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9.1: Distribución - Métodos de Jefferson, Adam y Webster

Última actualización

30 oct 2022
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- 9: Asignación
- 9.2: Distribución - Métodos de Jefferson, Adams y Webster

Maxie Inigo, Jennifer Jameson, Kathryn Kozak, Maya Lanzetta, & Kim Sonier
Coconino Community College

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El reparto puede considerarse como dividir a un grupo de personas (u otros recursos) y asignarlos a diferentes lugares.

Por qué necesitamos prorrateo

Tom se va a mudar a un nuevo departamento. El día de mudanza, cuatro de sus amigos acuden a ayudar y se quedan hasta que el trabajo esté hecho ya que Tom prometió que partirán una caja de cerveza después. Parece un trabajo bastante sencillo dividir el caso de la cerveza entre los cinco amigos hasta que Tom se dé cuenta de que 24 no es divisible de manera uniforme por cinco. Podría comenzar dándole a cada una de ellas (incluyéndose a él mismo) cuatro cervezas. La pregunta es cómo dividir las cuatro cervezas restantes entre los cinco amigos asumiendo que solo obtienen cervezas enteras. Los métodos de distribución pueden ayudar a Tom a encontrar una solución equitativa

Conceptos básicos de prorrateo

Los métodos de reparto que veremos en este capítulo fueron todos creados como una forma de dividir los escaños en la Cámara de Representantes de Estados Unidos entre los estados en función del tamaño de la población de cada estado. La terminología que utilizamos en la distribución refleja esta historia. Un concepto importante es que el número de escaños que tiene un estado es proporcional a la población del estado. En otras palabras, los estados con grandes poblaciones obtienen muchos escaños y los estados con poblaciones pequeñas solo obtienen unos pocos asientos.

Definición: Asientos y Estados

Los asientos son las personas o artículos que se van a compartir por igual.
Los estados son los partidos que recibirán una parte proporcional de los escaños.

El primer paso en cualquier problema de reparto es calcular el divisor estándar. Esta es la relación entre la población total y el número de escaños. Nos dice cuántas personas están representadas por cada asiento. El divisor estándar es:

$\mathrm{SD}=\frac{\text { total population }}{\# \text { seats }} \label{sd}$

El siguiente paso es encontrar la cuota estándar para cada estado. Este es el número exacto de asientos que deben asignarse a cada estado si los valores decimales fueran posibles. El cupo estándar es:

$\mathrm{SQ}=\frac{\text { state population }}{\text { standard divisor }} \label{sq}$

Ejemplo $\PageIndex{2}$ : Finding the Standard Quota

Hamiltonia, un pequeño país que consta de seis estados está gobernado por un senado con 25 miembros. El número de senadores por cada estado es proporcional a la población del estado. El siguiente cuadro muestra la población de cada estado a partir del último censo.

Tabla $\PageIndex{1}$ : Poblaciones por Estado para Hamiltonia
Estado	Alfa	Beta	Gamma	Delta	Épsilon	Zeta	Total
Población	24,000	56,000	28,000	17,000	65,000	47,000	237,000

Encuentra el divisor estándar y las cuotas estándar para cada uno de los estados de Hamiltonia.

Divisor estándar (Ecuación\ ref {SD}):

$\mathrm{SD}=\frac{\text { total population }}{\# \text { seats }}=\frac{237,000}{25}=9480 \nonumber$

Esto quiere decir que cada escaño en el senado corresponde a una población de 9480 personas.

Cuotas estándar (Ecuación\ ref {SQ}):

Alfa: $\mathrm{SQ}=\frac{\text { state population }}{\text { standard divisor }}=\frac{24,000}{9480}=2.532 \nonumber$
Beta: $\mathrm{SQ}=\frac{\text { state population }}{\text { standard divisor }}=\frac{56,000}{9480}=5.907 \nonumber$

Si los asientos fraccionarios fueran posibles, Alpha obtendría 2.532 asientos y Beta obtendría 5.907 asientos.

Utilice cálculos similares para los demás estados.

