4.12: Secuencias y Series de Funciones

I. Dejemos

\[f_{1}, f_{2}, \ldots, f_{m}, \dots\]

ser una secuencia de asignaciones de un dominio común a un\(A\) espacio métrico\(\left(T, \rho^{\prime}\right) .\) Para cada (fijo)\(x \in A,\) los valores de función

\[f_{1}(x), f_{2}(x), \ldots, f_{m}(x), \ldots\]

formar una secuencia de puntos en el espacio de rango\(\left(T, \rho^{\prime}\right).\) Supongamos que esta secuencia converge para cada uno\(x\) en un conjunto\(B \subseteq A.\) Entonces podemos definir una función\(f : B \rightarrow T\) configurando

\[f(x)=\lim _{m \rightarrow \infty} f_{m}(x) \text { for all } x \in B.\]

Esto significa que

\[(\forall \varepsilon>0)(\forall x \in B)(\exists k)(\forall m>k) \quad \rho^{\prime}\left(f_{m}(x), f(x)\right)<\varepsilon.\]

Aquí\(k\) depende no solo de\(\varepsilon\) sino también de\(x,\) ya que cada uno\(x\) produce una secuencia diferente\(\left\{f_{m}(x)\right\}.\) Sin embargo, en algunos casos (parecido a una continuidad uniforme),\(k\) depende\(\varepsilon\) solo de; es decir, dado\(\varepsilon>0,\) uno y el mismo\(k\) encaja todos\(x\) en \(B.\)En los símbolos, esto se indica cambiando el orden de los cuantificadores, es decir,

\[(\forall \varepsilon>0)(\exists k)(\forall x \in B)(\forall m>k) \quad \rho^{\prime}\left(f_{m}(x), f(x)\right)<\varepsilon.\]

Por supuesto, (2) implica (1), pero lo contrario falla (ver ejemplos a continuación). Esto sugiere las siguientes definiciones.

Definición 1

Con la notación anterior, llamamos\(f\) al límite puntual de una secuencia de funciones\(f_{m}\) en un conjunto\(B(B \subseteq A)\) iff

\[f(x)=\lim _{m \rightarrow \infty} f_{m}(x) \text { for all } x \text { in } B;\]

es decir, la fórmula (1) se mantiene. Luego escribimos

\[f_{m} \rightarrow f(\text {pointwise}) \text { on } B.\]

En el caso (2), llamamos al límite uniforme (on\(B )\) y escribimos

\[f_{m} \rightarrow f(\text {uniformly}) \text { on } B.\]

II. Si las\(f_{m}\) son reales, complejas o vectoriales valoradas (§3), también podemos definir\(s_{m}=\sum_{k=1}^{m} f_{k}\) (= suma de las primeras\(m\) funciones) para cada una\(m\), así

\[(\forall x \in A)(\forall m) \quad s_{m}(x)=\sum_{k=1}^{m} f_{k}(x).\]

La\(s_{m}\) forma de una nueva secuencia de funciones en\(A.\) El par de secuencias

\[\left(\left\{f_{m}\right\},\left\{s_{m}\right\}\right)\]

se llama la serie (infinita) con término general\(f_{m} ; s_{m}\) se llama su\(m\) th suma parcial. La serie suele ser denotada por símbolos como\(\sum f_{m}, \sum f_{m}(x),\) etc.

Definición 2

\(A\)Se dice que la serie\(\sum f_{m}\) en converge (puntual o uniformemente) a una función\(f\) en un conjunto\(B \subseteq A\) si la secuencia\(\left\{s_{m}\right\}\) de sus sumas parciales también lo hace.

Luego llamamos a\(f\) la suma de la serie y escribimos

\[f(x)=\sum_{k=1}^{\infty} f_{k}(x) \text { or } f=\sum_{m=1}^{\infty} f_{m}=\lim s_{m}\]

(puntual o uniformemente) en\(B\).

