4.E: Ejercicios

Ejercicio$\PageIndex{1}$

Encuentra$-3\left[\begin{array}{c}5\\-1\\2\\-3\end{array}\right]+5\left[\begin{array}{c}-8\\2\\-3\\6\end{array}\right]$.

Contestar

$\left[\begin{array}{c}-55\\13\\-21\\39\end{array}\right]$

Ejercicio$\PageIndex{2}$

Encuentra$-7\left[\begin{array}{c}6\\0\\4\\-1\end{array}\right]+6\left[\begin{array}{c}-13\\-1\\1\\6\end{array}\right]$.

Ejercicio$\PageIndex{3}$

Decidir si $$\vec{v}=\left[\begin{array}{c}4\\4\\-3\end{array}\right]\nonumber$$ es una combinación lineal de los vectores $$\vec{u}_{1}=\left[\begin{array}{c}3\\1\\-1\end{array}\right]\quad\text{and}\quad\vec{u}_{2}=\left[\begin{array}{c}2\\-2\\1\end{array}\right].\nonumber$$

Contestar

$$\left[\begin{array}{c}4\\4\\-3\end{array}\right]=2\left[\begin{array}{c}3\\1\\-1\end{array}\right]-\left[\begin{array}{c}2\\-2\\1\end{array}\right]\nonumber$$

Ejercicio$\PageIndex{4}$

Decidir si $$\vec{v}=\left[\begin{array}{c}4\\4\\4\end{array}\right]\nonumber$$ es una combinación lineal de los vectores $$\vec{u}_1=\left[\begin{array}{c}3\\1\\-1\end{array}\right]\quad\text{and}\quad\vec{u}_2=\left[\begin{array}{c}2\\-2\\1\end{array}\right].\nonumber$$

Contestar

El sistema no $$\left[\begin{array}{c}4\\4\\4\end{array}\right]=a_1\left[\begin{array}{c}3\\1\\-1\end{array}\right]+a_2\left[\begin{array}{c}2\\-2\\1\end{array}\right]\nonumber$$ tiene solución.

Ejercicio$\PageIndex{5}$

Encuentra la ecuación vectorial para la línea a través$(−7, 6, 0)$ y$(−1, 1, 4)$. Después, encuentra las ecuaciones paramétricas para esta línea.

Ejercicio$\PageIndex{6}$

Encuentra ecuaciones paramétricas para la línea a través del punto$(7, 7, 1)$ con un vector de dirección$\vec{d}=\left[\begin{array}{c}1\\6\\2\end{array}\right]$.

Ejercicio$\PageIndex{7}$

Las ecuaciones paramétricas de la línea son $$\begin{aligned}x&=t+2 \\ y&=6-3t \\ x&=-t=6\end{aligned}$$ Buscar un vector de dirección para la línea y un punto en la línea.

Ejercicio$\PageIndex{8}$

Encuentra la ecuación vectorial para la línea a través de los dos puntos$(−5, 5, 1),\: (2, 2, 4)$. Después, encuentra las ecuaciones paramétricas.

Ejercicio$\PageIndex{9}$

La ecuación de una línea en dos dimensiones se escribe como$y = x−5$. Encuentra ecuaciones paramétricas para esta línea.

Ejercicio$\PageIndex{10}$

Encuentra ecuaciones paramétricas para la línea a través$(6, 5,−2)$ y$(5, 1, 2)$.

Ejercicio$\PageIndex{11}$

Encuentra la ecuación vectorial y las ecuaciones paramétricas para la línea a través del punto$(−7, 10,−6)$ con un vector de dirección$\vec{d}=\left[\begin{array}{c}1\\1\\3\end{array}\right]$.

Ejercicio$\PageIndex{12}$

Las ecuaciones paramétricas de la línea son $$\begin{aligned}x&=2t+2 \\ y&=5-4t \\ z&=-t-3\end{aligned}$$ Buscar un vector de dirección para la línea y un punto en la línea, y escribir la ecuación vectorial de la línea.

Ejercicio$\PageIndex{13}$

Encuentra la ecuación vectorial y las ecuaciones paramétricas para la línea a través de los dos puntos$(4, 10, 0),\: (1,−5,−6)$.

Ejercicio$\PageIndex{14}$

Encuentra el punto en el segmento de línea desde$P = (−4, 7, 5)$ el$Q = (2,−2,−3)$ que está$\frac{1}{7}$ del camino de$P$ a$Q$.

Ejercicio$\PageIndex{15}$

Supongamos que un triángulo en$\mathbb{R}^n$ tiene vértices en$P_1,\: P_2,$ y$P_3$. Considere las líneas que se dibujan desde un vértice hasta el punto medio del lado opuesto. Mostrar estas tres líneas se cruzan en un punto y encuentra las coordenadas de este punto.

Ejercicio$\PageIndex{16}$

Encuentra$\left[\begin{array}{c}1\\2\\3\\4\end{array}\right]\bullet\left[\begin{array}{c}2\\0\\1\\3\end{array}\right]$.

Contestar

$\left[\begin{array}{c}1\\2\\3\\4\end{array}\right]\bullet\left[\begin{array}{c}2\\0\\1\\3\end{array}\right]=17$

Ejercicio$\PageIndex{17}$

Usa la fórmula dada en la Proposición 4.7.2 para verificar la desigualdad de Cauchy Schwarz y para mostrar que la igualdad ocurre si y solo si uno de los vectores es un múltiplo escalar del otro

Contestar

Esta fórmula dice que$\vec{u}\bullet\vec{v} = ||\vec{u}||\:||\vec{v}||\cos\theta$ donde$θ$ está el ángulo incluido entre los dos vectores. Así $$||\vec{u}\bullet\vec{v}||=||\vec{u}||\:||\vec{v}||\:||\cos\theta||\leq ||\vec{u}||\:||\vec{v}||\nonumber$$ y la igualdad se mantiene si y sólo si$\theta = 0$ o$π$. Esto significa que los dos vectores apuntan en la misma dirección u direcciones opuestas. De ahí que uno sea un múltiplo del otro.

Ejercicio$\PageIndex{18}$

Para$\vec{u}$,$\vec{v}$ vectores en$\mathbb{R}^3$, definir el producto,$\vec{u}\ast\vec{v} = u_1v_1 +2u_2v_2 +3u_3v_3$. Muestre los axiomas de un producto de punto, todos retenidos para este producto. Demostrar $$||\vec{u}\ast\vec{v}||\leq (\vec{u}\ast\vec{u})^{1/2}(\vec{v}\ast\vec{v})^{1/2}\nonumber$$

Contestar

Esto se desprende de la desigualdad de Cauchy Schwarz y la prueba del Teorema 4.7.1 que solo utilizó las propiedades del producto punto. Dado que este nuevo producto tiene las mismas propiedades que la desigualdad de Cauchy Schwarz también tiene para él.

Ejercicio$\PageIndex{19}$

Dejemos$\vec{a}$,$\vec{b}$ sean vectores. Demostrar que$\left(\vec{a}\bullet\vec{b}\right)=\frac{1}{4}\left(||\vec{a}+\vec{b}||^2-||\vec{a}-\vec{b}||^2\right).$

Ejercicio$\PageIndex{20}$

Usando los axiomas del producto punto, demuestre la identidad del paralelogramo: $$||\vec{a}+\vec{b}||^2+||\vec{a}-\vec{b}||^2=2||\vec{a}||^2+2||\vec{b}||^2\nonumber$$

Ejercicio $\PageIndex{21}$

Dejar$A$ ser una$m\times n$ matriz real y dejar$\vec{u} ∈ \mathbb{R}^n$ y$\vec{v} ∈ \mathbb{R}^m$. Espectáculo$A\vec{u}\bullet\vec{v} =\vec{u}\bullet A^T\vec{v}$. Pista: Usa la definición de multiplicación matricial para hacer esto.

Contestar

$A\vec{x}\bullet\vec{y}=\sum_k(A\vec{x})_ky_k=\sum_k\sum_iA_{ki}x_iy_k=\sum_i\sum_kA^T_{ik}x_iy_k=\vec{x}\bullet A^T\vec{y}$

Ejercicio$\PageIndex{22}$

Utilice el resultado de Problema$\PageIndex{21}$ para verificar directamente eso$(AB)^T = B^TA^T$ sin hacer ninguna referencia a los subíndices.

Contestar

$$\begin{aligned}AB\vec{x}\bullet\vec{y}&=B\vec{x}\bullet A^T\vec{y} \\ &=\vec{x}\bullet B^TA^T\vec{y} \\ &=\vec{x}\bullet (AB)^T\vec{y}\end{aligned}$$ Como esto es cierto para todos$\vec{x}$, se deduce que, en particular, se sostiene para $$\vec{x}=B^TA^T\vec{y}-(AB)^T\vec{y}\nonumber$$ y así desde los axiomas del producto punto, $$\left(B^TA^T\vec{y}-(AB)^T\vec{y}\right)\bullet\left(B^TA^T\vec{y}-(AB)^T\vec{y}\right)=0\nonumber$$ y así$B^TA^T\vec{y}-(AB)^T\vec{y}=\vec{0}$. Sin embargo, esto es cierto para todos$\vec{y}$ y así$B^TA^T-(AB)^T=0$.

Ejercicio$\PageIndex{23}$

Encuentra el ángulo entre los vectores $$\vec{u}=\left[\begin{array}{r}3\\-1\\-1\end{array}\right],\:\vec{v}=\left[\begin{array}{c}1\\4\\2\end{array}\right]\nonumber$$

Contestar

$\frac{\left[\begin{array}{ccc}3&-1&-1\end{array}\right]^T\bullet\left[\begin{array}{ccc}1&4&2\end{array}\right]^T}{\sqrt{9+1+1}\sqrt{1+16+4}}=\frac{-3}{\sqrt{11}\sqrt{21}}=-0.19739=\cos\theta$Por lo tanto necesitamos resolver $$-0.19739=\cos\theta\nonumber$$ Así$\theta=1.7695$ radianes.

Ejercicio$\PageIndex{24}$

Encuentra el ángulo entre los vectores $$\vec{u}=\left[\begin{array}{r}1\\-2\\1\end{array}\right],\:\vec{v}=\left[\begin{array}{r}1\\2\\-7\end{array}\right]\nonumber$$

Contestar

$\frac{-10}{\sqrt{1+4+1}\sqrt{1+4+49}}=-0.55555=\cos\theta$Por lo tanto tenemos que resolver$−0.55555 = \cos θ$, lo que da$θ = 2.0313$ radianes.

Ejercicio$\PageIndex{25}$

Encuentra$\text{proj}_{\vec{v}}(\vec{w})$ dónde$\vec{w}=\left[\begin{array}{r}1\\0\\-2\end{array}\right]$ y$\vec{v}=\left[\begin{array}{c}1\\2\\3\end{array}\right]$.

Contestar

$\frac{\vec{u}\bullet\vec{v}}{\vec{u}\bullet\vec{u}}\vec{u}=\frac{-5}{14}\left[\begin{array}{c}1\\2\\3\end{array}\right]=\left[\begin{array}{r}-\frac{5}{14}\\-\frac{5}{7}\\-\frac{15}{14}\end{array}\right]$

Ejercicio$\PageIndex{26}$

Encuentra$\text{proj}_{\vec{v}}(\vec{w})$ dónde$\vec{w}=\left[\begin{array}{r}1\\2\\-2\end{array}\right]$ y$\vec{v}=\left[\begin{array}{c}1\\0\\3\end{array}\right]$.

Contestar

$\frac{\vec{u}\bullet\vec{v}}{\vec{u}\bullet\vec{u}}\vec{u}=\frac{-5}{10}\left[\begin{array}{c}1\\0\\3\end{array}\right]=\left[\begin{array}{r}-\frac{1}{2}\\0\\-\frac{3}{2}\end{array}\right]$

Ejercicio$\PageIndex{27}$

Encuentra$\text{proj}_{\vec{v}}(\vec{w})$ dónde$\vec{w}=\left[\begin{array}{r}1\\2\\-2\\1\end{array}\right]$ y$\vec{v}=\left[\begin{array}{c}1\\2\\3\\0\end{array}\right]$.

Contestar

$\frac{\vec{u}\bullet\vec{v}}{\vec{u}\bullet\vec{u}}\vec{u}=\frac{\left[\begin{array}{cccc}1&2&-2&1\end{array}\right]^T\bullet\left[\begin{array}{cccc}1&2&3&0\end{array}\right]^T}{1+4+9}\left[\begin{array}{c}1\\2\\3\\0\end{array}\right]=\left[\begin{array}{r}-\frac{1}{14}\\-\frac{1}{7}\\-\frac{3}{14}\\0\end{array}\right]$

Ejercicio$\PageIndex{28}$

Dejemos$P = (1, 2, 3)$ ser un punto en$\mathbb{R}^3$. Dejar$L$ ser la línea a través del punto$P_0 = (1, 4, 5)$ con vector de dirección$\vec{d} =\left[\begin{array}{r}1\\-1\\1\end{array}\right]$. Encuentra la distancia más corta de$P$ a$L$, y encuentra el punto$Q$ en el$L$ que está más cerca$P$.

