3.5: Integrales triples

Las integrales triples, es decir integrales sobre regiones tridimensionales, son como integrales dobles, solo que más. Descomponemos el dominio de la integración en pequeños cubos, por ejemplo, computamos la contribución de cada cubo y luego usamos integrales para sumar todas las diferentes piezas. Repasaremos los detalles ahora por medio de una serie de ejemplos.

Ejemplo 3.5.1

Encuentra la masa dentro de la esfera\(x^2+y^2+z^2=1\) si la densidad es\(\rho(x,y,z) = |xyz|\text{.}\)

Solución

Los valores absolutos pueden complicar los cálculos. Podemos evitar esas complicaciones explotando el hecho de que, por simetría, la masa total de la esfera será ocho veces la masa en el primer octante. Cortaremos la primera parte octante de la esfera en pequeños trozos usando coordenadas cartesianas. Es decir, lo cortaremos usando planos de\(z\text{,}\) planos constantes de constantes\(y\text{,}\) y planos de constantes\(x\text{,}\) que recordamos parecen

• Primero corta la (la primera parte octante de la) esfera en placas horizontales insertando muchos planos de constante\(z\text{,}\) con los diversos valores de\(z\) diferir por\( \mathrm{d}{z} \text{.}\) La figura de la izquierda de abajo muestra la parte de una placa en el primer octante delineada en rojo. Cada plato
  • tiene espesor\( \mathrm{d}{z} \text{,}\)
  • tiene\(z\) casi constante en toda la placa (solo varía por\( \mathrm{d}{z} \)), y
  • ha\((x,y)\) atropellado\(x\ge 0\text{,}\)\(y\ge 0\text{,}\)\(x^2+y^2\le 1-z^2\text{.}\)
  • La placa inferior comienza en\(z=0\) y la placa superior termina en\(z=1\text{.}\) Ver la figura de abajo a la derecha.

    

    

• Concéntrese en cualquier plato. Subdividirlo en haces largos y delgados “cuadrados” insertando muchos planos de constante\(y\text{,}\) con los diversos valores de\(y\) diferir por\( \mathrm{d}{y} \text{.}\) La figura de abajo a la izquierda muestra la parte de una viga en el primer octante delineada en azul. Cada haz
  • tiene área de sección transversal\( \mathrm{d}{y} \, \mathrm{d}{z} \text{,}\)
  • tiene\(z\) y\(y\) esencialmente constante en toda la viga, y
  • ha\(x\) atropellado\(0\le x\le \sqrt{1-y^2-z^2}\text{.}\)
  • La viga más a la izquierda tiene, esencialmente,\(y=0\) y la viga más a la derecha tiene, esencialmente,\(y=\sqrt{1-z^2}\text{.}\) Ver la figura de abajo a la derecha.

    

    

• Concéntrese en cualquier haz. Subdividirlo en diminutos cubos aproximados insertando muchos planos de constante\(x\text{,}\) con los diversos valores de\(x\) diferir por\( \mathrm{d}{x} \text{.}\) La figura de abajo a la izquierda muestra la parte superior de un cubo aproximado en negro. Cada cubo
  • tiene volumen\( \mathrm{d}{x} \, \mathrm{d}{y} \, \mathrm{d}{z} \text{,}\) y
  • tiene\(x\text{,}\)\(y\) y\(z\) todo esencialmente constante en todo el cubo.
  • El primer cubo tiene, esencialmente,\(x=0\) y el último cubo tiene, esencialmente,\(x=\sqrt{1-y^2-z^2}\text{.}\) Ver la figura de abajo a la derecha.

    

    

Ahora podemos construir la masa.

• Concéntrate en un cubo aproximado. Digamos que contiene el punto\((x,y,z)\text{.}\)
  • El cubo tiene volumen esencialmente\(\mathrm{d}V = \mathrm{d}{x} \, \mathrm{d}{y} \, \mathrm{d}{z} \) y
  • esencialmente tiene densidad\(\rho(x,y,z) = xyz\) y así
  • esencialmente tiene masa\(xyz\, \mathrm{d}{x} \, \mathrm{d}{y} \, \mathrm{d}{z} \text{.}\)
• Para obtener la masa de cualquier viga, digamos la viga cuya\(y\) coordenada va desde\(y\) hasta, simplemente\(y+ \mathrm{d}{y} \text{,}\) sumamos las masas de los cubos aproximados en esa viga, integrando\(x\) desde su valor más pequeño en la viga, es decir,\(0\text{,}\) hasta su valor más grande en la viga, a saber\(\sqrt{1-y^2-z^2}\text{.}\) La masa de la viga es así

  \[\begin{gather*} \mathrm{d}{y} \, \mathrm{d}{z} \int_0^{\sqrt{1-y^2-z^2}} \mathrm{d}{x} \,xyz \end{gather*}\]