Tenga en cuenta que las series de constantes,\(\sum c_{m},\) pueden tratarse como series de funciones constantes\(f_{m},\) con\(f_{m}(x)=c_{m}\) for\(x \in A.\)

Si el espacio de rango es\(E^{1}\) o también\(E^{*},\) consideramos límites infinitos,

\[\lim _{m \rightarrow \infty} f_{m}(x)=\pm \infty.\]

Sin embargo, una serie para la que

\[\sum_{m=1}^{\infty} f_{m}=\lim s_{m}\]

es infinito para algunos\(x\) se considera divergente (es decir, no convergente) en eso\(x\).

III. Dado que la convergencia de las series se reduce a la de las secuencias, primero\(\left\{s_{m}\right\},\) consideraremos secuencias. La siguiente es una prueba simple y útil para la convergencia uniforme de secuencias\(f_{m} : A \rightarrow\left(T, \rho^{\prime}\right).\)

Teorema\(\PageIndex{1}\)

Dada una secuencia de funciones\(f_{m} : A \rightarrow\left(T, \rho^{\prime}\right),\) let\(B \subseteq A\) y

\[Q_{m}=\sup _{x \in B} \rho^{\prime}\left(f_{m}(x), f(x)\right).\]

Después\(f_{m} \rightarrow f(\text {uniformly on } B)\) iff\(Q_{m} \rightarrow 0\).

Prueba

Si\(Q_{m} \rightarrow 0,\) entonces por definición

\[(\forall \varepsilon>0)(\exists k)(\forall m>k) \quad Q_{m}<\varepsilon.\]

Sin embargo,\(Q_{m}\) es un límite superior de todas las distancias\(\rho^{\prime}\left(f_{m}(x), f(x)\right), x \in B.\) Por lo tanto (2) sigue.

Por el contrario, si

\[(\forall x \in B) \quad \rho^{\prime}\left(f_{m}(x), f(x)\right)<\varepsilon,\]

entonces

\[\varepsilon \geq \sup _{x \in B} \rho^{\prime}\left(f_{m}(x), f(x)\right),\]

es decir,\(Q_{m} \leq \varepsilon.\) Así (2) implica

\[(\forall \varepsilon>0)(\exists k)(\forall m>k) \quad Q_{m} \leq \varepsilon\]

y\(Q_{m} \rightarrow 0.\)\(\square\)

Ejemplos

(a) Tenemos

\[\lim _{n \rightarrow \infty} x^{n}=0 \text { if }|x|<1 \text { and } \lim _{n \rightarrow \infty} x^{n}=1 \text { if } x=1.\]

Por lo tanto, establecer\(f_{n}(x)=x^{n},\) considerar\(B=[0,1]\) y\(C=[0,1)\).

Tenemos\(f_{n} \rightarrow 0\) (puntualmente) una\(C\) y otra vez\(f_{n} \rightarrow f(\text { pointwise })\)\(B,\) con\(f(x)=0\) para\(x \in C\) y\(f(1)=1.\) Sin embargo, el límite no es uniforme en y\(C,\) mucho menos en\(B .\) Indeed,

\[Q_{n}=\sup _{x \in C}\left|f_{n}(x)-f(x)\right|=1 \text { for each } n.\]

Así\(Q_{n}\) no tiende a\(0,\) y la convergencia uniforme falla por el Teorema 1.

b) En el Ejemplo (a), vamos\(D=[0, a], 0<a<1 .\) Luego\(f_{n} \rightarrow f\) (uniformemente)\(D\) porque, en este caso,

\[Q_{n}=\sup _{x \in D}\left|f_{n}(x)-f(x)\right|=\sup _{x \in D}\left|x^{n}-0\right|=a^{n} \rightarrow 0.\]

c) Dejar

\[f_{n}(x)=x^{2}+\frac{\sin n x}{n}, \quad x \in E^{1}.\]

Para un fijo\(x\),

\[\lim _{n \rightarrow \infty} f_{n}(x)=x^{2} \quad \text { since }\left|\frac{\sin n x}{n}\right| \leq \frac{1}{n} \rightarrow 0.\]

