2.E: Ejercicios

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Ejercicio\(\PageIndex{1}\)

Para los siguientes pares de matrices, determine si\(A + B\) se define la suma. Si es así, encuentra la suma.

\(A = \left [ \begin{array}{rr} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array} \right ], B = \left [ \begin{array}{rr} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{array} \right ]\)
\(A = \left [ \begin{array}{rrr} 2 & 1 & 2 \\ 1 & 1 & 0 \end{array} \right ], B = \left [ \begin{array}{rrr} -1 & 0 & 3\\ 0 & 1 & 4 \end{array} \right ]\)
\(A = \left [ \begin{array}{rr} 1 & 0 \\ -2 & 3 \\ 4 & 2 \end{array} \right ], B = \left [ \begin{array}{rrr} 2 & 7 & -1 \\ 0 & 3 & 4 \end{array} \right ]\)

Ejercicio\(\PageIndex{2}\)

Para cada matriz\(A\), encuentra la matriz\(-A\) tal que\(A + (-A) = 0\).

\(A = \left [ \begin{array}{rr} 1 & 2 \\ 2 & 1 \end{array} \right ]\)
\(A = \left [ \begin{array}{rr} -2 & 3 \\ 0 & 2 \end{array} \right ]\)
\(A = \left [ \begin{array}{rrr} 0 & 1 & 2 \\ 1 & -1 & 3 \\ 4 & 2 & 0 \end{array} \right ]\)

Ejercicio\(\PageIndex{3}\)

En el contexto de la Proposición 2.1.1, describir\(-A\) y\(0.\)

Responder: Para obtener\(-A,\) solo reemplace cada entrada de\(A\) con su inversa aditiva. La matriz 0 es la que tiene todos los ceros en ella.

2.1.2: Multiplicación Escalar de Matrices

Ejercicio\(\PageIndex{4}\)

Para cada matriz\(A\), encuentre el producto\((-2)A, 0A,\) y\(3A\).

\(A = \left [ \begin{array}{rr} 1 & 2 \\ 2 & 1 \end{array} \right ]\)
\(A = \left [ \begin{array}{rr} -2 & 3 \\ 0 & 2 \end{array} \right ]\)
\(A = \left [ \begin{array}{rrr} 0 & 1 & 2 \\ 1 & -1 & 3 \\ 4 & 2 & 0 \end{array} \right ]\)

Ejercicio\(\PageIndex{5}\)

Usando solo las propiedades dadas en la Proposición 2.1.1 y en la Proposición 2.1.2, show\(-A\) es único.

Responder: Supongamos que\(B\) también funciona. Entonces\[-A=-A+\left( A+B\right) =\left( -A+A\right) +B=0+B=B\nonumber \]

Ejercicio\(\PageIndex{6}\)

Usando solo las propiedades dadas en la Proposición 2.1.1 y en la Proposición 2.1.2, show\(0\) es único.

Responder: Supongamos que\(0^{\prime }\) también funciona. Entonces\(0^{\prime }=0^{\prime }+0=0.\)

Ejercicio\(\PageIndex{7}\)

Usando solo las propiedades dadas en la Proposición 2.1.1 y la Proposición 2.1.2 muestran\(0A=0.\) Aquí\(0\) el de la izquierda es el escalar\(0\) y\(0\) el de la derecha es la matriz cero de tamaño apropiado.

Responder: \(0A=\left( 0+0\right) A=0A+0A.\)Ahora agregue\(-\left( 0A\right)\) a ambos lados. Entonces\(0=0A\).

Ejercicio\(\PageIndex{8}\)

Usando solo las propiedades dadas en la Proposición 2.1.1 y la Proposición 2.1.2, así como problemas previos muestran\(\left( -1\right) A=-A.\)

Responder: \(A+\left( -1\right) A=\left( 1+\left( -1\right) \right) A=0A=0.\)Por lo tanto, de la singularidad de la inversa aditiva demostrada en el anterior Problema\(\PageIndex{7}\), se deduce que\(-A=\left( -1\right) A\).

2.2

Ejercicio\(\PageIndex{9}\)

Considera las matrices\(A =\left [ \begin{array}{rrr} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 7 \end{array} \right ], B=\left [ \begin{array}{rrr} 3 & -1 & 2 \\ -3 & 2 & 1 \end{array} \right ], C =\left [ \begin{array}{rr} 1 & 2 \\ 3 & 1 \end{array} \right ], \\ D=\left [ \begin{array}{rr} -1 & 2 \\ 2 & -3 \end{array} \right ], E=\left [ \begin{array}{r} 2 \\ 3 \end{array} \right ]\).

Encuentre lo siguiente si es posible. Si no es posible explicar por qué.

\(-3A\)
\(3B-A\)
\(AC\)
\(CB\)
\(AE\)
\(EA\)

Responder

\(\left [ \begin{array}{rrr} -3 & -6 & -9 \\ -6 & -3 & -21 \end{array} \right ]\)
\(\left [ \begin{array}{rrr} 8 & -5 & 3 \\ -11 & 5 & -4 \end{array} \right ]\)
No es posible
\(\left [ \begin{array}{rrr} -3 & 3 & 4 \\ 6 & -1 & 7 \end{array} \right ]\)
No es posible
No es posible

Ejercicio\(\PageIndex{10}\)

Considerar las matrices\(A =\left [ \begin{array}{rr} 1 & 2 \\ 3 & 2 \\ 1 & -1 \end{array} \right ], B=\left [ \begin{array}{rrr} 2 & -5 & 2 \\ -3 & 2 & 1 \end{array} \right ] , C =\left [ \begin{array}{rr} 1 & 2 \\ 5 & 0 \end{array} \right ], \\ D=\left [ \begin{array}{rr} -1 & 1 \\ 4 & -3 \end{array} \right ], E=\left [ \begin{array}{r} 1 \\ 3 \end{array} \right ]\)

Encuentre lo siguiente si es posible. Si no es posible explicar por qué.