• Para obtener la masa de cualquier placa, digamos la placa cuya\(z\) coordenada va desde\(z\) hasta solo\(z+ \mathrm{d}{z} \text{,}\) sumamos las masas de las vigas en esa placa, integrando\(y\) desde su valor más pequeño en la placa, es decir,\(0\text{,}\) hasta su mayor valor en la placa, a saber,\(\sqrt{1-z^2}\text{.}\) La masa de la placa es así

  \[\begin{gather*} \mathrm{d}{z} \int_0^{\sqrt{1-z^2}} \mathrm{d}{y} \int_0^{\sqrt{1-y^2-z^2}} \mathrm{d}{x} \,xyz \end{gather*}\]

• Para obtener la masa de la parte de la esfera en el primer octante, solo sumamos las masas de las placas que contiene, integrando\(z\) desde su valor más pequeño en el octante, es decir,\(0\text{,}\) hasta su mayor valor en la esfera, a saber\(1\text{.}\) La masa en el primer octante es así

  \[\begin{align*} &\int_0^1 \mathrm{d}{z} \int_0^{\sqrt{1-z^2}} \mathrm{d}{y} \int_0^{\sqrt{1-y^2-z^2}} \mathrm{d}{x} \,xyz\\ &\hskip0.5in= \int_0^1 \mathrm{d}{z} \int_0^{\sqrt{1-z^2}} \mathrm{d}{y} \ yz \left[\int_0^{\sqrt{1-y^2-z^2}} \mathrm{d}{x} \,x\right]\\ &\hskip0.5in= \int_0^1 \mathrm{d}{z} \int_0^{\sqrt{1-z^2}} \mathrm{d}{y} \ \frac{1}{2}yz \big(1-y^2-z^2\big)\\ &\hskip0.5in=\int_0^1 \mathrm{d}{z} \int_0^{\sqrt{1-z^2}} \mathrm{d}{y} \ \left[\frac{z(1-z^2)}{2}y-\frac{z}{2}y^3\right]\\ &\hskip0.5in=\int_0^1 \mathrm{d}{z} \ \left[\frac{z{(1-z^2)}^2}{4}-\frac{z{(1-z^2)}^2}{8}\right]\\ &\hskip0.5in=\int_0^1 \mathrm{d}{z} \ z\ \frac{{(1-z^2)}^2}{8}\\ &\hskip0.5in=\int_1^0\frac{\mathrm{d}u}{-2}\ \frac{u^2}{8} \qquad\text{with }u=1-z^2,\ \mathrm{d}u=-2z\, \mathrm{d}{z} \\ &\hskip0.5in=\frac{1}{48} \end{align*}\]

• Entonces la masa de la esfera total (ocho octantes) es\(8\times\frac{1}{48}=\frac{1}{6}\text{.}\)

Consideremos, por ejemplo, los límites de la integración para la integral

\[\begin{align*} &\int_0^1 \mathrm{d}{z} \int_0^{\sqrt{1-z^2}} \mathrm{d}{y} \int_0^{\sqrt{1-y^2-z^2}} \mathrm{d}{x} \,xyz\\ &\hskip0.5in=\int_0^1\left(\int_0^{\sqrt{1-z^2}}\left(\int_0^{\sqrt{1-y^2-z^2}} xyz\ \mathrm{d}{x} \right) \mathrm{d}{y} \right) \mathrm{d}{z} \end{align*}\]

que acabamos de evaluar en el Ejemplo 3.5.1.

• Cuando nos estamos integrando sobre la integral más interna, con respecto a\(x\text{,}\) las cantidades\(y\) y\(z\) se tratan como constantes. En particular,\(y\) y\(z\) puede aparecer en los límites de integración para la\(x\) -integral, pero\(x\) puede no aparecer en esos límites.
• Cuando nos estamos integrando sobre ya\(y\text{,}\) nos hemos integrado ya\(x\text{;}\)\(x\) no existe. La cantidad\(z\) se trata como una constante. En particular,\(z\text{,}\) pero ni\(x\) ni\(y\text{,}\) puede aparecer en los límites de la integración para la\(y\) -integral.
• Por último, cuando nos estamos integrando sobre ya\(z\text{,}\) nos hemos integrado\(x\) y\(y\text{;}\) ya no existen. Ninguno de\(x\text{,}\)\(y\) o\(z\text{,}\) puede aparecer en los límites de integración para la\(z\) -integral.

Ejemplo 3.5.2

En la práctica, muchas veces la parte más difícil de tratar con una triple integral es establecer los límites de la integración. En este ejemplo, nos concentraremos exactamente en eso.

