(\{1, 2, 3, 4, 5\}\) debajo de cada uno de los siguientes elementos en\(S_5\text{:}\)

   \ begin {alinear*}\ alfa & = (1254)\\\ beta & = (123) (45)\\\ gamma & = (13) (25)\ text {.} \ end {alinear*}

3. Si\({\mathcal O}_{x, \sigma} \cap {\mathcal O}_{y, \sigma} \neq \emptyset\text{,}\) prueba que\({\mathcal O}_{x, \sigma} = {\mathcal O}_{y, \sigma}\text{.}\) Las órbitas bajo una permutación\(\sigma\) son las clases de equivalencia correspondientes a la relación de equivalencia\(\sim\text{.}\)
4. Un subgrupo\(H\) de\(S_X\) es transitivo si por cada\(x, y \in X\text{,}\) existe un\(\sigma \in H\) tal que\(\sigma(x) = y\text{.}\) Demostrar que\(\langle \sigma \rangle\) es transitivo si y solo si\({\mathcal O}_{x, \sigma} = X\) para algunos\(x \in X\text{.}\)

33

Que\(\alpha \in S_n\) para\(n \geq 3\text{.}\) Si\(\alpha \beta = \beta \alpha\) para todos\(\beta \in S_n\text{,}\) prueben que\(\alpha\) debe ser la permutación de identidad; de ahí, el centro de\(S_n\) es el subgrupo trivial.

34

Si\(\alpha\) es par, prueba que también\(\alpha^{-1}\) es parejo. ¿Se mantiene un resultado correspondiente si\(\alpha\) es impar?

35

Si\(\sigma \in A_n\) y\(\tau \in S_n\text{,}\) mostrar que\(\tau^{-1} \sigma \tau \in A_n\text{.}\)

36

Demostrar que\(\alpha^{-1} \beta^{-1} \alpha \beta\) es parejo\(\alpha, \beta \in S_n\text{.}\)

37

Dejar\(r\) y\(s\) ser los elementos\(D_n\) descritos en Teorema\(5.21\)

1. Demostrar que\(srs = r^{-1}\text{.}\)
2. \(r^k s = s r^{-k}\)Demuéstralo en\(D_n\text{.}\)
3. Demostrar que el orden de\(r^k \in D_n\) es\(n / \gcd(k,n)\text{.}\)