Por lo tanto, configurando\(f(x)=x^{2},\) tenemos\(f_{n} \rightarrow f\) (puntualmente) en\(E^{1}.\) También,

\[\left|f_{n}(x)-f(x)\right|=\left|\frac{\sin n x}{n}\right| \leq \frac{1}{n}.\]

Así\((\forall n) Q_{n} \leq \frac{1}{n} \rightarrow 0.\) Por Teorema 1, el límite es uniforme en todos\(E^{1}.\)

Teorema\(\PageIndex{2}\)

Let\(f_{m} : A \rightarrow\left(T, \rho^{\prime}\right)\) be a sequence of functions on\(A \subseteq(S, \rho).\) If\(f_{m} \rightarrow f\left(\text {uniformly } \text { on a set } B \subseteq A, \text { and if the } f_{m} \text { are relatively (or uniformly) }\right.\) continuous on\(B\), entonces la función limit\(f\) tiene la misma propiedad.

Prueba

Fijar\(\varepsilon>0.\) Como\(f_{m} \rightarrow f\) (uniformemente) en\(B,\) hay un\(k\) tal que

\[(\forall x \in B)(\forall m \geq k) \quad \rho^{\prime}\left(f_{m}(x), f(x)\right)<\frac{\varepsilon}{4}.\]

Toma cualquiera\(f_{m}\) con\(m>k,\) y toma cualquier\(p \in B.\) Por continuidad, hay\(\delta>0,\) con

\[\left(\forall x \in B \cap G_{p}(\delta)\right) \quad \rho^{\prime}\left(f_{m}(x), f_{m}(p)\right)<\frac{\varepsilon}{4}.\]

Además,\(x=p\) el ajuste en (3) da\(\rho^{\prime}\left(f_{m}(p), f(p)\right)<\frac{\varepsilon}{4}.\) Combinando esto con (4) y (3), obtenemos\(\left(\forall x \in B \cap G_{p}(\delta)\right)\)

\[\begin{aligned} \rho^{\prime}(f(x), f(p)) & \leq \rho^{\prime}\left(f(x), f_{m}(x)\right)+\rho^{\prime}\left(f_{m}(x), f_{m}(p)\right)+\rho^{\prime}\left(f_{m}(p), f(p)\right) \\ &<\frac{\varepsilon}{4}+\frac{\varepsilon}{4}+\frac{\varepsilon}{4}<\varepsilon. \end{aligned}\]

Así vemos que para\(p \in B\),

\[(\forall \varepsilon>0)(\exists \delta>0)\left(\forall x \in B \cap G_{p}(\delta)\right) \quad \rho^{\prime}(f(x), f(p))<\varepsilon,\]

es decir,\(f\) es relativamente continuo\(p(\text { over } B),\) como se reivindica.

De manera muy similar, el lector demostrará que\(f\) es uniformemente continuo si el\(f_{n}\) son. \(\square\)

Nota 2. Una prueba similar también muestra que si\(f_{m} \rightarrow f\) (uniformemente) en\(B,\) y si\(f_{m}\) son relativamente continuos en un punto\(p \in B,\), también es\(f.\)

Teorema\(\PageIndex{3}\) (Cauchy criterion for uniform convergence)

\(\left(T, \rho^{\prime}\right)\)Déjese completar. Luego una secuencia\(f_{m} : A \rightarrow T, A \subseteq(S, \rho),\) converge uniformemente en un conjunto\(B \subseteq A\) iff

\[(\forall \varepsilon>0)(\exists k)(\forall x \in B)(\forall m, n>k) \quad \rho^{\prime}\left(f_{m}(x), f_{n}(x)\right)<\varepsilon.\]

Prueba

Si (5) se mantiene entonces, para cualquier (fijo)\(x \in B,\left\{f_{m}(x)\right\}\) es una secuencia Cauchy de puntos en\(T,\) así por la supuesta integridad de la\(T,\) misma tiene un límite\(f(x).\) Así podemos definir una función\(f : B \rightarrow T\) con

\[f(x)=\lim _{m \rightarrow \infty} f_{m}(x) \text { on } B.\]

Para mostrar eso\(f_{m} \rightarrow f\) (uniformemente) en\(B,\) usamos (5) nuevamente. Manteniendo\(\varepsilon, k,\)\(x,\) y arreglado\(m\) temporalmente, dejamos que\(n \rightarrow \infty\) así\(f_{n}(x) \rightarrow f(x)\). Entonces por el Teorema 4 del Capítulo 3, §15,\(\rho^{\prime}\left(f_{m}(x), f_{n}(x)\right) \rightarrow p^{\prime}\left(f(x), f_{m}(x)\right).\) Pasando al l imit en (5), obtenemos así (2).

