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# 4.10.E: Problemas en arcos, curvas y conjuntos conectados

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## Ejercicio$$\PageIndex{1}$$

Discutir ejemplos$$(a)$$ y$$(b)$$ en detalle. En particular, verificar que$$L[\overline{a}, \overline{b}]$$ sea un arco simple. (Mostrar que el mapa$$f$$ en Ejemplo$$(1)$$ de §8 es uno a uno.)

## Ejercicio$$\PageIndex{2}$$

\ [
K=\ bigcup_ {i=0} ^ {m-1} L\ left [\ overline {p} _ {i},\ overline {p} _ {i+1}\ right]
\] se
puede reducir a una simple$$P(P \subseteq K)$$ unión de polígonos$$p_{0}$$ y$$p_{m}$$.
[Pista: Primero, mostrar que si dos segmentos de línea tienen dos o más puntos en común, se encuentran en una línea. Luego use la inducción en el número$$m$$ de segmentos en$$K .$$ Dibujar un diagrama$$E^{2}$$ como guía.

## Ejercicio$$\PageIndex{3}$$

Demostrar el teorema 1 de §9 para un arco conectado$$B \subseteq(S, \rho)$$.
[Pista: Proceder como en los Problemas 4 y 5 en §9, reemplazando$$g$$ por algún mapa continuo$$f :[a, b] \longrightarrow B .]$$

## Ejercicio$$\PageIndex{4}$$

Definir$$f$$ como en Ejemplo$$(\mathrm{f})$$ de §1. Dejar
\ [
G_ {a b} =\ izquierda\ {(x, y)\ en E^ {2} | a\ leq x\ leq b, y=f (x)\ derecha\}.
\]
$$\left(G_{a b} \text { is the graph of } f \text { over }[a, b] .\right)$$ Demostrar lo siguiente:
(i) Si$$a>0,$$ entonces$$G_{a b}$$ es un simple arco en$$E^{2}$$.
(ii) Si ni siquiera$$a \leq 0 \leq b, G_{a b}$$ está conectado en sentido del arco.
[Consejos: (i) Demostrar que$$f$$ es continuo al$$[a, b], a>0,$$ usar la continuidad de la función
sinusoidal. Luego use el Problema 16 en §2, restringiendo$$f$$ a$$[a, b] .$$
$$\left.\text { (ii) For a contradiction, assume } \overline{0} \text { is joined by a simple arc to some } \overline{p} \in G_{a b} .\right]$$

## Ejercicio$$\PageIndex{5}$$

Demostrar que cada arco es una imagen continua de$$[0,1]$$.
[Pista: Primero, demuestre que cualquiera$$[a, b] \subseteq E^{1}$$ es una imagen así. Luego use un mapeo compuesto adecuado.

## Ejercicio$$\PageIndex{*6}$$

Demostrar que una función$$f : B \rightarrow E^{1}$$ en un conjunto compacto$$B \subseteq E^{1}$$ debe ser continua si su gráfica,

\ [\ left\ {(x, y)\ in E^ {2} | x\ in B, y=f (x)\ right\},
\]
es un conjunto compacto (por ejemplo, un arco) en$$E^{2}$$.
[Pista: Proceder como en la prueba del Teorema 3 del §8.]

## Ejercicio$$\PageIndex{*7}$$

Demostrar que$$A$$ está conectado si no hay mapa continuo
\ [
f: A\ underset {\ text {onto}} {\ longrightarrow}\ {0,1\}.
\]
[Pista: Si existe tal mapa, el Teorema 1 muestra que$$A$$ está desconectado. (¿Por qué?)
Por el contrario, si$$A=P \cup Q(P, Q \text { as in Definition } 3),$$ se$$f=0$$ pone$$P$$ y$$f=1$$ se pone$$Q$$. Utilice nuevamente el Teorema 1 para mostrar que$$f$$ así definido es continuo en$$A$$.]

## Ejercicio$$\PageIndex{*8}$$

Let$$B \subseteq A \subseteq(S, \rho) .$$ Prove que$$B$$ está conectado en$$S$$ iff está conectado en$$(A, \rho) .$$

## Ejercicio$$\PageIndex{*9}$$

Supongamos que no hay dos de$$A_{i}(i \in I)$$ los conjuntos disjuntos. Demostrar que si todos$$A_{i}$$ están conectados, así es$$A=\bigcup_{i \in I} A_{i}$$.
[Pista: Si no,$$A=P \cup Q(P, Q \text { as in Definition } 3) .$$ let Let$$P_{i}=A_{i} \cap P$$ y$$Q_{i}=A_{i} \cap Q,$$ así$$A_{i}=P_{i} \cup Q_{i}, i \in I .$$
Al menos uno de los$$P_{i}, Q_{i}$$ debe ser$$\emptyset \text { (why?); say, } Q_{j}=\emptyset \text { for some } j \in I . \text { Then }$$
$$(\forall i) Q_{i}=\emptyset,$$ para$$Q_{i} \neq \emptyset$$$$P_{i}=\emptyset,$$ implica de donde
\ [
A_ {i} =Q_ {i}\ subseteq Q\ Longrightarrow A_ {i}\ cap A_ {j} =\ conjunto vacío\ izquierda (\ texto {desde} A_ {j}\ subseteq P\ derecha),
\]
$$\left.\text { contrary to our assumption. Deduce that } Q=\bigcup_{i} Q_{i}=\emptyset . \text { (Contradiction!) }\right]$$