\(-3A\)
\(3B-A\)
\(AC\)
\(CA\)
\(AE\)
\(EA\)
\(BE\)
\(DE\)

Responder

\(\left [ \begin{array}{rr} -3 & -6 \\ -9 & -6 \\ -3 & 3 \end{array} \right ]\)
No es posible.
\(\left [ \begin{array}{rr} 11 & 2 \\ 13 & 6 \\ -4 & 2 \end{array} \right ]\)
No es posible.
\(\left [ \begin{array}{r} 7 \\ 9 \\ -2 \end{array} \right ]\)
No es posible.
No es posible.
\(\left [ \begin{array}{r} 2 \\ -5 \end{array} \right ]\)

Ejercicio\(\PageIndex{11}\)

Vamos\(A=\left [ \begin{array}{rr} 1 & 1 \\ -2 & -1 \\ 1 & 2 \end{array} \right ]\),\(B=\left [ \begin{array}{rrr} 1 & -1 & -2 \\ 2 & 1 & -2 \end{array} \right ] ,\) y\(C=\left [ \begin{array}{rrr} 1 & 1 & -3 \\ -1 & 2 & 0 \\ -3 & -1 & 0 \end{array} \right ] .\) Encuentra lo siguiente si es posible.

\(AB\)
\(BA\)
\(AC\)
\(CA\)
\(CB\)
\(BC\)

Responder

\(\left [ \begin{array}{rrr} 3 & 0 & -4 \\ -4 & 1 & 6 \\ 5 & 1 & -6 \end{array} \right ]\)
\(\left [ \begin{array}{rr} 1 & -2 \\ -2 & -3 \end{array} \right ]\)
No es posible
\(\left [ \begin{array}{rr} -4 & -6 \\ -5 & -3 \\ -1 & -2 \end{array} \right ]\)
\(\left [ \begin{array}{rrr} 8 & 1 & -3 \\ 7 & 6 & -6 \end{array} \right ]\)

Ejercicio\(\PageIndex{12}\)

Vamos\(A=\left [ \begin{array}{rr} -1 & -1 \\ 3 & 3 \end{array} \right ]\). Encuentra todas las\(2\times 2\) matrices, de\(B\) tal manera que\(AB=0.\)

Responder: \[\begin{aligned} \left [ \begin{array}{rr} -1 & -1 \\ 3 & 3 \end{array} \right ] \left [ \begin{array}{cc} x & y \\ z & w \end{array} \right ] &=\left [ \begin{array}{cc} -x-z & -w-y \\ 3x+3z & 3w+3y \end{array} \right ] \\ &=\left [ \begin{array}{cc} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{array} \right ]\end{aligned}\]La solución es:\(w=-y,x=-z\) entonces las matrices son de la forma\(\left [ \begin{array}{rr} x & y \\ -x & -y \end{array} \right ].\)

Ejercicio\(\PageIndex{13}\)

Let\(X=\left [ \begin{array}{rrr} -1 & -1 & 1 \end{array} \right ]\) y\(Y=\left [ \begin{array}{rrr} 0 & 1 & 2 \end{array} \right ] .\) Find\(X^{T}Y\) y\(XY^{T}\) si es posible.

Responder: \(X^{T}Y = \left [ \begin{array}{rrr} 0 & -1 & -2 \\ 0 & -1 & -2 \\ 0 & 1 & 2 \end{array} \right ] , XY^{T} = 1\)

Ejercicio\(\PageIndex{14}\)

Vamos\(A=\left [ \begin{array}{rr} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{array} \right ] ,B=\left [ \begin{array}{rr} 1 & 2 \\ 3 & k \end{array} \right ] .\) ¿Es posible elegir\(k\) tal que\(AB=BA?\) Si es así, qué debe ser\(k\) igual?

Responder: \[\begin{aligned} \left [ \begin{array}{cc} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{array} \right ] \left [ \begin{array}{cc} 1 & 2 \\ 3 & k \end{array} \right ] &= \left [ \begin{array}{cc} 7 & 2k+2 \\ 15 & 4k+6 \end{array} \right ] \\ \left [ \begin{array}{cc} 1 & 2 \\ 3 & k \end{array} \right ] \left [ \begin{array}{cc} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{array} \right ] &= \left [ \begin{array}{cc} 7 & 10 \\ 3k+3 & 4k+6 \end{array} \right ]\end{aligned}\]Por lo tanto debes tener\(\begin{array}{c} 3k+3=15 \\ 2k+2=10 \end{array}\), la Solución es:\(\left[ k=4\right]\)

Ejercicio\(\PageIndex{15}\)

Vamos\(A=\left [ \begin{array}{rr} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{array} \right ] ,B=\left [ \begin{array}{rr} 1 & 2 \\ 1 & k \end{array} \right ] .\) ¿Es posible elegir\(k\) tal que\(AB=BA?\) Si es así, qué debe ser\(k\) igual?

Responder: \[\begin{aligned} \left [ \begin{array}{cc} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{array} \right ] \left [ \begin{array}{cc} 1 & 2 \\ 1 & k \end{array} \right ] &= \left [ \begin{array}{cc} 3 & 2k+2 \\ 7 & 4k+6 \end{array} \right ] \\ \left [ \begin{array}{cc} 1 & 2 \\ 1 & k \end{array} \right ] \left [ \begin{array}{cc} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{array} \right ] &= \left [ \begin{array}{cc} 7 & 10 \\ 3k+1 & 4k+2 \end{array} \right ]\end{aligned}\]Sin embargo,\(7\neq 3\) y así no hay elección posible de\(k\) cuál hará que estas matrices se desvíen.

Ejercicio\(\PageIndex{16}\)

Encontrar\(2\times 2\) matrices,\(A\),\(B,\) y\(C\) tal que\(A\neq 0,C\neq B,\) pero\(AC=AB.\)

Responder: Vamos\(A=\left[\begin{array}{cc}1&-1 \\ -1&1\end{array}\right],\: B=\left[\begin{array}{cc}1&1\\1&1\end{array}\right],\: C=\left[\begin{array}{cc}2&2\\2&2\end{array}\right]\). \[\begin{aligned}\left[\begin{array}{cc}1&-1\\-1&1\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}1&1\\1&1\end{array}\right]&=\left[\begin{array}{cc}0&0\\0&0\end{array}\right] \\ \left[\begin{array}{cc}1&-1\\-1&1\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}2&2\\2&2\end{array}\right]&=\left[\begin{array}{cc}0&0\\0&0\end{array}\right] \end{aligned}\]

Ejercicio\(\PageIndex{17}\)

Dé un ejemplo de matrices (de cualquier tamaño), de\(A,B,C\) tal manera que\(B\neq C\),\(A\neq 0,\) y sin embargo\(AB=AC.\)

Ejercicio\(\PageIndex{18}\)

Encuentra\(2 \times 2\) matrices\(A\) y\(B\) tal que\(A \neq 0\) y\(B \neq 0\) pero\(AB = 0\).