Tabla $\PageIndex{2}$ : Cuotas estándar para Hamiltonia
Estado	Alfa	Beta	Gamma	Delta	Épsilon	Zeta	Total
Población	24,000	56,000	28,000	17,000	65,000	47,000	237,000
Cuota Estándar	2.532	5.907	2.954	1.793	6.857	4.958	25.001

Observe que la suma de las cuotas estándar es 25.001, el número total de escaños. Esta es una buena manera de verificar tu aritmética.

Nota: No te preocupes por el 0.001. Eso se debe al redondeo y es despreciable.

El cupo estándar para cada estado suele ser un número decimal pero en la vida real el número de escaños asignados a cada estado debe ser un número entero. El redondeo de la cuota estándar por el método habitual de redondeo no siempre funciona. En ocasiones el número total de escaños asignados es demasiado alto y otras veces es demasiado bajo. En Ejemplo $\PageIndex{2}$ el número total de escaños asignados sería 26 si usáramos la regla habitual de redondeo.

Cuando redondeamos la cuota estándar para un estado el resultado debe ser el número entero justo por debajo de la cuota estándar o el número entero justo por encima de la cuota estándar. Estos valores se denominan cuotas inferior y superior, respectivamente. En el caso extremadamente raro de que la cuota estándar sea un número entero, utilice la cuota estándar para la cuota inferior y el siguiente entero superior para la cuota superior.

Definición: Cuotas

La cuota inferior es la cuota estándar redondeada a la baja. El cupo superior es el cupo estándar redondeado al alza.

Ejemplo $\PageIndex{3}$ : Upper and Lower Quotas for Hamiltonia

Encuentra las cuotas inferior y superior para cada una de las entidades federativas en Hamiltonia.

Cuadro $\PageIndex{3}$ : Cuotas Superior e Inferior para Hamiltonia
Estado	Alfa	Beta	Gamma	Delta	Épsilon	Zeta	Total
Población	24,000	56,000	28,000	17,000	65,000	47,000	237,000
Cuota Estándar	2.532	5.907	2.954	1.793	6.857	4.958	25.001
Cuota inferior	2	5	2	1	6	4	20
Cupo Superior	3	6	3	2	7	5	26

Nota: El total de las cuotas inferiores es de 20 (por debajo del número de escaños a asignar) y el total de las cuotas superiores es de 26 (por encima del número de escaños a asignar).

Método de Hamilton

La Constitución de Estados Unidos exige que los escaños de la Cámara de Representantes se distribuyan entre los estados cada diez años en función del tamaño de las poblaciones. Desde 1792, se han propuesto cinco métodos de reparto diferentes y cuatro de estos métodos se han utilizado para repartir los escaños en la Cámara de Representantes. El número de escaños en la Cámara también ha cambiado muchas veces. En muchas situaciones los cinco métodos dan los mismos resultados. Sin embargo, en algunas situaciones, los resultados dependen del método utilizado. Como veremos en la siguiente sección, cada uno de los métodos tiene al menos una debilidad. Debido a que era importante que un estado tuviera tantos representantes como fuera posible, los senadores tendían a elegir el método que le diera a su estado la mayor cantidad de representantes. En 1941, el número de escaños en la Cámara se fijó en 435 y se eligió un método oficial. Esto sacó la política de reparto y la convirtió en un proceso puramente matemático.

Alexander Hamilton propuso el primer método de prorrateo para ser aprobado por el Congreso. Desafortunadamente para Hamilton, el presidente Washington vetó su selección. Este veto fue el primer veto presidencial utilizado en el nuevo gobierno de Estados Unidos. Un método diferente propuesto por Thomas Jefferson se utilizó en su lugar para los siguientes 50 años. Posteriormente, el método de Hamilton se utilizó de vez en cuando entre 1852 y 1901.

Resumen de Hamilton's Method:

Utilice el divisor estándar para encontrar la cuota estándar para cada estado.
Asignar temporalmente a cada estado su menor cuota de escaños. En este punto, debería haber algunos escaños que no fueron asignados.
Comenzando por el estado que tiene la parte fraccional más grande y trabajando hacia el estado con la parte fraccional más pequeña, asignar un asiento adicional a cada estado hasta que se hayan asignado todos los escaños.

Ejemplo $\PageIndex{4}$ : Hamilton’s Method for Hamiltonia

Utilice el método de Hamilton para terminar la asignación de escaños en Hamiltonia.

