5.2: La transformación de Laplace

A Laplace Transform se le suele atribuir problemas dinámicos a problemas estáticos. Recordemos que la Transformación de Laplace de la función\(h\) es

\[\mathscr{L} (h(s)) \equiv \int_{0}^{\infty} e^{-(st)} h(t) dt \nonumber\]

MATLAB es muy hábil en tales cosas. Por ejemplo:

La transformación de Laplace en MATLAB

	>> syms t

	>> laplace(exp(t))

	ans = 1/(s-1)

	>> laplace(t*(exp(-t))

	ans = 1/(s+1)^2
      

La Transformación de Laplace de una matriz de funciones es simplemente la matriz de las transformaciones de Laplace de los elementos individuales.

Definición: Laplace Transform de una matriz de fucnciones

\[\mathscr{L} (\begin{pmatrix} {e^{t}}\\ {te^{-t}} \end{pmatrix}) = \begin{pmatrix} {\frac{1}{s-1}}\\ {\frac{1}{(s+1)^2}} \end{pmatrix} \nonumber\]

Ahora, al prepararnos para aplicar la transformación de Laplace a nuestra ecuación desde el módulo dinámico del cuarteto strang:

\[\textbf{x}' = B \textbf{x}+\textbf{g}\]

lo escribimos como

\[\mathscr{L} (\frac{dx}{dt}) = \mathscr{L}(B \textbf{x}+\textbf{g})\]

y así debe determinar cómo\(\mathscr{L}\) actúa sobre derivados y sumas. Con respecto a esta última se desprende directamente de la definición que

\[ \begin{align*} \mathscr{L}(B \textbf{x}+\textbf{g}) &= \mathscr{L}(B \textbf{x})+\mathscr{L}(\textbf{g}) \\[4pt] &= B \mathscr{L}(\textbf{x})+\mathscr{L}(\textbf{g}) \end{align*}\]

En cuanto a su efecto sobre la derivada encontramos, al integrar por partes, que

\[\begin{align} \mathscr{L} \left(\frac{d \textbf{x}}{dt}\right) &= \int_{0}^{\infty} e^{-(st)} \frac{d \textbf{x}(t)}{dt} dt \\[4pt] &= \textbf{x}(t) \left. e^{-(st)} \right|_{0}^{\infty}+s\int_{0}^{\infty} e^{-(st)} \textbf{x}(t) dt \end{align}\]

Suponiendo que\(x\) y\(s\) sean tales que a\(x(t) e^{-(st)} \rightarrow 0\) medida que\(t \rightarrow \infty\) lleguemos a

\[\mathscr{L} (\frac{d \textbf{x}}{dt}) = s\mathscr{L} (\textbf{x})-x(0) \nonumber\]

Ahora, al sustituir la Ecuación 2 y la Ecuación 3 en la Ecuación 1 encontramos

\[s \mathscr{L} (\textbf{x})- \textbf{x}(0) = B \mathscr{L}(\textbf{x})+\mathscr{L}(\textbf{g}) \nonumber\]

que se reconoce fácilmente como un sistema lineal para\(\mathscr{L}(\textbf{x})\)

\[(\textbf{s}I-B) \mathscr{L}(\textbf{x}) = \mathscr{L}(\textbf{g})+x(0) \nonumber\]

Lo único que distingue a este sistema de los encontrados desde nuestro primer roce con estos sistemas es la presencia de la variable compleja\(s\). Esto complica los pasos mecánicos de la Eliminación Gaussiana o el Método Gauss-Jordan pero los métodos efectivamente se aplican sin cambios. Retomando este último método, escribimos

\[\mathscr{L}(\textbf{x}) = (sI-B)^{-1} (\mathscr{L}(\textbf{g})+x(0)) \nonumber\]

La matriz\((sI-B)^{-1}\) se llama típicamente la función de transferencia o resolvent, asociada con\(B\), en\(s\). Pasamos a MATLAB para su cálculo simbólico. (para más información, consulte el tutorial sobre la caja de herramientas simbólica de MATLAB). Por ejemplo,

	>> B = [2 -1; -1 2]
	
	>> R = inv(s*eye(2)-B)
	
	R =
	
	[ (s-2)/(s*s-4*s+3), -1/(s*s-4*s+3)]
	
	[ -1/(s*s-4*s+3), (s-2)/(s*s-4*s+3)]
      

Observamos que\((sI-B)^{-1}\) bien definido excepto en las raíces de la cuadrática,\(s^{2}-4s+3\) determinante de\((sI-B)\) y a menudo se conoce como el polinomio característico de\(B\). Sus raíces se llaman los valores propios de\(B\).

Ejemplo\(\PageIndex{1}\)

Tomemos la\(B\) matriz del módulo dinámico del cuarteto Strang con las opciones de parámetros especificadas en fib3.m, a saber

\[B = \begin{pmatrix} {-0.135}&{0.125}&{0}\\ {0.5}&{-1.01}&{0.5}\\ {0}&{0.5}&{-0.51} \end{pmatrix} \nonumber\]

El asociado\((sI-B)^{-1}\) es un poco voluminoso (por favor ejecute fig3.m) así que mostramos aquí solo el denominador de cada término, es decir,

\[s^3+1.655s^2+0.4078s+0.0039 \nonumber\]

Asumiendo un estímulo actual de la forma\(i_{0}(t) = \frac{t^{3}e^{-\frac{t}{6}}}{10000}\) y\(E_{m} = 0\) trae

\[\mathscr{L}(\textbf{g})(s) = \begin{pmatrix} {\frac{0.191}{(s+\frac{1}{6})^{4}}}\\ {0}\\ {0}\\ {0} \end{pmatrix} \nonumber\]

y así la ecuación persiste en

\[\begin{align*} \mathscr{L}(\textbf{x}) &= (sI-B)^{-1} \mathscr{L}(\textbf{g}) \\[4pt] &= \frac{0.191}{(s+\frac{1}{6})^{4}(s^3+1.655s^2+0.4078s+0.0039)} \begin{pmatrix} {s^2+1.5s+0.27}\\ {0.5s+0.26}\\ {0.2497} \end{pmatrix} \end{align*}\]

Ahora viene el roce. Una simple resolución lineal (o inversión) nos ha dejado con la transformación de Laplace de\(\textbf{x}\). El maldito Teorema del Almuerzo No Libre

Habrá que hacer algún trabajo para recuperarnos\(\textbf{x}\) de\(\mathscr{L}(\textbf{x})\) las confrontaciones. Lo enfrentaremos en el módulo Inverse Laplace.