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# 4.12: Secuencias y Series de Funciones

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I. Dejemos

$f_{1}, f_{2}, \ldots, f_{m}, \dots$

ser una secuencia de asignaciones de un dominio común a un$$A$$ espacio métrico$$\left(T, \rho^{\prime}\right) .$$ Para cada (fijo)$$x \in A,$$ los valores de función

$f_{1}(x), f_{2}(x), \ldots, f_{m}(x), \ldots$

formar una secuencia de puntos en el espacio de rango$$\left(T, \rho^{\prime}\right).$$ Supongamos que esta secuencia converge para cada uno$$x$$ en un conjunto$$B \subseteq A.$$ Entonces podemos definir una función$$f : B \rightarrow T$$ configurando

$f(x)=\lim _{m \rightarrow \infty} f_{m}(x) \text { for all } x \in B.$

Esto significa que

$(\forall \varepsilon>0)(\forall x \in B)(\exists k)(\forall m>k) \quad \rho^{\prime}\left(f_{m}(x), f(x)\right)<\varepsilon.$

Aquí$$k$$ depende no solo de$$\varepsilon$$ sino también de$$x,$$ ya que cada uno$$x$$ produce una secuencia diferente$$\left\{f_{m}(x)\right\}.$$ Sin embargo, en algunos casos (parecido a una continuidad uniforme),$$k$$ depende$$\varepsilon$$ solo de; es decir, dado$$\varepsilon>0,$$ uno y el mismo$$k$$ encaja todos$$x$$ en $$B.$$En los símbolos, esto se indica cambiando el orden de los cuantificadores, es decir,

$(\forall \varepsilon>0)(\exists k)(\forall x \in B)(\forall m>k) \quad \rho^{\prime}\left(f_{m}(x), f(x)\right)<\varepsilon.$

Por supuesto, (2) implica (1), pero lo contrario falla (ver ejemplos a continuación). Esto sugiere las siguientes definiciones.

## Definición 1

Con la notación anterior, llamamos$$f$$ al límite puntual de una secuencia de funciones$$f_{m}$$ en un conjunto$$B(B \subseteq A)$$ iff

$f(x)=\lim _{m \rightarrow \infty} f_{m}(x) \text { for all } x \text { in } B;$

es decir, la fórmula (1) se mantiene. Luego escribimos

$f_{m} \rightarrow f(\text {pointwise}) \text { on } B.$

En el caso (2), llamamos al límite uniforme (on$$B )$$ y escribimos

$f_{m} \rightarrow f(\text {uniformly}) \text { on } B.$

II. Si las$$f_{m}$$ son reales, complejas o vectoriales valoradas (§3), también podemos definir$$s_{m}=\sum_{k=1}^{m} f_{k}$$ (= suma de las primeras$$m$$ funciones) para cada una$$m$$, así

$(\forall x \in A)(\forall m) \quad s_{m}(x)=\sum_{k=1}^{m} f_{k}(x).$

La$$s_{m}$$ forma de una nueva secuencia de funciones en$$A.$$ El par de secuencias

$\left(\left\{f_{m}\right\},\left\{s_{m}\right\}\right)$

se llama la serie (infinita) con término general$$f_{m} ; s_{m}$$ se llama su$$m$$ th suma parcial. La serie suele ser denotada por símbolos como$$\sum f_{m}, \sum f_{m}(x),$$ etc.

## Definición 2

$$A$$Se dice que la serie$$\sum f_{m}$$ en converge (puntual o uniformemente) a una función$$f$$ en un conjunto$$B \subseteq A$$ si la secuencia$$\left\{s_{m}\right\}$$ de sus sumas parciales también lo hace.

Luego llamamos a$$f$$ la suma de la serie y escribimos

$f(x)=\sum_{k=1}^{\infty} f_{k}(x) \text { or } f=\sum_{m=1}^{\infty} f_{m}=\lim s_{m}$

(puntual o uniformemente) en$$B$$.