Usemos números rojos a continuación en la Tabla $\PageIndex{4}$ para clasificar las partes fraccionarias de las cuotas estándar de cada estado en orden de mayor a menor. Por ejemplo, la cuota estándar de Zeta, 4.958, tiene la mayor parte fraccionaria, 0.958. También encuentra la suma de las cuotas más bajas para determinar cuántos escaños aún deben asignarse.

Tabla $\PageIndex{4}$ : Partes Fraccionales para Hamiltonia
Estado	Alfa	Beta	Gamma	Delta	Épsilon	Zeta	Total
Población	24,000	56,000	28,000	17,000	65,000	47,000	237,000
Cuota Estándar	2.532 (6)	5.907 (3)	2.954 (2)	1.793 (5)	6.857 (4)	4.958 (1)	25.001
Cuota inferior	2	5	2	1	6	4	20

Veinte de los 25 escaños han sido asignados por lo que quedan cinco escaños restantes. Asignar los asientos, en orden, a Zeta, Gamma, Beta, Epsilon y Delta.

Tabla $\PageIndex{5}$ : Asignación final para Hamiltonia usando el método de Hamilton
Estado	Alfa	Beta	Gamma	Delta	Épsilon	Zeta	Total
Población	24,000	56,000	28,000	17,000	65,000	47,000	237,000
Cuota Estándar	2.532	5.907	2.954	1.793	6.857	4.958	25.001
Cuota inferior	2	5	2	1	6	4	20
Asignación final	2	6	3	2	7	5	25

En general, Alpha obtiene dos senadores, Beta obtiene seis senadores, Gamma obtiene tres senadores, Delta obtiene dos senadores, Epsilon obtiene siete y Zeta obtiene cinco senadores.

Según Ask.com, “una paradoja es una afirmación que aparentemente se contradice a sí misma y, sin embargo, podría ser cierta”. (Ask.com, 2014) El método de Hamilton y los demás métodos de reparto discutidos en la sección 9.2 están sujetos a al menos una paradoja. Ninguno de los métodos de reparto es perfecto. La paradoja de Alabama se notó por primera vez en 1881 cuando los escaños de la Cámara de Representantes de Estados Unidos se redistribuyeron después del censo de 1880. En ese momento la Oficina del Censo de Estados Unidos creó una tabla que mostraba el número de escaños que cada estado tendría para varios tamaños posibles de la Cámara de Representantes. Hicieron esto para posibles tamaños de la Cámara desde 275 asientos totales hasta 350 asientos totales. Esta tabla mostró una extraña ocurrencia ya que el tamaño de la Cámara de Representantes aumentó de 299 a 300. Con 299 escaños en total, Alabama recibiría 8 escaños. Sin embargo, si el tamaño de la casa se incrementara a 300 asientos totales, Alabama solo recibiría 7 asientos. Al aumentar el número general de asientos, Alabama perdió un asiento.

Definición: Paradoja de Alabama

La paradoja de Alabama ocurre cuando un aumento en el número total de escaños da como resultado una disminución en el número de escaños para un estado determinado.

Ejemplo $\PageIndex{5}$ : The Alabama Paradox

Una madre tiene un programa de incentivos para que sus cinco hijos lean más. Tiene 30 caramelos para dividir entre sus hijos al final de la semana en función del número de minutos que cada uno de ellos pasa leyendo. Las minutas se enumeran a continuación en la Tabla $\PageIndex{6}$ .

Tabla $\PageIndex{6}$ : Tiempos de lectura
Niño	Abby	Bobby	Charli	Dave	Ed	Total
Población	188	142	138	64	218	750

Usa el método de Hamilton para repartir los dulces entre los niños. El divisor estándar (Ecuación\ ref {SD}) es

$S D=\frac{750}{30}=25 \nonumber$

Después de dividir el tiempo de cada niño por el divisor estándar, y encontrar las cuotas más bajas para cada niño, quedan tres trozos de caramelo. Ellos irán a Ed, Bobby y Dave, en ese orden, ya que tienen las partes fraccionarias más grandes de sus cuotas.

