3.7.E: Problemas en Espacios Métricos (Ejercicios)
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Los problemas de “flecha” deben ser señalados para trabajos posteriores.
Mostrar que\(E^{2}\) se convierte en un espacio métrico si las distancias\(\rho(\overline{x}, \overline{y})\) están definidas por
(a)\(\rho(\overline{x}, \overline{y})=\left|x_{1}-y_{1}\right|+\left|x_{2}-y_{2}\right|\) o
(b)\(\rho(\overline{x}, \overline{y})=\max \left\{\left|x_{1}-y_{1}\right|,\left|x_{2}-y_{2}\right|\right\}\),
donde\(\overline{x}=\left(x_{1}, x_{2}\right)\) y\(\overline{y}=\left(y_{1}, y_{2}\right) .\) En cada caso, describa\(G_{\overline{0}}(1)\) y\(S_{\overline{0}}(1) .\) haga lo mismo para el subespacio de puntos con no negativos coordenadas.
Demostrar las aseveraciones hechas en el texto sobre globos en un espacio discreto. Encuentra una esfera vacía en tal espacio. ¿Puede una esfera contener todo el espacio?
Mostrar que\(\rho\) en Ejemplos\((3)\) y\((5)\) obedece los axiomas métricos.
\(M\)Sea el conjunto de todos los enteros positivos junto con el “punto”\(\infty .\) Metrize\(M\) configurando
\ [
\ rho (m, n) =\ izquierda|\ frac {1} {m} -\ frac {1} {n}\ derecha|,\ text {con la convención que}\ frac {1} {\ infty} =0.
\]
Verificar los axiomas métricos. Describir\(G_{\infty}\left(\frac{1}{2}\right), S_{\infty}\left(\frac{1}{2}\right),\) y\(G_{1}(1)\).
\(\Rightarrow 5 .\)Metrizar el sistema de números reales extendido\(E^{*}\) por
\ [\ rho^ {\ prime} (x, y) =|f (x) -f (y) |,
\]
donde la función
\ [
f: E^ {*}\ underset {\ text {onto}} {\ longrightarrow} [-1,1]
\]
es definido por
\ [
f (x) =\ frac {x} {1+|x|}\ texto {si} x\ texto {es finito,} f (-\ infty) =-1,\ text {y} f (+\ infty) =1.
\]
Calcular\(\rho^{\prime}(0,+\infty), \rho^{\prime}(0,-\infty), \rho^{\prime}(-\infty,+\infty), \rho^{\prime}(0,1), \rho^{\prime}(1,2),\) y\(\rho^{\prime}(n,+\infty) .\) Describir\(G_{0}(1), G_{+\infty}(1),\) y\(G_{-\infty}\left(\frac{1}{2}\right) .\) Verificar los axiomas métricos (también cuando hay infinidades involucradas).
\(\Rightarrow 6 .\)En Problema\(5,\) mostrar que la función\(f\) es uno a uno, on\([-1,1],\) y aumentando; es decir
\ [
x<x^ {\ prime}\ text {implica} f (x) <f\ left (x^ {\ prime}\ right)\ text {for} x, x^ {\ prime}\ en E^ {*}.
\]
También muestran que la\(f\) -imagen de un intervalo\((a, b) \subseteq E^{*}\) es el intervalo\((f(a), f(b)) .\) De ahí deducir que los globos en\(E^{*}\) (con\(\rho^{\prime}\) como en el Problema 5) son intervalos en\(E^{*}\) (posiblemente infinitos).
[Pista: Para un\(x,\) puesto finito
\ [
y=f (x) =\ frac {x} {1+|x|}.
\]
Resolviendo for\(x\) (por separado en los casos\(x \geq 0\) y\(x<0 ),\) mostrar que
\ [
(\ forall y\ in (-1,1))\ quad x=f^ {-1} (y) =\ frac {y} {1-|y|};
\]
así\(x\) se determina de manera única por\(y,\) i.e. ,\(f\) es uno a uno y onto-cada\(y \in(-1,1)\) corresponde a algunos\(x \in E^{1} .\) (¿Qué tal\(\pm 1 ? )\)
Para mostrar que\(f\) va en aumento, considere por separado los tres casos\(x<0<x^{\prime}\),\(x<x^{\prime}<0\) y\(0<x<x^{\prime}\) (también para infinito\(x\) y\(x^{\prime} ) . ]\)
Continuar Problemas 5 y\(6,\) considerar\(\left(E^{1}, \rho^{\prime}\right)\) como un subespacio de\(\left(E^{*}, \rho^{\prime}\right)\) con\(\rho^{\prime}\) como en Problema\(5 .\) Mostrar que los globos en\(\left(E^{1}, \rho^{\prime}\right)\) son exactamente todos intervalos abiertos en\(E^{*} .\) Por ejemplo,\((0,1)\) es un globo. ¿Cuáles son su centro y radio por debajo\(\rho^{\prime}\) y por debajo de la métrica estándar?\(\rho ?\)
Metrizar el intervalo cerrado\([0,+\infty]\) en\(E^{*}\) configurando
\ [
\ rho (x, y) =\ izquierda|\ frac {1} {1+x} -\ frac {1} {1+y}\ derecha|,
\]
con las convenciones\(1+(+\infty)=+\infty\) y\(1 /(+\infty)=0 .\) Verificar los axiomas métricos. Describir\(G_{p}(1)\) por arbitrario\(p \geq 0\).
