4.12: Secuencias y Series de Funciones

I. Dejemos

$$f_{1}, f_{2}, \ldots, f_{m}, \dots$$

ser una secuencia de asignaciones de un dominio común a un$A$ espacio métrico$\left(T, \rho^{\prime}\right) .$ Para cada (fijo)$x \in A,$ los valores de función

$$f_{1}(x), f_{2}(x), \ldots, f_{m}(x), \ldots$$

formar una secuencia de puntos en el espacio de rango$\left(T, \rho^{\prime}\right).$ Supongamos que esta secuencia converge para cada uno$x$ en un conjunto$B \subseteq A.$ Entonces podemos definir una función$f : B \rightarrow T$ configurando

$$f(x)=\lim _{m \rightarrow \infty} f_{m}(x) \text { for all } x \in B.$$

Esto significa que

$$(\forall \varepsilon>0)(\forall x \in B)(\exists k)(\forall m>k) \quad \rho^{\prime}\left(f_{m}(x), f(x)\right)<\varepsilon.$$

Aquí$k$ depende no solo de$\varepsilon$ sino también de$x,$ ya que cada uno$x$ produce una secuencia diferente$\left\{f_{m}(x)\right\}.$ Sin embargo, en algunos casos (parecido a una continuidad uniforme),$k$ depende$\varepsilon$ solo de; es decir, dado$\varepsilon>0,$ uno y el mismo$k$ encaja todos$x$ en $B.$En los símbolos, esto se indica cambiando el orden de los cuantificadores, es decir,

$$(\forall \varepsilon>0)(\exists k)(\forall x \in B)(\forall m>k) \quad \rho^{\prime}\left(f_{m}(x), f(x)\right)<\varepsilon.$$

Por supuesto, (2) implica (1), pero lo contrario falla (ver ejemplos a continuación). Esto sugiere las siguientes definiciones.

Definición 1

Con la notación anterior, llamamos$f$ al límite puntual de una secuencia de funciones$f_{m}$ en un conjunto$B(B \subseteq A)$ iff

$$f(x)=\lim _{m \rightarrow \infty} f_{m}(x) \text { for all } x \text { in } B;$$

es decir, la fórmula (1) se mantiene. Luego escribimos

$$f_{m} \rightarrow f(\text {pointwise}) \text { on } B.$$

En el caso (2), llamamos al límite uniforme (on$B )$ y escribimos

$$f_{m} \rightarrow f(\text {uniformly}) \text { on } B.$$

II. Si las$f_{m}$ son reales, complejas o vectoriales valoradas (§3), también podemos definir$s_{m}=\sum_{k=1}^{m} f_{k}$ (= suma de las primeras$m$ funciones) para cada una$m$, así

$$(\forall x \in A)(\forall m) \quad s_{m}(x)=\sum_{k=1}^{m} f_{k}(x).$$

La$s_{m}$ forma de una nueva secuencia de funciones en$A.$ El par de secuencias

$$\left(\left\{f_{m}\right\},\left\{s_{m}\right\}\right)$$

se llama la serie (infinita) con término general$f_{m} ; s_{m}$ se llama su$m$ th suma parcial. La serie suele ser denotada por símbolos como$\sum f_{m}, \sum f_{m}(x),$ etc.

Definición 2

$A$Se dice que la serie$\sum f_{m}$ en converge (puntual o uniformemente) a una función$f$ en un conjunto$B \subseteq A$ si la secuencia$\left\{s_{m}\right\}$ de sus sumas parciales también lo hace.

Luego llamamos a$f$ la suma de la serie y escribimos

$$f(x)=\sum_{k=1}^{\infty} f_{k}(x) \text { or } f=\sum_{m=1}^{\infty} f_{m}=\lim s_{m}$$

(puntual o uniformemente) en$B$.

