1.14: Representando la Multiplicación Compleja como Multiplicación Matricial
( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\)
Considere dos números complejosz1=a+biz2=c+di y su producto
z1z2=(a+bi)(c+id)=(ac−bd)+i(bc+ad)=:ω
Ahora definamos dos matrices
Z1=[a−bba]
Z2=[c−ddc]
Tenga en cuenta que estas matrices almacenan la misma información quez1 yz2, respectivamente. Vamos a calcular su producto de matriz
Z1Z2=[a−bba][c−ddc]=[ac−bd−(bc+ad)bc+adac−bd]:=W.
ComparandoW justo arriba conw en la Ecuación\ ref {eq3}, vemos que efectivamenteW es la matriz correspondiente al número complejow=z1z2. Así, podemos representar cualquier número complejo dez manera equivalente por la matriz
Z=[Rez−ImzImzRez]
y la multiplicación compleja entonces simplemente se convierte en multiplicación matricial. Además, tenga en cuenta que podemos escribir
Z=Rez[1001]+Imz[0−110],
es decir, la unidad imaginariai corresponde a la matriz[0−110] yi2=−1 se convierte
[0−110][0−110]=−[1001].
Forma polar (descomposición)
Redacciónz=reiθ=r(cosθ+isinθ), encontramos
Z=r[cosθ−sinθsinθcosθ]=[r00r][cosθ−sinθsinθcosθ]
correspondiente a un factor de estiramientor multiplicado por una matriz de rotación 2D. En particular, la multiplicación pori corresponde a la rotación con ánguloθ=π/2 yr=1.
No vamos a hacer mucho uso de la representación matricial de números complejos, pero más adelante nos ayudará a recordar ciertas fórmulas y hechos.