Responder: Vamos\(A=\left[\begin{array}{cc}1&-1 \\ -1&1\end{array}\right],\: B=\left[\begin{array}{cc}1&1\\1&1\end{array}\right]\). \[\left[\begin{array}{cc}1&-1\\-1&1\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}1&1\\1&1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}0&0\\0&0\end{array}\right]\nonumber\]

Ejercicio\(\PageIndex{19}\)

Dar un ejemplo de matrices (de cualquier tamaño),\(A,B\) tal que\(A \neq 0\) y\(B \neq 0\) pero\(AB=0.\)

Ejercicio\(\PageIndex{20}\)

Encuentra\(2 \times 2\) matrices\(A\) y\(B\) tal que\(A \neq 0\) y\(B \neq 0\) con\(AB \neq BA\).

Responder: Vamos\(A=\left[\begin{array}{cc}0&1\\1&0\end{array}\right],\: B=\left[\begin{array}{cc}1&2\\3&4\end{array}\right]\). \[\begin{aligned}\left[\begin{array}{cc}0&1\\1&0\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}1&2\\3&4\end{array}\right]&=\left[\begin{array}{cc}3&4\\1&2\end{array}\right] \\ \left[\begin{array}{cc}1&2\\3&4\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}0&1\\1&0\end{array}\right]&=\left[\begin{array}{cc}2&1\\4&3\end{array}\right]\end{aligned}\]

Ejercicio\(\PageIndex{21}\)

Escriba el sistema\[\begin{array}{c} x_{1}-x_{2}+2x_{3} \\ 2x_{3}+x_{1} \\ 3x_{3} \\ 3x_{4}+3x_{2}+x_{1} \end{array}\nonumber \] en la forma\(A\left [ \begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ x_{4} \end{array} \right ]\) donde\(A\) se encuentre una matriz apropiada.

Responder: \(A=\left [ \begin{array}{rrrr} 1 & -1 & 2 & 0 \\ 1 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 3 & 0 \\ 1 & 3 & 0 & 3 \end{array} \right ]\)

Ejercicio\(\PageIndex{22}\)

Escriba el sistema\[\begin{array}{c} x_{1}+3x_{2}+2x_{3} \\ 2x_{3}+x_{1} \\ 6x_{3} \\ x_{4}+3x_{2}+x_{1} \end{array}\nonumber \] en la forma\(A\left [ \begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ x_{4} \end{array} \right ]\) donde\(A\) se encuentre una matriz apropiada.

Responder: \(A=\left [ \begin{array}{rrrr} 1 & 3 & 2 & 0 \\ 1 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 6 & 0 \\ 1 & 3 & 0 & 1 \end{array} \right ]\)

Ejercicio\(\PageIndex{23}\)

Escriba el sistema\[\begin{array}{c} x_{1}+x_{2}+x_{3} \\ 2x_{3}+x_{1}+x_{2} \\ x_{3}-x_{1} \\ 3x_{4}+x_{1} \end{array}\nonumber \] en la forma\(A\left [ \begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ x_{4} \end{array} \right ]\) donde\(A\) se encuentre una matriz apropiada.

Responder: \(A=\left [ \begin{array}{rrrr} 1 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 2 & 0 \\ -1 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 3 \end{array} \right ]\)

Ejercicio\(\PageIndex{24}\)

Una matriz\(A\) se llama idempotente si\(A^{2}=A.\) Let\[A= \left [ \begin{array}{rrr} 2 & 0 & 2 \\ 1 & 1 & 2 \\ -1 & 0 & -1 \end{array} \right ]\nonumber \] y mostrar que\(A\) es idempotente.

2.3

Ejercicio\(\PageIndex{25}\)

Para cada par de matrices, encuentre la\((1,2)\) -entrada y\((2,3)\) -entrada del producto\(AB\).

\(A = \left [ \begin{array}{rrr} 1 & 2 & -1 \\ 3 & 4 & 0 \\ 2 & 5 & 1 \end{array} \right ], B = \left [ \begin{array}{rrr} 4 & 6 & -2 \\ 7 & 2 & 1 \\ -1 & 0 & 0 \end{array} \right ]\)
\(A = \left [ \begin{array}{rrr} 1 & 3 & 1 \\ 0 & 2 & 4 \\ 1 & 0 & 5 \end{array} \right ], B = \left [ \begin{array}{rrr} 2 & 3 & 0 \\ -4 & 16 & 1 \\ 0 & 2 & 2 \end{array} \right ]\)

2.4

Ejercicio\(\PageIndex{26}\)

Supongamos\(A\) y\(B\) son matrices cuadradas del mismo tamaño. ¿Cuáles de las siguientes son necesariamente ciertas?

\(\left( A-B\right) ^{2}=A^{2}-2AB+B^{2}\)
\(\left( AB\right) ^{2}=A^{2}B^{2}\)
\(\left( A+B\right) ^{2}=A^{2}+2AB+B^{2}\)
\(\left( A+B\right) ^{2}=A^{2}+AB+BA+B^{2}\)
\(A^{2}B^{2}=A\left( AB\right) B\)
\(\left( A+B\right) ^{3}=A^{3}+3A^{2}B+3AB^{2}+B^{3}\)
\(\left( A+B\right) \left( A-B\right) =A^{2}-B^{2}\)

Responder

No necesariamente cierto.
No necesariamente cierto.
No necesariamente cierto.
Necesariamente cierto.
Necesariamente cierto.
No necesariamente cierto.
No necesariamente cierto.