Tenga en cuenta que las series de constantes,$\sum c_{m},$ pueden tratarse como series de funciones constantes$f_{m},$ con$f_{m}(x)=c_{m}$ for$x \in A.$

Si el espacio de rango es$E^{1}$ o también$E^{*},$ consideramos límites infinitos,

$$\lim _{m \rightarrow \infty} f_{m}(x)=\pm \infty.$$

Sin embargo, una serie para la que

$$\sum_{m=1}^{\infty} f_{m}=\lim s_{m}$$

es infinito para algunos$x$ se considera divergente (es decir, no convergente) en eso$x$.

III. Dado que la convergencia de las series se reduce a la de las secuencias, primero$\left\{s_{m}\right\},$ consideraremos secuencias. La siguiente es una prueba simple y útil para la convergencia uniforme de secuencias$f_{m} : A \rightarrow\left(T, \rho^{\prime}\right).$

Teorema$\PageIndex{1}$

Dada una secuencia de funciones$f_{m} : A \rightarrow\left(T, \rho^{\prime}\right),$ let$B \subseteq A$ y

$$Q_{m}=\sup _{x \in B} \rho^{\prime}\left(f_{m}(x), f(x)\right).$$

Después$f_{m} \rightarrow f(\text {uniformly on } B)$ iff$Q_{m} \rightarrow 0$.

Prueba

Si$Q_{m} \rightarrow 0,$ entonces por definición

$$(\forall \varepsilon>0)(\exists k)(\forall m>k) \quad Q_{m}<\varepsilon.$$

Sin embargo,$Q_{m}$ es un límite superior de todas las distancias$\rho^{\prime}\left(f_{m}(x), f(x)\right), x \in B.$ Por lo tanto (2) sigue.

Por el contrario, si

$$(\forall x \in B) \quad \rho^{\prime}\left(f_{m}(x), f(x)\right)<\varepsilon,$$

entonces

$$\varepsilon \geq \sup _{x \in B} \rho^{\prime}\left(f_{m}(x), f(x)\right),$$

es decir,$Q_{m} \leq \varepsilon.$ Así (2) implica

$$(\forall \varepsilon>0)(\exists k)(\forall m>k) \quad Q_{m} \leq \varepsilon$$

y$Q_{m} \rightarrow 0.$$\square$

Ejemplos

(a) Tenemos

$$\lim _{n \rightarrow \infty} x^{n}=0 \text { if }|x|<1 \text { and } \lim _{n \rightarrow \infty} x^{n}=1 \text { if } x=1.$$

Por lo tanto, establecer$f_{n}(x)=x^{n},$ considerar$B=[0,1]$ y$C=[0,1)$.

Tenemos$f_{n} \rightarrow 0$ (puntualmente) una$C$ y otra vez$f_{n} \rightarrow f(\text { pointwise })$$B,$ con$f(x)=0$ para$x \in C$ y$f(1)=1.$ Sin embargo, el límite no es uniforme en y$C,$ mucho menos en$B .$ Indeed,

$$Q_{n}=\sup _{x \in C}\left|f_{n}(x)-f(x)\right|=1 \text { for each } n.$$

Así$Q_{n}$ no tiende a$0,$ y la convergencia uniforme falla por el Teorema 1.

b) En el Ejemplo (a), vamos$D=[0, a], 0<a<1 .$ Luego$f_{n} \rightarrow f$ (uniformemente)$D$ porque, en este caso,

$$Q_{n}=\sup _{x \in D}\left|f_{n}(x)-f(x)\right|=\sup _{x \in D}\left|x^{n}-0\right|=a^{n} \rightarrow 0.$$

c) Dejar

$$f_{n}(x)=x^{2}+\frac{\sin n x}{n}, \quad x \in E^{1}.$$

Para un fijo$x$,

$$\lim _{n \rightarrow \infty} f_{n}(x)=x^{2} \quad \text { since }\left|\frac{\sin n x}{n}\right| \leq \frac{1}{n} \rightarrow 0.$$