Tenga en cuenta que las series de constantes,$$\sum c_{m},$$ pueden tratarse como series de funciones constantes$$f_{m},$$ con$$f_{m}(x)=c_{m}$$ for$$x \in A.$$

Si el espacio de rango es$$E^{1}$$ o también$$E^{*},$$ consideramos límites infinitos,

$\lim _{m \rightarrow \infty} f_{m}(x)=\pm \infty.$

Sin embargo, una serie para la que

$\sum_{m=1}^{\infty} f_{m}=\lim s_{m}$

es infinito para algunos$$x$$ se considera divergente (es decir, no convergente) en eso$$x$$.

III. Dado que la convergencia de las series se reduce a la de las secuencias, primero$$\left\{s_{m}\right\},$$ consideraremos secuencias. La siguiente es una prueba simple y útil para la convergencia uniforme de secuencias$$f_{m} : A \rightarrow\left(T, \rho^{\prime}\right).$$

## Teorema$$\PageIndex{1}$$

Dada una secuencia de funciones$$f_{m} : A \rightarrow\left(T, \rho^{\prime}\right),$$ let$$B \subseteq A$$ y

$Q_{m}=\sup _{x \in B} \rho^{\prime}\left(f_{m}(x), f(x)\right).$

Después$$f_{m} \rightarrow f(\text {uniformly on } B)$$ iff$$Q_{m} \rightarrow 0$$.

Prueba

Si$$Q_{m} \rightarrow 0,$$ entonces por definición

$(\forall \varepsilon>0)(\exists k)(\forall m>k) \quad Q_{m}<\varepsilon.$

Sin embargo,$$Q_{m}$$ es un límite superior de todas las distancias$$\rho^{\prime}\left(f_{m}(x), f(x)\right), x \in B.$$ Por lo tanto (2) sigue.

Por el contrario, si

$(\forall x \in B) \quad \rho^{\prime}\left(f_{m}(x), f(x)\right)<\varepsilon,$

entonces

$\varepsilon \geq \sup _{x \in B} \rho^{\prime}\left(f_{m}(x), f(x)\right),$

es decir,$$Q_{m} \leq \varepsilon.$$ Así (2) implica

$(\forall \varepsilon>0)(\exists k)(\forall m>k) \quad Q_{m} \leq \varepsilon$

y$$Q_{m} \rightarrow 0.$$$$\square$$

## Ejemplos

(a) Tenemos

$\lim _{n \rightarrow \infty} x^{n}=0 \text { if }|x|<1 \text { and } \lim _{n \rightarrow \infty} x^{n}=1 \text { if } x=1.$

Por lo tanto, establecer$$f_{n}(x)=x^{n},$$ considerar$$B=[0,1]$$ y$$C=[0,1)$$.

Tenemos$$f_{n} \rightarrow 0$$ (puntualmente) una$$C$$ y otra vez$$f_{n} \rightarrow f(\text { pointwise })$$$$B,$$ con$$f(x)=0$$ para$$x \in C$$ y$$f(1)=1.$$ Sin embargo, el límite no es uniforme en y$$C,$$ mucho menos en$$B .$$ Indeed,

$Q_{n}=\sup _{x \in C}\left|f_{n}(x)-f(x)\right|=1 \text { for each } n.$

Así$$Q_{n}$$ no tiende a$$0,$$ y la convergencia uniforme falla por el Teorema 1.

b) En el Ejemplo (a), vamos$$D=[0, a], 0<a<1 .$$ Luego$$f_{n} \rightarrow f$$ (uniformemente)$$D$$ porque, en este caso,

$Q_{n}=\sup _{x \in D}\left|f_{n}(x)-f(x)\right|=\sup _{x \in D}\left|x^{n}-0\right|=a^{n} \rightarrow 0.$

c) Dejar

$f_{n}(x)=x^{2}+\frac{\sin n x}{n}, \quad x \in E^{1}.$

Para un fijo$$x$$,

$\lim _{n \rightarrow \infty} f_{n}(x)=x^{2} \quad \text { since }\left|\frac{\sin n x}{n}\right| \leq \frac{1}{n} \rightarrow 0.$

Por lo tanto, configurando$$f(x)=x^{2},$$ tenemos$$f_{n} \rightarrow f$$ (puntualmente) en$$E^{1}.$$ También,

