3.7.E: Problemas en Espacios Métricos (Ejercicios)

Los problemas de “flecha” deben ser señalados para trabajos posteriores.

Ejercicio\(\PageIndex{1}\)

Mostrar que\(E^{2}\) se convierte en un espacio métrico si las distancias\(\rho(\overline{x}, \overline{y})\) están definidas por
(a)\(\rho(\overline{x}, \overline{y})=\left|x_{1}-y_{1}\right|+\left|x_{2}-y_{2}\right|\) o
(b)\(\rho(\overline{x}, \overline{y})=\max \left\{\left|x_{1}-y_{1}\right|,\left|x_{2}-y_{2}\right|\right\}\),
donde\(\overline{x}=\left(x_{1}, x_{2}\right)\) y\(\overline{y}=\left(y_{1}, y_{2}\right) .\) En cada caso, describa\(G_{\overline{0}}(1)\) y\(S_{\overline{0}}(1) .\) haga lo mismo para el subespacio de puntos con no negativos coordenadas.

Ejercicio\(\PageIndex{2}\)

Demostrar las aseveraciones hechas en el texto sobre globos en un espacio discreto. Encuentra una esfera vacía en tal espacio. ¿Puede una esfera contener todo el espacio?

Ejercicio\(\PageIndex{3}\)

Mostrar que\(\rho\) en Ejemplos\((3)\) y\((5)\) obedece los axiomas métricos.

Ejercicio\(\PageIndex{4}\)

\(M\)Sea el conjunto de todos los enteros positivos junto con el “punto”\(\infty .\) Metrize\(M\) configurando
\ [
\ rho (m, n) =\ izquierda|\ frac {1} {m} -\ frac {1} {n}\ derecha|,\ text {con la convención que}\ frac {1} {\ infty} =0.
\]
Verificar los axiomas métricos. Describir\(G_{\infty}\left(\frac{1}{2}\right), S_{\infty}\left(\frac{1}{2}\right),\) y\(G_{1}(1)\).

Ejercicio\(\PageIndex{5}\)

\(\Rightarrow 5 .\)Metrizar el sistema de números reales extendido\(E^{*}\) por

\ [\ rho^ {\ prime} (x, y) =|f (x) -f (y) |,
\]
donde la función
\ [
f: E^ {*}\ underset {\ text {onto}} {\ longrightarrow} [-1,1]
\]
es definido por
\ [
f (x) =\ frac {x} {1+|x|}\ texto {si} x\ texto {es finito,} f (-\ infty) =-1,\ text {y} f (+\ infty) =1.
\]
Calcular\(\rho^{\prime}(0,+\infty), \rho^{\prime}(0,-\infty), \rho^{\prime}(-\infty,+\infty), \rho^{\prime}(0,1), \rho^{\prime}(1,2),\) y\(\rho^{\prime}(n,+\infty) .\) Describir\(G_{0}(1), G_{+\infty}(1),\) y\(G_{-\infty}\left(\frac{1}{2}\right) .\) Verificar los axiomas métricos (también cuando hay infinidades involucradas).

Ejercicio\(\PageIndex{6}\)

\(\Rightarrow 6 .\)En Problema\(5,\) mostrar que la función\(f\) es uno a uno, on\([-1,1],\) y aumentando; es decir
\ [
x<x^ {\ prime}\ text {implica} f (x) <f\ left (x^ {\ prime}\ right)\ text {for} x, x^ {\ prime}\ en E^ {*}.
\]
También muestran que la\(f\) -imagen de un intervalo\((a, b) \subseteq E^{*}\) es el intervalo\((f(a), f(b)) .\) De ahí deducir que los globos en\(E^{*}\) (con\(\rho^{\prime}\) como en el Problema 5) son intervalos en\(E^{*}\) (posiblemente infinitos).
[Pista: Para un\(x,\) puesto finito
\ [
y=f (x) =\ frac {x} {1+|x|}.
\]
Resolviendo for\(x\) (por separado en los casos\(x \geq 0\) y\(x<0 ),\) mostrar que
\ [
(\ forall y\ in (-1,1))\ quad x=f^ {-1} (y) =\ frac {y} {1-|y|};
\]
así\(x\) se determina de manera única por\(y,\) i.e. ,\(f\) es uno a uno y onto-cada\(y \in(-1,1)\) corresponde a algunos\(x \in E^{1} .\) (¿Qué tal\(\pm 1 ? )\)
Para mostrar que\(f\) va en aumento, considere por separado los tres casos\(x<0<x^{\prime}\),\(x<x^{\prime}<0\) y\(0<x<x^{\prime}\) (también para infinito\(x\) y\(x^{\prime} ) . ]\)

Ejercicio\(\PageIndex{7}\)

Continuar Problemas 5 y\(6,\) considerar\(\left(E^{1}, \rho^{\prime}\right)\) como un subespacio de\(\left(E^{*}, \rho^{\prime}\right)\) con\(\rho^{\prime}\) como en Problema\(5 .\) Mostrar que los globos en\(\left(E^{1}, \rho^{\prime}\right)\) son exactamente todos intervalos abiertos en\(E^{*} .\) Por ejemplo,\((0,1)\) es un globo. ¿Cuáles son su centro y radio por debajo\(\rho^{\prime}\) y por debajo de la métrica estándar?\(\rho ?\)

Ejercicio\(\PageIndex{8}\)

Metrizar el intervalo cerrado\([0,+\infty]\) en\(E^{*}\) configurando
\ [
\ rho (x, y) =\ izquierda|\ frac {1} {1+x} -\ frac {1} {1+y}\ derecha|,
\]
con las convenciones\(1+(+\infty)=+\infty\) y\(1 /(+\infty)=0 .\) Verificar los axiomas métricos. Describir\(G_{p}(1)\) por arbitrario\(p \geq 0\).