Ejercicio$\PageIndex{29}$

Dejemos$P = (0, 2, 1)$ ser un punto en$\mathbb{R}^3$. Dejar$L$ ser la línea a través del punto$P_0 = (1, 1, 1)$ con vector de dirección$\vec{d} =\left[\begin{array}{c}3\\0\\1\end{array}\right]$. Encuentra la distancia más corta de$P$ a$L$, y encuentra el punto$Q$ en el$L$ que está más cerca$P$.

Ejercicio$\PageIndex{30}$

¿Tiene sentido hablar de ello$\text{proj}_{\vec{0}} (\vec{w})$?

Contestar

No, no lo hace. El$0$ vector no tiene dirección. La fórmula para$\text{proj}_{\vec{0}} (\vec{w})$ tampoco tiene sentido.

Ejercicio$\PageIndex{31}$

Demostrar la desigualdad de Cauchy Schwarz en la$\mathbb{R}^n$ siguiente manera. Para$\vec{u}$,$\vec{v}$ vectores, considere $$(\vec{w}-\text{proj}_{\vec{v}}\vec{w})\bullet (\vec{w}-\text{proj}_{\vec{v}}\vec{w})\geq 0\nonumber$$ Simplificar usando los axiomas del producto punto y luego poner en la fórmula para la proyección. Observe que esta expresión es igual$0$ y se obtiene igualdad en la desigualdad de Cauchy Schwarz si y solo si$\vec{w} = \text{proj}_{\vec{v}}\vec{w}$. ¿Cuál es el significado geométrico de$\vec{w}= \text{proj}_{\vec{v}}\vec{w}$?

Contestar

$$\left(\vec{u}-\frac{\vec{u}\bullet\vec{v}}{||\vec{v}||^2}\vec{v}\right)\bullet\left(\vec{u}-\frac{\vec{u}\bullet\vec{v}}{||\vec{v}||^2}\vec{v}\right)=||\vec{u}||^2-2(\vec{u}\bullet\vec{v})^2\frac{1}{||\vec{v}||^2}+(\vec{u}\bullet\vec{v})^2\frac{1}{||\vec{v}||^2}\geq 0\nonumber$$ Y así $$||\vec{u}||^2||\vec{v}||^2\geq (\vec{u}\bullet\vec{v})^2\nonumber$$ obtienes igualdad exactamente cuando$\vec{u}=\text{proj}_{\vec{v}}\vec{u}=\frac{\vec{u}\bullet\vec{v}}{||\vec{v}||^2}\vec{v}$ en otras palabras, cuando$\vec{u}$ es un múltiplo de$\vec{v}$.

Ejercicio$\PageIndex{32}$

$\vec{v},\:\vec{w},\:\vec{u}$Dejen ser vectores. Demuestre que$(\vec{w}+\vec{u})_{\perp}=\vec{w}_\perp +\vec{u}_\perp$ dónde$\vec{w}_\perp =\vec{w}-\text{proj}_{\vec{v}}(\vec{w})$.

Contestar

$$\begin{aligned}\vec{w}-\text{proj}_{\vec{v}}(\vec{w})+\vec{u}-\text{proj}_{\vec{v}}(\vec{u})&=\vec{w}+\vec{u}-(\text{proj}_{\vec{v}}(\vec{w})+\text{proj}_{\vec{v}}(\vec{u})) \\ &=\vec{w}+\vec{u}-\text{proj}_{\vec{v}}(\vec{w}+\vec{u})\end{aligned}$$ Esto sigue porque $$\begin{aligned}\text{proj}_{\vec{v}}(\vec{w})+\text{proj}_{\vec{v}}(\vec{u})&=\frac{\vec{u}\bullet\vec{v}}{||\vec{v}||^2}\vec{v}+\frac{\vec{w}\bullet\vec{v}}{||\vec{v}||^2}\vec{v} \\ &=\frac{(\vec{u}+\vec{w})\bullet\vec{v}}{||\vec{v}||^2}\vec{v} \\ &=\text{proj}_{\vec{v}}(\vec{w}+\vec{u})\end{aligned}$$

Ejercicio$\PageIndex{33}$

Mostrar que $$(\vec{v}-\text{proj}_{\vec{u}}(\vec{v}),\vec{u})=(\vec{v}-\text{proj}_{\vec{u}}(\vec{v}))\bullet\vec{u}=0\nonumber$$ y concluir cada vector en$\mathbb{R}^n$ puede escribirse como la suma de dos vectores, uno que es perpendicular y otro que es paralelo al vector dado.

Contestar

$(\vec{v}-\text{proj}_{\vec{u}}(\vec{v}))\bullet\vec{u}=\vec{v}\bullet\vec{u}-\left(\frac{(\vec{v}\cdot\vec{u}}{||\vec{u}||^2}\vec{u}\right)\bullet\vec{u}=\vec{v}\bullet\vec{u}-\vec{v}\bullet\vec{u}=0$. Por lo tanto,$\vec{v}=\vec{v}-\text{proj}_{\vec{u}}(\vec{v})+\text{proj}_{\vec{u}}(\vec{v})$. El primero es perpendicular a$\vec{u}$ y el segundo es un múltiplo de$\vec{u}$ por lo que es paralelo a$\vec{u}$.

Ejercicio$\PageIndex{34}$

Mostrar que si$\vec{a}\times\vec{u}=\vec{0}$ para cualquier vector de unidad$\vec{u}$, entonces$\vec{a}=\vec{0}$.

Contestar

Si$\vec{a}\neq\vec{0}$, entonces la condición dice eso$||\vec{a}\times\vec{u}||=||\vec{a}||\sin\theta =0$ para todos los ángulos$θ$. De ahí$\vec{a}=\vec{0}$ después de todo.

Ejercicio$\PageIndex{35}$

Encuentra el área del triángulo determinada por los tres puntos$(1, 2, 3),\: (4, 2, 0)$ y$(−3, 2, 1)$.

Contestar

$\left[\begin{array}{r}3\\0\\-3\end{array}\right]\times\left[\begin{array}{r}-4\\0\\-2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{r}0\\18\\0\end{array}\right]$. Entonces la zona es$9$.

Ejercicio$\PageIndex{36}$

Encuentra el área del triángulo determinada por los tres puntos$(1, 0, 3),\: (4, 1, 0)$ y$(−3, 1, 1)$.

Contestar

$\left[\begin{array}{r}3\\1\\-3\end{array}\right]\times\left[\begin{array}{r}-4\\1\\-2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}1\\18\\7\end{array}\right]$. El área está dada por $$\frac{1}{2}\sqrt{1+(18)^2+49}=\frac{1}{2}\sqrt{374}\nonumber$$

Ejercicio$\PageIndex{37}$

Encuentra el área del triángulo determinada por los tres puntos,$(1, 2, 3),\: (2, 3, 4)$ y$(3, 4, 5)$. ¿Pasó algo interesante aquí? ¿Qué significa geométricamente?

Contestar

$\left[\begin{array}{ccc}1&1&1\end{array}\right]\times\left[\begin{array}{ccc}2&2&2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}0&0&0\end{array}\right]$. El área es$0$. Significa que los tres puntos están en la misma línea.

Ejercicio$\PageIndex{38}$

Encuentra el área del paralelogramo determinada por los vectores$\left[\begin{array}{c}1\\2\\3\end{array}\right]$,$\left[\begin{array}{r}3\\-2\\1\end{array}\right]$.

Contestar

$\left[\begin{array}{c}1\\2\\3\end{array}\right]\times\left[\begin{array}{r}3\\-2\\1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{r}8\\8\\-8\end{array}\right]$. El área es$8\sqrt{3}$.

Ejercicio$\PageIndex{39}$

Encuentra el área del paralelogramo determinada por los vectores$\left[\begin{array}{c}1\\0\\3\end{array}\right]$,$\left[\begin{array}{r}4\\-2\\1\end{array}\right]$.

Contestar

$\left[\begin{array}{c}1\\0\\3\end{array}\right]\times\left[\begin{array}{r}4\\-2\\1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{r}6\\11\\-2\end{array}\right]$. El área es$\sqrt{36+121+4}=\sqrt{161}$.

Ejercicio$\PageIndex{40}$

¿Es$\vec{u}\times (\vec{v}\times\vec{w})=(\vec{u}\times\vec{v})\times\vec{w}$? ¿Cuál es el significado de$\vec{u}\times\vec{v}\times\vec{w}$? Explique. Pista: Prueba$\left(\vec{i}\times\vec{j}\right)\times\vec{k}$.

Contestar

$\left(\vec{i}\times\vec{j}\right)\times\vec{j}=\vec{k}\times\vec{j}=i\vec{i}$. Sin embargo,$\vec{i}\times\left(\vec{j}\times\vec{j}\right)=\vec{0}$ y así el producto cruzado no es asociativo.

Ejercicio$\PageIndex{41}$

Verificar directamente que la descripción coordenada del producto cruzado,$\vec{u}\times\vec{v}$ tenga la propiedad de que sea perpendicular a ambos$\vec{u}$ y$\vec{v}$. Luego mostrar por cálculo directo que esta descripción de coordenadas satisface $$\begin{aligned} ||\vec{u}\times\vec{v}||^2&=||\vec{u}||^2||\vec{v}||^2-(\vec{u}\bullet\vec{v})^2 \\ &=||\vec{u}||^2||\vec{v}||^2(1-\cos^2(\theta ))\end{aligned}$$ donde$\theta$ está el ángulo incluido entre los dos vectores. $||\vec{u}\times\vec{v}||$Explique por qué tiene la magnitud correcta.

Contestar

Verificar directamente a partir de la descripción de coordenadas del producto cruzado que la regla de la mano derecha aplica a los vectores$\vec{i},\vec{j},\vec{k}$. A continuación verificar que la ley distributiva sostiene para la descripción coordinada del producto cruzado. Esto da otra forma de acercarse al producto cruzado. Primero definirlo en términos de coordenadas y luego obtener las propiedades geométricas a partir de esto. Sin embargo, este enfoque no produce la propiedad de regla de la mano derecha muy fácilmente. A partir de la descripción de coordenadas, $$\vec{a}\times\vec{b}\cdot\vec{a}=\epsilon_{ijk}a_jb_ka_i=-\epsilon_{jik}a_kb_ka_i=-\epsilon_{jik}b_ka_ia_j=-\vec{a}\times\vec{b}\cdot\vec{a}\nonumber$$ y así$\vec{a}\times\vec{b}$ es perpendicular a$\vec{a}$. Del mismo modo,$\vec{a}\times\vec{b}$ es perpendicular a$\vec{b}$. Ahora necesitamos eso $$||\vec{a}\times\vec{b}||^2=||\vec{a}||^2||\vec{b}||^2(1-\cos^2\theta )=||\vec{a}||^2||\vec{b}||^2\sin^2\theta\nonumber$$ y así$||\vec{a}\times\vec{b}||=||\vec{a}||\:||\vec{b}||\sin\theta$, el área del paralelogramo determinada por$\vec{a}$,$\vec{b}$. Sólo la regla de la mano derecha es un poco problemática. Sin embargo, puede ver de inmediato en la definición de componente que contiene la regla de la derecha para cada uno de los vectores de unidad estándar. Así$\vec{i}\times\vec{j}=\vec{k}$ etc. $$\left|\begin{array}{ccc}\vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\1&0&0\\0&1&0\end{array}\right|=\vec{k}\nonumber$$

Ejercicio$\PageIndex{42}$

Supongamos que$A$ es una matriz simétrica$3\times 3$ sesgada tal que$A^T = −A$. Mostrar existe un vector$\vec{Ω}$ tal que para todos$\vec{u} ∈ \mathbb{R}^3$ $$A\vec{u}=\vec{\Omega}\times\vec{u}\nonumber$$ Pista: Explica por qué ya que$A$ es sesgada simétrica es de la forma $$A=\left[\begin{array}{ccc}0&-\omega_3&\omega_2 \\ \omega_3&0&-\omega_1 \\ -\omega_2&\omega_1&0\end{array}\right]\nonumber$$ donde$\omega_i$ están los números. Entonces considere$\omega_1\vec{i}+\omega_2\vec{j}+\omega_3\vec{k}$.

Ejercicio$\PageIndex{43}$

Encontrar el volumen del paralelepípedo determinado por los vectores$\left[\begin{array}{r}1\\-7\\-5\end{array}\right]$,$\left[\begin{array}{r}1\\-2\\-6\end{array}\right]$, y$\left[\begin{array}{c}3\\2\\3\end{array}\right]$.

Contestar

$\left|\begin{array}{ccc}1&-7&-5 \\ 1&-2&-6 \\ 3&2&3\end{array}\right|=113$

Ejercicio$\PageIndex{44}$

Supongamos$\vec{u}$$\vec{v}$,, y$\vec{w}$ son tres vectores cuyos componentes son todos enteros. ¿Se puede concluir que el volumen del paralelepípedo determinado a partir de estos tres vectores siempre será un entero?

Contestar

Sí. Implicará la suma de producto de enteros y así será un entero.

Ejercicio $\PageIndex{45}$

¿Qué significa geométricamente si el producto de caja de tres vectores da cero?

Contestar

Significa que si los colocas para que todos tengan la cola en el mismo punto, los tres quedarán en el mismo plano.