La prueba fácil de lo contrario se deja al lector (cf. Capítulo 3, §17, Teorema 1). \(\square\)

IV. Si el espacio de rango\(\left(T, \rho^{\prime}\right)\) es\(E^{1}, C,\) o\(E^{n}\) (*u otro espacio normado), se aplica la métrica estándar. En particular, para series tenemos

\[\begin{aligned} \rho^{\prime}\left(s_{m}(x), s_{n}(x)\right) &=\left|s_{n}(x)-s_{m}(x)\right| \\ &=\left|\sum_{k=1}^{n} f_{k}(x)-\sum_{k=1}^{m} f_{k}(x)\right| \\ &=\left|\sum_{k=m+1}^{n} f_{k}(x)\right| \quad \text { for } m<n. \end{aligned}\]

Sustituyendo aquí\(m\) por\(m-1\) y aplicando el Teorema 3 a la secuencia\(\left\{s_{m}\right\},\) obtenemos el siguiente resultado.

Teorema\(\PageIndex{3'}\)

Deje que el espacio de rango\(f_{m}, m=1,2, \ldots,\) sea\(E^{1}, C,\) o\(E^{n}\) (*u otro espacio normado completo). Luego la serie\(\sum f_{m}\) converge uniformemente en\(B\) iff

\[(\forall \varepsilon>0)(\exists q)(\forall n>m>q)(\forall x \in B) \quad\left|\sum_{k=m}^{n} f_{k}(x)\right|<\varepsilon.\]

De igual manera, vía\(\left\{s_{m}\right\},\) Teorema 2 se extiende a series de funciones. (Observe que los\(s_{m}\) son continuos si los\(f_{m}\) son.) ¡Formular!

V. Si\(\sum_{m=1}^{\infty} f_{m}\) existe en\(B,\) uno se pueden “agrupar” arbitrariamente los términos, es decir, sustituir cada varios términos consecutivos por su suma. Esta propiedad se afirma con mayor precisión en el siguiente teorema.

Teorema\(\PageIndex{4}\)

Let

\[f=\sum_{m=1}^{\infty} f_{m}(\text {pointwise}) \text { on } B.\]

Dejar\(m_{1}<m_{2}<\cdots<m_{n}<\cdots\) entrar\(N,\) y definir

\[g_{1}=s_{m_{1}}, \quad g_{n}=s_{m_{n}}-s_{m_{n-1}}, \quad n>1.\]

(Así\(g_{n+1}=f_{m_{n}+1}+\cdots+f_{m_{n+1}}.)\) Entonces

\[f=\sum_{n=1}^{\infty} g_{n}(\text {pointwise}) \text { on } B \text { as well; }\]

de manera similar para una convergencia uniforme.

Prueba

Let

\[s_{n}^{\prime}=\sum_{k=1}^{n} g_{k}, \quad n=1,2, \ldots\]

Entonces\(s_{n}^{\prime}=s_{m_{n}}\) (¡verifica!) , así\(\left\{s_{n}^{\prime}\right\}\) es una subsecuencia,\(\left\{s_{m_{n}}\right\},\) de\(\left\{s_{m}\right\} .\) Por lo tanto\(s_{m} \rightarrow f(\text { pointwise })\) implica\(s_{n}^{\prime} \rightarrow f\) (puntual); es decir,

\[f=\sum_{n=1}^{\infty} g_{n} \text { (pointwise). }\]

Para una convergencia uniforme, véase el Problema 13 (cf. también Problema 19). \(\square\)