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# 3.3: Intervalos en E

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Considera el rectángulo que$$E^{2}$$ se muestra en la Figura 2. Su interior (sin el perímetro consta de todos los puntos de$$(x, y) \in E^{2}$$ tal manera que

$a_{1}<x<b_{1}\text{ and } a_{2}<y<b_{2};$

es decir,

$x \in\left(a_{1}, b_{1}\right)\text{ and } y \in\left(a_{2}, b_{2}\right).$

Así es el producto cartesiano de dos intervalos de línea,$$\left(a_{1}, b_{1}\right)$$ y$$\left(a_{2}, b_{2}\right) .$$ Para incluir también todos o algunos lados, tendríamos que reemplazar los intervalos abiertos por los cerrados, semiterrados o medio abiertos. De igual manera, los productos cartesianos de tres intervalos de línea producen paralelepípedos rectangulares en$$E^{3} .$$ Llamamos a tales conjuntos en$$E^{n}$$ intervalos.

## Definición

1. Por un intervalo en$$E^{n}$$ nos referimos al producto cartesiano de cualquier$$n$$ intervalo$$\quad$$ en$$E^{1}$$ (algunos pueden ser abiertos, algunos cerrados o semiabiertos, etc.).

$\overline{a}=\left(a_{1}, \ldots, a_{n}\right)\text{ and } \overline{b}=\left(b_{1}, \ldots, b_{n}\right)$

con

$a_{k} \leq b_{k}, \quad k=1,2, \ldots, n,$

definimos el intervalo abierto$$(\overline{a}, \overline{b}),$$ el intervalo cerrado$$[\overline{a}, \overline{b}],$$ el intervalo medio abierto$$(\overline{a}, \overline{b}],$$ y el intervalo semicerrado de la$$[\overline{a}, \overline{b})$$ siguiente manera:

\begin{aligned}(\overline{a}, \overline{b}) &=\left\{\overline{x} | a_{k}<x_{k}<b_{k}, k=1,2, \ldots, n\right\} \\ &=\left(a_{1}, b_{1}\right) \times\left(a_{2}, b_{2}\right) \times \cdots \times\left(a_{n}, b_{n}\right) \\ [\overline{a}, \overline{b}] &=\left\{\overline{x} | a_{k} \leq x_{k} \leq b_{k}, k=1,2, \ldots, n\right\} \\ &=\left[a_{1}, b_{1}\right] \times\left[a_{2}, b_{2}\right] \times \cdots \times\left[a_{n}, b_{n}\right] \\ (\overline{a}, \overline{b}] &=\left\{\overline{x} | a_{k}<x_{k} \leq b_{k}, k=1,2, \ldots, n\right\} \\ &=\left(a_{1}, b_{1}\right] \times\left(a_{2}, b_{2}\right] \times \cdots \times\left(a_{n}, b_{n}\right] \\ [a, b) &=\left\{\overline{x} | a_{k} \leq x_{k}<b_{k}, k=1,2, \ldots, n\right\} \\ &=\left[a_{1}, b_{1}\right) \times\left[a_{2}, b_{2}\right) \times \cdots \times\left[a_{n}, b_{n}\right) \end{aligned}

En todos los casos,$$\overline{a}$$ y se$$\overline{b}$$ denominan los puntos finales del intervalo. Su distancia

$\rho(\overline{a}, \overline{b})=|\overline{b}-\overline{a}|$

se llama su diagonal. Las$$n$$ diferencias

$b_{k}-a_{k}=\ell_{k} \quad(k=1, \ldots, n)$

se llaman sus$$n$$ longitudes de borde. Su producto

$\prod_{k=1}^{n} \ell_{k}=\prod_{k=1}^{n}\left(b_{k}-a_{k}\right)$

se llama el volumen del intervalo (en$$E^{2}$$ ella está su área, en$$E^{1}$$ su longitud).\) El punto

$\overline{c}=\frac{1}{2}(\overline{a}+\overline{b})$

se llama su centro o punto medio. La diferencia establecida

$[\overline{a}, \overline{b}]-(\overline{a}, \overline{b})$

se llama el límite de cualquier intervalo con puntos finales$$\overline{a}$$ y$$\vec{b} ;$$ consta de 2$$n$$ “caras” definidas de manera natural. (¿Cómo?)

