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LibreTexts Español

1.14: Representando la Multiplicación Compleja como Multiplicación Matricial

( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\)

Considere dos números complejosz1=a+biz2=c+di y su producto

z1z2=(a+bi)(c+id)=(acbd)+i(bc+ad)=:ω

Ahora definamos dos matrices

Z1=[abba]

Z2=[cddc]

Tenga en cuenta que estas matrices almacenan la misma información quez1 yz2, respectivamente. Vamos a calcular su producto de matriz

Z1Z2=[abba][cddc]=[acbd(bc+ad)bc+adacbd]:=W.

ComparandoW justo arriba conw en la Ecuación\ ref {eq3}, vemos que efectivamenteW es la matriz correspondiente al número complejow=z1z2. Así, podemos representar cualquier número complejo dez manera equivalente por la matriz

Z=[RezImzImzRez]

y la multiplicación compleja entonces simplemente se convierte en multiplicación matricial. Además, tenga en cuenta que podemos escribir

Z=Rez[1001]+Imz[0110],

es decir, la unidad imaginariai corresponde a la matriz[0110] yi2=1 se convierte

[0110][0110]=[1001].

Forma polar (descomposición)

Redacciónz=reiθ=r(cosθ+isinθ), encontramos

Z=r[cosθsinθsinθcosθ]=[r00r][cosθsinθsinθcosθ]

correspondiente a un factor de estiramientor multiplicado por una matriz de rotación 2D. En particular, la multiplicación pori corresponde a la rotación con ánguloθ=π/2 yr=1.

No vamos a hacer mucho uso de la representación matricial de números complejos, pero más adelante nos ayudará a recordar ciertas fórmulas y hechos.


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