4.10.E: Problemas en arcos, curvas y conjuntos conectados

Ejercicio\(\PageIndex{1}\)

Discutir ejemplos\((a)\) y\((b)\) en detalle. En particular, verificar que\(L[\overline{a}, \overline{b}]\) sea un arco simple. (Mostrar que el mapa\(f\) en Ejemplo\((1)\) de §8 es uno a uno.)

Ejercicio\(\PageIndex{2}\)

Mostrar que cada polígono
\ [
K=\ bigcup_ {i=0} ^ {m-1} L\ left [\ overline {p} _ {i},\ overline {p} _ {i+1}\ right]
\] se
puede reducir a una simple\(P(P \subseteq K)\) unión de polígonos\(p_{0}\) y\(p_{m}\).
[Pista: Primero, mostrar que si dos segmentos de línea tienen dos o más puntos en común, se encuentran en una línea. Luego use la inducción en el número\(m\) de segmentos en\(K .\) Dibujar un diagrama\(E^{2}\) como guía.

Ejercicio\(\PageIndex{3}\)

Demostrar el teorema 1 de §9 para un arco conectado\(B \subseteq(S, \rho)\).
[Pista: Proceder como en los Problemas 4 y 5 en §9, reemplazando\(g\) por algún mapa continuo\(f :[a, b] \longrightarrow B .]\)

Ejercicio\(\PageIndex{4}\)

Definir\(f\) como en Ejemplo\((\mathrm{f})\) de §1. Dejar
\ [
G_ {a b} =\ izquierda\ {(x, y)\ en E^ {2} | a\ leq x\ leq b, y=f (x)\ derecha\}.
\]
\(\left(G_{a b} \text { is the graph of } f \text { over }[a, b] .\right)\) Demostrar lo siguiente:
(i) Si\(a>0,\) entonces\(G_{a b}\) es un simple arco en\(E^{2}\).
(ii) Si ni siquiera\(a \leq 0 \leq b, G_{a b}\) está conectado en sentido del arco.
[Consejos: (i) Demostrar que\(f\) es continuo al\([a, b], a>0,\) usar la continuidad de la función
sinusoidal. Luego use el Problema 16 en §2, restringiendo\(f\) a\([a, b] .\)
\(\left.\text { (ii) For a contradiction, assume } \overline{0} \text { is joined by a simple arc to some } \overline{p} \in G_{a b} .\right]\)

Ejercicio\(\PageIndex{5}\)

Demostrar que cada arco es una imagen continua de\([0,1]\).
[Pista: Primero, demuestre que cualquiera\([a, b] \subseteq E^{1}\) es una imagen así. Luego use un mapeo compuesto adecuado.

Ejercicio\(\PageIndex{*6}\)

Demostrar que una función\(f : B \rightarrow E^{1}\) en un conjunto compacto\(B \subseteq E^{1}\) debe ser continua si su gráfica,

\ [\ left\ {(x, y)\ in E^ {2} | x\ in B, y=f (x)\ right\},
\]
es un conjunto compacto (por ejemplo, un arco) en\(E^{2}\).
[Pista: Proceder como en la prueba del Teorema 3 del §8.]

Ejercicio\(\PageIndex{*7}\)

Demostrar que\(A\) está conectado si no hay mapa continuo
\ [
f: A\ underset {\ text {onto}} {\ longrightarrow}\ {0,1\}.
\]
[Pista: Si existe tal mapa, el Teorema 1 muestra que\(A\) está desconectado. (¿Por qué?)
Por el contrario, si\(A=P \cup Q(P, Q \text { as in Definition } 3),\) se\(f=0\) pone\(P\) y\(f=1\) se pone\(Q\). Utilice nuevamente el Teorema 1 para mostrar que\(f\) así definido es continuo en\(A\).]

Ejercicio\(\PageIndex{*8}\)

Let\(B \subseteq A \subseteq(S, \rho) .\) Prove que\(B\) está conectado en\(S\) iff está conectado en\((A, \rho) .\)

Ejercicio\(\PageIndex{*9}\)

Supongamos que no hay dos de\(A_{i}(i \in I)\) los conjuntos disjuntos. Demostrar que si todos\(A_{i}\) están conectados, así es\(A=\bigcup_{i \in I} A_{i}\).
[Pista: Si no,\(A=P \cup Q(P, Q \text { as in Definition } 3) .\) let Let\(P_{i}=A_{i} \cap P\) y\(Q_{i}=A_{i} \cap Q,\) así\(A_{i}=P_{i} \cup Q_{i}, i \in I .\)
Al menos uno de los\(P_{i}, Q_{i}\) debe ser\(\emptyset \text { (why?); say, } Q_{j}=\emptyset \text { for some } j \in I . \text { Then }\)
\((\forall i) Q_{i}=\emptyset,\) para\(Q_{i} \neq \emptyset\)\(P_{i}=\emptyset,\) implica de donde
\ [
A_ {i} =Q_ {i}\ subseteq Q\ Longrightarrow A_ {i}\ cap A_ {j} =\ conjunto vacío\ izquierda (\ texto {desde} A_ {j}\ subseteq P\ derecha),
\]
\(\left.\text { contrary to our assumption. Deduce that } Q=\bigcup_{i} Q_{i}=\emptyset . \text { (Contradiction!) }\right]\)