Tabla $\PageIndex{7}$ : Reparto con 30 Piezas de Caramelo
Niño	Abby	Bobby	Charli	Dave	Ed	Total
Población	188	142	138	64	218	750
Cuota Estándar	7.520	5.680	5.520	2.560	8.720	30.000
Cuota inferior	7	5	5	2	8	27
Asignación final	7	6	5	3	9	30

En el último minuto, la madre encuentra otro pedazo de caramelo y vuelve a hacer el reparto. Esta vez el divisor estándar será 24.19. Bobby, Abby y Charli, en ese orden, conseguirán las tres piezas sobrantes esta vez.

Tabla $\PageIndex{8}$ : Reparto con 31 Trozos de Caramelo
Niño	Abby	Bobby	Charli	Dave	Ed	Total
Población	188	142	138	64	218	750
Cuota Estándar	7.772	5.870	5.705	2.646	9.012	31.005
Cuota inferior	7	5	5	2	9	28
Asignación final	8	6	6	2	9	31

Observe que agregar otra pieza de caramelo (un asiento) provocó que Dave perdiera una pieza mientras Abby y Charli ganaran una pieza. Este es un ejemplo de la paradoja de Alabama.

9.3: Método Huntington-Hill

El método Huntington-Hill es el método utilizado actualmente para repartir los escaños de la Cámara de Representantes de Estados Unidos. Al igual que con los otros métodos de reparto, el método de redondeo de las cuotas es lo que distingue a este método de los demás. El método Huntington-Hill comienza de manera similar al método de Webster ya que algunas cuotas se redondean al alza y algunas cuotas se redondean a la baja. La diferencia es que el corte para redondeo ya no es 0.5. Ahora el corte depende de la media geométrica entre las cuotas inferior y superior.

Definición: Media Geométrica

La media geométrica $G$ de dos números positivos $A$ y $B$ es

$G = \sqrt{AB} \label{gm}$

Ejemplo $\PageIndex{1}$ : Media geométrica

Encuentra la media geométrica entre 5 y 6.

Obsérvese que la media geométrica entre A y B debe ser un número entre A y B. En este ejemplo la media geométrica de 5.477 está entre 5 y 6.

Resumen del Método Huntington-Hill:

Encuentra el divisor estándar,. Utilice el divisor estándar como el primer divisor modificado.
Divida la población de cada estado por el divisor modificado para obtener la cuota modificada.
Redondea cada cuota modificada al entero más cercano usando la media geométrica como corte. Si la cuota es menor que la media geométrica entre las cuotas superior e inferior, redondea la cuota hacia abajo a la cuota inferior. Si la cuota es mayor que la media geométrica entre las cuotas superior e inferior, redondea la cuota hasta la cuota superior.
Encuentra la suma de las cuotas redondeadas.
Si la suma es la misma que el número de escaños a repartir, ya está listo. Si la suma es demasiado grande, elija un nuevo divisor modificado que sea mayor que d. Si la suma es demasiado pequeña, elija un nuevo divisor modificado que sea menor que d. Repita los pasos del dos al cinco hasta que se distribuya el número correcto de asientos.

Ejemplo $\PageIndex{2}$ : Método Huntington-Hill

Utilice el método Huntington-Hill para repartir los 25 asientos en Hamiltonia de Ejemplo $\PageIndex{2}$ .

Tabla $\PageIndex{1}$ : Poblaciones por Estado para Hamiltonia
Estado	Alfa	Beta	Gamma	Delta	Épsilon	Zeta	Total
Población	24,000	56,000	28,000	17,000	65,000	47,000	237,000

El primer paso es usar el divisor estándar como el primer divisor modificado. También incluimos una fila para la media geométrica entre las cuotas superior e inferior para cada estado.

Cuadro $\PageIndex{2}$ : Cuotas para d = 9480
Estado	Alfa	Beta	Gamma	Delta	Épsilon	Zeta	Total
Población	24,000	56,000	28,000	17,000	65,000	47,000	237,000
d = 9480	2.53	5.91	2.95	1.79	6.86	4.96
Cuota inferior	2	5	2	1	6	4
Cupo Superior	3	6	3	2	7	5
Cálculo para G
Media Geométrica	2.449	5.477	2.449	1.414	6.481	4.472
Cuota Redondeada	3	6	3	2	7	5	26

El número total de asientos, 26, es demasiado grande así que tenemos que intentarlo de nuevo haciendo que el divisor modificado sea más grande. Prueba d = 10,500.

