Saltar al contenido principal

# 3.7.E: Problemas en Espacios Métricos (Ejercicios)

$$\newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} }$$

$$\newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}}$$

$$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$$ $$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$

( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) $$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$$

$$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$$ $$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$$

$$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$$ $$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$$

$$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$$

$$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$

$$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$$

$$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$

$$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$$

$$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$$

$$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$$

$$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$$

$$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$$

$$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$$

$$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$$

$$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$ $$\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}$$

$$\newcommand{\vectorA}[1]{\vec{#1}} % arrow$$

$$\newcommand{\vectorAt}[1]{\vec{\text{#1}}} % arrow$$

$$\newcommand{\vectorB}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} }$$

$$\newcommand{\vectorC}[1]{\textbf{#1}}$$

$$\newcommand{\vectorD}[1]{\overrightarrow{#1}}$$

$$\newcommand{\vectorDt}[1]{\overrightarrow{\text{#1}}}$$

$$\newcommand{\vectE}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash{\mathbf {#1}}}}$$

$$\newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} }$$

$$\newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}}$$

$$\newcommand{\avec}{\mathbf a}$$ $$\newcommand{\bvec}{\mathbf b}$$ $$\newcommand{\cvec}{\mathbf c}$$ $$\newcommand{\dvec}{\mathbf d}$$ $$\newcommand{\dtil}{\widetilde{\mathbf d}}$$ $$\newcommand{\evec}{\mathbf e}$$ $$\newcommand{\fvec}{\mathbf f}$$ $$\newcommand{\nvec}{\mathbf n}$$ $$\newcommand{\pvec}{\mathbf p}$$ $$\newcommand{\qvec}{\mathbf q}$$ $$\newcommand{\svec}{\mathbf s}$$ $$\newcommand{\tvec}{\mathbf t}$$ $$\newcommand{\uvec}{\mathbf u}$$ $$\newcommand{\vvec}{\mathbf v}$$ $$\newcommand{\wvec}{\mathbf w}$$ $$\newcommand{\xvec}{\mathbf x}$$ $$\newcommand{\yvec}{\mathbf y}$$ $$\newcommand{\zvec}{\mathbf z}$$ $$\newcommand{\rvec}{\mathbf r}$$ $$\newcommand{\mvec}{\mathbf m}$$ $$\newcommand{\zerovec}{\mathbf 0}$$ $$\newcommand{\onevec}{\mathbf 1}$$ $$\newcommand{\real}{\mathbb R}$$ $$\newcommand{\twovec}[2]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\ctwovec}[2]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\threevec}[3]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\cthreevec}[3]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\fourvec}[4]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\cfourvec}[4]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\fivevec}[5]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \\ #5 \\ \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\cfivevec}[5]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \\ #5 \\ \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\mattwo}[4]{\left[\begin{array}{rr}#1 \amp #2 \\ #3 \amp #4 \\ \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\laspan}[1]{\text{Span}\{#1\}}$$ $$\newcommand{\bcal}{\cal B}$$ $$\newcommand{\ccal}{\cal C}$$ $$\newcommand{\scal}{\cal S}$$ $$\newcommand{\wcal}{\cal W}$$ $$\newcommand{\ecal}{\cal E}$$ $$\newcommand{\coords}[2]{\left\{#1\right\}_{#2}}$$ $$\newcommand{\gray}[1]{\color{gray}{#1}}$$ $$\newcommand{\lgray}[1]{\color{lightgray}{#1}}$$ $$\newcommand{\rank}{\operatorname{rank}}$$ $$\newcommand{\row}{\text{Row}}$$ $$\newcommand{\col}{\text{Col}}$$ $$\renewcommand{\row}{\text{Row}}$$ $$\newcommand{\nul}{\text{Nul}}$$ $$\newcommand{\var}{\text{Var}}$$ $$\newcommand{\corr}{\text{corr}}$$ $$\newcommand{\len}[1]{\left|#1\right|}$$ $$\newcommand{\bbar}{\overline{\bvec}}$$ $$\newcommand{\bhat}{\widehat{\bvec}}$$ $$\newcommand{\bperp}{\bvec^\perp}$$ $$\newcommand{\xhat}{\widehat{\xvec}}$$ $$\newcommand{\vhat}{\widehat{\vvec}}$$ $$\newcommand{\uhat}{\widehat{\uvec}}$$ $$\newcommand{\what}{\widehat{\wvec}}$$ $$\newcommand{\Sighat}{\widehat{\Sigma}}$$ $$\newcommand{\lt}{<}$$ $$\newcommand{\gt}{>}$$ $$\newcommand{\amp}{&}$$ $$\definecolor{fillinmathshade}{gray}{0.9}$$

