3.7.E: Problemas en Espacios Métricos (Ejercicios)
( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\)
Los problemas de “flecha” deben ser señalados para trabajos posteriores.
Mostrar queE2 se convierte en un espacio métrico si las distanciasρ(¯x,¯y) están definidas por
(a)ρ(¯x,¯y)=|x1−y1|+|x2−y2| o
(b)ρ(¯x,¯y)=max{|x1−y1|,|x2−y2|},
donde¯x=(x1,x2) y¯y=(y1,y2). En cada caso, describaG¯0(1) yS¯0(1). haga lo mismo para el subespacio de puntos con no negativos coordenadas.
Demostrar las aseveraciones hechas en el texto sobre globos en un espacio discreto. Encuentra una esfera vacía en tal espacio. ¿Puede una esfera contener todo el espacio?
Mostrar queρ en Ejemplos(3) y(5) obedece los axiomas métricos.
MSea el conjunto de todos los enteros positivos junto con el “punto”∞. MetrizeM configurando
\ [
\ rho (m, n) =\ izquierda|\ frac {1} {m} -\ frac {1} {n}\ derecha|,\ text {con la convención que}\ frac {1} {\ infty} =0.
\]
Verificar los axiomas métricos. DescribirG∞(12),S∞(12), yG1(1).
⇒5.Metrizar el sistema de números reales extendidoE∗ por
\ [\ rho^ {\ prime} (x, y) =|f (x) -f (y) |,
\]
donde la función
\ [
f: E^ {*}\ underset {\ text {onto}} {\ longrightarrow} [-1,1]
\]
es definido por
\ [
f (x) =\ frac {x} {1+|x|}\ texto {si} x\ texto {es finito,} f (-\ infty) =-1,\ text {y} f (+\ infty) =1.
\]
Calcularρ′(0,+∞),ρ′(0,−∞),ρ′(−∞,+∞),ρ′(0,1),ρ′(1,2), yρ′(n,+∞). DescribirG0(1),G+∞(1), yG−∞(12). Verificar los axiomas métricos (también cuando hay infinidades involucradas).
⇒6.En Problema5, mostrar que la funciónf es uno a uno, on[−1,1], y aumentando; es decir
\ [
x<x^ {\ prime}\ text {implica} f (x) <f\ left (x^ {\ prime}\ right)\ text {for} x, x^ {\ prime}\ en E^ {*}.
\]
También muestran que laf -imagen de un intervalo(a,b)⊆E∗ es el intervalo(f(a),f(b)). De ahí deducir que los globos enE∗ (conρ′ como en el Problema 5) son intervalos enE∗ (posiblemente infinitos).
[Pista: Para unx, puesto finito
\ [
y=f (x) =\ frac {x} {1+|x|}.
\]
Resolviendo forx (por separado en los casosx≥0 yx<0), mostrar que
\ [
(\ forall y\ in (-1,1))\ quad x=f^ {-1} (y) =\ frac {y} {1-|y|};
\]
asíx se determina de manera única pory, i.e. ,f es uno a uno y onto-caday∈(−1,1) corresponde a algunosx∈E1. (¿Qué tal±1?)
Para mostrar quef va en aumento, considere por separado los tres casosx<0<x′,x<x′<0 y0<x<x′ (también para infinitox yx′).]
Continuar Problemas 5 y6, considerar(E1,ρ′) como un subespacio de(E∗,ρ′) conρ′ como en Problema5. Mostrar que los globos en(E1,ρ′) son exactamente todos intervalos abiertos enE∗. Por ejemplo,(0,1) es un globo. ¿Cuáles son su centro y radio por debajoρ′ y por debajo de la métrica estándar?ρ?
Metrizar el intervalo cerrado[0,+∞] enE∗ configurando
\ [
\ rho (x, y) =\ izquierda|\ frac {1} {1+x} -\ frac {1} {1+y}\ derecha|,
\]
con las convenciones1+(+∞)=+∞ y1/(+∞)=0. Verificar los axiomas métricos. DescribirGp(1) por arbitrariop≥0.