$\left|f_{n}(x)-f(x)\right|=\left|\frac{\sin n x}{n}\right| \leq \frac{1}{n}.$

Así$$(\forall n) Q_{n} \leq \frac{1}{n} \rightarrow 0.$$ Por Teorema 1, el límite es uniforme en todos$$E^{1}.$$

## Teorema$$\PageIndex{2}$$

Let$$f_{m} : A \rightarrow\left(T, \rho^{\prime}\right)$$ be a sequence of functions on$$A \subseteq(S, \rho).$$ If$$f_{m} \rightarrow f\left(\text {uniformly } \text { on a set } B \subseteq A, \text { and if the } f_{m} \text { are relatively (or uniformly) }\right.$$ continuous on$$B$$, entonces la función limit$$f$$ tiene la misma propiedad.

Prueba

Fijar$$\varepsilon>0.$$ Como$$f_{m} \rightarrow f$$ (uniformemente) en$$B,$$ hay un$$k$$ tal que

$(\forall x \in B)(\forall m \geq k) \quad \rho^{\prime}\left(f_{m}(x), f(x)\right)<\frac{\varepsilon}{4}.$

Toma cualquiera$$f_{m}$$ con$$m>k,$$ y toma cualquier$$p \in B.$$ Por continuidad, hay$$\delta>0,$$ con

$\left(\forall x \in B \cap G_{p}(\delta)\right) \quad \rho^{\prime}\left(f_{m}(x), f_{m}(p)\right)<\frac{\varepsilon}{4}.$

Además,$$x=p$$ el ajuste en (3) da$$\rho^{\prime}\left(f_{m}(p), f(p)\right)<\frac{\varepsilon}{4}.$$ Combinando esto con (4) y (3), obtenemos$$\left(\forall x \in B \cap G_{p}(\delta)\right)$$

\begin{aligned} \rho^{\prime}(f(x), f(p)) & \leq \rho^{\prime}\left(f(x), f_{m}(x)\right)+\rho^{\prime}\left(f_{m}(x), f_{m}(p)\right)+\rho^{\prime}\left(f_{m}(p), f(p)\right) \\ &<\frac{\varepsilon}{4}+\frac{\varepsilon}{4}+\frac{\varepsilon}{4}<\varepsilon. \end{aligned}

Así vemos que para$$p \in B$$,

$(\forall \varepsilon>0)(\exists \delta>0)\left(\forall x \in B \cap G_{p}(\delta)\right) \quad \rho^{\prime}(f(x), f(p))<\varepsilon,$

es decir,$$f$$ es relativamente continuo$$p(\text { over } B),$$ como se reivindica.

De manera muy similar, el lector demostrará que$$f$$ es uniformemente continuo si el$$f_{n}$$ son. $$\square$$

Nota 2. Una prueba similar también muestra que si$$f_{m} \rightarrow f$$ (uniformemente) en$$B,$$ y si$$f_{m}$$ son relativamente continuos en un punto$$p \in B,$$, también es$$f.$$

## Teorema$$\PageIndex{3}$$ (Cauchy criterion for uniform convergence)

$$\left(T, \rho^{\prime}\right)$$Déjese completar. Luego una secuencia$$f_{m} : A \rightarrow T, A \subseteq(S, \rho),$$ converge uniformemente en un conjunto$$B \subseteq A$$ iff

$(\forall \varepsilon>0)(\exists k)(\forall x \in B)(\forall m, n>k) \quad \rho^{\prime}\left(f_{m}(x), f_{n}(x)\right)<\varepsilon.$

Prueba

Si (5) se mantiene entonces, para cualquier (fijo)$$x \in B,\left\{f_{m}(x)\right\}$$ es una secuencia Cauchy de puntos en$$T,$$ así por la supuesta integridad de la$$T,$$ misma tiene un límite$$f(x).$$ Así podemos definir una función$$f : B \rightarrow T$$ con

$f(x)=\lim _{m \rightarrow \infty} f_{m}(x) \text { on } B.$

Para mostrar eso$$f_{m} \rightarrow f$$ (uniformemente) en$$B,$$ usamos (5) nuevamente. Manteniendo$$\varepsilon, k,$$$$x,$$ y arreglado$$m$$ temporalmente, dejamos que$$n \rightarrow \infty$$ así$$f_{n}(x) \rightarrow f(x)$$. Entonces por el Teorema 4 del Capítulo 3, §15,$$\rho^{\prime}\left(f_{m}(x), f_{n}(x)\right) \rightarrow p^{\prime}\left(f(x), f_{m}(x)\right).$$ Pasando al l imit en (5), obtenemos así (2).