Ejercicio$\PageIndex{46}$

Usando Problema$\PageIndex{45}$, encuentre una ecuación de un plano que contenga los dos vectores de posición,$\vec{p}$ y$\vec{q}$ y el punto$0$. Pista: Si$(x, y,z)$ es un punto en este plano, el volumen del paralelepípedo determinado por$(x, y,z)$ y los vectores$\vec{p}$,$\vec{q}$ es igual$0$.

Contestar

$\vec{x}\bullet\left(\vec{a}\times\vec{b}\right)=0$

Ejercicio$\PageIndex{47}$

Usando la noción del producto de caja que produce ya sea más o menos el volumen del paralelepípedo determinado por los tres vectores dados, mostrar que $$(\vec{u}\times\vec{v})\bullet\vec{w}=\vec{u}\bullet (\vec{v}\times\vec{w})\nonumber$$ En otras palabras, el punto y la cruz se pueden cambiar siempre y cuando el orden de los vectores siga siendo el mismo. Sugerencia: Hay dos formas de hacerlo, por la descripción coordinada del producto punto y cruz y por razonamiento geométrico.

Ejercicio$\PageIndex{48}$

Simplificar$(\vec{u}\times\vec{v})\bullet (\vec{v}\times\vec{w})\times (\vec{w}\times\vec{z})$.

Contestar

Aquí$[\vec{v},\vec{w},\vec{z}]$ denota el producto de caja. Considera el término de producto cruzado. De lo anterior, $$\begin{aligned}(\vec{v}\times\vec{w})\times(\vec{w}\times\vec{z})&=[\vec{v},\vec{w},\vec{z}]\vec{w}-[\vec{w},\vec{w},\vec{z}]\vec{v} \\ &=[\vec{v},\vec{w},\vec{z}]\vec{w}\end{aligned}$$ así se reduce a $$(\vec{u}\times\vec{v})\bullet [\vec{v},\vec{w},\vec{z}]\vec{w}=[\vec{v},\vec{w},\vec{z}][\vec{u},\vec{v},\vec{w}]\nonumber$$

Ejercicio$\PageIndex{49}$

Simplificar$||\vec{u}\times\vec{v}||^2+(\vec{u}\bullet\vec{v})^2-||\vec{u}||^2||\vec{v}||^2$.

Contestar

$$\begin{aligned}||\vec{u}\times\vec{v}||^2&=\epsilon_{ijk}u_jv_k\epsilon_{irs}u_rv_s=(\delta_{jr}\delta_{ks}-\delta_{kr}\delta_{js})u_rv_su_jv_k \\ &=u_jv_ku_jv_k-u_kv_ju_jv_k=||\vec{u}||^2||\vec{v}||^2-(\vec{u}\bullet\vec{v})^2\end{aligned}$$ De ello se deduce que la expresión reduce a$0$. También puedes hacer lo siguiente. $$\begin{aligned}||\vec{u}\times\vec{v}||^2&=||\vec{u}||^2||\vec{v}||^2\sin^2\theta \\ &=||\vec{u}||^2||\vec{v}||^2(1-\cos^2\theta ) \\ &=||\vec{u}||^2||\vec{v}||^2-||\vec{u}||^2||\vec{v}||^2\cos^2\theta \\ &=||\vec{u}||^2||\vec{v}||^2-(\vec{u}\bullet\vec{v})^2\end{aligned}$$ lo que implica que la expresión es igual$0$.

Ejercicio$\PageIndex{50}$

Para$\vec{u},\:\vec{v},\:\vec{w}$ las funciones de$t$, probar las siguientes reglas del producto: $$\begin{aligned}(\vec{u}\times\vec{v})'&=\vec{u}'\times\vec{v}+\vec{u}\times\vec{v}' \\ (\vec{u}\bullet\vec{v})'&=\vec{u}'\bullet\vec{v}+\vec{u}\bullet\vec{v}'\end{aligned}$$

Contestar

Lo mostraremos usando la convención de suma y el símbolo de permutación $$\begin{aligned}((\vec{u}\times\vec{v})')_i&=((\vec{u}\times\vec{v})_i)'=(\epsilon_{ijk}u_jv_k)' \\ &=\epsilon_{ijk}u_j'v_k+\epsilon_{ijk}u_kv_k'=(\vec{u}'\times\vec{v}+\vec{u}\times\vec{v}')_i\end{aligned}$$ y así$(\vec{u}\times\vec{v})'=\vec{u}'\times\vec{v}+\vec{u}\times\vec{v}'$.

Ejercicio$\PageIndex{51}$

Aquí hay algunos vectores. $$\left[\begin{array}{r}1\\1\\-2\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{r}1\\2\\-2\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{r}2\\7\\-4\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{r}5\\7\\-10\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{r}12\\17\\-24\end{array}\right]\nonumber$$ Describir el lapso de estos vectores como el lapso de tan pocos vectores como sea posible.

Ejercicio$\PageIndex{52}$

Aquí hay algunos vectores. $$\left[\begin{array}{r}1\\2\\-2\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{r}12\\29\\-24\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{r}1\\3\\-2\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{r}2\\9\\-4\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{r}5\\12\\-10\end{array}\right].\nonumber$$ Describir el lapso de estos vectores como el lapso de tan pocos vectores como sea posible.

Ejercicio$\PageIndex{53}$

Aquí hay algunos vectores. $$\left[\begin{array}{r}1\\2\\-2\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{r}1\\3\\-2\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{r}1\\-2\\-2\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{r}-1\\0\\2\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{r}1\\3\\-1\end{array}\right]\nonumber$$ Describir el lapso de estos vectores como el lapso de tan pocos vectores como sea posible.

Ejercicio$\PageIndex{54}$

Aquí hay algunos vectores. $$\left[\begin{array}{r}1\\1\\-2\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{r}1\\2\\-2\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{r}1\\-3\\-2\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{r}-1\\1\\2\end{array}\right]\nonumber$$ Ahora aquí hay otro vector: $$\left[\begin{array}{r}1\\2\\-1\end{array}\right]\nonumber$$ ¿Este vector está en el lapso de los primeros cuatro vectores? Si es así, exhibir una combinación lineal de los primeros cuatro vectores que es igual a este vector, utilizando la menor cantidad posible de vectores en la combinación lineal.

Ejercicio$\PageIndex{55}$

Aquí hay algunos vectores. $$\left[\begin{array}{r}1\\1\\-2\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{r}1\\2\\-2\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{r}1\\-3\\-2\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{r}-1\\1\\2\end{array}\right]\nonumber$$ Ahora aquí hay otro vector: $$\left[\begin{array}{r}2\\-3\\-4\end{array}\right]\nonumber$$ ¿Este vector está en el lapso de los primeros cuatro vectores? Si es así, exhibir una combinación lineal de los primeros cuatro vectores que es igual a este vector, utilizando la menor cantidad posible de vectores en la combinación lineal.

Ejercicio$\PageIndex{56}$

Aquí hay algunos vectores. $$\left[\begin{array}{r}1\\1\\-2\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{r}1\\2\\-2\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{r}1\\-3\\-2\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{r}1\\2\\-1\end{array}\right]\nonumber$$ Ahora aquí hay otro vector: $$\left[\begin{array}{r}1\\9\\1\end{array}\right]\nonumber$$ ¿Este vector está en el lapso de los primeros cuatro vectores? Si es así, exhibir una combinación lineal de los primeros cuatro vectores que es igual a este vector, utilizando la menor cantidad posible de vectores en la combinación lineal.

Ejercicio$\PageIndex{57}$

Aquí hay algunos vectores, $$\left[\begin{array}{r}1\\-1\\-2\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{r}1\\0\\-2\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{r}1\\-5\\-2\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{r}-1\\5\\2\end{array}\right]\nonumber$$ Ahora aquí hay otro vector: $$\left[\begin{array}{r}1\\1\\-1\end{array}\right]\nonumber$$ ¿Este vector está en el lapso de los cuatro primeros vectores? Si es así, exhibir una combinación lineal de los primeros cuatro vectores que es igual a este vector, utilizando la menor cantidad posible de vectores en la combinación lineal.

Ejercicio$\PageIndex{58}$

Aquí hay algunos vectores. $$\left[\begin{array}{r}1\\-1\\-2\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{r}1\\0\\-2\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{r}1\\-5\\-2\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{r}-1\\5\\2\end{array}\right]\nonumber$$ Ahora aquí hay otro vector: $$\left[\begin{array}{r}1\\1\\-1\end{array}\right]\nonumber$$ ¿Este vector está en el lapso de los primeros cuatro vectores? Si es así, exhibir una combinación lineal de los primeros cuatro vectores que es igual a este vector, utilizando la menor cantidad posible de vectores en la combinación lineal.

Ejercicio$\PageIndex{59}$

Aquí hay algunos vectores. $$\left[\begin{array}{r}1\\0\\-2\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{r}1\\1\\-2\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{r}2\\-2\\-3\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{r}-1\\4\\2\end{array}\right]\nonumber$$ Ahora aquí hay otro vector: $$\left[\begin{array}{r}-1\\-4\\2\end{array}\right]\nonumber$$ ¿Este vector está en el lapso de los primeros cuatro vectores? Si es así, exhibir una combinación lineal de los primeros cuatro vectores que es igual a este vector, utilizando la menor cantidad posible de vectores en la combinación lineal.

Ejercicio$\PageIndex{60}$

Supongamos que$\{\vec{x}_1,\cdots ,\vec{x}_k\}$ es un conjunto de vectores de$\mathbb{R}^n$. Espectáculo que$\vec{0}$ está en$span\{\vec{x}_1,\cdots ,\vec{x}_k\}$.

Contestar

$\sum\limits_{i=1}^k 0\vec{x}_k=\vec{0}$

Ejercicio$\PageIndex{61}$

¿Los siguientes vectores son linealmente independientes? Si lo son, explique por qué y si no lo son, exhibir uno de ellos como una combinación lineal de los demás. También dar un conjunto linealmente independiente de vectores que tiene el mismo lapso que los vectores dados. $$\left[\begin{array}{r}1\\3\\-1\\1\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{r}1\\4\\-1\\1\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{r}1\\4\\0\\1\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{r}1\\10\\2\\1\end{array}\right]\nonumber$$

Ejercicio$\PageIndex{62}$

¿Los siguientes vectores son linealmente independientes? Si lo son, explique por qué y si no lo son, exhibir uno de ellos como una combinación lineal de los demás. También dar un conjunto linealmente independiente de vectores que tiene el mismo lapso que los vectores dados. $$\left[\begin{array}{r}-1\\-2\\2\\3\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{r}-3\\-4\\3\\3\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{r}0\\-1\\4\\3\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{r}0\\-1\\6\\4\end{array}\right]\nonumber$$

Ejercicio$\PageIndex{63}$

¿Los siguientes vectores son linealmente independientes? Si lo son, explique por qué y si no lo son, exhibir uno de ellos como una combinación lineal de los demás. También dar un conjunto linealmente independiente de vectores que tiene el mismo lapso que los vectores dados. $$\left[\begin{array}{r}1\\5\\-2\\1\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{r}1\\6\\-3\\1\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{r}-1\\-4\\1\\-1\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{r}1\\6\\-2\\1\end{array}\right]\nonumber$$

Ejercicio$\PageIndex{64}$

¿Los siguientes vectores son linealmente independientes? Si lo son, explique por qué y si no lo son, exhibir uno de ellos como una combinación lineal de los demás. También dar un conjunto linealmente independiente de vectores que tiene el mismo lapso que los vectores dados. $$\left[\begin{array}{r}1\\-1\\3\\1\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{r}1\\6\\34\\1\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{r}1\\0\\7\\1\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{r}1\\0\\8\\1\end{array}\right]\nonumber$$

Ejercicio$\PageIndex{65}$

¿Los siguientes vectores son linealmente independientes? Si lo son, explique por qué y si no lo son, exhibir uno de ellos como una combinación lineal de los demás. $$\left[\begin{array}{r}1\\3\\-1\\1\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{r}1\\4\\-1\\1\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{r}-3\\-10\\3\\-3\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{r}1\\4\\0\\1\end{array}\right]\nonumber$$

Ejercicio$\PageIndex{66}$

¿Los siguientes vectores son linealmente independientes? Si lo son, explique por qué y si no lo son, exhibir uno de ellos como una combinación lineal de los demás. También dar un conjunto linealmente independiente de vectores que tiene el mismo lapso que los vectores dados. $$\left[\begin{array}{r}1\\3\\-3\\1\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{r}1\\4\\-5\\1\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{r}1\\4\\-4\\1\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{r}1\\10\\-14\\1\end{array}\right]\nonumber$$

Ejercicio$\PageIndex{67}$

¿Los siguientes vectores son linealmente independientes? Si lo son, explique por qué y si no lo son, exhibir uno de ellos como una combinación lineal de los demás. También dar un conjunto linealmente independiente de vectores que tiene el mismo lapso que los vectores dados. $$\left[\begin{array}{r}1\\0\\3\\1\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{r}1\\1\\8\\1\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{r}1\\7\\34\\1\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{r}1\\1\\7\\1\end{array}\right]\nonumber$$

Ejercicio$\PageIndex{68}$

¿Los siguientes vectores son linealmente independientes? Si lo son, explique por qué y si no lo son, exhibir uno de ellos como una combinación lineal de los demás. También dar un conjunto linealmente independiente de vectores que tiene el mismo lapso que los vectores dados. $$\left[\begin{array}{r}1\\4\\-2\\1\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{r}1\\5\\-3\\1\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{r}1\\7\\-5\\1\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{r}1\\5\\-2\\1\end{array}\right]\nonumber$$

Ejercicio$\PageIndex{69}$

¿Los siguientes vectores son linealmente independientes? Si lo son, explique por qué y si no lo son, exhibir uno de ellos como una combinación lineal de los demás. $$\left[\begin{array}{r}1\\2\\2\\-4\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{r}3\\4\\1\\-4\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{r}0\\-1\\0\\4\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{r}0\\-1\\-2\\5\end{array}\right]\nonumber$$

Ejercicio$\PageIndex{70}$

¿Los siguientes vectores son linealmente independientes? Si lo son, explique por qué y si no lo son, exhibir uno de ellos como una combinación lineal de los demás. También dar un conjunto linealmente independiente de vectores que tiene el mismo lapso que los vectores dados. $$\left[\begin{array}{r}2\\3\\1\\-3\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{r}-5\\-6\\0\\3\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{r}-1\\-2\\1\\3\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{r}-1\\-2\\0\\4\end{array}\right]\nonumber$$

Ejercicio$\PageIndex{71}$

Aquí hay algunos vectores en$\mathbb{R}^4$. $$\left[\begin{array}{r}1\\1\\-1\\1\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{r}1\\2\\-1\\1\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{r}1\\-2\\-1\\1\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{r}1\\2\\0\\1\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{r}1\\-1\\-1\\1\end{array}\right]\nonumber$$ Estos vectores no pueden ser linealmente independientes. Decirle por qué. A continuación, obtener un subconjunto linealmente independiente de estos vectores que tiene el mismo lapso que estos vectores. En otras palabras, encontrar una base para el lapso de estos vectores.