Ejercicio\(\PageIndex{*10}\)

Demostrar que si\(\left\{A_{n}\right\}\) es una secuencia finita o infinita de conjuntos conectados y si
\ [
(\ forall n)\ quad A_ {n}\ cap A_ {n+1}\ neq\ emptyset,
\]
entonces
\ [
A=\ bigcup_ {n} A_ {n}
\]
está conectado.
[Pista: Let\(B_{n}=\bigcup_{k=1}^{n} A_{k} .\) Use el Problema 9 y la inducción para demostrar que\(B_{n}\) están conectados y no hay dos disjuntos. Verifíquelo\(A= \bigcup_{n} B_{n}\) y aplique el Problema 9 a\(\left.\text { the sets } B_{n} .\right]\)

Ejercicio\(\PageIndex{*11}\)

Dado\(p \in A, A \subseteq(S, \rho),\) let\(A_{p}\) denotar la unión de todos los subconjuntos conectados\(\text { of } A \text { that contain } p \text { (one of them is }\{p\}) ; A_{p}\) se llama el\(p\) -componente de\(A .\) Prove que
\(\left.\text { (i) } A_{p} \text { is connected (use Problem } 9\right)\);
(ii) no\(A_{p}\) está contenido en ningún otro conjunto conectado\(B \subseteq A\) con\(p \in B\);
(iii) \((\forall p, q \in A) A_{p} \cap A_{q}=\emptyset\)iff\(A_{p} \neq A_{q} ;\) y
iv)\(A=\cup\left\{A_{p} | p \in A\right\}\).
[Pista para (iii): Si\(A_{p} \cap A_{q} \neq \emptyset\) y\(A_{p} \neq A_{q},\) luego\(B=A_{p} \cup A_{q}\) es un conjunto conectado\(\left.\text { larger than } A_{p}, \text { contrary to (ii). }\right]\)

Ejercicio\(\PageIndex{*12}\)

Demostrar que si\(A\) está conectado, así es su cierre (Capítulo 3, §16 Definición 1), y así lo es cualquier conjunto\(D\) tal que\(A \subseteq D \subseteq \overline{A}\).
[Consejos: Primer espectáculo que\(D\) es el “menos” set cerrado en\((D, \rho)\) que contiene\(A\)\(\text { (Problem } 11 \text { in Chapter } 3, §16 \text { and Theorem } 4 \text { of Chapter } 3, §12) .\) Next, buscando una contradicción, vamos a\(D=P \cup Q, P \cap Q=\emptyset, P, Q \neq \emptyset,\) clopen en\(D .\) Entonces
\ [
A =( A\ cap P)\ cup (A\ cap Q)
\]
demuestra \(A\)desconectado, por si\(A \cap P=\emptyset,\) decir, entonces\(A \subseteq Q \subset D\) (¿por qué?) , contrario a\(\text { the minimality of } D ; \text { similarly for } A \cap Q=\emptyset .]\)

Ejercicio\(\PageIndex{*13}\)

Se dice que un conjunto está totalmente desconectado si sus únicos subconjuntos conectados son conjuntos de un punto y\(\emptyset\).
Demostrar que\(R\) (los racionales) tiene esta propiedad en\(E^{1}\).

Ejercicio\(\PageIndex{*14}\)

Demostrar que cualquier espacio discreto está totalmente desconectado (ver Problema 13).

Ejercicio\(\PageIndex{*15}\)

De los Problemas 11 y 12 deducir que cada componente\(A_{p}\) está cerrado\(\left(A_{p}=\overline{A_{p}}\right) .\)

Ejercicio\(\PageIndex{*16}\)

Demostrar que un conjunto\(A \subseteq(S, \rho)\) está desconectado iff\(A=P \cup Q,\) con\(P, Q \neq \emptyset,\) y cada uno de ellos\(P, Q\) disjuntos del cierre del otro:\(P \cap \overline{Q}=\emptyset=\overline{P} \cap Q .\)
[Pista: Por Problema 12, el cierre de\(P\) in\((A, \rho)\) (es decir, el conjunto menos cerrado en\((A, \rho)\) que contiene\(P\)) es
\ [
A\ cap\ overline {P} =( P\ cup Q)\ cap\ overline {P} =( P\ cap\ overline {P})\ cup (Q\ cap\ overline {P}) =P\ cup\ EmptySet=P,
\]
así que\(P\) se cierra de manera\(A ;\) similar para\(Q .\) Demostrar lo contrario de la misma manera.

Ejercicio\(\PageIndex{*17}\)

Dé un ejemplo de un conjunto conectado que no esté conectado en sentido del arco.
[Pista: El set\(G_{0 b}(a=0)\) en Problema 4 es el cierre de\(G_{0 b}-\{\overline{0}\}\) (verificar!) , y\(\left.\text { the latter is connected (why?); hence so is } G_{0 b} \text { by Problem } 12 .\right]\)