2.5: Derivados

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La definición de la derivada compleja de una función compleja es similar a la de una derivada real de una función real: Para una función,\(f(z)\) la derivada\(f\) at\(z_0\) se define como

\[f'(z_0) = \lim_{z \to z_0} \dfrac{f(z) - f(z_0)}{z - z_0}\]

Siempre y cuando, por supuesto, que exista el límite. Si el límite existe decimos que\(f\) es analítico en\(z_0\) o\(f\) es diferenciable en\(z_0\).

Recuerda: ¡El límite tiene que existir y ser el mismo sin importar cómo te acerques\(z_0\)!

Si\(f\) es analítico en todos los puntos de una región abierta\(A\) entonces decimos que\(f\) es analítico\(A\).

Como es habitual con los derivados existen varias notaciones alternativas. Por ejemplo, si\(w = f(z)\) podemos escribir

\[f'(z_0) = \dfrac{dw}{dz} \lvert_{z_0} = \lim_{z \to z_0} \dfrac{f(z) - f(z_0)}{z - z_0} = \lim_{\Delta \to 0} \dfrac{\Delta w}{\Delta z}\]

Ejemplo\(\PageIndex{1}\)

Encuentra la derivada de\(f(z) = z^2\).

Solución

Esto lo hicimos anteriormente en el Ejemplo 2.2.1. Échale un vistazo a eso ahora. Por supuesto,\(f'(z) = 2z\).

Ejemplo\(\PageIndex{2}\)

\(f(z) = \overline{z}\)El espectáculo no es diferenciable en ningún momento\(z\).

Solución

Esto lo hicimos anteriormente en el Ejemplo 2.2.2. Échale un vistazo a eso ahora.

Desafío. Usar coordenadas polares para mostrar el límite en el ejemplo anterior puede ser cualquier valor con módulo 1 dependiendo del ángulo al que se\(z\) aproxime\(z_0\).

Reglas derivadas

No sería muy divertido computar cada derivado usando límites. Afortunadamente, tenemos las mismas fórmulas de diferenciación que para las funciones de valor real. Es decir, asumiendo\(f\) y\(g\) siendo diferenciables tenemos:

Regla de suma:\[\dfrac{d}{dz} (f(z) + g(z)) = f' + g'\]
Regla del producto:\[\dfrac{d}{dz} (f(z) g(z)) = f'g + fg'\]
Regla del cociente:\[\dfrac{d}{dz} (f(z)/g(z)) = \dfrac{f'g - fg'}{g^2}\]
Regla de la cadena:\[\dfrac{d}{dz} g(f(z)) = g'(f(z)) f'(z)\]
Regla inversa:\[\dfrac{df^{-1} (z)}{dz} = \dfrac{1}{f' (f^{-1} (z))}\]

Para darle el sabor de estos argumentos probaremos la regla del producto.

\[\begin{array} {rcl} {\dfrac{d}{dz} (f(z) g(z))} & = & {\lim_{z \to z_0} \dfrac{f(z) g(z) - f(z_0) g(z_0)}{z - z_0}} \\ {} & = & {\lim_{z \to z_0} \dfrac{(f(z) - f(z_0)) g(z) + f(z_0) (g(z) - g(z_0))}{z - z_0}} \\ {} & = & {\lim_{z \to z_0} \dfrac{f(z) - f(z_0)}{z - z_0} g(z) + f(z_0) \dfrac{(g(z) - g(z_0))}{z - z_0}} \\ {} & = & {f'(z_0) g(z_0) + f(z_0) g'(z_0)} \end{array}\]

Aquí hay un dato importante que habrías adivinado. Lo demostraremos en la siguiente sección.

Teorema\(\PageIndex{1}\)

Si\(f(z)\) está definido y diferenciable en un disco abierto y\(f'(z) = 0\) en el disco entonces\(f(z)\) es constante.