2.5

Ejercicio\(\PageIndex{27}\)

Considerar las matrices\(A =\left [ \begin{array}{rr} 1 & 2 \\ 3 & 2 \\ 1 & -1 \end{array} \right ], B=\left [ \begin{array}{rrr} 2 & -5 & 2 \\ -3 & 2 & 1 \end{array} \right ], C =\left [ \begin{array}{rr} 1 & 2 \\ 5 & 0 \end{array} \right ], \\ D=\left [ \begin{array}{rr} -1 & 1 \\ 4 & -3 \end{array} \right ], E=\left [ \begin{array}{r} 1 \\ 3 \end{array} \right ]\)

Encuentre lo siguiente si es posible. Si no es posible explicar por qué.

\(-3A{^T}\)
\(3B - A^{T}\)
\(E^{T}B\)
\(EE^{T}\)
\(B^{T}B\)
\(CA^{T}\)
\(D^{T}BE\)

Responder

\(\left [ \begin{array}{rrr} -3 & -9 & -3 \\ -6 & -6 & 3 \end{array} \right ]\)
\(\left [ \begin{array}{rrr} 5 & -18 & 5 \\ -11 & 4 & 4 \end{array} \right ]\)
\(\left [ \begin{array}{rrr} -7 & 1 & 5 \end{array} \right ]\)
\(\left [ \begin{array}{rr} 1 & 3 \\ 3 & 9 \end{array} \right ]\)
\(\left [ \begin{array}{rrr} 13 & -16 & 1\\ -16 & 29 & -8 \\ 1 & -8 & 5 \end{array} \right ]\)
\(\left [ \begin{array}{rrr} 5 & 7 & -1 \\ 5 & 15 & 5 \end{array} \right ]\)
No es posible.

Ejercicio\(\PageIndex{28}\)

\(A\)Déjese ser una\(n\times n\) matriz. Mostrar\(A\) es igual a la suma de una matriz simétrica y una matriz simétrica sesgada.

Pista: Demostrar que\(\frac{1}{2}\left( A^{T}+A\right)\) es simétrico y luego considerar usar esta como una de las matrices.

Ejercicio\(\PageIndex{29}\)

Mostrar que la diagonal principal de cada matriz simétrica sesgada consiste únicamente en ceros. Recordemos que la diagonal principal consiste en cada entrada de la matriz que es de la forma\(a_{ii}\).

Responder: Si\(A\) es simétrico entonces se\(A=-A^{T}.\) deduce eso\(a_{ii}=-a_{ii}\) y así cada uno\(a_{ii}=0\).

Ejercicio\(\PageIndex{30}\)

Prueba 3 de Lemma 2.5.1. Es decir, mostrar que para una\(m \times n\) matriz\(A\), una\(m \times n\) matriz\(B\) y escalares\(r, s\), se mantiene lo siguiente:\[\left( rA + sB \right) ^T = rA^{T} + sB^{T}\nonumber \]

2.6

Ejercicio\(\PageIndex{31}\)

Demostrar que\(I_{m}A=A\) donde\(A\) está una\(m\times n\) matriz.

Responder: \(\left( I_{m}A\right) _{ij}\equiv \sum_{j}\delta _{ik}A_{kj}=A_{ij}\)

Ejercicio\(\PageIndex{32}\)

Supongamos\(AB=AC\) y\(A\) es una\(n\times n\) matriz invertible. ¿Sigue eso\(B=C?\) Explique por qué o por qué no?

Responder: Sí\(B=C\). \(AB = AC\)Multiplicar a la izquierda por\(A^{-1}\).

Ejercicio\(\PageIndex{33}\)

Supongamos\(AB=AC\) y\(A\) es una\(n\times n\) matriz no invertible. ¿Sigue eso\(B=C\)? Explique por qué o por qué no.

Ejercicio\(\PageIndex{34}\)

Dar un ejemplo de una matriz\(A\) tal que\(A^{2}=I\) y sin embargo\(A\neq I\) y\(A\neq -I.\)

Responder: \(A = \left [ \begin{array}{rrr} 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right ]\)

2.7

Ejercicio\(\PageIndex{35}\)

Vamos a\[A=\left [ \begin{array}{rr} 2 & 1 \\ -1 & 3 \end{array} \right ]\nonumber \] encontrar\(A^{-1}\) si es posible. Si\(A^{-1}\) no existe, explique por qué.

Responder: \(\left [ \begin{array}{rr} 2 & 1 \\ -1 & 3 \end{array} \right ]^{-1}= \left [ \begin{array}{rr} \frac{3}{7} & -\frac{1}{7} \\ \frac{1}{7} & \frac{2}{7} \end{array} \right ]\)

Ejercicio\(\PageIndex{36}\)

Vamos a\[A=\left [ \begin{array}{rr} 0 & 1 \\ 5 & 3 \end{array} \right ]\nonumber \] encontrar\(A^{-1}\) si es posible. Si\(A^{-1}\) no existe, explique por qué.

Responder: \(\left [ \begin{array}{cc} 0 & 1 \\ 5 & 3 \end{array} \right ]^{-1}= \left [ \begin{array}{cc} -\frac{3}{5} & \frac{1}{5} \\ 1 & 0 \end{array} \right ]\)

Ejercicio\(\PageIndex{37}\)

Agrega el texto de los ejercicios aquí.Deja\[A=\left [ \begin{array}{rr} 2 & 1 \\ 3 & 0 \end{array} \right ]\nonumber \] Encuentra\(A^{-1}\) si es posible. Si\(A^{-1}\) no existe, explique por qué.

Responder: \(\left [ \begin{array}{cc} 2 & 1 \\ 3 & 0 \end{array} \right ]^{-1}= \left [ \begin{array}{cc} 0 & \frac{1}{3} \\ 1 & -\frac{2}{3} \end{array} \right ]\)

Ejercicio\(\PageIndex{38}\)

Vamos a\[A=\left [ \begin{array}{rr} 2 & 1 \\ 4 & 2 \end{array} \right ]\nonumber \] encontrar\(A^{-1}\) si es posible. Si\(A^{-1}\) no existe, explique por qué.

Responder: \(\left [ \begin{array}{cc} 2 & 1 \\ 4 & 2 \end{array} \right ]^{-1}\)no existe. El de esta matriz es\(\left [ \begin{array}{cc} 1 & \frac{1}{2} \\ 0 & 0 \end{array} \right ]\)

Ejercicio\(\PageIndex{39}\)

Dejar\(A\) ser una matriz\(2\times 2\) invertible, con\(A=\left [ \begin{array}{cc} a & b \\ c & d \end{array} \right ] .\) Encuentra una fórmula para\(A^{-1}\) en términos de\(a,b,c,d\).

