8.6: El problema del valor propio- Ejercicios

Última actualización
Guardar como PDF

Page ID: 113082

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

Ejercicio\(\PageIndex{1}\)

Argumentan como en la Proposición 1 en la discusión de la expansión parcial de la fracción de la función de transferencia que si\(j \ne k\) entonces\(D_{j}P_{k} = P_{j}D_{k} = 0\).

Ejercicio\(\PageIndex{2}\)

Argumentan desde la ecuación de la discusión de la Representación Espectral que\(D_{j}P_{j} = P_{j}D_{j} = D_{j}\).

Ejercicio\(\PageIndex{3}\)

Los dos ejercicios anteriores vienen muy útiles a la hora de calcular los poderes de las matrices. Por ejemplo, supongamos que\(B\) es 4-por-4, eso\(h = 2\) y\(m_{1} = m_{2} = 2\). Utilice la representación espectral de\(B\) junto con los dos primeros ejercicios para llegar a fórmulas simples para\(B^{2}\) y\(B^{3}\).

Calcular la representación espectral de la matriz circulante

\[B = \begin{pmatrix} {2}&{8}&{6}&{4}\\ {4}&{2}&{8}&{6}\\ {6}&{4}&{2}&{8}\\ {8}&{6}&{4}&{2} \end{pmatrix} \nonumber\]

Etiquetar cuidadosamente todos los valores propios, proyecciones propias y vectores propios.