8.2: El Resolvent
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Un medio por el cual acercarse\(R(s)\) es tratarlo como el análogo matricial de la función escalar
\[\frac{1}{s-b} \nonumber\]
Esta función es una versión escalada de la función aún más simple\(\frac{1}{1-z}\) Esta última función satisface la identidad (simplemente multiplica por\(1-z\) para verificarla)
\[\frac{1}{1-z} = 1+z+z^2+\cdots+z^{n-1}+\frac{z^n}{1-z} \nonumber\]
para cada entero positivo n. Además, si\(|z| < 1\) entonces\(z^{n} \rightarrow 0\) como\(n \rightarrow \infty\) y así Ecuación se convierte, en el límite,
\[\frac{1}{1-z} = \sum_{n = 0}^{\infty} z^n \nonumber\]
la serie geométrica familiar. Volviendo a la ecuación escribimos
\[\frac{1}{s-b} = \frac{\frac{1}{s}}{1-\frac{b}{s}} = \frac{1}{s}+\frac{b}{s^2}+ \cdots +\frac{b^{n-1}}{s^n}+\frac{b^n}{s^n} \frac{1}{s-b} \nonumber\]
y por lo tanto, siempre y cuando\(|s|>|b|\) encontremos,
\[\frac{1}{s-b} = \frac{1}{s} \sum_{n = 0}^{\infty} \left(\frac{b}{s}\right)^{n} \nonumber\]
Esta misma línea de razonamiento puede ser aplicada en el caso matricial. Es decir,
\[(sI-B)^{-1} = s^{-1} \left(I-\frac{B}{s}\right)^{-1} \left(\frac{1}{s}+\frac{B}{s^2}+ \cdots +\frac{B^{n-1}}{s^n}+\frac{B^n}{s^n}(sI-B)^{-1}\right) \nonumber\]
y por lo tanto, siempre y\(|s| > ||B||\) cuando donde\(||B||\) está la magnitud del elemento más grande de\(B\)
\[\frac{1}{sI-B} = s^{-1} \sum_{n = 0}^{\infty} \left(\frac{B}{s}\right)^{n} \nonumber\]
Aunque Ecuación es de hecho una fórmula para la función de transferencia, es posible que, con respecto al cálculo, no la encuentre más atractiva que el método Gauss-Jordan. Sin embargo, consideramos a Ecuación como una herramienta analítica más que computacional. Más precisamente, facilita el cómputo de integrales de\(R(s)\). Sin embargo,\(C_{\rho}\) es el círculo de radio\(\rho\) centrado en el origen y\(\rho > ||B||\) luego
\[\begin{align*} \int_{C_{\rho}} (sI-B)^{-1} ds &= \sum_{n = 0}^{\infty} B^n \int_{C_{\rho}} s^{-1-n} ds \\[4pt] &= 2 \pi i I \end{align*}\]
Este resultado es esencial para nuestro estudio del problema del valor propio. Al igual que las dos identidades resolutivas. Respecto a la primera deducimos de la simple observación
\[(s_{2}I-B)^{-1}-(s_{1}I-B)^{-1} = (s_{2}I-B)^{-1}(s_{1}I-B-s_{2}I+B)(s_{1}I-B)^{-1} \nonumber\]
que
\[R(s_{2})-R(s_{1}) = (s_{1}-s_{2})R(s_{2})R(s_{1}) \nonumber\]
La segunda identidad es simplemente una reescritura de
\[(sI-B)(sI-B)^{-1} = (sI-B)^{-1}(sI-B) = I \nonumber\]
a saber,
\[\begin{align*}BR(s) &=R(s)B \\[4pt] &= sR(s)-I \end{align*}\]