Ejercicio\(\PageIndex{9}\)

Demostrar que si\(\rho\) es una métrica para\(S,\) entonces otra métrica\(\rho^{\prime}\) para\(S\) viene dada por
(i)\(\rho^{\prime}(x, y)=\min \{1, \rho(x, y)\}\);
(ii)\(\rho^{\prime}(x, y)=\frac{\rho(x, y)}{1+\rho(x, y)}\).
En caso de\((\mathrm{i}),\) mostrar que los globos\(G_{p}(\varepsilon)\) de radio\(\varepsilon \leq 1\) son los mismos bajo\(\rho\) y\(\rho^{\prime} .\) En el caso (ii), probar que cualquiera\(G_{p}(\varepsilon)\) en\((S, \rho)\) es también un globo\(G_{p}\left(\varepsilon^{\prime}\right)\)\(\left(S, \rho^{\prime}\right)\) adentro de radio
\ [
\ varepsilon^ {\ prime} =\ frac { \ varepsilon} {1+\ varepsilon},
\]
y cualquier globo de radio\(\varepsilon^{\prime}<1\) en también\(\left(S, \rho^{\prime}\right)\) es un globo en\((S, \rho) .\) (¡Encuentra la fórmula inversa para\(\varepsilon\) también!)
[Pista para la desigualdad del triángulo en (ii): Dejar\(a=\rho(x, z), b=\rho(x, y),\) y\(c=\rho(y, z)\) así que\(a \leq b+c .\) La desigualdad requerida es
\ [
\ frac {a} {1+a}\ leq\ frac {b} {1+b} +\ frac {c} {1+c}.
\]
Simplificarlo y demostrar que se desprende de\(a \leq b+c . ]\)

Ejercicio\(\PageIndex{10}\)

Demostrar que si\(\left(X, \rho^{\prime}\right)\) y\(\left(Y, \rho^{\prime \prime}\right)\) son espacios métricos, entonces\(X \times Y\) se obtiene una métrica\(\rho\) para el conjunto estableciendo, para\(x_{1}, x_{2} \in X\) y\(y_{1}, y_{2} \in Y\),
(i)\(\rho\left(\left(x_{1}, y_{1}\right),\left(x_{2}, y_{2}\right)\right)=\max \left\{\rho^{\prime}\left(x_{1}, x_{2}\right), \rho^{\prime \prime}\left(y_{1}, y_{2}\right)\right\} ;\) o
(ii)\(\rho\left(\left(x_{1}, y_{1}\right),\left(x_{2}, y_{2}\right)\right)=\sqrt{\rho^{\prime}\left(x_{1}, x_{2}\right)^{2}+\rho^{\prime \prime}\left(y_{1}, y_{2}\right)^{2}}\).
[Pista: Por brevedad, pon\(\rho_{12}^{\prime}=\rho^{\prime}\left(x_{1}, x_{2}\right), \rho_{12}^{\prime \prime}=\rho^{\prime \prime}\left(y_{1}, y_{2}\right),\) etc. La desigualdad triángulo en (ii),
\ [
\ sqrt {\ left (\ rho_ {13} ^ {\ prime}\ right) ^ {2} +\ left (\ rho_ {13} ^ {\ prime\ prime}\ right) ^ {2}}\ leq\ sqrt {\ left (\ rho_ {12} ^ {\ prime}\ right) ^ {2} +\ izquierda (\ rho_ {12} ^ {\ prime\ prime}\ derecha) ^ {2}} +\ sqrt {\ left (\ rho_ {23} ^ {\ prime}\ right) ^ {2} +\ left (\ rho_ {23} ^ {\ prime\ prime}\ right) ^ {2}},
\]
se verifica cuadrando ambos lados, aislando la raíz cuadrada restante en el lado derecho, simplificando, y cuadrando nuevamente. Simplifica usando las desigualdades triangulares válidas en\(X\) y\(Y,\) es decir,

\ [\ rho_ {13} ^ {\ prime}\ leq\ rho_ {12} ^ {\ prime} +\ rho_ {23} ^ {\ prime}\ text {y}\ rho_ {13} ^ {\ prime\ prime}\ leq\ rho_ {12} ^ {\ prime\ prime} +\ rho_ {23} ^\ prime\ prime}.
\]
Invierta todos los pasos, para que la desigualdad requerida se convierta en el último paso. \(]\)

Ejercicio\(\PageIndex{11}\)

Demostrar que
\ [
|\ rho (y, z) -\ rho (x, z) |\ leq\ rho (x, y)
\]
en cualquier espacio métrico\((S, \rho) .\)
[Precaución: La fórmula\(\rho(x, y)=|x-y|,\) válida en\(E^{n},\) no se puede utilizar en\((S, \rho) .\) ¿Por qué? \(]\)

Ejercicio\(\PageIndex{12}\)

Demostrar que

\ [\ rho\ izquierda (p_ {1}, p_ {2}\ derecha) +\ rho\ izquierda (p_ {2}, p_ {3}\ derecha) +\ cdots+\ rho\ izquierda (p_ {n-1}, p_ {n}\ derecha)\ geq\ rho\ izquierda (p_ {1}, p_ {n} derecha\).
\]
[Pista: Usar inducción. \(]\)