Ejercicio$\PageIndex{72}$

Aquí hay algunos vectores en$\mathbb{R}^4$. $$\left[\begin{array}{r}1\\2\\-2\\1\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{r}1\\3\\-3\\1\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{r}1\\3\\-2\\1\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{r}4\\3\\-1\\4\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{r}1\\3\\-2\\1\end{array}\right]\nonumber$$ Estos vectores no pueden ser linealmente independientes. Decirle por qué. A continuación, obtener un subconjunto linealmente independiente de estos vectores que tiene el mismo lapso que estos vectores. En otras palabras, encontrar una base para el lapso de estos vectores.

Ejercicio$\PageIndex{73}$

Aquí hay algunos vectores en$\mathbb{R}^4$. $$\left[\begin{array}{r}1\\1\\0\\1\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{r}1\\2\\1\\1\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{r}1\\-2\\-3\\1\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{r}2\\-5\\-7\\2\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{r}1\\2\\2\\1\end{array}\right]\nonumber$$ Estos vectores no pueden ser linealmente independientes. Decirle por qué. A continuación, obtener un subconjunto linealmente independiente de estos vectores que tiene el mismo lapso que estos vectores. En otras palabras, encontrar una base para el lapso de estos vectores.

Ejercicio$\PageIndex{74}$

Aquí hay algunos vectores en$\mathbb{R}^4$. $$\left[\begin{array}{r}1\\2\\-2\\1\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{r}1\\3\\-3\\1\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{r}1\\-1\\1\\1\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{r}2\\-3\\3\\2\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{r}1\\3\\-2\\1\end{array}\right]\nonumber$$ Estos vectores no pueden ser linealmente independientes. Decirle por qué. A continuación, obtener un subconjunto linealmente independiente de estos vectores que tiene el mismo lapso que estos vectores. En otras palabras, encontrar una base para el lapso de estos vectores.

Ejercicio$\PageIndex{75}$

Aquí hay algunos vectores en$\mathbb{R}^4$. $$\left[\begin{array}{r}1\\4\\-2\\1\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{r}1\\5\\-3\\1\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{r}1\\5\\-2\\1\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{r}4\\11\\-1\\4\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{r}1\\5\\-3\\1\end{array}\right]\nonumber$$ Estos vectores no pueden ser linealmente independientes. Decirle por qué. A continuación, obtener un subconjunto linealmente independiente de estos vectores que tiene el mismo lapso que estos vectores. En otras palabras, encontrar una base para el lapso de estos vectores.

Ejercicio$\PageIndex{76}$

Aquí hay algunos vectores en$\mathbb{R}^4$. $$\left[\begin{array}{r}1\\3\\-1\\1\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{r}-\frac{3}{2}\\-\frac{9}{2}\\ \frac{3}{2}\\ -\frac{3}{2}\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{r}1\\4\\-1\\1\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{r}2\\-1\\-2\\2\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{r}1\\4\\0\\1\end{array}\right]\nonumber$$ Estos vectores no pueden ser linealmente independientes. Decirle por qué. A continuación, obtener un subconjunto linealmente independiente de estos vectores que tiene el mismo lapso que estos vectores. En otras palabras, encontrar una base para el lapso de estos vectores.

Ejercicio$\PageIndex{77}$

Aquí hay algunos vectores en$\mathbb{R}^4$. $$\left[\begin{array}{r}1\\3\\-1\\1\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{r}1\\4\\-1\\1\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{r}1\\0\\-1\\1\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{r}2\\-1\\-2\\2\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{r}1\\4\\0\\1\end{array}\right]\nonumber$$ Estos vectores no pueden ser linealmente independientes. Decirle por qué. A continuación, obtener un subconjunto linealmente independiente de estos vectores que tiene el mismo lapso que estos vectores. En otras palabras, encontrar una base para el lapso de estos vectores

Ejercicio$\PageIndex{78}$

Aquí hay algunos vectores en$\mathbb{R}^4$. $$\left[\begin{array}{r}1\\4\\-2\\1\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{r}1\\5\\-3\\1\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{r}1\\1\\1\\1\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{r}2\\1\\3\\2\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{r}1\\5\\-2\\1\end{array}\right]\nonumber$$ Estos vectores no pueden ser linealmente independientes. Decirle por qué. A continuación, obtener un subconjunto linealmente independiente de estos vectores que tiene el mismo lapso que estos vectores. En otras palabras, encontrar una base para el lapso de estos vectores.

Ejercicio$\PageIndex{79}$

Aquí hay algunos vectores en$\mathbb{R}^4$. $$\left[\begin{array}{r}1\\-1\\3\\1\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{r}1\\0\\7\\1\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{r}1\\0\\8\\1\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{r}4\\-9\\-6\\4\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{r}1\\0\\8\\1\end{array}\right]\nonumber$$ Estos vectores no pueden ser linealmente independientes. Decirle por qué. A continuación, obtener un subconjunto linealmente independiente de estos vectores que tiene el mismo lapso que estos vectores. En otras palabras, encontrar una base para el lapso de estos vectores.

Ejercicio$\PageIndex{80}$

Aquí hay algunos vectores en$\mathbb{R}^4$. $$\left[\begin{array}{r}1\\-1\\-1\\1\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{r}-3\\3\\3\\-3\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{r}1\\0\\-1\\1\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{r}2\\-9\\-2\\2\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{r}1\\0\\0\\1\end{array}\right]\nonumber$$ Estos vectores no pueden ser linealmente independientes. Decirle por qué. A continuación, obtener un subconjunto linealmente independiente de estos vectores que tiene el mismo lapso que estos vectores. En otras palabras, encontrar una base para el lapso de estos vectores.

Ejercicio$\PageIndex{81}$

Aquí hay algunos vectores en$\mathbb{R}^4$. $$\left[\begin{array}{r}1\\b+1\\a\\1\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{r}3\\3b+3\\3a\\3\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{r}1\\b+2\\2a+1\\1\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{r}2\\2b-5\\-5a-7\\2\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{r}1\\b+2\\2a+2\\1\end{array}\right]\nonumber$$ Estos vectores no pueden ser linealmente independientes. Decirle por qué. A continuación, obtener un subconjunto linealmente independiente de estos vectores que tiene el mismo lapso que estos vectores. En otras palabras, encontrar una base para el lapso de estos vectores.

Ejercicio$\PageIndex{82}$

Vamos$H=span\left\{\left[\begin{array}{r}2\\1\\1\\1\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{r}-1\\0\\-1\\-1\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{r}5\\2\\3\\3\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{r}-1\\1\\-2\\-2\end{array}\right]\right\}$. Encontrar la dimensión de$H$ y determinar una base.

Ejercicio$\PageIndex{83}$

Vamos a$H$ denotar$span\left\{\left[\begin{array}{r}0\\1\\1\\-1\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{r}-1\\-1\\-2\\2\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{r}2\\3\\5\\-5\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{r}0\\1\\2\\-2\end{array}\right]\right\}$. Encontrar la dimensión de$H$ y determinar una base.

Ejercicio$\PageIndex{84}$

Vamos a$H$ denotar$span\left\{\left[\begin{array}{r}-2\\1\\1\\-3\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{r}-9\\4\\3\\-9\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{r}-33\\15\\12\\-36\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{r}-22\\10\\8\\-24\end{array}\right]\right\}$. Encontrar la dimensión de$H$ y determinar una base.

Ejercicio$\PageIndex{85}$

Vamos a$H$ denotar$span\left\{\left[\begin{array}{r}-1\\1\\-1\\-2\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{r}-4\\3\\-2\\-4\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{r}-3\\2\\-1\\-2\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{r}-1\\1\\-2\\-4\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{r}-7\\5\\-3\\-6\end{array}\right]\right\}$. Encontrar la dimensión de$H$ y determinar una base.

Ejercicio$\PageIndex{86}$

Vamos a$H$ denotar$span\left\{\left[\begin{array}{r}2\\3\\2\\1\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{r}8\\15\\6\\3\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{r}3\\6\\2\\1\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{r}4\\6\\6\\3\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{r}8\\15\\6\\3\end{array}\right]\right\}$. Encontrar la dimensión de$H$ y determinar una base.

Ejercicio$\PageIndex{87}$

Vamos a$H$ denotar$span\left\{\left[\begin{array}{r}0\\2\\0\\-1\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{r}-1\\6\\0\\-2\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{r}-2\\16\\0\\-6\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{r}-3\\22\\0\\-8\end{array}\right]\right\}$. Encontrar la dimensión de$H$ y determinar una base.

Ejercicio$\PageIndex{88}$

Vamos a$H$ denotar$span\left\{\left[\begin{array}{r}5\\1\\1\\4\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{r}14\\3\\2\\8\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{r}38\\8\\6\\24\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{r}47\\10\\7\\28\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{r}10\\2\\3\\12\end{array}\right]\right\}$. Encontrar la dimensión de$H$ y determinar una base.

Ejercicio$\PageIndex{89}$

Vamos a$H$ denotar$span\left\{\left[\begin{array}{r}6\\1\\1\\5\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{r}17\\3\\2\\10\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{r}52\\9\\7\\35\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{r}18\\3\\4\\20\end{array}\right]\right\}$. Encontrar la dimensión de$H$ y determinar una base.

Ejercicio$\PageIndex{90}$

Vamos$M=\left\{\vec{u}=\left[\begin{array}{c}u_1 \\ u_2\\u_3\\u_4\end{array}\right]\in\mathbb{R}^4:\sin(u_1)=1\right\}$. ¿Es$M$ un subespacio? Explique.

Contestar

No. Vamos$\vec{u}=\left[\begin{array}{c}\frac{\pi}{2} \\ 0\\0\\0\end{array}\right]$. Entonces$2\vec{u}\cancel{\in}M$ aunque$\vec{u}\in M$.

Ejercicio$\PageIndex{91}$

Vamos$M=\left\{\vec{u}=\left[\begin{array}{c}u_1 \\ u_2\\u_3\\u_4\end{array}\right]\in\mathbb{R}^4:||u_1||\leq 4\right\}$. ¿Es$M$ un subespacio? Explique.

Contestar

No. $\left[\begin{array}{c}1\\0\\0\\0\end{array}\right]\in M$pero$10\left[\begin{array}{c}1\\0\\0\\0\end{array}\right]\cancel{\in }M$.

Ejercicio$\PageIndex{92}$

Vamos$M=\left\{\vec{u}=\left[\begin{array}{c}u_1 \\ u_2\\u_3\\u_4\end{array}\right]\in\mathbb{R}^4:u_1\geq 0\text{ for each }i=1,2,3,4 \right\}$. ¿Es$M$ un subespacio? Explique.

Contestar

Esto no es un subespacio. $\left[\begin{array}{c}1\\1\\1\\1\end{array}\right]$está en él. Sin embargo, no lo$(-1)\left[\begin{array}{c}1\\1\\1\\1\end{array}\right]$ es.

Ejercicio$\PageIndex{93}$

Dejar$\vec{w}$,$\vec{w}_1$ darse vectores en$\mathbb{R}^4$ y definir $$M=\left\{\vec{u}=\left[\begin{array}{c}u_1\\u_2\\u_3\\u_4\end{array}\right]\in\mathbb{R}^4 :\vec{w}\bullet\vec{u}=0\text{ and }\vec{w}_1\bullet\vec{u}=0\right\}.\nonumber$$ ¿Es$M$ un subespacio? Explique.

