20.3: Independencia Lineal

Dejar\(S = \{v_1, v_2, \ldots, v_n\}\) ser un conjunto de vectores en un espacio vectorial\(V\text{.}\) Si existen escalares\(\alpha_1, \alpha_2 \ldots \alpha_n \in F\) tales que no todos los\(\alpha_i\)'s son cero y

\[ \alpha_1 v_1 + \alpha_2 v_2 + \cdots + \alpha_n v_n = {\mathbf 0 }\text{,} \nonumber \]

entonces\(S\) se dice que es linealmente dependiente. Si el conjunto no\(S\) es linealmente dependiente, entonces se dice que es linealmente independiente. Más específicamente,\(S\) es un conjunto linealmente independiente si

\[ \alpha_1 v_1 + \alpha_2 v_2 + \cdots + \alpha_n v_n = {\mathbf 0 } \nonumber \]

implica que

\[ \alpha_1 = \alpha_2 = \cdots = \alpha_n = 0 \nonumber \]

para cualquier conjunto de escalares\(\{ \alpha_1, \alpha_2 \ldots \alpha_n \}\text{.}\)

Proposición\(20.9\)

Let\(\{ v_1, v_2, \ldots, v_n \}\) Ser un conjunto de vectores linealmente independientes en un espacio vectorial. Supongamos que

\[ v = \alpha_1 v_1 + \alpha_2 v_2 + \cdots + \alpha_n v_n = \beta_1 v_1 + \beta_2 v_2 + \cdots + \beta_n v_n\text{.} \nonumber \]

Entonces\(\alpha_1 = \beta_1, \alpha_2 = \beta_2, \ldots, \alpha_n = \beta_n\text{.}\)

Prueba

Si

\[ v = \alpha_1 v_1 + \alpha_2 v_2 + \cdots + \alpha_n v_n = \beta_1 v_1 + \beta_2 v_2 + \cdots + \beta_n v_n\text{,} \nonumber \]

entonces

\[ (\alpha_1 - \beta_1) v_1 + (\alpha_2 - \beta_2) v_2 + \cdots + (\alpha_n - \beta_n) v_n = {\mathbf 0}\text{.} \nonumber \]

Dado que\(v_1, \ldots, v_n\) son linealmente independientes,\(\alpha_i - \beta_i = 0\) para\(i = 1, \ldots, n\text{.}\)

La definición de dependencia lineal tiene más sentido si consideramos la siguiente proposición.

Proposición\(20.10\)

Un conjunto\(\{ v_1, v_2, \dots, v_n \}\) de vectores en un espacio vectorial\(V\) es linealmente dependiente si y solo si uno de los\(v_i\) 's es una combinación lineal del resto.

Prueba

Supongamos que\(\{ v_1, v_2, \dots, v_n \}\) es un conjunto de vectores linealmente dependientes. Entonces existen escalares\(\alpha_1, \ldots, \alpha_n\) tales que

\[ \alpha_1 v_1 + \alpha_2 v_2 + \cdots + \alpha_n v_n = {\mathbf 0 }\text{,} \nonumber \]

con al menos una de las\(\alpha_i\)'s no igual a cero. Supongamos que\(\alpha_k \neq 0\text{.}\) Entonces

\[ v_k = - \frac{\alpha_1}{\alpha_k} v_1 - \cdots - \frac{\alpha_{k - 1}}{\alpha_k} v_{k-1} - \frac{\alpha_{k + 1}}{\alpha_k} v_{k + 1} - \cdots - \frac{\alpha_n}{\alpha_k} v_n\text{.} \nonumber \]

Por el contrario, supongamos que

\[ v_k = \beta_1 v_1 + \cdots + \beta_{k - 1} v_{k - 1} + \beta_{k + 1} v_{k + 1} + \cdots + \beta_n v_n\text{.} \nonumber \]

Entonces

\[ \beta_1 v_1 + \cdots + \beta_{k - 1} v_{k - 1} - v_k + \beta_{k + 1} v_{k + 1} + \cdots + \beta_n v_n = {\mathbf 0}\text{.} \nonumber \]

La siguiente proposición es consecuencia de que cualquier sistema de ecuaciones lineales homogéneas con más incógnitas que ecuaciones tendrá una solución no trivial. Dejamos los detalles de la prueba para los ejercicios de fin de capítulo.