Por lo tanto, configurando$f(x)=x^{2},$ tenemos$f_{n} \rightarrow f$ (puntualmente) en$E^{1}.$ También,

$$\left|f_{n}(x)-f(x)\right|=\left|\frac{\sin n x}{n}\right| \leq \frac{1}{n}.$$

Así$(\forall n) Q_{n} \leq \frac{1}{n} \rightarrow 0.$ Por Teorema 1, el límite es uniforme en todos$E^{1}.$

Teorema$\PageIndex{2}$

Let$f_{m} : A \rightarrow\left(T, \rho^{\prime}\right)$ be a sequence of functions on$A \subseteq(S, \rho).$ If$f_{m} \rightarrow f\left(\text {uniformly } \text { on a set } B \subseteq A, \text { and if the } f_{m} \text { are relatively (or uniformly) }\right.$ continuous on$B$, entonces la función limit$f$ tiene la misma propiedad.

Prueba

Fijar$\varepsilon>0.$ Como$f_{m} \rightarrow f$ (uniformemente) en$B,$ hay un$k$ tal que

$$(\forall x \in B)(\forall m \geq k) \quad \rho^{\prime}\left(f_{m}(x), f(x)\right)<\frac{\varepsilon}{4}.$$

Toma cualquiera$f_{m}$ con$m>k,$ y toma cualquier$p \in B.$ Por continuidad, hay$\delta>0,$ con

$$\left(\forall x \in B \cap G_{p}(\delta)\right) \quad \rho^{\prime}\left(f_{m}(x), f_{m}(p)\right)<\frac{\varepsilon}{4}.$$

Además,$x=p$ el ajuste en (3) da$\rho^{\prime}\left(f_{m}(p), f(p)\right)<\frac{\varepsilon}{4}.$ Combinando esto con (4) y (3), obtenemos$\left(\forall x \in B \cap G_{p}(\delta)\right)$

$$\begin{aligned} \rho^{\prime}(f(x), f(p)) & \leq \rho^{\prime}\left(f(x), f_{m}(x)\right)+\rho^{\prime}\left(f_{m}(x), f_{m}(p)\right)+\rho^{\prime}\left(f_{m}(p), f(p)\right) \\ &<\frac{\varepsilon}{4}+\frac{\varepsilon}{4}+\frac{\varepsilon}{4}<\varepsilon. \end{aligned}$$

Así vemos que para$p \in B$,

$$(\forall \varepsilon>0)(\exists \delta>0)\left(\forall x \in B \cap G_{p}(\delta)\right) \quad \rho^{\prime}(f(x), f(p))<\varepsilon,$$

es decir,$f$ es relativamente continuo$p(\text { over } B),$ como se reivindica.

De manera muy similar, el lector demostrará que$f$ es uniformemente continuo si el$f_{n}$ son. $\square$

Nota 2. Una prueba similar también muestra que si$f_{m} \rightarrow f$ (uniformemente) en$B,$ y si$f_{m}$ son relativamente continuos en un punto$p \in B,$, también es$f.$

Teorema$\PageIndex{3}$ (Cauchy criterion for uniform convergence)

$\left(T, \rho^{\prime}\right)$Déjese completar. Luego una secuencia$f_{m} : A \rightarrow T, A \subseteq(S, \rho),$ converge uniformemente en un conjunto$B \subseteq A$ iff

$$(\forall \varepsilon>0)(\exists k)(\forall x \in B)(\forall m, n>k) \quad \rho^{\prime}\left(f_{m}(x), f_{n}(x)\right)<\varepsilon.$$

Prueba

Si (5) se mantiene entonces, para cualquier (fijo)$x \in B,\left\{f_{m}(x)\right\}$ es una secuencia Cauchy de puntos en$T,$ así por la supuesta integridad de la$T,$ misma tiene un límite$f(x).$ Así podemos definir una función$f : B \rightarrow T$ con

$$f(x)=\lim _{m \rightarrow \infty} f_{m}(x) \text { on } B.$$

Para mostrar eso$f_{m} \rightarrow f$ (uniformemente) en$B,$ usamos (5) nuevamente. Manteniendo$\varepsilon, k,$$x,$ y arreglado$m$ temporalmente, dejamos que$n \rightarrow \infty$ así$f_{n}(x) \rightarrow f(x)$. Entonces por el Teorema 4 del Capítulo 3, §15,$\rho^{\prime}\left(f_{m}(x), f_{n}(x)\right) \rightarrow p^{\prime}\left(f(x), f_{m}(x)\right).$ Pasando al l imit en (5), obtenemos así (2).

