3.2: Definiciones de Homomorfismos e Isomorfismos

Definición: Homomorfismo e Isomorfismo

Dejar\(\langle S,*\rangle\) y\(\langle S',*'\rangle\) ser estructuras binarias. Una función\(\phi\) de\(S\) a\(S'\) es un homomorfismo si

\ begin {ecuación*}\ phi (a* b) =\ phi (a) *'\ phi (b)\ fin {ecuación*}

para todos el\(a,b\in S\text{.}\) An isomorfismo es un homomorfismo que también es una biyección.

Intuitivamente, se puede pensar en un homomorfismo\(\phi\) como un mapa de “preservación de la estructura”: si multiplicas y luego\(\phi\text{,}\) aplicas obtienes el mismo resultado que cuando aplicas por primera vez\(\phi\) y luego multiplicas. Los isomorfismos, entonces, conservan la estructura y preservan la cardinalidad.

Nota

Podemos omitir las convenciones\(*\) y\(*'\text{,}\) según nuestro grupo, pero las incluimos aquí para enfatizar que las operaciones en las estructuras pueden ser distintas entre sí. Cuando los omitimos y escribimos\(\phi(st)=\phi(s)\phi(t)\text{,}\) entonces es responsabilidad de los escritores y lectores tener en cuenta eso\(s\) y\(t\) están siendo operados juntos usando la operación en\(S\text{,}\) while\(\phi(s)\) y\(\phi(t)\) están siendo operados juntos usando la operación en\(S'\text{.}\)

 

Observación

Puede haber más de un homomorfismo [isomorfismo] de una estructura binaria a otra (ver Ejemplo\(3.2.1\)).

Ejemplo\(\PageIndex{1}\)

Para cada una de las siguientes, decidir si la función dada\(\phi\) de una estructura binaria a otra es o no un homomorfismo, y si es así, si es un isomorfismo. ¡Demuestra o desacredita tus respuestas! Para las Partes 6 y 7,\(C^0\) es el conjunto de todas las funciones continuas de\(\mathbb{R}\) a\(\mathbb{R}\text{;}\)\(C^1\) es el conjunto de todas las funciones diferenciables de\(\mathbb{R}\) a\(\mathbb{R}\) cuyas derivadas son continuas; y cada una\(+\) indica la adición puntual en\(C^0\) y\(C^1\text{.}\)

1. \(\phi:\langle \mathbb{Z},+\rangle \to \langle \mathbb{Z},+\rangle\)definido por\(\phi(x)=x\text{;}\)

2. \(\phi:\langle \mathbb{Z},+\rangle \to \langle \mathbb{Z},+\rangle\)definido por\(\phi(x)=-x\text{;}\)

3. \(\phi:\langle \mathbb{Z},+\rangle \to \langle \mathbb{Z},+\rangle\)definido por\(\phi(x)=2x\text{;}\)

4. \(\phi:\langle \mathbb{R},+\rangle \to \langle \mathbb{R}^+,\cdot\,\rangle\)definido por\(\phi(x)=e^x\text{;}\)

5. \(\phi:\langle \mathbb{R},+\rangle \to \langle \mathbb{R}^*,\cdot\,\rangle\)definido por\(\phi(x)=e^x\text{;}\)

6. \(\phi:\langle C^1,+\rangle \to \langle C^0,+\rangle\)definido por\(\phi(f)=f'\) (el derivado de\(f\));

7. \(\phi:\langle C^0,+\rangle \to \langle \mathbb{R},+\rangle\)definido por\(\phi(f)=\displaystyle{\int_0^1 f(x)\, dx}\text{.}\)

Ejemplo\(\PageIndex{2}\)

Dejar\(\langle G,\;\cdot\rangle\) ser un grupo y dejar\(a\in G\text{.}\) Entonces la función\(c_a\) de\(G\) a\(G\) definida por\(c_a(x)=axa^{-1}\) (para todos\(x\in G\)) es un homomorfismo. En efecto, vamos\(x,y\in G\text{.}\) Entonces

\(\begin{array} &c_a(xy)& =a(xy)a^{-1}\\ & =(ax)e(ya^{-1})\\ & =(ax)(a^{-1}a)(ya^{-1})\\ & =(axa^{-1})(aya^{-1})\\ & =c_a(x)c_a(y). \end{array}\)

El homomorfismo\(c_a\) se llama conjugación por\(a\).

Definición: Endomorfismo y Automorfismo

Los homomorfismos de un grupo\(G\) a sí mismo se llaman endomorfismos, y los isomorfismos de un grupo a sí mismo se llaman automorfismos.

Se puede demostrar que la conjugación por cualquier elemento\(a\) de un grupo\(G\) es una biyección de\(G\) a sí mismo (¿puedes probarlo?) , por lo que tal conjugación es un automorfismo de\(G\text{.}\) (Cuidado: Algunos textos usan “conjugación por\(a\)” para referirse a la función\(x\mapsto a^{-1}xa\text{.}\)) Ambas versiones de conjugación por\(a\) en grupo\(G\) son automorfismos de\(G\text{.}\))

Terminamos con un teorema que expone hechos básicos sobre los homomorfismos de un grupo a otro. (Nota. Esto no se aplica a las estructuras binarias arbitrarias, que pueden o no tener elementos de identidad).

Teorema\(\PageIndex{1}\)

Dejar\(\langle G,\cdot\rangle\) y\(\langle G',\cdot'\rangle\) ser grupos con elementos de identidad\(e\) y\(e'\text{,}\) respectivamente, y dejar\(\phi\) ser un homomorfismo de\(G\) a\(G'\text{.}\) Entonces:

1. \(\phi(e)=e'\text{;}\)y
2. Para cada\(a\in G\text{,}\)\(\phi(a)^{-1}=\phi(a^{-1})\text{.}\)

Prueba

Para la Parte 1, tenga en cuenta que

\(\begin{array}&ϕ(e)⋅′e′&=ϕ(e) &(\text{by definition of }e′)\\ &=ϕ(e⋅e) &(\text{by definition of } e) \\&=ϕ(e)⋅′ϕ(e) &(\text{since \(ϕ\)es un homomorfismo}). \ end {array}\)

Así, por cancelación izquierda,\(e′=ϕ(e)\). La prueba de la Parte 2 se deja como ejercicio para el lector.

 

Para la Parte 1, tenga en cuenta que

\ begin {align*}\ phi (e)\ cdot'e'\ amp =\ phi (e)\ amp\ amp\ amp\ text {(por definición de\(e'\)) }\\ \amp =\phi(e\cdot e) \amp \amp \text{ (by definition of \(e\)) }\\ \amp =\phi(e)\cdot'\phi(e) \amp \amp \text{ (since \(\phi\) is a homomorphism). } \end{align*}

Así, por cancelación dejada,\(e'=\phi(e)\text{.}\) The proof of Part 2 is left as an exercise for the reader.