Proposición\(20.11\)

Supongamos que un espacio vectorial\(V\) está abarcado por\(n\) vectores. Si\(m \gt n\text{,}\) entonces cualquier conjunto de\(m\) vectores\(V\) debe ser linealmente dependiente

Un conjunto\(\{ e_1, e_2, \ldots, e_n \}\) de vectores en un espacio vectorial\(V\) se llama base para\(V\) if\(\{ e_1, e_2, \ldots, e_n \}\) es un conjunto linealmente independiente que abarca\(V\text{.}\)

Ejemplo\(20.12\)

Los vectores\(e_1 = (1, 0, 0)\text{,}\)\(e_2 = (0, 1, 0)\text{,}\) y\(e_3 =(0, 0, 1)\) forman una base para\({\mathbb R}^3\text{.}\) El conjunto ciertamente abarca\({\mathbb R}^3\text{,}\) ya que cualquier vector arbitrario\((x_1, x_2, x_3)\) en\({\mathbb R}^3\) puede escribirse como\(x_1 e_1 + x_2 e_2 + x_3 e_3\text{.}\)

Solución

Además, ninguno de los vectores\(e_1, e_2, e_3\) puede escribirse como una combinación lineal de los otros dos; de ahí que sean linealmente independientes. Los vectores no\(e_1, e_2, e_3\) son la única base\({\mathbb R}^3\text{:}\) del conjunto\(\{ (3, 2, 1), (3, 2, 0), (1, 1, 1) \}\) es también una base para\({\mathbb R}^3\text{.}\)

Ejemplo\(20.13\)

Deja que\({\mathbb Q}( \sqrt{2}\, ) = \{ a + b \sqrt{2} : a, b \in {\mathbb Q} \}\text{.}\) los conjuntos

Solución

\(\{1, \sqrt{2}\, \}\)y\(\{1 + \sqrt{2}, 1 - \sqrt{2}\, \}\) son ambas bases de\({\mathbb Q}( \sqrt{2}\, )\text{.}\)

De los dos últimos ejemplos debe quedar claro que un espacio vectorial dado tiene varias bases. De hecho, hay un número infinito de bases para ambos ejemplos. En general, no hay una base única para un espacio vectorial. Sin embargo, cada base de\({\mathbb R}^3\) consiste exactamente en tres vectores, y cada base de\({\mathbb Q}(\sqrt{2}\, )\) consiste exactamente en dos vectores. Esto es consecuencia de la proposición siguiente.

Proposición\(20.14\)

Dejar\(\{ e_1, e_2, \ldots, e_m \}\) y\(\{ f_1, f_2, \ldots, f_n \}\) ser dos bases para un espacio vectorial\(V\text{.}\) Entonces\(m = n\text{.}\)

Prueba

Ya que\(\{ e_1, e_2, \ldots, e_m \}\) es una base, es un conjunto linealmente independiente. Por la Proposición 20.11,\(n \leq m\text{.}\) Del mismo modo,\(\{ f_1, f_2, \ldots, f_n \}\) es un conjunto linealmente independiente, y la última proposición implica que\(m \leq n\text{.}\) Consecuentemente,\(m = n\text{.}\)

Si\(\{ e_1, e_2, \ldots, e_n \}\) es una base para un espacio vectorial\(V\text{,}\) entonces decimos que la dimensión de\(V\) es\(n\) y\(\dim V =n\text{.}\) escribimos Dejaremos como ejercicio la prueba del siguiente teorema.

Teorema\(20.15\)

Dejar\(V\) ser un espacio vectorial de dimensión\(n\text{.}\)

1. Si\(S = \{v_1, \ldots, v_n \}\) es un conjunto de vectores linealmente independientes para\(V\text{,}\) entonces\(S\) es una base para\(V\text{.}\)
2. Si se\(S = \{v_1, \ldots, v_n \}\) extiende\(V\text{,}\) entonces\(S\) es una base para\(V\text{.}\)
3. Si\(S = \{v_1, \ldots, v_k \}\) es un conjunto de vectores linealmente independientes para\(V\) con\(k \lt n\text{,}\) entonces existen vectores\(v_{k + 1}, \ldots, v_n\) tales que

   \[ \{v_1, \ldots, v_k, v_{k + 1}, \ldots, v_n \} \nonumber \]

   es una base para\(V\text{.}\)