La prueba fácil de lo contrario se deja al lector (cf. Capítulo 3, §17, Teorema 1). $\square$

IV. Si el espacio de rango$\left(T, \rho^{\prime}\right)$ es$E^{1}, C,$ o$E^{n}$ (*u otro espacio normado), se aplica la métrica estándar. En particular, para series tenemos

$$\begin{aligned} \rho^{\prime}\left(s_{m}(x), s_{n}(x)\right) &=\left|s_{n}(x)-s_{m}(x)\right| \\ &=\left|\sum_{k=1}^{n} f_{k}(x)-\sum_{k=1}^{m} f_{k}(x)\right| \\ &=\left|\sum_{k=m+1}^{n} f_{k}(x)\right| \quad \text { for } m<n. \end{aligned}$$

Sustituyendo aquí$m$ por$m-1$ y aplicando el Teorema 3 a la secuencia$\left\{s_{m}\right\},$ obtenemos el siguiente resultado.

Teorema$\PageIndex{3'}$

Deje que el espacio de rango$f_{m}, m=1,2, \ldots,$ sea$E^{1}, C,$ o$E^{n}$ (*u otro espacio normado completo). Luego la serie$\sum f_{m}$ converge uniformemente en$B$ iff

$$(\forall \varepsilon>0)(\exists q)(\forall n>m>q)(\forall x \in B) \quad\left|\sum_{k=m}^{n} f_{k}(x)\right|<\varepsilon.$$

De igual manera, vía$\left\{s_{m}\right\},$ Teorema 2 se extiende a series de funciones. (Observe que los$s_{m}$ son continuos si los$f_{m}$ son.) ¡Formular!

V. Si$\sum_{m=1}^{\infty} f_{m}$ existe en$B,$ uno se pueden “agrupar” arbitrariamente los términos, es decir, sustituir cada varios términos consecutivos por su suma. Esta propiedad se afirma con mayor precisión en el siguiente teorema.

Teorema$\PageIndex{4}$

Let

$$f=\sum_{m=1}^{\infty} f_{m}(\text {pointwise}) \text { on } B.$$

Dejar$m_{1}<m_{2}<\cdots<m_{n}<\cdots$ entrar$N,$ y definir

$$g_{1}=s_{m_{1}}, \quad g_{n}=s_{m_{n}}-s_{m_{n-1}}, \quad n>1.$$

(Así$g_{n+1}=f_{m_{n}+1}+\cdots+f_{m_{n+1}}.)$ Entonces

$$f=\sum_{n=1}^{\infty} g_{n}(\text {pointwise}) \text { on } B \text { as well; }$$

de manera similar para una convergencia uniforme.

Prueba

Let

$$s_{n}^{\prime}=\sum_{k=1}^{n} g_{k}, \quad n=1,2, \ldots$$

Entonces$s_{n}^{\prime}=s_{m_{n}}$ (¡verifica!) , así$\left\{s_{n}^{\prime}\right\}$ es una subsecuencia,$\left\{s_{m_{n}}\right\},$ de$\left\{s_{m}\right\} .$ Por lo tanto$s_{m} \rightarrow f(\text { pointwise })$ implica$s_{n}^{\prime} \rightarrow f$ (puntual); es decir,

$$f=\sum_{n=1}^{\infty} g_{n} \text { (pointwise). }$$

Para una convergencia uniforme, véase el Problema 13 (cf. también Problema 19). $\square$