1.8: Funciones complejas como asignaciones
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Una función compleja\(w = f(z)\) es difícil de graficar porque toma 4 dimensiones: 2 para\(z\) y 2 para\(w\). Entonces, para visualizarlos pensaremos en funciones complejas como mapeos. Es decir, pensaremos en tomar un punto en el\(z\) plano complejo y mapearlo (enviarlo) a un punto en el\(w\) plano complejo.\(w = f(z)\)
Utilizaremos los siguientes términos y símbolos para discutir las asignaciones.
- Una función también se\(w = f(z)\) llamará mapeo de\(z\) a\(w\).
- Alternativamente escribiremos\(z \mapsto w\) o\(z \mapsto f(z)\). Esto se lee como "\(z\)mapas a\(w\)”.
- Diremos que "\(w\)es la imagen de\(z\) debajo del mapeo” o más simplemente "\(w\)es la imagen de\(z\)”.
- Si tenemos un conjunto de puntos en el\(z\) -plano hablaremos de la imagen de ese conjunto bajo el mapeo.
Por ejemplo, bajo el mapeo\(z \mapsto iz\) la imagen del\(z\) eje imaginario es el\(w\) eje real.
La imagen del eje imaginario bajo\(z \mapsto iz\)
El mapeo\(w = z^2\). Visualizamos esto poniendo el\(z\) -plano a la izquierda y el\(w\) -plano a la derecha. Luego dibujamos diversas curvas y regiones en el\(z\) plano -y la imagen correspondiente debajo\(z^2\) en el\(w\) plano -plano.
En la primera figura mostramos que los rayos del origen son mapeados por\(z^2\) a los rayos del origen. Vemos que
- El rayo\(L_2\) en\(\pi /4\) radianes se mapea al rayo\(f(L_2)\) en\(\pi /2\) radianes.
- Los rayos\(L_2\) y ambos\(L_6\) están mapeados al mismo rayo. Esto es cierto para cada par de rayos diametralmente opuestos.
- Un rayo en ángulo\(\theta\) se mapea al rayo en ángulo\(2 \theta\).
\(f(z) = z^2\)mapea los rayos desde el origen a los rayos del origen.
La siguiente figura da otra vista del mapeo. Aquí vemos franjas verticales en el primer cuadrante que se mapean a franjas parabólicas que viven en el primer y segundo cuadrantes.
\(z^2 = (x^2 - y^2) + i2xy\)mapea líneas verticales a parábolas orientadas a la izquierda.
La siguiente cifra es similar a la anterior, salvo que en esta figura observamos franjas verticales tanto en el primer como en el segundo cuadrantes. Vemos que mapean a franjas parabólicas que viven en los cuatro cuadrantes.
\(f(z) = z^2\)mapea los dos primeros cuadrantes a todo el plano.
En la siguiente figura se muestra el mapeo de franjas en el primer y cuarto cuadrantes. El mapa de la imagen es idéntico a la figura anterior. Esto se debe a que el cuarto cuadrante es menos el segundo cuadrante, pero\(z^2 = (-z)^2\)
Las franjas verticales en el cuadrante 4 se mapean de manera idéntica a las franjas verticales en el cuadrante 2.
Vista simplificada del primer cuadrante mapeado a los dos primeros cuadrantes.
Vista simplificada de los dos primeros cuadrantes mapeados a todo el plano.
El mapeo\(w = e^z\). Aquí presentamos una serie de gráficas que muestran cómo se mapea la función exponencial\(z\) a\(w\).
Observe que las líneas verticales se mapean a círculos y las líneas horizontales a los rayos desde el origen.
Las siguientes cuatro figuras muestran esencialmente lo mismo: la función exponencial mapea franjas horizontales a sectores circulares. Cualquier franja horizontal de ancho\(2\pi\) se mapea a todo el plano menos el origen,
Debido a que el plano menos el origen aparece frecuentemente le damos un nombre:
El plano perforado es el plano complejo menos el origen. En símbolos podemos escribirlo como\(C\) - {0} o\(C\)/{0}.
La tira horizontal\(0 \le y < 2\pi\) se mapea al plano perforado
La tira horizontal\(-\pi < y \le \pi\) se mapea al plano perforado
Vista simplificada que muestra\(e^z\) mapas de la franja horizontal\(0 \le y < 2\pi\) al plano perforado.
Vista simplificada que muestra\(e^z\) mapas de la franja horizontal\(-\pi < y \le \pi\) al plano perforado.