Los problemas de “flecha” deben ser señalados para trabajos posteriores.

## Ejercicio$$\PageIndex{1}$$

Mostrar que$$E^{2}$$ se convierte en un espacio métrico si las distancias$$\rho(\overline{x}, \overline{y})$$ están definidas por
(a)$$\rho(\overline{x}, \overline{y})=\left|x_{1}-y_{1}\right|+\left|x_{2}-y_{2}\right|$$ o
(b)$$\rho(\overline{x}, \overline{y})=\max \left\{\left|x_{1}-y_{1}\right|,\left|x_{2}-y_{2}\right|\right\}$$,
donde$$\overline{x}=\left(x_{1}, x_{2}\right)$$ y$$\overline{y}=\left(y_{1}, y_{2}\right) .$$ En cada caso, describa$$G_{\overline{0}}(1)$$ y$$S_{\overline{0}}(1) .$$ haga lo mismo para el subespacio de puntos con no negativos coordenadas.

## Ejercicio$$\PageIndex{2}$$

Demostrar las aseveraciones hechas en el texto sobre globos en un espacio discreto. Encuentra una esfera vacía en tal espacio. ¿Puede una esfera contener todo el espacio?

## Ejercicio$$\PageIndex{3}$$

Mostrar que$$\rho$$ en Ejemplos$$(3)$$ y$$(5)$$ obedece los axiomas métricos.

## Ejercicio$$\PageIndex{4}$$

$$M$$Sea el conjunto de todos los enteros positivos junto con el “punto”$$\infty .$$ Metrize$$M$$ configurando
\ [
\ rho (m, n) =\ izquierda|\ frac {1} {m} -\ frac {1} {n}\ derecha|,\ text {con la convención que}\ frac {1} {\ infty} =0.
\]
Verificar los axiomas métricos. Describir$$G_{\infty}\left(\frac{1}{2}\right), S_{\infty}\left(\frac{1}{2}\right),$$ y$$G_{1}(1)$$.

## Ejercicio$$\PageIndex{5}$$

$$\Rightarrow 5 .$$Metrizar el sistema de números reales extendido$$E^{*}$$ por

\ [\ rho^ {\ prime} (x, y) =|f (x) -f (y) |,
\]
donde la función
\ [
f: E^ {*}\ underset {\ text {onto}} {\ longrightarrow} [-1,1]
\]
es definido por
\ [
f (x) =\ frac {x} {1+|x|}\ texto {si} x\ texto {es finito,} f (-\ infty) =-1,\ text {y} f (+\ infty) =1.
\]
Calcular$$\rho^{\prime}(0,+\infty), \rho^{\prime}(0,-\infty), \rho^{\prime}(-\infty,+\infty), \rho^{\prime}(0,1), \rho^{\prime}(1,2),$$ y$$\rho^{\prime}(n,+\infty) .$$ Describir$$G_{0}(1), G_{+\infty}(1),$$ y$$G_{-\infty}\left(\frac{1}{2}\right) .$$ Verificar los axiomas métricos (también cuando hay infinidades involucradas).

