5: Grupos de permutación
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Los grupos de permutación son centrales para el estudio de las simetrías geométricas y para la teoría de Galois, el estudio de encontrar soluciones de ecuaciones polinómicas. También proporcionan abundantes ejemplos de grupos no abelianos.
Recordemos por un momento las simetrías del triángulo equilátero\(\bigtriangleup ABC\) del Capítulo 3. Las simetrías en realidad consisten en permutaciones de los tres vértices, donde una permutación del conjunto\(S = \{ A, B, C \}\) es uno a uno y en el mapa\(\pi :S \rightarrow S\text{.}\) Los tres vértices tienen las siguientes seis permutaciones.
\ begin {align*}\ begin {pmatrix} A & B & C\\ A & B & C\ end {pmatrix}\ qquad\ begin {pmatrix} A & B & C\\ C & A & B\ end {pmatrix}\ qquad\ begin {pmatrix} A & B & C\\ B & C & A\ end {pmatrix}\\ begin {pmatrix} A & B & C\\ A & C & B\ final {pmatrix}\ qquad \ begin {pmatrix} A & B & C\\ C & B & A\ end {pmatrix}\ qquad\ begin {pmatrix} A & B & C\\ B & A & C\ end {pmatrix}\ end {alinear*}
Hemos utilizado la matriz
\[ \begin{pmatrix} A & B & C \\ B & C & A \end{pmatrix} \nonumber \]
para denotar la permutación que envía\(A\)\(B\text{,}\)\(B\) a\(C\text{,}\) y\(C\) a Es\(A\text{.}\) decir,
\ begin {align*} A &\ mapsto B\\ B &\ mapsto C\\ C &\ mapsto A\ texto {.} \ end {alinear*}
Las simetrías de un triángulo forman un grupo. En este capítulo vamos a estudiar grupos de este tipo.