Responder: \(\left [ \begin{array}{cc} a & b \\ c & d \end{array} \right ]^{-1}= \left [ \begin{array}{cc} \frac{d}{ad-bc} & -\frac{b}{ad-bc} \\ -\frac{c}{ad-bc} & \frac{a}{ad-bc} \end{array} \right ]\)

Ejercicio\(\PageIndex{40}\)

Vamos a\[A=\left [ \begin{array}{rrr} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 4 \\ 1 & 0 & 2 \end{array} \right ]\nonumber \] encontrar\(A^{-1}\) si es posible. Si\(A^{-1}\) no existe, explique por qué.

Responder: \(\left [ \begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 4 \\ 1 & 0 & 2 \end{array} \right ]^{-1}= \left [ \begin{array}{rrr} -2 & 4 & -5 \\ 0 & 1 & -2 \\ 1 & -2 & 3 \end{array} \right ]\)

Ejercicio\(\PageIndex{41}\)

Vamos a\[A=\left [ \begin{array}{rrr} 1 & 0 & 3 \\ 2 & 3 & 4 \\ 1 & 0 & 2 \end{array} \right ]\nonumber \] encontrar\(A^{-1}\) si es posible. Si\(A^{-1}\) no existe, explique por qué.

Responder: \(\left [ \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 3 \\ 2 & 3 & 4 \\ 1 & 0 & 2 \end{array} \right ]^{-1}= \left [ \begin{array}{rrr} -2 & 0 & 3 \\ 0 & \frac{1}{3} & -\frac{2}{3} \\ 1 & 0 & -1 \end{array} \right ]\)

Ejercicio\(\PageIndex{42}\)

Vamos a\[A=\left [ \begin{array}{rrr} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 4 \\ 4 & 5 & 10 \end{array} \right ]\nonumber \] encontrar\(A^{-1}\) si es posible. Si\(A^{-1}\) no existe, explique por qué.

Responder: La forma reducida de fila-escalón es\(\left [ \begin{array}{ccc} 1 & 0 & \frac{5}{3} \\ 0 & 1 & \frac{2}{3} \\ 0 & 0 & 0 \end{array} \right ]\). No hay inversa.

Ejercicio\(\PageIndex{43}\)

Vamos a\[A=\left [ \begin{array}{rrrr} 1 & 2 & 0 & 2 \\ 1 & 1 & 2 & 0 \\ 2 & 1 & -3 & 2 \\ 1 & 2 & 1 & 2 \end{array} \right ]\nonumber \] encontrar\(A^{-1}\) si es posible. Si\(A^{-1}\) no existe, explique por qué.

Responder: \(\left [ \begin{array}{rrrr} 1 & 2 & 0 & 2 \\ 1 & 1 & 2 & 0 \\ 2 & 1 & -3 & 2 \\ 1 & 2 & 1 & 2 \end{array} \right ]^{-1}= \left [ \begin{array}{rrrr} -1 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ 3 & \frac{1}{2} & - \frac{1}{2} & - \frac{5}{2} \\ -1 & 0 & 0 & 1 \\ -2 & - \frac{3}{4} & \frac{1}{4} & \frac{9}{4} \end{array} \right ]\)

Ejercicio\(\PageIndex{44}\)

Usando la inversa de la matriz, encuentre la solución a los sistemas:

\[\left [ \begin{array}{rr} 2 & 4 \\ 1 & 1 \end{array} \right ] \left [ \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right ] =\left [ \begin{array}{r} 1 \\ 2 \end{array} \right ]\nonumber \]
\[\left [ \begin{array}{rr} 2 & 4 \\ 1 & 1 \end{array} \right ] \left [ \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right ] =\left [ \begin{array}{r} 2 \\ 0 \end{array} \right ]\nonumber \]

Ahora da la solución en términos de\(a\) y\(b\)\[\left [ \begin{array}{rr} 2 & 4 \\ 1 & 1 \end{array} \right ] \left [ \begin{array}{c} x \\ y \end{array}\right ] = \left [ \begin{array}{c} a \\ b \end{array} \right ]\nonumber \]

Ejercicio\(\PageIndex{45}\)

Usando la inversa de la matriz, encuentre la solución a los sistemas:

\[\left [ \begin{array}{rrr} 1 & 0 & 3 \\ 2 & 3 & 4 \\ 1 & 0 & 2 \end{array} \right ] \left [ \begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array} \right ] =\left [ \begin{array}{r} 1 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right ]\nonumber \]
\[\left [ \begin{array}{rrr} 1 & 0 & 3 \\ 2 & 3 & 4 \\ 1 & 0 & 2 \end{array} \right ] \left [ \begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array} \right ] =\left [ \begin{array}{r} 3 \\ -1 \\ -2 \end{array} \right ]\nonumber \]

Ahora dé la solución en términos de\(a,b,\) y\(c\) a lo siguiente:\[\left [ \begin{array}{rrr} 1 & 0 & 3 \\ 2 & 3 & 4 \\ 1 & 0 & 2 \end{array} \right ] \left [ \begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array} \right ] =\left [ \begin{array}{c} a \\ b \\ c \end{array} \right ]\nonumber \]

Responder

\(\left [ \begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array} \right ] =\left [ \begin{array}{c} 1 \\ -\frac{2}{3} \\ 0 \end{array} \right ]\)
\(\left [ \begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array} \right ] = \left [ \begin{array}{r} -12 \\ 1 \\ 5 \end{array} \right ]\)
\(\left [ \begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array} \right ] = \left [ \begin{array}{c} 3c-2a \\ \frac{1}{3}b-\frac{2}{3}c \\ a-c \end{array} \right ]\)

Ejercicio\(\PageIndex{46}\)

Mostrar que si\(A\) es una matriz\(n\times n\) invertible y\(X\) es una\(n\times 1\) matriz tal que\(AX=B\) para\(B\) una\(n\times 1\) matriz, entonces\(X=A^{-1}B\).

Responder: Multiplica ambos\(AX=B\) lados de a la izquierda por\(A^{-1}\).

