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# 3.2: Definiciones de Homomorfismos e Isomorfismos

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( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) $$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$$

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$$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$$ $$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$$

$$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$$

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Definición: Homomorfismo e Isomorfismo

Dejar$$\langle S,*\rangle$$ y$$\langle S',*'\rangle$$ ser estructuras binarias. Una función$$\phi$$ de$$S$$ a$$S'$$ es un homomorfismo si

\ begin {ecuación*}\ phi (a* b) =\ phi (a) *'\ phi (b)\ fin {ecuación*}

para todos el$$a,b\in S\text{.}$$ An isomorfismo es un homomorfismo que también es una biyección.

Intuitivamente, se puede pensar en un homomorfismo$$\phi$$ como un mapa de “preservación de la estructura”: si multiplicas y luego$$\phi\text{,}$$ aplicas obtienes el mismo resultado que cuando aplicas por primera vez$$\phi$$ y luego multiplicas. Los isomorfismos, entonces, conservan la estructura y preservan la cardinalidad.

Nota

Podemos omitir las convenciones$$*$$ y$$*'\text{,}$$ según nuestro grupo, pero las incluimos aquí para enfatizar que las operaciones en las estructuras pueden ser distintas entre sí. Cuando los omitimos y escribimos$$\phi(st)=\phi(s)\phi(t)\text{,}$$ entonces es responsabilidad de los escritores y lectores tener en cuenta eso$$s$$ y$$t$$ están siendo operados juntos usando la operación en$$S\text{,}$$ while$$\phi(s)$$ y$$\phi(t)$$ están siendo operados juntos usando la operación en$$S'\text{.}$$

Observación

Puede haber más de un homomorfismo [isomorfismo] de una estructura binaria a otra (ver Ejemplo$$3.2.1$$).

Ejemplo$$\PageIndex{1}$$

Para cada una de las siguientes, decidir si la función dada$$\phi$$ de una estructura binaria a otra es o no un homomorfismo, y si es así, si es un isomorfismo. ¡Demuestra o desacredita tus respuestas! Para las Partes 6 y 7,$$C^0$$ es el conjunto de todas las funciones continuas de$$\mathbb{R}$$ a$$\mathbb{R}\text{;}$$$$C^1$$ es el conjunto de todas las funciones diferenciables de$$\mathbb{R}$$ a$$\mathbb{R}$$ cuyas derivadas son continuas; y cada una$$+$$ indica la adición puntual en$$C^0$$ y$$C^1\text{.}$$

1. $$\phi:\langle \mathbb{Z},+\rangle \to \langle \mathbb{Z},+\rangle$$definido por$$\phi(x)=x\text{;}$$

2. $$\phi:\langle \mathbb{Z},+\rangle \to \langle \mathbb{Z},+\rangle$$definido por$$\phi(x)=-x\text{;}$$

3. $$\phi:\langle \mathbb{Z},+\rangle \to \langle \mathbb{Z},+\rangle$$definido por$$\phi(x)=2x\text{;}$$

4. $$\phi:\langle \mathbb{R},+\rangle \to \langle \mathbb{R}^+,\cdot\,\rangle$$definido por$$\phi(x)=e^x\text{;}$$

5. $$\phi:\langle \mathbb{R},+\rangle \to \langle \mathbb{R}^*,\cdot\,\rangle$$definido por$$\phi(x)=e^x\text{;}$$

6. $$\phi:\langle C^1,+\rangle \to \langle C^0,+\rangle$$definido por$$\phi(f)=f'$$ (el derivado de$$f$$);

7. $$\phi:\langle C^0,+\rangle \to \langle \mathbb{R},+\rangle$$definido por$$\phi(f)=\displaystyle{\int_0^1 f(x)\, dx}\text{.}$$

Ejemplo$$\PageIndex{2}$$

Dejar$$\langle G,\;\cdot\rangle$$ ser un grupo y dejar$$a\in G\text{.}$$ Entonces la función$$c_a$$ de$$G$$ a$$G$$ definida por$$c_a(x)=axa^{-1}$$ (para todos$$x\in G$$) es un homomorfismo. En efecto, vamos$$x,y\in G\text{.}$$ Entonces

$$\begin{array} &c_a(xy)& =a(xy)a^{-1}\\ & =(ax)e(ya^{-1})\\ & =(ax)(a^{-1}a)(ya^{-1})\\ & =(axa^{-1})(aya^{-1})\\ & =c_a(x)c_a(y). \end{array}$$

El homomorfismo$$c_a$$ se llama conjugación por$$a$$.

Definición: Endomorfismo y Automorfismo

Los homomorfismos de un grupo$$G$$ a sí mismo se llaman endomorfismos, y los isomorfismos de un grupo a sí mismo se llaman automorfismos.

Se puede demostrar que la conjugación por cualquier elemento$$a$$ de un grupo$$G$$ es una biyección de$$G$$ a sí mismo (¿puedes probarlo?) , por lo que tal conjugación es un automorfismo de$$G\text{.}$$ (Cuidado: Algunos textos usan “conjugación por$$a$$” para referirse a la función$$x\mapsto a^{-1}xa\text{.}$$) Ambas versiones de conjugación por$$a$$ en grupo$$G$$ son automorfismos de$$G\text{.}$$)

Terminamos con un teorema que expone hechos básicos sobre los homomorfismos de un grupo a otro. (Nota. Esto no se aplica a las estructuras binarias arbitrarias, que pueden o no tener elementos de identidad).

Teorema$$\PageIndex{1}$$

Prueba

Para la Parte 1, tenga en cuenta que

$$\begin{array}&ϕ(e)⋅′e′&=ϕ(e) &(\text{by definition of }e′)\\ &=ϕ(e⋅e) &(\text{by definition of } e) \\&=ϕ(e)⋅′ϕ(e) &(\text{since \(ϕ$$es un homomorfismo}). \ end {array}\)

Así, por cancelación izquierda,$$e′=ϕ(e)$$. La prueba de la Parte 2 se deja como ejercicio para el lector.

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