Cuadro $\PageIndex{3}$ : Cuotas para d = 10,500
Estado	Alfa	Beta	Gamma	Delta	Épsilon	Zeta	Total
Población	24,000	56,000	28,000	17,000	65,000	47,000	237,000
d = 9480	2.53	5.91	2.95	1.79	6.86	4.96
Media Geométrica	2.449	5.477	2.449	1.414	6.481	4.472
Cuota Redondeada	3	6	3	2	7	5	26
d = 10,500	2.29	5.33	2.67	1.62	6.19	4.48
Media Geométrica	2.449	5.477	2.449	1.414	6.481	4.472
Cuota Redondeada	2	5	3	2	6	5	23

El número total de asientos, 23 es demasiado pequeño. Tenemos que volver a intentarlo con un divisor modificado entre 9480 y 10,500. Dado que 23 está más lejos de 25 que 26 es, intente un divisor más cercano al 9480. Prueba d = 9800.

Cuadro $\PageIndex{4}$ : Cuotas para d = 9800
Estado	Alfa	Beta	Gamma	Delta	Épsilon	Zeta	Total
Población	24,000	56,000	28,000	17,000	65,000	47,000	237,000
d = 9480	2.53	5.91	2.95	1.79	6.86	4.96
Media Geométrica	2.449	5.477	2.450	1.414	6.481	4.472
Cuota Redondeada	3	6	3	2	7	5	26
d = 10,500	2.29	5.33	2.67	1.62	6.19	4.48
Media Geométrica	2.449	5.480	2.450	1.410	6.480	4.470
Cuota Redondeada	2	5	3	2	6	5	23
d = 9800	2.4490	5.71	2.86	1.73	6.63	4.80
Media Geométrica	2.4495	5.480	2.450	1.410	6.480	4.470
Cuota Redondeada	2	6	3	2	7	5	25

Nota: Era necesario usar más decimales para la cuota de Alpha que las otras cuotas para ver de qué manera redondear.

Esta es la misma distribución que obtuvimos con la mayoría de los otros métodos.

Ejemplo $\PageIndex{3}$ : Comparación de todos los métodos de distribución

En la ciudad de Adamstown, 42 nuevos bomberos acaban de terminar su formación. Deben ser asignados a los cinco bomberos de la localidad de manera proporcional a la población de cada distrito de bomberos. Las poblaciones se enumeran en la siguiente tabla.

Tabla $\PageIndex{5}$ : Poblaciones para los Distritos de Bomberos de Adamstown
Distrito	A	B	C	D	E	Total
Población	25.010	8,760	11,590	9,025	15.080	69,465

Distribuir a los nuevos bomberos a las casas de bomberos utilizando los métodos de Hamilton, Jefferson, Adams, Webster y Huntington-Hill.

El divisor estándar es

Método de Hamilton:

Tabla $\PageIndex{6}$ : Método de Hamilton para Adamstown

Comience dividiendo cada población por el divisor estándar y redondeando cada cuota estándar hacia abajo.

Distrito	A	B	C	D	E	Total
Población	25.010	8,760	11,590	9,025	15.080	69,465
Cuota Estándar	15.121	5.296	7.007	5.456	9.117	41.998
Cuota inferior	15	5	7	5	9	41
Asignación final	15	5	7	6	9	42

Usando las cuotas más bajas, queda un bombero. Asigne este bombero al Distrito D ya que D tiene la mayor parte fraccional.

Método de Jefferson

El método de Jefferson siempre redondea hacia abajo haciendo que la suma de las cuotas más bajas sea demasiado pequeña. Haga que el divisor estándar sea más pequeño para obtener el primer divisor modificado. Los resultados se resumen a continuación en la Tabla $\PageIndex{7}$ .

Adivina #1: d = 1600. La suma de 41 aún es demasiado pequeña así que haz que el divisor modificado sea más pequeño.

Adivina #2: d = 1550. La suma es 42 así que ya terminamos.

