1.14: Representando la Multiplicación Compleja como Multiplicación Matricial

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Considere dos números complejos\(z_1 = a + bi\)\(z_2 = c + di\) y su producto

\[z_1 z_2 = (a + bi) (c + id) = (ac - bd) + i(bc + ad) =: \omega \label{eq3}\]

Ahora definamos dos matrices

\[Z_1 = \begin{bmatrix}a & -b \\ b & a \end{bmatrix}\]

\[Z_2 = \begin{bmatrix} c & -d \\ d & c \end{bmatrix}\]

Tenga en cuenta que estas matrices almacenan la misma información que\(z_1\) y\(z_2\), respectivamente. Vamos a calcular su producto de matriz

\[Z_1 Z_2 = \begin{bmatrix} a & -b \\ b & a \end{bmatrix} \begin{bmatrix} c & -d \\ d & c \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} ac - bd & -(bc + ad) \\ bc + ad & ac - bd \end{bmatrix} := W.\]

Comparando\(W\) justo arriba con\(w\) en la Ecuación\ ref {eq3}, vemos que efectivamente\(W\) es la matriz correspondiente al número complejo\(w = z_1 z_2\). Así, podemos representar cualquier número complejo de\(z\) manera equivalente por la matriz

\[Z = \begin{bmatrix} \text{Re} z & -\text{Im} z \\ \text{Im} z & \text{Re} z \end{bmatrix}\]

y la multiplicación compleja entonces simplemente se convierte en multiplicación matricial. Además, tenga en cuenta que podemos escribir

\[Z = \text{Re} z \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} + \text{Im} z \begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix},\]

es decir, la unidad imaginaria\(i\) corresponde a la matriz\(\begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}\) y\(i^2 = -1\) se convierte

\[\begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} = -\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}.\]

Forma polar (descomposición)

Redacción\(z = re^{i \theta} = r(\cos \theta + i \sin \theta)\), encontramos

\[ \begin{align*} Z &= r \begin{bmatrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{bmatrix} \\[4pt] &= \begin{bmatrix} r & 0 \\ 0 & r \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{bmatrix} \end{align*}\]

correspondiente a un factor de estiramiento\(r\) multiplicado por una matriz de rotación 2D. En particular, la multiplicación por\(i\) corresponde a la rotación con ángulo\(\theta = \pi /2\) y\(r = 1\).

No vamos a hacer mucho uso de la representación matricial de números complejos, pero más adelante nos ayudará a recordar ciertas fórmulas y hechos.