La prueba fácil de lo contrario se deja al lector (cf. Capítulo 3, §17, Teorema 1). $$\square$$

IV. Si el espacio de rango$$\left(T, \rho^{\prime}\right)$$ es$$E^{1}, C,$$ o$$E^{n}$$ (*u otro espacio normado), se aplica la métrica estándar. En particular, para series tenemos

\begin{aligned} \rho^{\prime}\left(s_{m}(x), s_{n}(x)\right) &=\left|s_{n}(x)-s_{m}(x)\right| \\ &=\left|\sum_{k=1}^{n} f_{k}(x)-\sum_{k=1}^{m} f_{k}(x)\right| \\ &=\left|\sum_{k=m+1}^{n} f_{k}(x)\right| \quad \text { for } m<n. \end{aligned}

Sustituyendo aquí$$m$$ por$$m-1$$ y aplicando el Teorema 3 a la secuencia$$\left\{s_{m}\right\},$$ obtenemos el siguiente resultado.

## Teorema$$\PageIndex{3'}$$

Deje que el espacio de rango$$f_{m}, m=1,2, \ldots,$$ sea$$E^{1}, C,$$ o$$E^{n}$$ (*u otro espacio normado completo). Luego la serie$$\sum f_{m}$$ converge uniformemente en$$B$$ iff

$(\forall \varepsilon>0)(\exists q)(\forall n>m>q)(\forall x \in B) \quad\left|\sum_{k=m}^{n} f_{k}(x)\right|<\varepsilon.$

De igual manera, vía$$\left\{s_{m}\right\},$$ Teorema 2 se extiende a series de funciones. (Observe que los$$s_{m}$$ son continuos si los$$f_{m}$$ son.) ¡Formular!

V. Si$$\sum_{m=1}^{\infty} f_{m}$$ existe en$$B,$$ uno se pueden “agrupar” arbitrariamente los términos, es decir, sustituir cada varios términos consecutivos por su suma. Esta propiedad se afirma con mayor precisión en el siguiente teorema.

## Teorema$$\PageIndex{4}$$

Let

$f=\sum_{m=1}^{\infty} f_{m}(\text {pointwise}) \text { on } B.$

Dejar$$m_{1}<m_{2}<\cdots<m_{n}<\cdots$$ entrar$$N,$$ y definir

$g_{1}=s_{m_{1}}, \quad g_{n}=s_{m_{n}}-s_{m_{n-1}}, \quad n>1.$

(Así$$g_{n+1}=f_{m_{n}+1}+\cdots+f_{m_{n+1}}.)$$ Entonces

$f=\sum_{n=1}^{\infty} g_{n}(\text {pointwise}) \text { on } B \text { as well; }$

de manera similar para una convergencia uniforme.

Prueba

Let

$s_{n}^{\prime}=\sum_{k=1}^{n} g_{k}, \quad n=1,2, \ldots$

Entonces$$s_{n}^{\prime}=s_{m_{n}}$$ (¡verifica!) , así$$\left\{s_{n}^{\prime}\right\}$$ es una subsecuencia,$$\left\{s_{m_{n}}\right\},$$ de$$\left\{s_{m}\right\} .$$ Por lo tanto$$s_{m} \rightarrow f(\text { pointwise })$$ implica$$s_{n}^{\prime} \rightarrow f$$ (puntual); es decir,

$f=\sum_{n=1}^{\infty} g_{n} \text { (pointwise). }$

Para una convergencia uniforme, véase el Problema 13 (cf. también Problema 19). $$\square$$

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