## Ejercicio$$\PageIndex{*10}$$

Demostrar que si$$\left\{A_{n}\right\}$$ es una secuencia finita o infinita de conjuntos conectados y si
\ [
(\ forall n)\ quad A_ {n}\ cap A_ {n+1}\ neq\ emptyset,
\]
entonces
\ [
A=\ bigcup_ {n} A_ {n}
\]
[Pista: Let$$B_{n}=\bigcup_{k=1}^{n} A_{k} .$$ Use el Problema 9 y la inducción para demostrar que$$B_{n}$$ están conectados y no hay dos disjuntos. Verifíquelo$$A= \bigcup_{n} B_{n}$$ y aplique el Problema 9 a$$\left.\text { the sets } B_{n} .\right]$$

## Ejercicio$$\PageIndex{*11}$$

Dado$$p \in A, A \subseteq(S, \rho),$$ let$$A_{p}$$ denotar la unión de todos los subconjuntos conectados$$\text { of } A \text { that contain } p \text { (one of them is }\{p\}) ; A_{p}$$ se llama el$$p$$ -componente de$$A .$$ Prove que
$$\left.\text { (i) } A_{p} \text { is connected (use Problem } 9\right)$$;
(ii) no$$A_{p}$$ está contenido en ningún otro conjunto conectado$$B \subseteq A$$ con$$p \in B$$;
(iii) $$(\forall p, q \in A) A_{p} \cap A_{q}=\emptyset$$iff$$A_{p} \neq A_{q} ;$$ y
iv)$$A=\cup\left\{A_{p} | p \in A\right\}$$.
[Pista para (iii): Si$$A_{p} \cap A_{q} \neq \emptyset$$ y$$A_{p} \neq A_{q},$$ luego$$B=A_{p} \cup A_{q}$$ es un conjunto conectado$$\left.\text { larger than } A_{p}, \text { contrary to (ii). }\right]$$

## Ejercicio$$\PageIndex{*12}$$

Demostrar que si$$A$$ está conectado, así es su cierre (Capítulo 3, §16 Definición 1), y así lo es cualquier conjunto$$D$$ tal que$$A \subseteq D \subseteq \overline{A}$$.
[Consejos: Primer espectáculo que$$D$$ es el “menos” set cerrado en$$(D, \rho)$$ que contiene$$A$$$$\text { (Problem } 11 \text { in Chapter } 3, §16 \text { and Theorem } 4 \text { of Chapter } 3, §12) .$$ Next, buscando una contradicción, vamos a$$D=P \cup Q, P \cap Q=\emptyset, P, Q \neq \emptyset,$$ clopen en$$D .$$ Entonces
\ [
A =( A\ cap P)\ cup (A\ cap Q)
\]
demuestra $$A$$desconectado, por si$$A \cap P=\emptyset,$$ decir, entonces$$A \subseteq Q \subset D$$ (¿por qué?) , contrario a$$\text { the minimality of } D ; \text { similarly for } A \cap Q=\emptyset .]$$

## Ejercicio$$\PageIndex{*13}$$

Se dice que un conjunto está totalmente desconectado si sus únicos subconjuntos conectados son conjuntos de un punto y$$\emptyset$$.
Demostrar que$$R$$ (los racionales) tiene esta propiedad en$$E^{1}$$.

## Ejercicio$$\PageIndex{*14}$$

Demostrar que cualquier espacio discreto está totalmente desconectado (ver Problema 13).

## Ejercicio$$\PageIndex{*15}$$

De los Problemas 11 y 12 deducir que cada componente$$A_{p}$$ está cerrado$$\left(A_{p}=\overline{A_{p}}\right) .$$

## Ejercicio$$\PageIndex{*16}$$

Demostrar que un conjunto$$A \subseteq(S, \rho)$$ está desconectado iff$$A=P \cup Q,$$ con$$P, Q \neq \emptyset,$$ y cada uno de ellos$$P, Q$$ disjuntos del cierre del otro:$$P \cap \overline{Q}=\emptyset=\overline{P} \cap Q .$$
[Pista: Por Problema 12, el cierre de$$P$$ in$$(A, \rho)$$ (es decir, el conjunto menos cerrado en$$(A, \rho)$$ que contiene$$P$$) es
\ [
A\ cap\ overline {P} =( P\ cup Q)\ cap\ overline {P} =( P\ cap\ overline {P})\ cup (Q\ cap\ overline {P}) =P\ cup\ EmptySet=P,
\]
así que$$P$$ se cierra de manera$$A ;$$ similar para$$Q .$$ Demostrar lo contrario de la misma manera.

## Ejercicio$$\PageIndex{*17}$$

Dé un ejemplo de un conjunto conectado que no esté conectado en sentido del arco.
[Pista: El set$$G_{0 b}(a=0)$$ en Problema 4 es el cierre de$$G_{0 b}-\{\overline{0}\}$$ (verificar!) , y$$\left.\text { the latter is connected (why?); hence so is } G_{0 b} \text { by Problem } 12 .\right]$$

4.10.E: Problemas en arcos, curvas y conjuntos conectados is shared under a CC BY 1.0 license and was authored, remixed, and/or curated by LibreTexts.