A menudo denotamos intervalos por letras simples, por ejemplo. $$A=(\overline{a}, \overline{b}),$$y escribir$$d A$$ para “diagonal de$$A^{\prime \prime}$$ y$$v A$$ o vol$$A$$ para “volumen de$$A . "$$ Si todas las longitudes de borde$$b_{k}-a_{k}$$ son iguales,$$A$$ se llama un cubo (en$$E^{2},$$ un cuadrado). $$A$$Se dice que el intervalo es degenerado iff$$b_{k}=a_{k}$$ para algunos$$k,$$ en cuyo caso, claramente,

$\operatorname{vol} A=\prod_{k=1}^{n}\left(b_{k}-a_{k}\right)=0.$

Nota 1. Tenemos$$\overline{x} \in(\overline{a}, \overline{b})$$ iff las desigualdades se$$a_{k}<x_{k}<b_{k}$$ mantienen simultáneamente para todos$$k .$$ Esto es imposible si$$a_{k}=b_{k}$$ para algunos de$$k ;$$ manera similar para las desigualdades$$a_{k}<x_{k} \leq b_{k}$$ o$$a_{k} \leq x_{k}<b_{k}$$. Así un intervalo degenerado está vacío, a menos que esté cerrado (en cuyo caso contiene$$\overline{a}$$ y al$$\overline{b}$$ menos).

Nota 2. En cualquier intervalo$$A$$,

$d A=\rho(\overline{a}, \overline{b})=\sqrt{\sum_{k=1}^{n}\left(b_{k}-a_{k}\right)^{2}}=\sqrt{\sum_{k=1}^{n} \ell_{k}^{2}}.$

En$$E^{2},$$ podemos dividir un intervalo$$A$$ en dos subintervalos$$P$$ y$$Q$$ dibujando una línea (ver Figura 2$$) .$$ En$$E^{3},$$ esto se hace por un plano ortogonal a uno de los ejes de la forma$$x_{k}=c\left($$ ver §§4-6, Nota 2$$),$$ con$$a_{k}<c<b_{k} .$$ En particular, si\ derecho. $$c=\frac{1}{2}\left(a_{k}+b_{k}\right),$$el plano bisecta el borde$$k$$ th de$$A ;$$ y así la longitud del borde$$k$$ th de$$P($$ y es$$Q)$$ igual a$$\frac{1}{2} \ell_{k}=\frac{1}{2}\left(b_{k}-a_{k}\right) .$$ Si$$A$$ está cerrado, así es$$P$$ o$$Q,$$ dependiendo de nuestra elección. (Podemos incluir la “partición”$$x_{k}=c$$ en$$P$$ o$$Q . )^{1}$$

Ahora, sucesivamente dibujar$$n$$ planos$$x_{k}=c_{k}, \quad c_{k}=\frac{1}{2}\left(a_{k}+b_{k}\right), \quad k=1,2, \ldots, n .$$ El primer plano biseca$$\ell_{j}$$ dejando los otros bordes de$$A \mathrm{un}-$$ cambiado. Los dos subintervalos resultantes$$P$$ y$$Q$$ luego son cortados por el plano$$x_{2}=c_{2},$$ bisectando el segundo borde en cada uno de ellos. Así obtenemos cuatro subintervalos (ver Figura 3 para$$E^{2}$$. Cada plano sucesivo duplica el número de subintervalos. Después de$$n$$ los pasos, obtenemos intervalos$$2^{n}$$ disjuntos, con todos los bordes$$\ell_{k}$$ bisecados. Así por Nota$$2,$$ la diagonal de cada uno de ellos es

$\sqrt{\sum_{k=1}^{n}\left(\frac{1}{2} \ell_{k}\right)^{2}}=\frac{1}{2} \sqrt{\sum_{k=1}^{n} \ell_{k}^{2}}=\frac{1}{2} d A.$

Nota 3. Si$$A$$ se cierra entonces, como se señaló anteriormente, podemos hacer que cualquiera (pero sólo uno$$)$$ de los$$2^{n}$$ subintervalos se cierre manipulando adecuadamente cada paso.

Se deja al lector la prueba de los siguientes corolarios simples.

## Corolario$$\PageIndex{1}$$

Ninguna distancia entre dos puntos de un intervalo$$A$$ supera$$d A,$$ su diagonal. Es decir,$$(\forall \overline{x}, \overline{y} \in A) \rho(\overline{x}, \overline{y}) \leq d A$$

## Corolario$$\PageIndex{2}$$

Si un intervalo$$A$$ contiene$$\overline{p}$$ y$$\overline{q},$$ luego también$$L[\overline{p}, \overline{q}] \subseteq A$$.

## corolario$$\PageIndex{3}$$

Cada intervalo no degenerado en$$E^{n}$$ contiene puntos racionales, es decir, puntos cuyas coordenadas son todas racionales.

(Pista: Utilice la densidad de los racionales en$$E^{1}$$ para cada coordenada por separado.)

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