2.5: Derivados

La definición de la derivada compleja de una función compleja es similar a la de una derivada real de una función real: Para una función,$f(z)$ la derivada$f$ at$z_0$ se define como

$$f'(z_0) = \lim_{z \to z_0} \dfrac{f(z) - f(z_0)}{z - z_0}$$

Siempre y cuando, por supuesto, que exista el límite. Si el límite existe decimos que$f$ es analítico en$z_0$ o$f$ es diferenciable en$z_0$.

Recuerda: ¡El límite tiene que existir y ser el mismo sin importar cómo te acerques$z_0$!

Si$f$ es analítico en todos los puntos de una región abierta$A$ entonces decimos que$f$ es analítico$A$.

Como es habitual con los derivados existen varias notaciones alternativas. Por ejemplo, si$w = f(z)$ podemos escribir

$$f'(z_0) = \dfrac{dw}{dz} \lvert_{z_0} = \lim_{z \to z_0} \dfrac{f(z) - f(z_0)}{z - z_0} = \lim_{\Delta \to 0} \dfrac{\Delta w}{\Delta z}$$

Ejemplo$\PageIndex{1}$

Encuentra la derivada de$f(z) = z^2$.

Solución

Esto lo hicimos anteriormente en el Ejemplo 2.2.1. Échale un vistazo a eso ahora. Por supuesto,$f'(z) = 2z$.

Ejemplo$\PageIndex{2}$

$f(z) = \overline{z}$El espectáculo no es diferenciable en ningún momento$z$.

Solución

Esto lo hicimos anteriormente en el Ejemplo 2.2.2. Échale un vistazo a eso ahora.

Desafío. Usar coordenadas polares para mostrar el límite en el ejemplo anterior puede ser cualquier valor con módulo 1 dependiendo del ángulo al que se$z$ aproxime$z_0$.

Reglas derivadas

No sería muy divertido computar cada derivado usando límites. Afortunadamente, tenemos las mismas fórmulas de diferenciación que para las funciones de valor real. Es decir, asumiendo$f$ y$g$ siendo diferenciables tenemos:

• Regla de suma: $$\dfrac{d}{dz} (f(z) + g(z)) = f' + g'$$
• Regla del producto: $$\dfrac{d}{dz} (f(z) g(z)) = f'g + fg'$$
• Regla del cociente: $$\dfrac{d}{dz} (f(z)/g(z)) = \dfrac{f'g - fg'}{g^2}$$
• Regla de la cadena: $$\dfrac{d}{dz} g(f(z)) = g'(f(z)) f'(z)$$
• Regla inversa: $$\dfrac{df^{-1} (z)}{dz} = \dfrac{1}{f' (f^{-1} (z))}$$

Para darle el sabor de estos argumentos probaremos la regla del producto.

$$\begin{array} {rcl} {\dfrac{d}{dz} (f(z) g(z))} & = & {\lim_{z \to z_0} \dfrac{f(z) g(z) - f(z_0) g(z_0)}{z - z_0}} \\ {} & = & {\lim_{z \to z_0} \dfrac{(f(z) - f(z_0)) g(z) + f(z_0) (g(z) - g(z_0))}{z - z_0}} \\ {} & = & {\lim_{z \to z_0} \dfrac{f(z) - f(z_0)}{z - z_0} g(z) + f(z_0) \dfrac{(g(z) - g(z_0))}{z - z_0}} \\ {} & = & {f'(z_0) g(z_0) + f(z_0) g'(z_0)} \end{array}$$

Aquí hay un dato importante que habrías adivinado. Lo demostraremos en la siguiente sección.

Teorema$\PageIndex{1}$

Si$f(z)$ está definido y diferenciable en un disco abierto y$f'(z) = 0$ en el disco entonces$f(z)$ es constante.