Ejercicio\(\PageIndex{47}\)

Demostrar que si\(A^{-1}\) existe y\(AX=0\) entonces\(X=0\).

Responder: Multiplicar en ambos lados a la izquierda por\(A^{-1}.\) Así\[0=A^{-1}0=A^{-1}\left( AX\right) =\left( A^{-1}A\right) X=IX = X\nonumber \]

Ejercicio\(\PageIndex{48}\): Inverse Product

Mostrar que si\(A^{-1}\) existe para una\(n\times n\) matriz, entonces es única. Es decir, si\(BA=I\) y\(AB=I,\) entonces\(B=A^{-1}.\)

Responder: \(A^{-1}=A^{-1}I=A^{-1}\left( AB\right) =\left( A^{-1}A\right) B=IB=B.\)

Ejercicio\(\PageIndex{49}\)

Demostrar que si\(A\) es una\(n\times n\) matriz invertible, entonces así es\(A^{T}\) y\(\left( A^{T}\right) ^{-1}=\left( A^{-1}\right) ^{T}.\)

Responder: Es necesario demostrar que\(\left( A^{-1}\right) ^{T}\) actúa como lo inverso de\(A^{T}\) porque a partir de la singularidad en el problema anterior, esto implicará que es el inverso. A partir de las propiedades de la transposición,\[\begin{aligned} A^{T}\left( A^{-1}\right) ^{T} &=\left( A^{-1}A\right) ^{T}=I^{T}=I \\ \left( A^{-1}\right) ^{T}A^{T} &=\left( AA^{-1}\right) ^{T}=I^{T}=I\end{aligned}\] Por lo tanto\(\left( A^{-1}\right) ^{T}=\left( A^{T}\right) ^{-1}\) y esta última matriz existe.

Ejercicio\(\PageIndex{50}\)

Muéstralo\(\left( AB\right) ^{-1}=B^{-1}A^{-1}\) verificando eso\[AB\left( B^{-1}A^{-1}\right) =I\nonumber \] y\[B^{-1}A^{-1}\left( AB\right) =I\nonumber \] Pista: Problema de uso\(\PageIndex{48}\).

Responder: \(\left( AB\right) B^{-1}A^{-1}=A\left( BB^{-1}\right) A^{-1}=AA^{-1}=I\)\(B^{-1}A^{-1}\left( AB\right) =B^{-1}\left( A^{-1}A\right) B=B^{-1}IB=B^{-1}B=I\)

Ejercicio\(\PageIndex{51}\)

Demuéstralo\(\left( ABC\right) ^{-1}=C^{-1}B^{-1}A^{-1}\) verificando eso\[\left( ABC\right) \left( C^{-1}B^{-1}A^{-1}\right) =I\nonumber \] y\[\left( C^{-1}B^{-1}A^{-1}\right)\left( ABC\right) =I\nonumber \] Pista: Usar Problema\(\PageIndex{48}\).

Responder: El comprobante de este ejercicio se desprende del anterior.

Ejercicio\(\PageIndex{52}\)

Si\(A\) es invertible, mostrar\(\left( A^{2}\right) ^{-1}=\left( A^{-1}\right) ^{2}.\) Pista: Usar Problema\(\PageIndex{48}\).

Responder: \(A^{2}\left( A^{-1}\right) ^{2}=AAA^{-1}A^{-1}=AIA^{-1}=AA^{-1}=I\)\(\left( A^{-1}\right) ^{2}A^{2}=A^{-1}A^{-1}AA=A^{-1}IA=A^{-1}A=I\)

Ejercicio\(\PageIndex{53}\)

Si\(A\) es invertible, mostrar\(\left( A^{-1}\right) ^{-1}=A.\) Pista: Usar Problema\(\PageIndex{48}\).

Responder: \(A^{-1}A=AA^{-1}=I\)y así por singularidad,\(\left( A^{-1}\right) ^{-1}=A\).

2.8

Ejercicio\(\PageIndex{54}\)

Vamos\(A = \left [ \begin{array}{rr} 2 & 3 \\ 1 & 2 \end{array}\right ]\). Supongamos que se aplica una operación de fila\(A\) y el resultado es\(B = \left [ \begin{array}{rr} 1 & 2 \\ 2 & 3 \end{array}\right ]\). Encuentra la matriz elemental\(E\) que representa esta operación de fila.

Ejercicio\(\PageIndex{55}\)

Vamos\(A = \left [ \begin{array}{rr} 4 & 0 \\ 2 & 1 \end{array}\right ]\). Supongamos que se aplica una operación de fila\(A\) y el resultado es\(B = \left [ \begin{array}{rr} 8 & 0 \\ 2 & 1 \end{array}\right ]\). Encuentra la matriz elemental\(E\) que representa esta operación de fila.

Ejercicio\(\PageIndex{56}\)

Vamos\(A = \left [ \begin{array}{rr} 1 & -3 \\ 0 & 5 \end{array}\right ]\). Supongamos que se aplica una operación de fila\(A\) y el resultado es\(B = \left [ \begin{array}{rr} 1 & -3 \\ 2 & -1 \end{array}\right ]\). Encuentra la matriz elemental\(E\) que representa esta operación de fila.

Ejercicio\(\PageIndex{57}\)

Vamos\(A = \left [ \begin{array}{rrr} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 5 & 1 \\ 2 & -1 & 4 \end{array}\right ]\). Supongamos que se aplica una operación de fila\(A\) y el resultado es\(B = \left [ \begin{array}{rrr} 1 & 2 & 1\\ 2 & -1 & 4 \\ 0 & 5 & 1 \end{array}\right ]\).

Encuentra la matriz elemental\(E\) tal que\(EA = B\).
Encuentra la inversa de\(E\),\(E^{-1}\), tal que\(E^{-1}B = A\).

Ejercicio\(\PageIndex{58}\)

Encuentra la matriz elemental\(E\) tal que\(EA = B\).
Encuentra la inversa de\(E\),\(E^{-1}\), tal que\(E^{-1}B = A\).

Ejercicio\(\PageIndex{59}\)

Encuentra la matriz elemental\(E\) tal que\(EA = B\).
Encuentra la inversa de\(E\),\(E^{-1}\), tal que\(E^{-1}B = A\).