Dejar\(\mathcal{V}\) ser la región sólida en\(\mathbb{R}^3\) delimitada por los planos\(x = 0\text{,}\)\(y = 0\text{,}\)\(z=0\text{,}\)\(y = 4 - x\text{,}\) y la superficie Ahora\(z = 4 - x^2\text{.}\) vamos a escribir\(\iiint_\mathcal{V} f(x, y, z)\ \mathrm{d}V\) como una integral iterada (es decir, encontrar los límites de integración) de dos maneras diferentes. Aquí solo\(f\) hay alguna función general, no especificada.

Primero, averiguaremos cómo\(\mathcal{V}\) se ve. Las siguientes tres figuras muestran

• la parte del primer octante con\(y \le 4 - x\) (excepto que continúa verticalmente hacia arriba)
• la parte del primer octante con\(z \le 4 - x^2\) (excepto que sigue a la derecha)
• la parte del primer octante con ambos\(y\le 4-x\) y\(z \le 4 - x^2\text{.}\) Eso es

  \[ \mathcal{V}=\left \{(x,y,z)|x\ge 0, y\ge 0,\ z\ge 0,\ x+y\le 4,\ z\le 4-x^2\right \} \nonumber \]

La integral iterada\(\iiint_\mathcal{V} f(x, y, z)\ \mathrm{d}{z} \, \mathrm{d}{y} \, \mathrm{d}{x} =\int\left(\int\left(\int f(x, y, z)\ \mathrm{d}{z} \right) \mathrm{d}{y} \right) \mathrm{d}{x} \text{:}\) Para esta integral iterada, la integral externa es con respecto a\(x\text{,}\) por lo que primero cortamos\(\mathcal{V}\) usando planos de constante\(x\text{,}\) como en la siguiente figura.

Observe a partir de esa cifra que, en\(\mathcal{V}\text{,}\)

• \(x\)corre de\(0\) a\(2\text{,}\) y
• para cada fijo\(x\) en ese rango,\(y\) va desde\(0\) hasta\(4-x\) y
• para cada fijo\((x,y)\) como arriba,\(z\) va de\(0\) a\(4-x^2\text{.}\)

Entonces

\[\begin{align*} \iiint_\mathcal{V} f(x, y, z)\ \mathrm{d}{z} \, \mathrm{d}{y} \, \mathrm{d}{x} &=\int_0^2 \mathrm{d}{x} \int_0^{4-x} \mathrm{d}{y} \int_0^{4-x^2} \mathrm{d}{z} \ f(x, y, z)\\ &=\int_0^2 \int_0^{4-x} \int_0^{4-x^2}f(x, y, z)\ \mathrm{d}{z} \, \mathrm{d}{y} \, \mathrm{d}{x} \end{align*}\]

La integral iterada\(\iiint_\mathcal{V} f(x, y, z)\ \mathrm{d}{y} \, \mathrm{d}{x} \, \mathrm{d}{z} =\int\left(\int\left(\int f(x, y, z)\ \mathrm{d}{y} \right) \mathrm{d}{x} \right) \mathrm{d}{z} \text{:}\) Para esta integral iterada, la integral externa es con respecto a\(z\text{,}\) por lo que primero cortamos\(\mathcal{V}\) usando planos de constante\(z\text{,}\) como en la siguiente figura.

Observe a partir de esa cifra que, en\(\mathcal{V}\text{,}\)

• \(z\)corre de\(0\) a\(4\text{,}\) y
• para cada fijo\(z\) en ese rango,\(x\) va desde\(0\) hasta\(\sqrt{4-z}\) y
• para cada fijo\((x,z)\) como arriba,\(y\) va de\(0\) a\(4-x\text{.}\)

Entonces

\[\begin{align*} \iiint_\mathcal{V} f(x, y, z)\ \mathrm{d}{y} \, \mathrm{d}{x} \, \mathrm{d}{z} &=\int_0^4 \mathrm{d}{z} \int_0^{\sqrt{4-z}} \mathrm{d}{x} \int_0^{4-x} \mathrm{d}{y} \ f(x, y, z)\\ &=\int_0^4 \int_0^{\sqrt{4-z}} \int_0^{4-x}f(x, y, z) \ \mathrm{d}{y} \, \mathrm{d}{x} \, \mathrm{d}{z} \end{align*}\]

Ejemplo 3.5.3

Como se dijo en el último ejemplo, en la práctica, muchas veces las partes más difíciles de tratar con una triple integral se refieren a los límites de la integración. En este ejemplo, volveremos a concentrarnos exactamente en eso. En esta ocasión, consideraremos la integral

\[ I=\int_0^2 \mathrm{d}{y} \int_0^{2-y} \mathrm{d}{z} \int_0^{\frac{2-y}{2}} \mathrm{d}{x} \ f(x,y,z) \nonumber \]

y volveremos a expresar\(I\) con el exterior integral siendo terminado\(z\text{.}\) Vamos a averiguar los límites de la integración tanto para el orden\(\int \mathrm{d}{z} \int \mathrm{d}{x} \int \mathrm{d}{y} \ f(x,y,z)\) como para el orden\(\int \mathrm{d}{z} \int \mathrm{d}{y} \int \mathrm{d}{x} \ f(x,y,z)\text{.}\)

