5.9: La solución general de un sistema lineal
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- Utilizar transformaciones lineales para determinar la solución particular y la solución general a un sistema de ecuaciones.
- Encuentra el núcleo de una transformación lineal.
Recordemos la definición de una transformación lineal comentada anteriormente. \(T\)es una transformación lineal si siempre\(\vec{x}, \vec{y}\) son vectores y\(k,p\) son escalares,\[T\left( k\vec{x}+p\vec{y}\right) =k T \left( \vec{x} \right) +p T\left(\vec{y} \right)\nonumber \] así las transformaciones lineales se distribuyen a través de la suma y pasan escalares al exterior.
Resulta que podemos utilizar transformaciones lineales para resolver sistemas lineales de ecuaciones. De hecho dado un sistema de ecuaciones lineales de la forma\(A\vec{x}=\vec{b}\), uno puede reformularlo como\(T(\vec{x})=\vec{b}\) donde\(T\) está la transformación lineal\(T_A\) inducida por la matriz de coeficientes\(A\). Con esto en mente considera la siguiente definición.
Supongamos que un sistema lineal de ecuaciones se puede escribir en la forma\[T\left(\vec{x}\right)=\vec{b}\nonumber \] Si\(T\left(\vec{x}_{p}\right)=\vec{b},\) entonces\(\vec{x}_{p}\) se llama una solución particular del sistema lineal.
Recordemos que un sistema se llama homogéneo si cada ecuación en el sistema es igual a\(0\). Supongamos que representamos un sistema homogéneo de ecuaciones por\(T\left(\vec{x}\right)=0\). Resulta que los\(\vec{x}\) para los que\(T \left(\vec{x}\right) = 0\) forman parte de un conjunto especial llamado el espacio nulo de\(T\). También podemos referirnos al espacio nulo como el núcleo de\(T\), y escribimos\(ker\left(T\right)\).
Considera la siguiente definición.
Dejar\(T\) ser una transformación lineal. Definir\[\ker \left( T\right) = \left\{ \vec{x}:T \left(\vec{x} \right)= \vec{0} \right\}\nonumber \] El kernel,\(\ker \left( T\right)\) consiste en el conjunto de todos los vectores\(\vec{x}\) para los cuales\(T (\vec{x}) = \vec{0}\). Esto también se llama el espacio nulo de\(T\).
También podemos referirnos al núcleo de\(T\) como el espacio de solución de la ecuación\(T \left(\vec{x}\right) = \vec{0}\).
Considera el siguiente ejemplo.
Let\(\frac{d}{dx}\) denotar la transformación lineal definida en\(f,\) las funciones que se definen en\(\mathbb{R}\) y tienen una derivada continua. Encuentra\(\ker \left( \frac{d}{dx}\right) .\)
Solución
El ejemplo pide funciones\(f\) que la propiedad que\(\frac{df}{dx} =0.\) Como ya sabrás por el cálculo, estas funciones son las funciones constantes. Así\(\ker \left( \frac{d}{dx}\right)\) es el conjunto de funciones constantes.
Definición\(\PageIndex{2}\) establece que\(\ker \left( T\right)\) es el conjunto de soluciones a la ecuación,\[T\left( \vec{x} \right) = \vec{0}\nonumber\] ya que podemos escribir\(T\left( \vec{x} \right)\) como\(A\vec{x}\), llevas bastante tiempo resolviendo este tipo de ecuaciones.
Hemos pasado mucho tiempo buscando soluciones a sistemas de ecuaciones en general, así como sistemas homogéneos. Supongamos que miramos un sistema dado por\(A\vec{x}=\vec{b}\), y consideramos el sistema homogéneo relacionado. Con esto, queremos decir que reemplazamos\(\vec{b}\) por\(\vec{0}\) y miramos\(A\vec{x}=\vec{0}\). Resulta que existe una relación muy importante entre las soluciones del sistema original y las soluciones del sistema homogéneo asociado. En el siguiente teorema, utilizamos transformaciones lineales para denotar un sistema de ecuaciones. Recuerda eso\(T\left(\vec{x}\right) = A\vec{x}\).
Supongamos que\(\vec{x}_{p}\) es una solución al sistema lineal dado por,\[T\left( \vec{x} \right) = \vec{b}\nonumber \] Entonces si\(\vec{y}\) hay alguna otra solución a\(T\left(\vec{x}\right)=\vec{b}\), existe\(\vec{x}_0 \in \ker \left( T\right)\) tal que\[\vec{y} = \vec{x}_{p}+ \vec{x}_0\nonumber \] por lo tanto, cada solución al sistema lineal puede escribirse como una suma de una solución particular,\(\vec{x}_p\), y una solución \(\vec{x}_0\)al sistema homogéneo asociado dado por\(T\left(\vec{x}\right)=\vec{0}\).
- Prueba
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Considera\(\vec{y} - \vec{x}_{p}= \vec{y} + \left( -1\right) \vec{x}_{p}.\) Entonces\(T\left( \vec{y} - \vec{x}_{p}\right) =T\left(\vec{y}\right) -T\left( \vec{x}_{p} \right)\). Dado que\(\vec{y}\) y\(\vec{x}_{p}\) son ambas soluciones al sistema, se deduce que\(T\left(\vec{y}\right)= \vec{b}\) y\(T\left(\vec{x}_p\right) = \vec{b}\).
De ahí,\(T\left(\vec{y}\right)-T\left( \vec{x}_{p} \right) =\vec{b} - \vec{b} = \vec{0}\). Vamos\(\vec{x}_0 = \vec{y} - \vec{x}_{p}\). Entonces,\(T\left(\vec{x}_0\right)= \vec{0}\) así\(\vec{x}_0\) es una solución al sistema homogéneo asociado y así está en\(\ker \left(T\right)\).