Contestar

Se trata de un subespacio porque está cerrado con respecto a la suma vectorial y a la multiplicación escalar.

Ejercicio$\PageIndex{94}$

Dejar$\vec{w}\in\mathbb{R}^4$ y dejar$M=\left\{\vec{u}=\left[\begin{array}{c}u_1 \\ u_2\\u_3\\u_4\end{array}\right]\in\mathbb{R}^4:\vec{w}\bullet\vec{u}=0\right\}$. ¿Es$M$ un subespacio? Explique.

Contestar

Sí, este es un subespacio porque está cerrado con respecto a la suma vectorial y a la multiplicación escalar.

Ejercicio$\PageIndex{95}$

Vamos$M=\left\{\vec{u}=\left[\begin{array}{c}u_1 \\ u_2\\u_3\\u_4\end{array}\right]\in\mathbb{R}^4:u_3\geq u_1\right\}$. ¿Es$M$ un subespacio? Explique.

Contestar

Esto no es un subespacio. $\left[\begin{array}{c}0\\0\\1\\0\end{array}\right]$está en él. Sin embargo no lo$(-1)\left[\begin{array}{c}0\\0\\1\\0\end{array}\right]=\left[\begin{array}{r}0\\0\\-1\\0\end{array}\right]$ es.

Ejercicio$\PageIndex{96}$

Vamos$M=\left\{\vec{u}=\left[\begin{array}{c}u_1 \\ u_2\\u_3\\u_4\end{array}\right]\in\mathbb{R}^4:u_3=u_1=0\right\}$. ¿Es$M$ un subespacio? Explique.

Contestar

Este es un subespacio. Se cierra con respecto a la adición de vectores y multiplicación escalar.

Ejercicio$\PageIndex{97}$

Considera el conjunto de vectores$S$ dado por $$S=\left\{\left[\begin{array}{c}4u+v-5w \\ 12u+6v-6w \\ 4u+4v+4w\end{array}\right] :u,v,w\in\mathbb{R}\right\}.\nonumber$$ Is$S$ a subspace of$\mathbb{R}^3$? Si es así, explique por qué, dé una base para el subespacio y encuentre su dimensión.

Ejercicio$\PageIndex{98}$

Considera el conjunto de vectores$S$ dado por $$S=\left\{\left[\begin{array}{c}2u+6v+7w \\ -3u-9v-12w \\ 2u+6v+6w \\ u+3v+3w \end{array}\right] :u,v,w\in\mathbb{R}\right\}.\nonumber$$ Is$S$ a subspace of$\mathbb{R}^4$? Si es así, explique por qué, dé una base para el subespacio y encuentre su dimensión.

Ejercicio$\PageIndex{99}$

Considera el conjunto de vectores$S$ dado por $$S=\left\{\left[\begin{array}{c}2u+v \\ 6v-3u+3w \\ 3v-6u+3w \end{array}\right] :u,v,w\in\mathbb{R}\right\}.\nonumber$$ ¿Es este conjunto de vectores un subespacio de$\mathbb{R}^3$? Si es así, explique por qué, dé una base para el subespacio y encuentre su dimensión.

Ejercicio$\PageIndex{100}$

Considerar los vectores de la forma $$\left\{\left[\begin{array}{c}2u+v+7w \\ u-2v+w \\ -6v-6w \end{array}\right] :u,v,w\in\mathbb{R}\right\}.\nonumber$$ ¿Es este conjunto de vectores un subespacio de$\mathbb{R}^3$? Si es así, explique por qué, dé una base para el subespacio y encuentre su dimensión.

Ejercicio$\PageIndex{101}$

Considerar los vectores de la forma $$\left\{\left[\begin{array}{c}3u+v+11w \\ 18u+6v+66w \\ 28u+8v+100w \end{array}\right] :u,v,w\in\mathbb{R}\right\}.\nonumber$$ ¿Es este conjunto de vectores un subespacio de$\mathbb{R}^3$? Si es así, explique por qué, dé una base para el subespacio y encuentre su dimensión.

Ejercicio$\PageIndex{102}$

Considerar los vectores de la forma $$\left\{\left[\begin{array}{c}3u+v \\ 2w-4u \\ 2w-2v-8u \end{array}\right] :u,v,w\in\mathbb{R}\right\}.\nonumber$$ ¿Es este conjunto de vectores un subespacio de$\mathbb{R}^3$? Si es así, explique por qué, dé una base para el subespacio y encuentre su dimensión.

Ejercicio$\PageIndex{103}$

Considera el conjunto de vectores$S$ dado por $$\left\{\left[\begin{array}{c}u+v+w \\ 2u+2v+4w \\ u+v+w \\ 0 \end{array}\right] :u,v,w\in\mathbb{R}\right\}.\nonumber$$ Is$S$ is a subspace of$\mathbb{R}^4$? Si es así, explique por qué, dé una base para el subespacio y encuentre su dimensión.

Ejercicio$\PageIndex{104}$

Considera el conjunto de vectores$S$ dado por $$\left\{\left[\begin{array}{c}v \\ -3u-3w \\ 8u-4v+4w \end{array}\right] :u,v,w\in\mathbb{R}\right\}.\nonumber$$ Is$S$ is a subspace of$\mathbb{R}^4$? Si es así, explique por qué, dé una base para el subespacio y encuentre su dimensión.

Ejercicio$\PageIndex{105}$

Si tienes$5$ vectores en$\mathbb{R}^5$ y los vectores son linealmente independientes, ¿siempre se puede concluir que abarcan$\mathbb{R}^5$? Explique.

Contestar

Sí. Si no, existiría un vector que no estuviera en el lapso. Pero entonces podrías agregar en este vector y obtener un conjunto linealmente independiente de vectores con más vectores que una base.

Ejercicio$\PageIndex{106}$

Si tienes$6$ vectores en$\mathbb{R}^5$, ¿es posible que sean linealmente independientes? Explique.

Contestar

No pueden ser.

Ejercicio$\PageIndex{107}$

Supongamos que$A$ es una$m\times n$ matriz y$\{\vec{w}_1,\cdots ,\vec{w}_k\}$ es un conjunto linealmente independiente de vectores en$A(\mathbb{R}^n ) ⊆ \mathbb{R}^m$. Ahora supongamos$A\vec{z}_i = \vec{w}_i$. $\{\vec{z}_1 ,\cdots ,\vec{z}_k\}$El espectáculo también es independiente.

Contestar

Diga$\sum\limits_{i=1}^k c_i\vec{z}_i=\vec{0}$. Después$A$ aplicarlo de la siguiente manera. $$\sum\limits_{i=1}^k c_aA\vec{z}_i=\sum\limits_{i=1}^kc_i\vec{w}_i=\vec{0}\nonumber$$ y así, por independencia lineal de la$\vec{w}_i$, se deduce que cada uno$c_i=0$.

Ejercicio$\PageIndex{108}$

Supongamos que$V,\: W$ son subespacios de$\mathbb{R}^n$. $V ∩W$Dejen ser todos los vectores que están en ambos$V$ y$W$. Demostrar que$V ∩W$ es un subespacio también.

Contestar

Si$\vec{x},\vec{y} ∈ V ∩W$, entonces para los escalares$α,β$, la combinación lineal$α\vec{x} + β\vec{y}$ debe estar en ambos$V$ y$W$ ya que ambos son subespacios.

Ejercicio$\PageIndex{109}$

Supongamos$V$ y$W$ ambos tienen dimensión igual a$7$ y son subespacios de$\mathbb{R}^{10}$. ¿Cuáles son las posibilidades para la dimensión de$V ∩W$? Pista: Recuerde que un conjunto lineal independiente se puede extender para formar una base.

Ejercicio$\PageIndex{110}$

Supongamos que$V$$W$ tiene dimensión$p$ y tiene dimensión$q$ y cada uno de ellos está contenido en un subespacio,$U$ que tiene dimensión igual a$n$ dónde$n > \text{max}(p,q)$. ¿Cuáles son las posibilidades para la dimensión de$V ∩W$? Pista: Recuerde que un conjunto linealmente independiente se puede extender para formar una base.

Contestar

Dejemos$\{x_1,\cdots ,x_k\}$ ser una base para$V∩W$. Entonces hay una base para$V$ y$W$ cuáles son respectivamente $$\{x_1, \cdots ,x_k, y_{k+1},\cdots ,y_p\},\:\{x_1,\cdots ,x_k, z_{k+1},\cdots z_q\}\nonumber$$ Se deduce que debes tener$k+p-k+q-k\leq n$ y así debes tener $$p+q-n\leq k\nonumber$$

Ejercicio$\PageIndex{111}$

Supongamos que$A$ es una$m\times n$ matriz y$B$ es una$n\times p$ matriz. Mostrar que $$\text{dim}(\text{ker}(AB))\leq\text{dim}(\text{ker}(A))+\text{dim}(\text{ker}(B)).\nonumber$$ Considera el subespacio,$B(\mathbb{R}^p )∩\text{ker}(A)$ y supongamos una base para este subespacio es$\{\vec{w}_1,\cdots ,\vec{w}_k\}$. Ahora supongamos que$\{\vec{u}_1,\cdots ,\vec{u}_r\}$ es una base para$\text{ker}(B)$. $\{\vec{z}_1,\cdots ,\vec{z}_k\}$Sea tal que$B\vec{z}_1 =\vec{w}_i$ y argumente que $$\text{ker}(AB)⊆ span\{\vec{u}_1,\cdots ,\vec{u}_r,\vec{z}_1,\cdots ,\vec{z}_k\}.\nonumber$$

Contestar

Aquí está cómo se hace esto. Supongamos$AB\vec{x} =\vec{0}$. Entonces$B\vec{x} ∈ \text{ker}(A) ∩ B(\mathbb{R}^p)$ y así$B\vec{x} =\sum\limits_{i=1}^k B\vec{z}_i$ demostrando que $$\vec{x}-\sum\limits_{i=1}^k\vec{z}_i\in\text{ker}(B)\nonumber$$ Considera$B(\mathbb{R}^p )∩\text{ker}(A)$ y deja que una base sea$\{\vec{w}_1,\cdots ,\vec{w}_k\}$. Entonces cada uno$\vec{w}_i$ es de la forma$B\vec{z}_i =\vec{w}_i$. Por lo tanto,$\{\vec{z}_1,\cdots ,\vec{z}_k\}$ es linealmente independiente y$AB\vec{z}_i = 0$. Ahora dejemos$\{\vec{u}_1,\cdots ,\vec{u}_r\}$ ser una base para$\text{ker}(B)$. Si$AB\vec{x} =\vec{0}$, entonces$B\vec{x} ∈ \text{ker}(A)∩B(\mathbb{R}^p)$ y así lo$B\vec{x} =\sum\limits_{i=1}^k c_iB\vec{z}_1$ que implica $$\vec{x}-\sum\limits_{i=1}^k c_i\vec{z}_i\in\text{ker}(B)\nonumber$$ y así es de la forma $$\vec{x}-\sum\limits_{i=1}^kc_i\vec{z}_i=\sum\limits_{j=1}^r d_j\vec{u}_j\nonumber$$ Se deduce que si es$AB\vec{x} =\vec{0}$ así que$\vec{x} ∈ \text{ker}(AB)$, entonces $$\vec{x}\in span (\vec{z}_1,\cdots ,\vec{z}_k,\vec{u}_1, \cdots ,\vec{u}_r ).\nonumber$$ Por lo tanto, $$\begin{aligned}\text{dim}(\text{ker}(AB))&\leq k+r=\text{dim}(B(\mathbb{R}^p)∩\text{ker}(A))+\text{dim}(\text{ker}(B)) \\ &\leq\text{dim}(\text{ker}(A))+\text{dim}(\text{ker}(B))\end{aligned}$$

Ejercicio$\PageIndex{112}$

Mostrar que si$A$ es una$m\times n$ matriz, entonces$\text{ker}(A)$ es un subespacio de$\mathbb{R}^n$.

Contestar

Si$\vec{x}$,$\vec{y}\in\text{ker}(A)$ entonces $$A(a\vec{x}+b\vec{y})=aA\vec{x}+bA\vec{y}=a\vec{0}+b\vec{0}=\vec{0}\nonumber$$ y así$\text{ker}(A)$ se cierra bajo combinaciones lineales. De ahí que sea un subespacio.

