2.5: Derivados
( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\)
La definición de la derivada compleja de una función compleja es similar a la de una derivada real de una función real: Para una función,f(z) la derivadaf atz0 se define como
f′(z0)=limz→z0f(z)−f(z0)z−z0
Siempre y cuando, por supuesto, que exista el límite. Si el límite existe decimos quef es analítico enz0 of es diferenciable enz0.
Recuerda: ¡El límite tiene que existir y ser el mismo sin importar cómo te acerquesz0!
Sif es analítico en todos los puntos de una región abiertaA entonces decimos quef es analíticoA.
Como es habitual con los derivados existen varias notaciones alternativas. Por ejemplo, siw=f(z) podemos escribir
f′(z0)=dwdz|z0=limz→z0f(z)−f(z0)z−z0=limΔ→0ΔwΔz
Encuentra la derivada def(z)=z2.
Solución
Esto lo hicimos anteriormente en el Ejemplo 2.2.1. Échale un vistazo a eso ahora. Por supuesto,f′(z)=2z.
f(z)=¯zEl espectáculo no es diferenciable en ningún momentoz.
Solución
Esto lo hicimos anteriormente en el Ejemplo 2.2.2. Échale un vistazo a eso ahora.
Desafío. Usar coordenadas polares para mostrar el límite en el ejemplo anterior puede ser cualquier valor con módulo 1 dependiendo del ángulo al que sez aproximez0.
Reglas derivadas
No sería muy divertido computar cada derivado usando límites. Afortunadamente, tenemos las mismas fórmulas de diferenciación que para las funciones de valor real. Es decir, asumiendof yg siendo diferenciables tenemos:
- Regla de suma:ddz(f(z)+g(z))=f′+g′
- Regla del producto:ddz(f(z)g(z))=f′g+fg′
- Regla del cociente:ddz(f(z)/g(z))=f′g−fg′g2
- Regla de la cadena:ddzg(f(z))=g′(f(z))f′(z)
- Regla inversa:df−1(z)dz=1f′(f−1(z))
Para darle el sabor de estos argumentos probaremos la regla del producto.
ddz(f(z)g(z))=limz→z0f(z)g(z)−f(z0)g(z0)z−z0=limz→z0(f(z)−f(z0))g(z)+f(z0)(g(z)−g(z0))z−z0=limz→z0f(z)−f(z0)z−z0g(z)+f(z0)(g(z)−g(z0))z−z0=f′(z0)g(z0)+f(z0)g′(z0)
Aquí hay un dato importante que habrías adivinado. Lo demostraremos en la siguiente sección.
Sif(z) está definido y diferenciable en un disco abierto yf′(z)=0 en el disco entoncesf(z) es constante.