1.14: Representando la Multiplicación Compleja como Multiplicación Matricial

Considere dos números complejos$z_1 = a + bi$$z_2 = c + di$ y su producto

$$z_1 z_2 = (a + bi) (c + id) = (ac - bd) + i(bc + ad) =: \omega \label{eq3}$$

Ahora definamos dos matrices

$$Z_1 = \begin{bmatrix}a & -b \\ b & a \end{bmatrix}$$

$$Z_2 = \begin{bmatrix} c & -d \\ d & c \end{bmatrix}$$

Tenga en cuenta que estas matrices almacenan la misma información que$z_1$ y$z_2$, respectivamente. Vamos a calcular su producto de matriz

$$Z_1 Z_2 = \begin{bmatrix} a & -b \\ b & a \end{bmatrix} \begin{bmatrix} c & -d \\ d & c \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} ac - bd & -(bc + ad) \\ bc + ad & ac - bd \end{bmatrix} := W.$$

Comparando$W$ justo arriba con$w$ en la Ecuación\ ref {eq3}, vemos que efectivamente$W$ es la matriz correspondiente al número complejo$w = z_1 z_2$. Así, podemos representar cualquier número complejo de$z$ manera equivalente por la matriz

$$Z = \begin{bmatrix} \text{Re} z & -\text{Im} z \\ \text{Im} z & \text{Re} z \end{bmatrix}$$

y la multiplicación compleja entonces simplemente se convierte en multiplicación matricial. Además, tenga en cuenta que podemos escribir

$$Z = \text{Re} z \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} + \text{Im} z \begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix},$$

es decir, la unidad imaginaria$i$ corresponde a la matriz$\begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}$ y$i^2 = -1$ se convierte

$$\begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} = -\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}.$$

Forma polar (descomposición)

Redacción$z = re^{i \theta} = r(\cos \theta + i \sin \theta)$, encontramos

$$\begin{align*} Z &= r \begin{bmatrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{bmatrix} \\[4pt] &= \begin{bmatrix} r & 0 \\ 0 & r \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{bmatrix} \end{align*}$$

correspondiente a un factor de estiramiento$r$ multiplicado por una matriz de rotación 2D. En particular, la multiplicación por$i$ corresponde a la rotación con ángulo$\theta = \pi /2$ y$r = 1$.

No vamos a hacer mucho uso de la representación matricial de números complejos, pero más adelante nos ayudará a recordar ciertas fórmulas y hechos.