Demostrar que siρ es una métrica paraS, entonces otra métricaρ′ paraS viene dada por
(i)ρ′(x,y)=min{1,ρ(x,y)};
(ii)ρ′(x,y)=ρ(x,y)1+ρ(x,y).
En caso de(i), mostrar que los globosGp(ε) de radioε≤1 son los mismos bajoρ yρ′. En el caso (ii), probar que cualquieraGp(ε) en(S,ρ) es también un globoGp(ε′)(S,ρ′) adentro de radio
\ [
\ varepsilon^ {\ prime} =\ frac { \ varepsilon} {1+\ varepsilon},
\]
y cualquier globo de radioε′<1 en también(S,ρ′) es un globo en(S,ρ). (¡Encuentra la fórmula inversa paraε también!)
[Pista para la desigualdad del triángulo en (ii): Dejara=ρ(x,z),b=ρ(x,y), yc=ρ(y,z) así quea≤b+c. La desigualdad requerida es
\ [
\ frac {a} {1+a}\ leq\ frac {b} {1+b} +\ frac {c} {1+c}.
\]
Simplificarlo y demostrar que se desprende dea≤b+c.]
Demostrar que si(X,ρ′) y(Y,ρ′′) son espacios métricos, entoncesX×Y se obtiene una métricaρ para el conjunto estableciendo, parax1,x2∈X yy1,y2∈Y,
(i)ρ((x1,y1),(x2,y2))=max{ρ′(x1,x2),ρ′′(y1,y2)}; o
(ii)ρ((x1,y1),(x2,y2))=√ρ′(x1,x2)2+ρ′′(y1,y2)2.
[Pista: Por brevedad, ponρ′12=ρ′(x1,x2),ρ′′12=ρ′′(y1,y2), etc. La desigualdad triángulo en (ii),
\ [
\ sqrt {\ left (\ rho_ {13} ^ {\ prime}\ right) ^ {2} +\ left (\ rho_ {13} ^ {\ prime\ prime}\ right) ^ {2}}\ leq\ sqrt {\ left (\ rho_ {12} ^ {\ prime}\ right) ^ {2} +\ izquierda (\ rho_ {12} ^ {\ prime\ prime}\ derecha) ^ {2}} +\ sqrt {\ left (\ rho_ {23} ^ {\ prime}\ right) ^ {2} +\ left (\ rho_ {23} ^ {\ prime\ prime}\ right) ^ {2}},
\]
se verifica cuadrando ambos lados, aislando la raíz cuadrada restante en el lado derecho, simplificando, y cuadrando nuevamente. Simplifica usando las desigualdades triangulares válidas enX yY, es decir,
\ [\ rho_ {13} ^ {\ prime}\ leq\ rho_ {12} ^ {\ prime} +\ rho_ {23} ^ {\ prime}\ text {y}\ rho_ {13} ^ {\ prime\ prime}\ leq\ rho_ {12} ^ {\ prime\ prime} +\ rho_ {23} ^\ prime\ prime}.
\]
Invierta todos los pasos, para que la desigualdad requerida se convierta en el último paso. ]
Demostrar que
\ [
|\ rho (y, z) -\ rho (x, z) |\ leq\ rho (x, y)
\]
en cualquier espacio métrico(S,ρ).
[Precaución: La fórmulaρ(x,y)=|x−y|, válida enEn, no se puede utilizar en(S,ρ). ¿Por qué? ]
Demostrar que
\ [\ rho\ izquierda (p_ {1}, p_ {2}\ derecha) +\ rho\ izquierda (p_ {2}, p_ {3}\ derecha) +\ cdots+\ rho\ izquierda (p_ {n-1}, p_ {n}\ derecha)\ geq\ rho\ izquierda (p_ {1}, p_ {n} derecha\).
\]
[Pista: Usar inducción. ]