Ejercicio\(\PageIndex{60}\)

Encuentra la matriz elemental\(E\) tal que\(EA = B\).
Encuentra la inversa de\(E\),\(E^{-1}\), tal que\(E^{-1}B = A\).

2.10

Ejercicio\(\PageIndex{61}\)

Encuentra una\(LU\) factorización de\(\left [ \begin{array}{rrr} 1 & 2 & 0 \\ 2 & 1 & 3 \\ 1 & 2 & 3 \end{array} \right ] .\)

Responder: \[\left [ \begin{array}{ccc} 1 & 2 & 0 \\ 2 & 1 & 3 \\ 1 & 2 & 3 \end{array} \right ] = \left [ \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 2 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \end{array} \right ] \left [ \begin{array}{rrr} 1 & 2 & 0 \\ 0 & -3 & 3 \\ 0 & 0 & 3 \end{array} \right ]\nonumber \]

Ejercicio\(\PageIndex{62}\)

Encuentra una\(LU\) factorización de\(\left [ \begin{array}{rrrr} 1 & 2 & 3 & 2 \\ 1 & 3 & 2 & 1 \\ 5 & 0 & 1 & 3 \end{array} \right ] .\)

Responder: \[\left [ \begin{array}{cccc} 1 & 2 & 3 & 2 \\ 1 & 3 & 2 & 1 \\ 5 & 0 & 1 & 3 \end{array} \right ] = \left [ \begin{array}{rrr} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 5 & -10 & 1 \end{array} \right ] \left [ \begin{array}{rrrr} 1 & 2 & 3 & 2 \\ 0 & 1 & -1 & -1 \\ 0 & 0 & -24 & -17 \end{array} \right ]\nonumber \]

Ejercicio\(\PageIndex{63}\)

Encuentra una\(LU\) factorización de la matriz\(\left [ \begin{array}{rrrr} 1 & -2 & -5 & 0 \\ -2 & 5 & 11 & 3 \\ 3 & -6 & -15 & 1 \end{array} \right ] .\)

Responder: \[\left [ \begin{array}{rrrr} 1 & -2 & -5 & 0 \\ -2 & 5 & 11 & 3 \\ 3 & -6 & -15 & 1 \end{array} \right ] = \left [ \begin{array}{rrr} 1 & 0 & 0 \\ -2 & 1 & 0 \\ 3 & 0 & 1 \end{array} \right ] \left [ \begin{array}{rrrr} 1 & -2 & -5 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array} \right ]\nonumber \]

Ejercicio\(\PageIndex{64}\)

Encuentra una\(LU\) factorización de la matriz\(\left [ \begin{array}{rrrr} 1 & -1 & -3 & -1 \\ -1 & 2 & 4 & 3 \\ 2 & -3 & -7 & -3 \end{array} \right ] .\)

Responder: \[\left [ \begin{array}{rrrr} 1 & -1 & -3 & -1 \\ -1 & 2 & 4 & 3 \\ 2 & -3 & -7 & -3 \end{array} \right ] = \left [ \begin{array}{rrr} 1 & 0 & 0 \\ -1 & 1 & 0 \\ 2 & -1 & 1 \end{array} \right ] \left [ \begin{array}{rrrr} 1 & -1 & -3 & -1 \\ 0 & 1 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array} \right ]\nonumber \]

Ejercicio\(\PageIndex{65}\)

Encuentra una\(LU\) factorización de la matriz\( \ \ \left [ \begin{array}{rrrr} 1 & -3 & -4 & -3 \\ -3 & 10 & 10 & 10 \\ 1 & -6 & 2 & -5 \end{array} \right ] .\)

Responder: \[\left [ \begin{array}{rrrr} 1 & -3 & -4 & -3 \\ -3 & 10 & 10 & 10 \\ 1 & -6 & 2 & -5 \end{array} \right ] = \left [ \begin{array}{rrr} 1 & 0 & 0 \\ -3 & 1 & 0 \\ 1 & -3 & 1 \end{array} \right ] \left [ \begin{array}{rrrr} 1 & -3 & -4 & -3 \\ 0 & 1 & -2 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array} \right ]\nonumber \]

Ejercicio\(\PageIndex{66}\)

Encuentra una\(LU\) factorización de la matriz\(\left [ \begin{array}{rrrr} 1 & 3 & 1 & -1 \\ 3 & 10 & 8 & -1 \\ 2 & 5 & -3 & -3 \end{array} \right ] .\)

Responder: \[\left [ \begin{array}{rrrr} 1 & 3 & 1 & -1 \\ 3 & 10 & 8 & -1 \\ 2 & 5 & -3 & -3 \end{array} \right ] = \left [ \begin{array}{rrr} 1 & 0 & 0 \\ 3 & 1 & 0 \\ 2 & -1 & 1 \end{array} \right ] \left [ \begin{array}{rrrr} 1 & 3 & 1 & -1 \\ 0 & 1 & 5 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array} \right ]\nonumber \]

Ejercicio\(\PageIndex{67}\)

Encuentra una\(LU\) factorización de la matriz\(\left [ \begin{array}{rrr} 3 & -2 & 1 \\ 9 & -8 & 6 \\ -6 & 2 & 2 \\ 3 & 2 & -7 \end{array} \right ] .\)

Responder: \[\left [ \begin{array}{rrr} 3 & -2 & 1 \\ 9 & -8 & 6 \\ -6 & 2 & 2 \\ 3 & 2 & -7 \end{array} \right ] = \left [ \begin{array}{rrrr} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 3 & 1 & 0 & 0 \\ -2 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & -2 & -2 & 1 \end{array} \right ] \left [ \begin{array}{rrr} 3 & -2 & 1 \\ 0 & -2 & 3 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{array} \right ]\nonumber \]

Ejercicio\(\PageIndex{68}\)

Encuentra una\(LU\) factorización de la matriz\(\left [ \begin{array}{rrr} -3 & -1 & 3 \\ 9 & 9 & -12 \\ 3 & 19 & -16 \\ 12 & 40 & -26 \end{array} \right ] .\)

Ejercicio\(\PageIndex{69}\)