En ocasiones la gente recuerda el teorema anterior en la siguiente forma. Las soluciones al sistema\(T\left(\vec{x}\right)=\vec{b}\) están dadas por\(\vec{x}_{p}+\ker \left( T\right)\) donde\(\vec{x}_{p}\) es una solución particular para\(T\left(\vec{x}\right)=\vec{b}\).
Por ahora, hemos estado hablando del núcleo o espacio nulo de una transformación lineal\(T\). Sin embargo, sabemos que cada transformación lineal\(T\) está determinada por alguna matriz\(A\). Por lo tanto, también podemos hablar del espacio nulo de una matriz. Considera el siguiente ejemplo.
Vamos a\[A=\left[ \begin{array}{rrrr} 1 & 2 & 3 & 0 \\ 2 & 1 & 1 & 2 \\ 4 & 5 & 7 & 2 \end{array} \right]\nonumber \] encontrar\(\mathrm{null} \left( A\right)\). Equivalentemente, encontrar las soluciones al sistema de ecuaciones\(A\vec{x}=\vec{0}\).
Solución
Se nos pide encontrar\(\left\{ \vec{x} : A\vec{x} = \vec{0}\right\} .\) En otras palabras queremos resolver el sistema,\(A\vec{x}=\vec{0}\). Deja\(\vec{x} = \left[ \begin{array}{r} x \\ y \\ z \\ w \end{array} \right].\) Entonces esto equivale a resolver\[\left[ \begin{array}{rrrr} 1 & 2 & 3 & 0 \\ 2 & 1 & 1 & 2 \\ 4 & 5 & 7 & 2 \end{array} \right] \left[ \begin{array}{c} x \\ y \\ z \\ w \end{array} \right] =\left[ \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 0 \end{array} \right]\nonumber \]
Este es el sistema lineal\[\begin{array}{c} x+2y+3z=0 \\ 2x+y+z+2w=0 \\ 4x+5y+7z+2w=0 \end{array}\nonumber \] Para resolver, configurar la matriz aumentada y reducir la fila para encontrar la forma de fila-escalón reducida.
\[\left[ \begin{array}{rrrr|r} 1 & 2 & 3 & 0 & 0 \\ 2 & 1 & 1 & 2 & 0 \\ 4 & 5 & 7 & 2 & 0 \end{array} \right] \rightarrow \cdots \rightarrow \left[ \begin{array}{rrrr|r} 1 & 0 & - \frac{1}{3} & \frac{4}{3} & 0 \\ 0 & 1 & \frac{5}{3} & - \frac{2}{3} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right]\nonumber \]
Esto rinde\(x= \frac{1}{3}z- \frac{4}{3}w\) y\(y= \frac{2}{3}w- \frac{5}{3}z.\) ya que\(\mathrm{null} \left( A\right)\) consiste en las soluciones a este sistema, consiste en vectores de la forma,\[\left[ \begin{array}{c} \frac{1}{3}z- \frac{4}{3}w \\ \frac{2}{3}w- \frac{5}{3}z \\ z \\ w \end{array} \right] =z \left[ \begin{array}{r} \frac{1}{3} \\ - \frac{5}{3} \\ 1 \\ 0 \end{array} \right] +w \left[ \begin{array}{r} - \frac{4}{3} \\ \frac{2}{3} \\ 0 \\ 1 \end{array} \right]\nonumber \]
Considera el siguiente ejemplo.
La solución general de un sistema lineal de ecuaciones es el conjunto de todas las soluciones posibles. Encuentre la solución general para el sistema lineal,\[\left[ \begin{array}{rrrr} 1 & 2 & 3 & 0 \\ 2 & 1 & 1 & 2 \\ 4 & 5 & 7 & 2 \end{array} \right] \left[ \begin{array}{r} x \\ y \\ z \\ w \end{array} \right] =\left[ \begin{array}{r} 9 \\ 7 \\ 25 \end{array} \right]\nonumber \]
dado que\(\left[ \begin{array}{r} x \\ y \\ z \\ w \end{array} \right]=\left[ \begin{array}{r} 1 \\ 1 \\ 2 \\ 1 \end{array} \right]\) es una solución.
Solución
Tenga en cuenta que la matriz de este sistema es la misma que la matriz en Ejemplo\(\PageIndex{2}\). Por lo tanto, a partir del Teorema\(\PageIndex{1}\), obtendrá todas las soluciones al sistema lineal anterior agregando una solución particular\(\vec{x}_p\) a las soluciones del sistema homogéneo asociado,\(\vec{x}\). Una solución particular es dada anteriormente por\[\vec{x}_p = \left[ \begin{array}{r} x \\ y \\ z \\ w \end{array} \right]=\left[ \begin{array}{r} 1 \\ 1 \\ 2 \\ 1 \end{array} \right]\nonumber \]
Usando esta solución en particular junto con las soluciones que se encuentran en el Ejemplo\(\PageIndex{2}\), obtenemos las siguientes soluciones,\[z\left[ \begin{array}{r} \frac{1}{3} \\ - \frac{5}{3} \\ 1 \\ 0 \end{array} \right] +w\left[ \begin{array}{r} - \frac{4}{3} \\ \frac{2}{3} \\ 0 \\ 1 \end{array} \right] +\left[ \begin{array}{r} 1 \\ 1 \\ 2 \\ 1 \end{array} \right]\nonumber \]
De ahí que cualquier solución al sistema lineal anterior es de esta forma.