Ejercicio$\PageIndex{113}$

Encuentra el rango de la siguiente matriz. También encuentre una base para los espacios de fila y columna. $$\left[\begin{array}{rrrrrr}1&3&0&-2&0&3 \\ 3&9&1&-7&0&8 \\ 1&3&1&-3&1&-1 \\ 1&3&-1&-1&-2&10\end{array}\right]\nonumber$$

Ejercicio$\PageIndex{114}$

Encuentra el rango de la siguiente matriz. También encuentre una base para los espacios de fila y columna. $$\left[\begin{array}{rrrrrr}1&3&0&-2&7&3 \\ 3&9&1&-7&23&8 \\ 1&3&1&-3&9&2 \\ 1&3&-1&-1&5&4\end{array}\right]\nonumber$$

Ejercicio$\PageIndex{115}$

Encuentra el rango de la siguiente matriz. También encuentre una base para los espacios de fila y columna. $$\left[\begin{array}{rrrrrr}1&0&3&0&7&0 \\ 3&1&10&0&23&0 \\ 1&1&4&1&7&0 \\ 1&-1&2&-2&9&1\end{array}\right]\nonumber$$

Ejercicio$\PageIndex{116}$

Encuentra el rango de la siguiente matriz. También encuentre una base para los espacios de fila y columna. $$\left[\begin{array}{rrr}1&0&3 \\ 3&1&10 \\ 1&1&4 \\ 1&-1&2\end{array}\right]\nonumber$$

Ejercicio$\PageIndex{117}$

Encuentra el rango de la siguiente matriz. También encuentre una base para los espacios de fila y columna. $$\left[\begin{array}{rrrrr}0&0&-1&0&1 \\ 1&2&3&-2&-18 \\ 1&2&2&-1&-11 \\ -1&-2&-2&1&11\end{array}\right]\nonumber$$

Ejercicio$\PageIndex{118}$

Encuentra el rango de la siguiente matriz. También encuentre una base para los espacios de fila y columna. $$\left[\begin{array}{rrrr}1&0&3&0 \\ 3&1&10&0 \\ -1&1&-2&1 \\ 1&-1&2&-2\end{array}\right]\nonumber$$

Ejercicio$\PageIndex{119}$

Encuentre$\text{ker}(A)$ para las siguientes matrices.

1. $A=\left[\begin{array}{rr}2&3 \\ 4&6\end{array}\right]$
2. $A=\left[\begin{array}{rrr}1&0&-1 \\ -1&1&3 \\ 3&2&1\end{array}\right]$
3. $A=\left[\begin{array}{rrr}2&4&0 \\ 3&6&-2 \\ 1&2&-2\end{array}\right]$
4. $A=\left[\begin{array}{rrrr}2&-1&3&5 \\ 2&0&1&2 \\ 6&4&-5&-6 \\ 0&2&-4&-6\end{array}\right]$

Ejercicio$\PageIndex{120}$

Determinar si el siguiente conjunto de vectores es ortogonal. Si es ortogonal, determine si también es ortonormal. $$\left[\begin{array}{c}\frac{1}{6}\sqrt{2}\sqrt{3} \\ \frac{1}{3}\sqrt{2}\sqrt{3} \\ -\frac{1}{6}\sqrt{2}\sqrt{3}\end{array}\right],\: \left[\begin{array}{c}\frac{1}{2}\sqrt{2} \\ 0 \\ \frac{1}{2}\sqrt{2}\end{array}\right],\: \left[\begin{array}{c}-\frac{1}{3}\sqrt{3} \\ \frac{1}{3}\sqrt{3} \\ \frac{1}{3}\sqrt{3}\end{array}\right]\nonumber$$ Si el conjunto de vectores es ortogonal pero no ortonormal, dé un conjunto ortonormal de vectores que tenga el mismo lapso.

Ejercicio$\PageIndex{121}$

Determinar si el siguiente conjunto de vectores es ortogonal. Si es ortogonal, determine si también es ortonormal. $$\left[\begin{array}{r}1\\2\\-1\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{r}1\\0\\1\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{r}-1\\1\\1\end{array}\right]\nonumber$$ Si el conjunto de vectores es ortogonal pero no ortonormal, dé un conjunto ortonormal de vectores que tenga el mismo lapso.

Ejercicio$\PageIndex{122}$

Determinar si el siguiente conjunto de vectores es ortogonal. Si es ortogonal, determine si también es ortonormal. $$\left[\begin{array}{r}1\\-1\\1\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{r}2\\1\\-1\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{r}0\\1\\1\end{array}\right]\nonumber$$ Si el conjunto de vectores es ortogonal pero no ortonormal, dé un conjunto ortonormal de vectores que tenga el mismo lapso.

Ejercicio$\PageIndex{123}$

Determinar si el siguiente conjunto de vectores es ortogonal. Si es ortogonal, determine si también es ortonormal. $$\left[\begin{array}{r}1\\-1\\1\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{r}2\\1\\-1\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{r}1\\2\\1\end{array}\right]\nonumber$$ Si el conjunto de vectores es ortogonal pero no ortonormal, dé un conjunto ortonormal de vectores que tenga el mismo lapso.

Ejercicio$\PageIndex{124}$

Determinar si el siguiente conjunto de vectores es ortogonal. Si es ortogonal, determine si también es ortonormal. $$\left[\begin{array}{r}1\\0\\0\\0\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{r}0\\1\\-1\\0\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{r}0\\0\\0\\1\end{array}\right]\nonumber$$ Si el conjunto de vectores es ortogonal pero no ortonormal, dé un conjunto ortonormal de vectores que tenga el mismo lapso.

Ejercicio$\PageIndex{125}$

Aquí hay algunas matrices. Etiquete según sean simétricos, simétricos sesgados u ortogonales.

1. $\left[\begin{array}{ccc}1&0&0 \\ 0&\frac{1}{\sqrt{2}}&-\frac{1}{\sqrt{2}} \\ 0&\frac{1}{\sqrt{2}}&\frac{1}{\sqrt{2}}\end{array}\right]$
2. $\left[\begin{array}{ccc}1&2&-3 \\ 2&1&4 \\ -3&4&7\end{array}\right]$
3. $\left[\begin{array}{ccc}0&-2&-3 \\ 2&0&-4 \\ 3&4&0\end{array}\right]$

Contestar

1. Ortogonal
2. Simétrico
3. Simetría sesgada

Ejercicio$\PageIndex{126}$

Para$U$ una matriz ortogonal, explique por qué$||U\vec{x}|| =||\vec{x}||$ para cualquier vector$\vec{x}$. A continuación explicar por qué si$U$ es una$n\times n$ matriz con la propiedad que$||U\vec{x}|| =||\vec{x}||$ para todos los vectores,$\vec{x}$, entonces$U$ debe ser ortogonal. Así, las matrices ortogonales son exactamente las que conservan la longitud.

Contestar

$||U\vec{x}||^2=U\vec{x}\bullet U\vec{x}=U^TU\vec{x}\bullet\vec{x}=I\vec{x}\bullet\vec{x}=||\vec{x}||^2$. Siguiente supongamos que la distancia es preservada por$U$. Entonces $$\begin{aligned} (U(\vec{x}+\vec{y}))\bullet (U(\vec{x}+\vec{y}))&=||Ux||^2+||Uy||^2+2(Ux\bullet Uy) \\ &=||\vec{x}||^2+||\vec{y}||^2+2(U^TU\vec{x}\bullet\vec{y})\end{aligned}$$ Pero como$U$ conserva las distancias, también es el caso que $$(U(\vec{x}+\vec{y})\bullet U(\vec{x}+\vec{y}))=||\vec{x}||^2+||\vec{y}||^2+2(\vec{x}\bullet\vec{y})\nonumber$$ De ahí $$\vec{x}\bullet\vec{y}=U^TU\vec{x}\bullet\vec{y}\nonumber$$ y así $$((U^TU-I)\vec{x})\bullet\vec{y}=0\nonumber$$ Desde$y$ es arbitrario, se deduce que$U^TU-I=0$. Así$U$ es ortogonal.

Ejercicio$\PageIndex{127}$

Supongamos que$U$ es una$n\times n$ matriz ortogonal. Explique por qué$rank(U) = n$.

Contestar

Se podría observar eso$\text{det}(UU^T)=(\text{det}(U))^2-1$ así$\text{det}(U)\neq 0$.

Ejercicio$\PageIndex{128}$

Rellene las entradas faltantes para hacer ortogonal la matriz. $$\left[\begin{array}{ccc}\frac{-1}{\sqrt{2}}&\frac{-1}{\sqrt{6}}&\frac{1}{\sqrt{3}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}}&\underline{\;}&\underline{\;} \\ \underline{\;}&\frac{\sqrt{6}}{3}&\underline{\;}\end{array}\right].\nonumber$$

Contestar

$$\begin{aligned} &\left[\begin{array}{ccc}\frac{-1}{\sqrt{2}}&\frac{-1}{\sqrt{6}}&\frac{1}{\sqrt{3}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}}&\frac{-1}{\sqrt{6}}&a \\ 0&\frac{\sqrt{6}}{3}&b\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}\frac{-1}{\sqrt{2}}&\frac{-1}{\sqrt{6}}&\frac{1}{\sqrt{3}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}}&\frac{-1}{\sqrt{6}}&a \\ 0&\frac{\sqrt{6}}{3}&b\end{array}\right]^T \\ =&\left[\begin{array}{ccc} 1&\frac{1}{3}\sqrt{3}a-\frac{1}{3} &\frac{1}{3}\sqrt{3}b-\frac{1}{3} \\ \frac{1}{3}\sqrt{3}a-\frac{1}{3}&a^2+\frac{2}{3}&ab-\frac{1}{3} \\ \frac{1}{3}\sqrt{3}b-\frac{1}{3}&ab-\frac{1}{3}&b^2+\frac{2}{3}\end{array}\right]\end{aligned}$$ Esto requiere,$a=1/\sqrt{3},b=1/\sqrt{3}$. $$\left[\begin{array}{ccc}\frac{-1}{\sqrt{2}}&\frac{-1}{\sqrt{6}}&\frac{1}{\sqrt{3}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}}&\frac{-1}{\sqrt{6}}&1/\sqrt{3} \\ 0&\frac{\sqrt{6}}{3}&1/\sqrt{3}\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}\frac{-1}{\sqrt{2}}&\frac{-1}{\sqrt{6}}&\frac{1}{\sqrt{3}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}}&\frac{-1}{\sqrt{6}}&1/\sqrt{3} \\ 0&\frac{\sqrt{6}}{3}&1/\sqrt{3}\end{array}\right]^T =\left[\begin{array}{ccc}1&0&0 \\ 0&1&0 \\ 0&0&1\end{array}\right]\nonumber$$

Ejercicio$\PageIndex{129}$

Rellene las entradas faltantes para hacer ortogonal la matriz. $$\left[\begin{array}{ccc}\frac{2}{3}&\frac{\sqrt{2}}{2}&\frac{1}{6}\sqrt{2} \\ \frac{2}{3}&\underline{\;}&\underline{\;} \\ \underline{\;}&0&\underline{\;}\end{array}\right]\nonumber$$

Contestar

$$\left[\begin{array}{ccc}\frac{2}{3}&\frac{\sqrt{2}}{2}&\frac{1}{6}\sqrt{2}\\ \frac{2}{3}&\frac{-\sqrt{2}}{2}&a \\ -\frac{1}{3}&0&b\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}\frac{2}{3}&\frac{\sqrt{2}}{2}&\frac{1}{6}\sqrt{2} \\ \frac{2}{3}&\frac{-\sqrt{2}}{2}&a \\ -\frac{1}{3}&0&b\end{array}\right]^T=\left[\begin{array}{ccc}1&\frac{1}{6}\sqrt{2}a-\frac{1}{18}&\frac{1}{6}\sqrt{2}b-\frac{2}{9} \\ \frac{1}{6}\sqrt{2}a-\frac{1}{18}&a^2+\frac{17}{18} &ab-\frac{2}{9} \\ \frac{1}{6}\sqrt{2}b-\frac{2}{9}&ab-\frac{2}{9}&b^2+\frac{1}{9}\end{array}\right]\nonumber$$ Esto requiere$a=\frac{1}{3\sqrt{2}},\:b=\frac{4}{3\sqrt{2}}$. $$\left[\begin{array}{ccc}\frac{2}{3}&\frac{\sqrt{2}}{2}&\frac{1}{6}\sqrt{2} \\ \frac{2}{3}&\frac{-\sqrt{2}}{2}&\frac{1}{3\sqrt{2}} \\ -\frac{1}{3}&0&\frac{4}{3\sqrt{2}}\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}\frac{2}{3}&\frac{\sqrt{2}}{2}&\frac{1}{6}\sqrt{2} \\ \frac{2}{3}&\frac{-\sqrt{2}}{2}&\frac{1}{3\sqrt{2}} \\ -\frac{1}{3}&0&\frac{4}{3\sqrt{2}}\end{array}\right]^T=\left[\begin{array}{ccc}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{array}\right]\nonumber$$

Ejercicio$\PageIndex{130}$

Rellene las entradas faltantes para hacer ortogonal la matriz. $$\left[\begin{array}{ccc}\frac{1}{3}&-\frac{2}{\sqrt{5}}&\underline{\;} \\ \frac{2}{3}&0&\underline{\;} \\ \underline{\;}&\underline{\;}&\frac{4}{15}\sqrt{5}\end{array}\right]\nonumber$$

Contestar

Prueba $$\begin{aligned}&\left[\begin{array}{ccc}\frac{1}{3}&-\frac{2}{\sqrt{5}}&c \\ \frac{2}{3}&0&d \\ \frac{2}{3}&\frac{1}{\sqrt{5}}&\frac{4}{15}\sqrt{5}\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}\frac{1}{3}&-\frac{2}{\sqrt{5}}&c \\ \frac{2}{3}&0&d \\ \frac{2}{3}&\frac{1}{\sqrt{5}}&\frac{4}{15}\sqrt{5}\end{array}\right]^T \\ =&\left[\begin{array}{ccc}c^2+\frac{41}{45} &cd+\frac{2}{9}&\frac{4}{15}\sqrt{5}c-\frac{8}{45} \\ cd+\frac{2}{9}&d^2+\frac{4}{9} &\frac{4}{15}\sqrt{5}d+\frac{4}{9} \\ \frac{4}{15}\sqrt{5}c-\frac{8}{45}&\frac{4}{15}\sqrt{5}d+\frac{4}{9}&1\end{array}\right]\end{aligned}$$ Esto requiere eso$c=\frac{2}{3\sqrt{5}},d=\frac{-5}{3\sqrt{5}}$. $$\left[\begin{array}{ccc}\frac{1}{3}&-\frac{2}{\sqrt{5}}&\frac{2}{3\sqrt{5}} \\ \frac{2}{3}&0&\frac{-5}{3\sqrt{5}} \\ \frac{2}{3}&\frac{1}{\sqrt{5}}&\frac{4}{15}\sqrt{5}\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}\frac{1}{3}&-\frac{2}{\sqrt{5}}&\frac{2}{3\sqrt{5}} \\ \frac{2}{3}&0&\frac{-5}{3\sqrt{5}} \\ \frac{2}{3}&\frac{1}{\sqrt{5}}&\frac{4}{15}\sqrt{5}\end{array}\right]^T=\left[\begin{array}{ccc}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{array}\right]\nonumber$$

Ejercicio$\PageIndex{131}$

Encuentra una base ortonormal para el lapso de cada uno de los siguientes conjuntos de vectores.