Encuentra una\(LU\) factorización de la matriz\(\left [ \begin{array}{rrr} -1 & -3 & -1 \\ 1 & 3 & 0 \\ 3 & 9 & 0 \\ 4 & 12 & 16 \end{array} \right ] .\)

Responder: \[\left [ \begin{array}{rrr} -1 & -3 & -1 \\ 1 & 3 & 0 \\ 3 & 9 & 0 \\ 4 & 12 & 16 \end{array} \right ] = \left [ \begin{array}{rrrr} 1 & 0 & 0 & 0 \\ -1 & 1 & 0 & 0 \\ -3 & 0 & 1 & 0 \\ -4 & 0 & -4 & 1 \end{array} \right ] \left [ \begin{array}{rrr} -1 & -3 & -1 \\ 0 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & -3 \\ 0 & 0 & 0 \end{array} \right ]\nonumber \]

Ejercicio\(\PageIndex{70}\)

Encuentra la\(LU\) factorización de la matriz de coeficientes usando el método de Dolittle y úsalo para resolver el sistema de ecuaciones. \[\begin{array}{c} x+2y=5 \\ 2x+3y=6 \end{array}\nonumber \]

Responder: Una\(LU\) factorización de la matriz de coeficientes es\[\left [ \begin{array}{cc} 1 & 2 \\ 2 & 3 \end{array} \right ] = \left [ \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 2 & 1 \end{array} \right ] \left [ \begin{array}{cc} 1 & 2 \\ 0 & -1 \end{array} \right ]\nonumber \] First solve\[\left [ \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 2 & 1 \end{array} \right ] \left [ \begin{array}{c} u \\ v \end{array} \right ] =\left [ \begin{array}{c} 5 \\ 6 \end{array} \right ]\nonumber \] que da\(\left [ \begin{array}{c} u \\ v \end{array} \right ] =\)\(\left [ \begin{array}{r} 5 \\ -4 \end{array} \right ] .\) Luego resuelve\[\left [ \begin{array}{rr} 1 & 2 \\ 0 & -1 \end{array} \right ] \left [ \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right ] =\left [ \begin{array}{r} 5 \\ -4 \end{array} \right ]\nonumber \] que dice eso\(y=4\) y\(x=-3.\)

Ejercicio\(\PageIndex{71}\)

Encuentra la\(LU\) factorización de la matriz de coeficientes usando el método de Dolittle y úsalo para resolver el sistema de ecuaciones. \[\begin{array}{c} x+2y+z=1 \\ y+3z=2 \\ 2x+3y=6 \end{array}\nonumber \]

Contestar: Una\(LU\) factorización de la matriz de coeficientes es\[\left [ \begin{array}{rrr} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 3 \\ 2 & 3 & 0 \end{array} \right ] = \left [ \begin{array}{rrr} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 2 & -1 & 1 \end{array} \right ] \left [ \begin{array}{rrr} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right ]\nonumber \] First solve\[\left [ \begin{array}{rrr} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 2 & -1 & 1 \end{array} \right ] \left [ \begin{array}{c} u \\ v \\ w \end{array} \right ] =\left [ \begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 6 \end{array} \right ]\nonumber \] que rinde\(u=1,v=2,w=6\). Siguiente resolver\[\left [ \begin{array}{rrr} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right ] \left [ \begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array} \right ] =\left [ \begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 6 \end{array} \right ]\nonumber \] Esto rinde\(z=6,y=-16,x=27.\)

Ejercicio\(\PageIndex{72}\)

Encuentra la\(LU\) factorización de la matriz de coeficientes usando el método de Dolittle y úsalo para resolver el sistema de ecuaciones. \[\begin{array}{c} x+2y+3z=5 \\ 2x+3y+z=6 \\ x-y+z=2 \end{array}\nonumber \]

Ejercicio\(\PageIndex{73}\)

Contestar: Una\(LU\) factorización de la matriz de coeficientes es\[\left [ \begin{array}{rrr} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 1 \\ 3 & 5 & 4 \end{array} \right ] = \left [ \begin{array}{rrr} 1 & 0 & 0 \\ 2 & 1 & 0 \\ 3 & 1 & 1 \end{array} \right ] \left [ \begin{array}{rrr} 1 & 2 & 3 \\ 0 & -1 & -5 \\ 0 & 0 & 0 \end{array} \right ]\nonumber \] First solve\[\left [ \begin{array}{rrr} 1 & 0 & 0 \\ 2 & 1 & 0 \\ 3 & 1 & 1 \end{array} \right ] \left [ \begin{array}{c} u \\ v \\ w \end{array} \right ] =\left [ \begin{array}{c} 5 \\ 6 \\ 11 \end{array} \right ]\nonumber \] La solución es:\(\left [ \begin{array}{c} u \\ v \\ w \end{array} \right ] =\)\(\left [ \begin{array}{c} 5 \\ -4 \\ 0 \end{array} \right ] .\) Next solve\[\left [ \begin{array}{rrr} 1 & 2 & 3 \\ 0 & -1 & -5 \\ 0 & 0 & 0 \end{array} \right ] \left [ \begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array} \right ] =\left [ \begin{array}{c} 5 \\ -4 \\ 0 \end{array} \right ]\nonumber \] La solución es:\(\left [ \begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array} \right ] =\left [ \begin{array}{c} 7t-3 \\ 4-5t \\ t \end{array} \right ] ,t\in \mathbb{R}\).

Ejercicio\(\PageIndex{74}\)

¿Hay una sola\(LU\) factorización para una matriz dada? Pista: Considere la ecuación\[\left [ \begin{array}{rr} 0 & 1 \\ 0 & 1 \end{array} \right ] =\left [ \begin{array}{rr} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{array} \right ] \left [ \begin{array}{rr} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{array} \right ] .\nonumber \] Busque todas las\(LU\) factorizaciones posibles.

Contestar: A veces hay más de una\(LU\) factorización como es el caso en este ejemplo. La ecuación dada da claramente una\(LU\) factorización. Sin embargo, parece que la siguiente ecuación da otra\(LU\) factorización. \[\left [ \begin{array}{cc} 0 & 1 \\ 0 & 1 \end{array} \right ] =\left [ \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array} \right ] \left [ \begin{array}{cc} 0 & 1 \\ 0 & 1 \end{array} \right ]\nonumber \]