## Ejercicio$$\PageIndex{6}$$

$$\Rightarrow 6 .$$En Problema$$5,$$ mostrar que la función$$f$$ es uno a uno, on$$[-1,1],$$ y aumentando; es decir
\ [
x<x^ {\ prime}\ text {implica} f (x) <f\ left (x^ {\ prime}\ right)\ text {for} x, x^ {\ prime}\ en E^ {*}.
\]
También muestran que la$$f$$ -imagen de un intervalo$$(a, b) \subseteq E^{*}$$ es el intervalo$$(f(a), f(b)) .$$ De ahí deducir que los globos en$$E^{*}$$ (con$$\rho^{\prime}$$ como en el Problema 5) son intervalos en$$E^{*}$$ (posiblemente infinitos).
[Pista: Para un$$x,$$ puesto finito
\ [
y=f (x) =\ frac {x} {1+|x|}.
\]
Resolviendo for$$x$$ (por separado en los casos$$x \geq 0$$ y$$x<0 ),$$ mostrar que
\ [
(\ forall y\ in (-1,1))\ quad x=f^ {-1} (y) =\ frac {y} {1-|y|};
\]
así$$x$$ se determina de manera única por$$y,$$ i.e. ,$$f$$ es uno a uno y onto-cada$$y \in(-1,1)$$ corresponde a algunos$$x \in E^{1} .$$ (¿Qué tal$$\pm 1 ? )$$
Para mostrar que$$f$$ va en aumento, considere por separado los tres casos$$x<0<x^{\prime}$$,$$x<x^{\prime}<0$$ y$$0<x<x^{\prime}$$ (también para infinito$$x$$ y$$x^{\prime} ) . ]$$

## Ejercicio$$\PageIndex{7}$$

Continuar Problemas 5 y$$6,$$ considerar$$\left(E^{1}, \rho^{\prime}\right)$$ como un subespacio de$$\left(E^{*}, \rho^{\prime}\right)$$ con$$\rho^{\prime}$$ como en Problema$$5 .$$ Mostrar que los globos en$$\left(E^{1}, \rho^{\prime}\right)$$ son exactamente todos intervalos abiertos en$$E^{*} .$$ Por ejemplo,$$(0,1)$$ es un globo. ¿Cuáles son su centro y radio por debajo$$\rho^{\prime}$$ y por debajo de la métrica estándar?$$\rho ?$$

## Ejercicio$$\PageIndex{8}$$

Metrizar el intervalo cerrado$$[0,+\infty]$$ en$$E^{*}$$ configurando
\ [
\ rho (x, y) =\ izquierda|\ frac {1} {1+x} -\ frac {1} {1+y}\ derecha|,
\]
con las convenciones$$1+(+\infty)=+\infty$$ y$$1 /(+\infty)=0 .$$ Verificar los axiomas métricos. Describir$$G_{p}(1)$$ por arbitrario$$p \geq 0$$.

## Ejercicio$$\PageIndex{9}$$

Demostrar que si$$\rho$$ es una métrica para$$S,$$ entonces otra métrica$$\rho^{\prime}$$ para$$S$$ viene dada por
(i)$$\rho^{\prime}(x, y)=\min \{1, \rho(x, y)\}$$;
(ii)$$\rho^{\prime}(x, y)=\frac{\rho(x, y)}{1+\rho(x, y)}$$.
En caso de$$(\mathrm{i}),$$ mostrar que los globos$$G_{p}(\varepsilon)$$ de radio$$\varepsilon \leq 1$$ son los mismos bajo$$\rho$$ y$$\rho^{\prime} .$$ En el caso (ii), probar que cualquiera$$G_{p}(\varepsilon)$$ en$$(S, \rho)$$ es también un globo$$G_{p}\left(\varepsilon^{\prime}\right)$$$$\left(S, \rho^{\prime}\right)$$ adentro de radio
\ [
\ varepsilon^ {\ prime} =\ frac { \ varepsilon} {1+\ varepsilon},
\]
y cualquier globo de radio$$\varepsilon^{\prime}<1$$ en también$$\left(S, \rho^{\prime}\right)$$ es un globo en$$(S, \rho) .$$ (¡Encuentra la fórmula inversa para$$\varepsilon$$ también!)
[Pista para la desigualdad del triángulo en (ii): Dejar$$a=\rho(x, z), b=\rho(x, y),$$ y$$c=\rho(y, z)$$ así que$$a \leq b+c .$$ La desigualdad requerida es
\ [
\ frac {a} {1+a}\ leq\ frac {b} {1+b} +\ frac {c} {1+c}.
\]
Simplificarlo y demostrar que se desprende de$$a \leq b+c . ]$$