1. $\left[\begin{array}{r}3\\-4\\0\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{r}7\\-1\\0\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{r}1\\7\\1\end{array}\right]$
2. $\left[\begin{array}{r}3\\0\\-4\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{r}11\\0\\2\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{r}1\\1\\7\end{array}\right]$
3. $\left[\begin{array}{r}3\\0\\-4\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{r}5\\0\\10\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{r}-7\\1\\1\end{array}\right]$

Contestar

1. $\left[\begin{array}{c}\frac{3}{5} \\ -\frac{4}{5} \\ 0\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{c}\frac{4}{5}\\ \frac{3}{5} \\ 0\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{c}0\\0\\1\end{array}\right]$
2. $\left[\begin{array}{c}\frac{3}{5}\\ 0\\ -\frac{4}{5}\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{c}\frac{4}{5} \\ 0\\ \frac{3}{5}\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{c}0\\1\\0\end{array}\right]$
3. $\left[\begin{array}{c}\frac{3}{5}\\0\\-\frac{4}{5}\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{c}\frac{4}{5}\\0\\ \frac{3}{5}\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{c}0\\1\\0\end{array}\right]$

Ejercicio$\PageIndex{132}$

Usando el proceso de Gram Schmidt, encuentre una base ortonormal para el siguiente lapso: $$span\left\{\left[\begin{array}{r}1\\2\\1\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{r}2\\-1\\3\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{r}1\\0\\0\end{array}\right]\right\}\nonumber$$

Contestar

Una solución es $$\left[\begin{array}{c}\frac{1}{6}\sqrt{6} \\ \frac{1}{3}\sqrt{6} \\ \frac{1}{6}\sqrt{6}\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{c}\frac{3}{10}\sqrt{2} \\ -\frac{2}{5}\sqrt{2} \\ \frac{1}{2}\sqrt{2}\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{c}\frac{7}{15}\sqrt{3} \\ -\frac{1}{15}\sqrt{3} \\ -\frac{1}{3}\sqrt{3}\end{array}\right]\nonumber$$

Ejercicio$\PageIndex{133}$

Usando el proceso de Gram Schmidt, encuentre una base ortonormal para el siguiente lapso: $$span\left\{\left[\begin{array}{r}1\\2\\1\\0\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{r}2\\-1\\3\\1\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{r}1\\0\\0\\1\end{array}\right]\right\}\nonumber$$

Contestar

Entonces una solución es $$\left[\begin{array}{c}\frac{1}{6}\sqrt{6} \\ \frac{1}{3}\sqrt{6} \\ \frac{1}{6}\sqrt{6} \\ 0\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{c}\frac{1}{6}\sqrt{2}\sqrt{3} \\ -\frac{2}{9}\sqrt{2}\sqrt{3} \\ \frac{5}{18}\sqrt{2}\sqrt{3} \\ \frac{1}{9}\sqrt{2}\sqrt{3}\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{c}\frac{5}{111}\sqrt{3}\sqrt{37} \\ \frac{1}{133}\sqrt{3}\sqrt{37} \\ -\frac{17}{333}\sqrt{3}\sqrt{37} \\ \frac{22}{333}\sqrt{3}\sqrt{37}\end{array}\right]\nonumber$$

Ejercicio$\PageIndex{134}$

El conjunto$V=\left\{\left[\begin{array}{c}x\\y\\z\end{array}\right] :2x+3y-z=0\right\}$ es un subespacio de$\mathbb{R}^3$. Encontrar una base ortonormal para este subespacio.

Contestar

El subespacio es de la forma $$\left[\begin{array}{c}x\\y\\2x+3y\end{array}\right]\nonumber$$ y una base es$\left[\begin{array}{c}1\\0\\2\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{c}0\\1\\3\end{array}\right]$. Por lo tanto, una base ortonormal es $$\left[\begin{array}{c}\frac{1}{5}\sqrt{5} \\ 0\\ \frac{2}{5}\sqrt{5}\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{c}-\frac{3}{35}\sqrt{5}\sqrt{14} \\ \frac{1}{14}\sqrt{5}\sqrt{14} \\ \frac{3}{70}\sqrt{5}\sqrt{14}\end{array}\right]\nonumber$$

Ejercicio$\PageIndex{135}$

Considera la siguiente ecuación escalar de un plano. $$2x-3y+z=0\nonumber$$ Encuentra el complemento ortogonal del vector$\vec{v}=\left[\begin{array}{c}3\\4\\1\end{array}\right]$. También encuentra el punto en el avión que está más cerca$(3,4,1)$.

Ejercicio$\PageIndex{136}$

Considera la siguiente ecuación escalar de un plano. $$x+3y+z=0\nonumber$$ Encuentra el complemento ortogonal del vector$\vec{v}=\left[\begin{array}{c}1\\2\\1\end{array}\right]$. También encuentra el punto en el avión que está más cerca$(3,4,1)$.

Ejercicio$\PageIndex{137}$

Dejar$\vec{v}$ ser un vector y dejar$\vec{n}$ ser un vector normal para un plano a través del origen. Encuentra la ecuación de la línea a través del punto determinado por el$\vec{v}$ cual tiene vector de dirección$\vec{n}$. Demostrar que cruza el plano en el punto determinado por$\vec{v}−proj_{\vec{n}}\vec{v}$. Pista: La línea:$\vec{v}+t\vec{n}$. Está en el avión si$\vec{n}•(\vec{v}+t\vec{n}) = 0$. Determinar$t$. Después sustituya a la ecuación de la línea.

Ejercicio$\PageIndex{138}$

Como se muestra en el problema anterior, uno puede encontrar el punto más cercano a~v en un plano a través del origen al encontrar la intersección de la línea a través de$\vec{v}$ tener vector de dirección igual al vector normal al plano con el plano. Si el avión no pasa por el origen, esto seguirá funcionando para encontrar el punto en el plano más cercano al punto determinado por$\vec{v}$. Aquí hay una relación que define un plano $$2x+y+z=11\nonumber$$ y aquí hay un punto:$(1, 1, 2)$. Encuentra el punto en el avión que está más cerca de este punto. Después determina la distancia desde el punto hasta el plano tomando la distancia entre estos dos puntos. Pista: Línea:$(x, y,z) = (1, 1, 2) +t(2, 1, 1)$. Ahora requieren que se cruce con el plano.

Ejercicio$\PageIndex{139}$

En general, se tiene un punto$(x_0, y_0,z_0)$ y una ecuación escalar para un plano$ax+by+cz = d$ donde$a^2 +b^2 +c^2 > 0$. Determinar una fórmula para el punto más cercano en el plano al punto dado. Entonces usa este punto para obtener una fórmula para la distancia desde el punto dado hasta el plano. Pista: Encuentra la línea perpendicular al plano que pasa por el punto dado:$(x, y,z) = (x_0, y_0,z_0) + t(a,b, c)$. Ahora requieren que este punto satisfaga la ecuación para que el plano determine$t$.

Ejercicio$\PageIndex{140}$

Encuentra la solución de mínimos cuadrados al siguiente sistema. $$\begin{aligned}x+2y&=1 \\ 2x+3y&=2 \\ 3x+5y&=4\end{aligned}$$

Contestar

$$\begin{aligned}\left[\begin{array}{cc}1&2\\2&3\\3&5\end{array}\right]^T\left[\begin{array}{cc}1&2\\2&3\\3&5\end{array}\right]&=\left[\begin{array}{cc}14&23\\23&38\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}14&23\\23&38\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x\\y\end{array}\right] \\ &=\left[\begin{array}{cc}1&2\\2&3\\3&5\end{array}\right]^T\left[\begin{array}{c}1\\2\\4\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}17\\28\end{array}\right]\end{aligned}$$ $$\begin{aligned}\left[\begin{array}{cc}14&23\\23&38\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x\\y\end{array}\right]&=\left[\begin{array}{c}17\\28\end{array}\right] \\ \left[\begin{array}{cc}14&23\\23&38\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x\\y\end{array}\right]&=\left[\begin{array}{c}17\\28\end{array}\right],\end{aligned}$$ La solución es:$\left[\begin{array}{c}\frac{2}{3}\\ \frac{1}{3}\end{array}\right]$

Ejercicio$\PageIndex{141}$

Estás haciendo experimentos y has obtenido los pares ordenados, $$(0, 1),(1, 2),(2, 3.5),(3, 4)\nonumber$$ Find$m$ y$b$ tal que$\vec{y} = m\vec{x}+b$ aproxima estos cuatro puntos lo mejor posible.

Ejercicio$\PageIndex{142}$

Supongamos que tiene varios triples ordenados,$(x_i , y_i ,z_i)$. Describir cómo encontrar un polinomio como $$z = a+bx+cy+dxy+ex^2 + fy^2\nonumber$$ dar el mejor ajuste a los triples ordenados dados.

Ejercicio$\PageIndex{143}$

El viento sopla desde el Sur a$20$ kilómetros por hora y un avión que vuela a$600$ kilómetros por hora en aire quieto se dirige hacia el Este. Encuentra la velocidad del avión y su ubicación después de dos horas.

Ejercicio$\PageIndex{144}$

El viento sopla desde el Oeste a$30$ kilómetros por hora y un avión que vuela a$400$ kilómetros por hora en aire quieto se dirige hacia el noreste. Encuentra la velocidad del avión y su posición después de dos horas.

Ejercicio$\PageIndex{145}$

El viento sopla desde el Norte a$10$ kilómetros por hora. Se supone que un avión que vuela a$300$ kilómetros por hora en aire quieto va al punto cuyas coordenadas están en ¿$\left( 100, 100 \right).$En qué dirección debería volar el avión?

Ejercicio$\PageIndex{146}$

Tres fuerzas actúan sobre un objeto. Dos son$\left [ \begin{array}{r} 3 \\ -1 \\ -1 \end{array} \right ]$ y$\left [ \begin{array}{r} 1 \\ -3 \\ 4 \end{array} \right ]$ Newtons. Encuentra la tercera fuerza si el objeto no va a moverse.

Ejercicio$\PageIndex{147}$

Tres fuerzas actúan sobre un objeto. Dos son$\left [ \begin{array}{r} 6 \\ -3 \\ 3 \end{array} \right ]$ y$\left [ \begin{array}{r} 2 \\ 1 \\ 3 \end{array} \right ]$ Newtons. Encuentra la tercera fuerza si la fuerza total sobre el objeto va a ser$\left [ \begin{array}{r} 7 \\ 1 \\ 3 \end{array} \right ] .$

Ejercicio$\PageIndex{148}$

Un río fluye hacia el oeste a razón de$b$ millas por hora. Un barco puede moverse a razón de$8$ millas por hora. Encuentra el valor más pequeño de$b$ tal manera que no sea posible que la embarcación proceda directamente a través del río.

Ejercicio$\PageIndex{149}$

El viento sopla de Oeste a Este a una velocidad de$50$ millas por hora y un avión que viaja a$400$ millas por hora en aire quieto se dirige hacia el noroeste. ¿Cuál es la velocidad del avión en relación con el suelo? ¿Cuál es el componente de esta velocidad en dirección Norte?

Contestar

La velocidad es la suma de dos vectores. $50\vec{i}+\frac{ 300}{\sqrt{2}} \left( \vec{i}+\vec{j}\right) =\left( 50+\frac{300}{\sqrt{2}} \right) \vec{i}+ \frac{300}{\sqrt{2}}\vec{j}.$El componente en la dirección del Norte es entonces$\frac{300}{\sqrt{2}}= 150\sqrt{2}$ y la velocidad relativa al suelo es $$\left( 50+\frac{300}{\sqrt{2}}\right) \vec{i}+\frac{300}{\sqrt{2}}\vec{j}\nonumber$$

Ejercicio$\PageIndex{150}$

El viento sopla de Oeste a Este a una velocidad de$60$ millas por hora y un avión puede viajar a$100$ millas por hora en aire quieto. ¿Cuántos grados al Oeste del Norte debe dirigirse el avión para poder viajar exactamente al Norte?