Tabla $\PageIndex{7}$ : Método de Jefferson para Adamstown
Distrito	A	B	C	D	E	Total
Población	25.010	8,760	11,590	9,025	15.080	69,465
d = 1600	15.631	5.475	7.244	5.641	9.425
cuota	15	5	7	5	9	41
d = 1550	16.135	5.652	7.477	5.823	9.729
Asignación final	16	5	7	5	9	42

Método de Adams:

El método de Adams siempre redondea haciendo que la suma de las cuotas superiores sea demasiado grande. Haga que el divisor estándar sea más grande para obtener el primer divisor modificado. Los resultados se resumen a continuación en la Tabla $\PageIndex{8}$ .

Adivina #1: d = 1700. El total sigue siendo demasiado grande así que haz que el divisor modificado sea más grande.

Adivina #2: d = 1900. Ahora el total es demasiado pequeño así que haz que el divisor modificado sea más pequeño.

Adivina #3: d = 1750. El total vuelve a ser demasiado grande así que haz que el divisor modificado sea más grande.

Adivina #4: d = 1775. La suma es 42 así que ya terminamos.

Tabla $\PageIndex{8}$ : Método de Adams para Adamstown
Distrito	A	B	C	D	E	Total
Población	25.010	8,760	11,590	9,025	15.080	69,465
d = 1700	14.712	5.153	6.818	5.309	8.871
cuota	15	6	7	6	9	43
d = 1800	13.894	4.867	6.439	5.014	8.378
cuota	14	5	7	6	9	41
d = 1750	14.291	5.006	6.623	5.157	8.617
cuota	15	6	7	6	9	43
d = 1775	14.090	4.935	6.530	5.085	8.496
Asignación final	15	5	7	6	9	42

Método de Webster:

El método de Webster redondea la forma habitual así que no podemos decir si la suma es demasiado grande o demasiado pequeña de inmediato. Pruebe el divisor estándar como el primer divisor modificado. Los resultados se resumen a continuación en la Tabla $\PageIndex{9}$ .

Adivina #1: d = 1654. La suma de 41 es demasiado pequeña así que haz que el divisor modificado sea más pequeño.

Adivina #2: d = 1600. La suma de 43 es demasiado grande así que haz que el divisor modificado sea más grande.

Adivina #3: d = 1625. La suma es 42 así que ya terminamos.

Tabla $\PageIndex{9}$ : Método de Webster para Adamstown
Distrito	A	B	C	D	E	Total
Población	25.010	8,760	11,590	9,025	15.080	69,465
d = 1654	15.121	5.296	7.007	5.456	9.117
cuota	15	5	7	5	9	41
d = 1600	15.631	5.475	7.244	5.641	9.425
cuota	16	5	7	6	9	43
d = 1625	15.391	5.391	7.132	5.554	9.280
Asignación final	15	5	7	6	9	42

Método de Huntington-Hill:

El método de Huntington-Hill se redondea según la media geométrica. Utilice el divisor estándar como el primer divisor modificado. Los resultados se resumen a continuación en la Tabla $\PageIndex{10}$ .

Adivina #1: d = 1654. La suma de 41 es demasiado pequeña así que haz que el divisor modificado sea más pequeño. Mira el Distrito D. Estuvo muy cerca de ser redondeado hacia arriba en lugar de redondearse hacia abajo así que no necesitamos cambiar mucho el divisor modificado.

Adivina #2: d = 1625. La suma es 42 así que ya terminamos.

Tabla $\PageIndex{10}$ : Método de Huntington-Hill para Adamstown
Distrito	A	B	C	D	E	Total
Población	25.010	8,760	11,590	9,025	15.080	69,465
d = 1654	15.121	5.296	7.007	5.456	9.117
Media geométrica	15.492	5.477	7.483	5.477	9.487
cuota	15	5	7	5	9	41
d = 1625	15.391	5.391	7.132	5.554	9.280
Media geométrica	15.492	5.477	7.483	5.477	9.487
Asignación final	15	5	7	6	9	42

Los métodos de Hamilton, Adams, Webster y Huntington-Hill dieron la misma distribución: 15 bomberos al Distrito A, cinco al Distrito B, siete al Distrito C, seis al Distrito D y nueve al Distrito E.

El método de Jefferson dio una distribución diferente: 16 bomberos al Distrito A, cinco al Distrito B, siete al Distrito C, cinco al Distrito D y nueve al Distrito E.