Demostrar que si\(\rho\) es una métrica para\(S,\) entonces otra métrica\(\rho^{\prime}\) para\(S\) viene dada por
(i)\(\rho^{\prime}(x, y)=\min \{1, \rho(x, y)\}\);
(ii)\(\rho^{\prime}(x, y)=\frac{\rho(x, y)}{1+\rho(x, y)}\).
En caso de\((\mathrm{i}),\) mostrar que los globos\(G_{p}(\varepsilon)\) de radio\(\varepsilon \leq 1\) son los mismos bajo\(\rho\) y\(\rho^{\prime} .\) En el caso (ii), probar que cualquiera\(G_{p}(\varepsilon)\) en\((S, \rho)\) es también un globo\(G_{p}\left(\varepsilon^{\prime}\right)\)\(\left(S, \rho^{\prime}\right)\) adentro de radio
\ [
\ varepsilon^ {\ prime} =\ frac { \ varepsilon} {1+\ varepsilon},
\]
y cualquier globo de radio\(\varepsilon^{\prime}<1\) en también\(\left(S, \rho^{\prime}\right)\) es un globo en\((S, \rho) .\) (¡Encuentra la fórmula inversa para\(\varepsilon\) también!)
[Pista para la desigualdad del triángulo en (ii): Dejar\(a=\rho(x, z), b=\rho(x, y),\) y\(c=\rho(y, z)\) así que\(a \leq b+c .\) La desigualdad requerida es
\ [
\ frac {a} {1+a}\ leq\ frac {b} {1+b} +\ frac {c} {1+c}.
\]
Simplificarlo y demostrar que se desprende de\(a \leq b+c . ]\)
Demostrar que si\(\left(X, \rho^{\prime}\right)\) y\(\left(Y, \rho^{\prime \prime}\right)\) son espacios métricos, entonces\(X \times Y\) se obtiene una métrica\(\rho\) para el conjunto estableciendo, para\(x_{1}, x_{2} \in X\) y\(y_{1}, y_{2} \in Y\),
(i)\(\rho\left(\left(x_{1}, y_{1}\right),\left(x_{2}, y_{2}\right)\right)=\max \left\{\rho^{\prime}\left(x_{1}, x_{2}\right), \rho^{\prime \prime}\left(y_{1}, y_{2}\right)\right\} ;\) o
(ii)\(\rho\left(\left(x_{1}, y_{1}\right),\left(x_{2}, y_{2}\right)\right)=\sqrt{\rho^{\prime}\left(x_{1}, x_{2}\right)^{2}+\rho^{\prime \prime}\left(y_{1}, y_{2}\right)^{2}}\).
[Pista: Por brevedad, pon\(\rho_{12}^{\prime}=\rho^{\prime}\left(x_{1}, x_{2}\right), \rho_{12}^{\prime \prime}=\rho^{\prime \prime}\left(y_{1}, y_{2}\right),\) etc. La desigualdad triángulo en (ii),
\ [
\ sqrt {\ left (\ rho_ {13} ^ {\ prime}\ right) ^ {2} +\ left (\ rho_ {13} ^ {\ prime\ prime}\ right) ^ {2}}\ leq\ sqrt {\ left (\ rho_ {12} ^ {\ prime}\ right) ^ {2} +\ izquierda (\ rho_ {12} ^ {\ prime\ prime}\ derecha) ^ {2}} +\ sqrt {\ left (\ rho_ {23} ^ {\ prime}\ right) ^ {2} +\ left (\ rho_ {23} ^ {\ prime\ prime}\ right) ^ {2}},
\]
se verifica cuadrando ambos lados, aislando la raíz cuadrada restante en el lado derecho, simplificando, y cuadrando nuevamente. Simplifica usando las desigualdades triangulares válidas en\(X\) y\(Y,\) es decir,
\ [\ rho_ {13} ^ {\ prime}\ leq\ rho_ {12} ^ {\ prime} +\ rho_ {23} ^ {\ prime}\ text {y}\ rho_ {13} ^ {\ prime\ prime}\ leq\ rho_ {12} ^ {\ prime\ prime} +\ rho_ {23} ^\ prime\ prime}.
\]
Invierta todos los pasos, para que la desigualdad requerida se convierta en el último paso. \(]\)
Demostrar que
\ [
|\ rho (y, z) -\ rho (x, z) |\ leq\ rho (x, y)
\]
en cualquier espacio métrico\((S, \rho) .\)
[Precaución: La fórmula\(\rho(x, y)=|x-y|,\) válida en\(E^{n},\) no se puede utilizar en\((S, \rho) .\) ¿Por qué? \(]\)
Demostrar que
\ [\ rho\ izquierda (p_ {1}, p_ {2}\ derecha) +\ rho\ izquierda (p_ {2}, p_ {3}\ derecha) +\ cdots+\ rho\ izquierda (p_ {n-1}, p_ {n}\ derecha)\ geq\ rho\ izquierda (p_ {1}, p_ {n} derecha\).
\]
[Pista: Usar inducción. \(]\)