Ejercicio$\PageIndex{151}$

El viento sopla de Oeste a Este a una velocidad de$50$ millas por hora y un avión que viaja a$400$ millas por hora en aire quieto con rumbo algo al Oeste de Norte para que, con el viento, esté volando con rumbo Norte. Utiliza$30.0$ galones de gas cada hora. Si tiene que recorrer$600.0$ millas con destino al Norte, ¿cuánto gas utilizará para volar a su destino?

Ejercicio$\PageIndex{152}$

Un avión vuela hacia el norte a$150.0$ millas por hora pero en realidad no va hacia el norte porque hay un viento que empuja al avión hacia el este a$40.0$ millas por hora. Después de una hora, el avión comienza a volar$30^{\circ }$ al Este del Norte. Asumiendo que el avión empieza en$\left( 0,0\right) ,$ ¿dónde está después de$2$ horas? Que Norte sea la dirección del$y$ eje positivo y que Oriente sea la dirección del$x$ eje positivo.

Contestar

Velocidad del avión para la primera hora:$\left [ \begin{array}{cc} 0 & 150 \end{array} \right ] + \left [ \begin{array}{cc} 40 & 0 \end{array} \right ] =\left [ \begin{array}{cc} 40 & 150 \end{array} \right ] .$ Después de una hora está en$\left( 40,150\right) .$ Siguiente la velocidad del avión es$150\left [ \begin{array}{cc} \frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} \end{array} \right ] +\left [ \begin{array}{cc} 40 & 0 \end{array} \right ]$ en millas por hora. Después de dos horas es entonces a$\left( 40,150\right) + 150\left [ \begin{array}{cc} \frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} \end{array} \right ] +\left [ \begin{array}{cc} 40 & 0 \end{array} \right ] = \left [ \begin{array}{cc} 155 & 75\sqrt{3}+150 \end{array} \right ] = \left [ \begin{array}{cc} 155.0 & 279.\, 9 \end{array} \right ]$

Ejercicio$\PageIndex{153}$

La ciudad A se encuentra en el origen$\left( 0,0 \right)$ mientras que la ciudad B se encuentra en$\left(300,500 \right)$ donde las distancias están en millas. Un avión vuela a$250$ millas por hora en aire quieto. Este avión quiere volar de la ciudad A a la ciudad B pero el viento sopla en dirección al$y$ eje positivo a una velocidad de$50$ millas por hora. Encuentra un vector unitario de tal manera que si el avión se dirige en esta dirección, terminará en la ciudad B habiendo volado la distancia más corta posible. ¿Cuánto tiempo tardará en llegar?

Contestar

Viento:$\left [ \begin{array}{cc} 0 & 50 \end{array} \right ] .$ Dirección que necesita para viajar:$\left( 3,5 \right) \frac{1}{\sqrt{34}}.$ Entonces necesitas$250 \left [ \begin{array}{cc} a & b \end{array} \right ] + \left [ \begin{array}{cc} 0 & 50 \end{array} \right ]$ tener esta dirección donde$\left [ \begin{array}{cc} a & b \end{array} \right ]$ está un vector de unidad apropiado. Así necesitas $$\begin{aligned} a^{2}+b^{2} &=1 \\ \frac{250b+50}{250a} &=\frac{5}{3}\end{aligned}$$ Así$a=\frac{3}{5},b=\frac{4}{5}.$ La velocidad del plano relativo al suelo es$\left [ \begin{array}{cc} 150 & 250 \end{array} \right ] .$ La velocidad del plano relativo al suelo es La velocidad del plano relativo al suelo viene dada por $$\sqrt{\left( 150\right) ^{2}+\left( 250\right) ^{2}}= 291.55 \text{ miles per hour }\nonumber$$ Tiene que recorrer una distancia de$\sqrt{\left( 300\right) ^{2}+\left( 500\right) ^{2}}= 583.\, 10$ millas. Por lo tanto, se necesita $$\frac{ 583.\, 1}{ 291.\, 55}=2 \text{ hours}\nonumber$$

Ejercicio$\PageIndex{154}$

Un cierto río tiene media milla de ancho con una corriente que fluye a$2$ millas por hora de Este a Oeste. Un hombre nada directamente hacia la orilla opuesta de la orilla sur del río a una velocidad de$3$ millas por hora. ¿A qué distancia del río se encuentra cuando ha nadado a través de él? ¿Hasta dónde termina viajando?

Contestar

Agua:$\left [ \begin{array}{rr} -2 & 0 \end{array} \right ]$ Nadador:$\left [ \begin{array}{rr} 0 & 3 \end{array} \right ]$ Velocidad relativa a la tierra:$\left [ \begin{array}{rr} -2 & 3 \end{array} \right ] .$ Le toma$1/6$ de una hora cruzar. Por lo tanto, termina recorriendo$\frac{1}{6}\sqrt{4+9}= \frac{1}{6}\sqrt{13}$ millas. Termina$1/3$ milla río abajo.

Ejercicio$\PageIndex{155}$

Un cierto río tiene media milla de ancho con una corriente que fluye a 2 millas por hora de Este a Oeste. Un hombre puede nadar a$3$ millas por hora en agua sin gas. ¿En qué dirección debe nadar para atravesar directamente el río? ¿Cuál sería la respuesta a este problema si el río fluyera a 3 millas por hora y el hombre pudiera nadar solo a razón de 2 millas por hora?

Contestar

Hombre:$3\left [ \begin{array}{rr} a & b \end{array} \right ]$ Agua:$\left [ \begin{array}{rr} -2 & 0 \end{array} \right ]$ Entonces necesitas$3a=2$ y así$a=2/3$ y por lo tanto$b=\sqrt{5}/3$. El vector es entonces$\left [ \begin{array}{cc} \frac{2}{3} & \frac{\sqrt{5}}{3} \end{array} \right ] .$

En el segundo caso, no pudo hacerlo. Se necesitaría tener un vector unitario$\left [ \begin{array}{rr} a & b \end{array} \right ]$ tal$2a=3$ que no sea posible.

Ejercicio$\PageIndex{156}$

Se aplican tres fuerzas a un punto que no se mueve. Dos de las fuerzas son$2 \vec{i}+2 \vec{j} -6 \vec{k}$ Newtons y$8 \vec{i}+ 8 \vec{j}+ 3 \vec{k}$ Newtons. Encuentra la tercera fuerza.

Ejercicio$\PageIndex{157}$

La fuerza total que actúa sobre un objeto va a ser$4 \vec{i}+ 2 \vec{j} -3 \vec{k}$ Newtons. Se está aplicando una fuerza de$-3 \vec{i} -1 \vec{j}+ 8 \vec{k}$ Newtons. ¿Qué otra fuerza se debe aplicar para lograr la fuerza total deseada?

Ejercicio$\PageIndex{158}$

Un pájaro vuela desde su nido$8$ km en dirección$\frac{5}{6}\pi$ norte de oriente donde se detiene para descansar sobre un árbol. Luego vuela$1$ km en dirección sureste y aterriza sobre un poste telefónico. Colocar un sistema de$xy$ coordenadas para que el origen sea el nido del ave, y el$x$ eje positivo apunte al este y el$y$ eje positivo apunte al norte. Encuentra el vector de desplazamiento desde el nido hasta el poste telefónico.

Ejercicio$\PageIndex{159}$

Si$\vec{F}$ es una fuerza y$\vec{D}$ es un vector, mostrar$\mathrm{proj}_{\vec{D}}\left( \vec{F}\right) =\left( \| \vec{F} \| \cos \theta \right) \vec{u}$ dónde$\vec{u}$ está el vector unitario en la dirección de$\vec{D}$, dónde$\vec{u}=\vec{D}/ \| \vec{D} \|$ y$\theta$ es el ángulo incluido entre los dos vectores,$\vec{F}$ y$\vec{D}$. $\| \vec{F} \| \cos \theta$a veces se llama el componente de la fuerza,$\vec{F}$ en la dirección,$\vec{D}$.

Contestar

$\mathrm{proj}_{\vec{D}}\left( \vec{F}\right) = \frac{\vec{F}\bullet \vec{D}}{ \| \vec{D} \| }\frac{\vec{D}}{ \| \vec{D} \| }=\left( \| \vec{F} \| \cos \theta \right) \frac{\vec{D}}{ \| \vec{D} \| }=\left( \| \vec{F} \| \cos \theta \right) \vec{u}$

Ejercicio$\PageIndex{160}$

Un niño arrastra un trineo por$100$ los pies por el suelo tirando de una cuerda que está$20$ grados de la horizontal con una fuerza de$40$ libras. ¿Cuánto trabajo hace esta fuerza?

Contestar

$40\cos \left( \frac{20}{180}\pi \right)100=3758.8$

Ejercicio$\PageIndex{161}$

Una niña arrastra un trineo por$200$ pies por el suelo tirando de una cuerda que está$30$ grados de la horizontal con una fuerza de$20$ libras. ¿Cuánto trabajo hace esta fuerza?

Contestar

$20\cos \left( \frac{\pi }{6}\right)200= 3464.1$

Ejercicio$\PageIndex{162}$

Un perro grande arrastra un trineo por$300$ pies a lo largo del suelo tirando de una cuerda que está$45$ grados de la horizontal con una fuerza de$20$ libras. ¿Cuánto trabajo hace esta fuerza?

Contestar

$20\left( \cos \frac{\pi }{4}\right)300=4242.6$

Ejercicio$\PageIndex{163}$

¿Cuánto trabajo se necesita para deslizar una caja$20$ metros a lo largo de un muelle de carga tirando de él con una fuerza$200$ Newton en un ángulo de$30^{\circ }$ desde la horizontal? Exprese su respuesta en metros Newton.

Contestar

$200\left( \cos \left( \frac{\pi }{6}\right) \right) 20= 3464.1$

Ejercicio$\PageIndex{164}$

Un objeto se mueve$10$ metros en la dirección de$\vec{j}$. Hay dos fuerzas que actúan sobre este objeto,$\vec{F}_{1}=\vec{i}+\vec{j}+ 2\vec{k}$, y$\vec{F}_{2}=-5\vec{i}+2\vec{j}-6\vec{k}$. Encuentra el trabajo total realizado sobre el objeto por las dos fuerzas. Sugerencia: Puedes tomar el trabajo realizado por el resultante de las dos fuerzas o puedes agregar el trabajo realizado por cada fuerza. ¿Por qué?

Contestar

$\left [ \begin{array}{r} -4 \\ 3 \\ -4 \end{array} \right ] \bullet \left [ \begin{array}{r} 0 \\ 1 \\ 0 \end{array} \right ] \times 10= 30$Se puede considerar la resultante de las dos fuerzas debido a las propiedades del producto punto.

Ejercicio$\PageIndex{165}$

Un objeto se mueve$10$ metros en la dirección de$\vec{j}+\vec{i}$. Hay dos fuerzas que actúan sobre este objeto,$\vec{F}_{1}=\vec{i}+2\vec{j} +2\vec{k}$, y$\vec{F}_{2}=5\vec{i}+2\vec{j}-6\vec{k}$. Encuentra el trabajo total realizado sobre el objeto por las dos fuerzas. Sugerencia: Puedes tomar el trabajo realizado por el resultante de las dos fuerzas o puedes agregar el trabajo realizado por cada fuerza. ¿Por qué?

Contestar

$$\begin{aligned} \vec{F}_{1}\bullet \left [ \begin{array}{r} \frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} \\ 0 \end{array} \right ] 10+\vec{F}_{2}\bullet \left [ \begin{array}{r} \frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} \\ 0 \end{array} \right ] 10 &=\left( \vec{F}_{1}+\vec{F}_{2}\right) \bullet \left [ \begin{array}{r} \frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} \\ 0 \end{array} \right ] 10 \\ &= \left [ \begin{array}{r} 6 \\ 4 \\ -4 \end{array} \right ] \bullet \left [ \begin{array}{r} \frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} \\ 0 \end{array} \right ] 10 \\ &= 50\sqrt{2}\end{aligned}$$

Ejercicio$\PageIndex{166}$

Un objeto se mueve$20$ metros en la dirección de$\vec{k}+\vec{j}$. Hay dos fuerzas que actúan sobre este objeto,$\vec{F}_{1}=\vec{i}+\vec{j}+ 2\vec{k}$, y$\vec{F}_{2}=\vec{i}+2\vec{j}-6\vec{k}$. Encuentra el trabajo total realizado sobre el objeto por las dos fuerzas. Sugerencia: Puedes tomar el trabajo realizado por el resultante de las dos fuerzas o puedes agregar el trabajo realizado por cada fuerza.

Contestar

$\left [ \begin{array}{r} 2 \\ 3 \\ -4 \end{array} \right ] \bullet \left [ \begin{array}{r} 0 \\ \frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} \end{array} \right ] 20= -10\sqrt{2}$