## Ejercicio$$\PageIndex{10}$$

Demostrar que si$$\left(X, \rho^{\prime}\right)$$ y$$\left(Y, \rho^{\prime \prime}\right)$$ son espacios métricos, entonces$$X \times Y$$ se obtiene una métrica$$\rho$$ para el conjunto estableciendo, para$$x_{1}, x_{2} \in X$$ y$$y_{1}, y_{2} \in Y$$,
(i)$$\rho\left(\left(x_{1}, y_{1}\right),\left(x_{2}, y_{2}\right)\right)=\max \left\{\rho^{\prime}\left(x_{1}, x_{2}\right), \rho^{\prime \prime}\left(y_{1}, y_{2}\right)\right\} ;$$ o
(ii)$$\rho\left(\left(x_{1}, y_{1}\right),\left(x_{2}, y_{2}\right)\right)=\sqrt{\rho^{\prime}\left(x_{1}, x_{2}\right)^{2}+\rho^{\prime \prime}\left(y_{1}, y_{2}\right)^{2}}$$.
[Pista: Por brevedad, pon$$\rho_{12}^{\prime}=\rho^{\prime}\left(x_{1}, x_{2}\right), \rho_{12}^{\prime \prime}=\rho^{\prime \prime}\left(y_{1}, y_{2}\right),$$ etc. La desigualdad triángulo en (ii),
\ [
\ sqrt {\ left (\ rho_ {13} ^ {\ prime}\ right) ^ {2} +\ left (\ rho_ {13} ^ {\ prime\ prime}\ right) ^ {2}}\ leq\ sqrt {\ left (\ rho_ {12} ^ {\ prime}\ right) ^ {2} +\ izquierda (\ rho_ {12} ^ {\ prime\ prime}\ derecha) ^ {2}} +\ sqrt {\ left (\ rho_ {23} ^ {\ prime}\ right) ^ {2} +\ left (\ rho_ {23} ^ {\ prime\ prime}\ right) ^ {2}},
\]
se verifica cuadrando ambos lados, aislando la raíz cuadrada restante en el lado derecho, simplificando, y cuadrando nuevamente. Simplifica usando las desigualdades triangulares válidas en$$X$$ y$$Y,$$ es decir,

\ [\ rho_ {13} ^ {\ prime}\ leq\ rho_ {12} ^ {\ prime} +\ rho_ {23} ^ {\ prime}\ text {y}\ rho_ {13} ^ {\ prime\ prime}\ leq\ rho_ {12} ^ {\ prime\ prime} +\ rho_ {23} ^\ prime\ prime}.
\]
Invierta todos los pasos, para que la desigualdad requerida se convierta en el último paso. $$]$$

## Ejercicio$$\PageIndex{11}$$

Demostrar que
\ [
|\ rho (y, z) -\ rho (x, z) |\ leq\ rho (x, y)
\]
en cualquier espacio métrico$$(S, \rho) .$$
[Precaución: La fórmula$$\rho(x, y)=|x-y|,$$ válida en$$E^{n},$$ no se puede utilizar en$$(S, \rho) .$$ ¿Por qué? $$]$$

## Ejercicio$$\PageIndex{12}$$

Demostrar que

\ [\ rho\ izquierda (p_ {1}, p_ {2}\ derecha) +\ rho\ izquierda (p_ {2}, p_ {3}\ derecha) +\ cdots+\ rho\ izquierda (p_ {n-1}, p_ {n}\ derecha)\ geq\ rho\ izquierda (p_ {1}, p_ {n} derecha\).
\]
[Pista: Usar inducción. $$]$$

3.7.E: Problemas en Espacios Métricos (Ejercicios) is shared under a CC BY 1.0 license and was authored, remixed, and/or curated by LibreTexts.