Nuestra primera tarea es hacernos una buena idea de cómo es el dominio de la integración. Comenzamos leyendo de la integral dada que

• la integral exterior dice que\(y\) va desde\(0\) hasta\(2\text{,}\) y
• la integral media dice que, para cada fijo\(y\) en ese rango,\(z\) va desde\(0\) hasta\(2-y\) y
• la integral interna dice que, para cada fijo\((y,z)\) como arriba,\(x\) va desde\(0\) hasta\(\frac{2-y}{2}\text{.}\)

Entonces el dominio de la integración es

\[ V=\left \{(x,y,z)| 0\le y\le 2,\ 0\le z\le 2-y,\ 0\le x\le \tfrac{2-y}{2}\right \} \tag{$*$} \nonumber \]

En\(V\) breve esbozaremos. Debido a que generalmente es más fácil hacer bocetos 2d que hacer bocetos 3d, primero haremos un boceto 2d de la parte de\(V\) que yace en el plano vertical\(y=Y\text{.}\) Aquí\(Y\) hay cualquier constante entre\(0\) y\(2\text{.}\) Mirando la definición de\(V\text{,}\) vemos que el punto \((x,Y,z)\)yace en\(V\) si y solo si

\[\begin{gather*} 0\le z\le 2-Y\qquad 0\le x\le \frac{2-Y}{2} \end{gather*}\]

Aquí, a la izquierda, hay un boceto (2d)\((x,z)\) de todos los que obedecen esas desigualdades, y, a la derecha, es un boceto (3d)\((x,Y,z)\) de todos los que obedecen esas desigualdades.

Así que nuestro sólido\(V\) consiste en un montón de rectángulos verticales apilados lateralmente a lo largo del\(y\) eje -axis. El rectángulo en el plano\(y=Y\) tiene longitudes laterales\(\frac{2-Y}{2}\) y a\(2-Y\text{.}\) medida que nos movemos del plano\(y=Y=0\text{,}\) es decir, el\(xz\) -plano, al plano\(y=Y=2\text{,}\) el rectángulo disminuye de tamaño linealmente de un rectángulo de uno por dos, cuando\(Y=0\text{,}\) a un rectángulo de cero por cero, es decir, un punto, cuando \(Y=2\text{.}\)Aquí hay un boceto de\(V\) junto con un\(y=Y\) rectángulo típico.

Para reexpresar la integral dada con el ser integral exterior con respecto a\(z\text{,}\) tenemos que cortar en placas horizontales\(V\) insertando planos de constante\(z\text{.}\) Así que tenemos que averiguar cómo se\(z=Z\) ve la parte de\(V\) eso que yace en el plano horizontal. De la figura anterior, vemos que, en\(V\text{,}\) el menor valor de\(z\) es\(0\) y el mayor valor de\(z\) es\(2\text{.}\) Así\(Z\) es cualquier constante entre\(0\) y\(2\text{.}\) Una vez más mirando la definición de\(V\) en\((*)\) arriba, vemos que el punto\((x,y,Z)\) radica en\(V\) si y solo si

\[\begin{gather*} y\ge 0\qquad y\le 2\qquad y\le 2-Z\qquad x\ge 0\qquad 2x+y\le 2 \end{gather*}\]

Aquí, en la parte superior, hay un boceto (2d) que muestra la vista superior\((x,y)\) de todos los que obedecen esas desigualdades, y, en la parte inferior, es un boceto (3d)\((x,y,Z)\) de todos los que obedecen esas desigualdades.

Para\(\int \mathrm{d}{z} \int \mathrm{d}{y} \int \mathrm{d}{x} \ f(x,y,z)\text{,}\) expresarnos\(I\) como una integral con el orden de integración subdividimos la placa en altura\(z\) en franjas verticales como en la figura

Desde

• \(y\)es esencialmente constante en cada tira, teniendo la tira más a la izquierda\(y=0\) y teniendo la tira más a la derecha\(y=2-z\) y
• para cada fijo\(y\) en ese rango,\(x\) va desde\(0\) hasta\(\tfrac{2-y}{2}\)

tenemos

\[ I=\int_0^2 \mathrm{d}{z} \int_0^{2-z} \mathrm{d}{y} \int_0^{\frac{2-y}{2}} \mathrm{d}{x} \ f(x,y,z) \nonumber \]

Alternativamente, para expresar\(I\) como una integral con el orden de integración\(\int \mathrm{d}{z} \int \mathrm{d}{x} \int \mathrm{d}{y} \ f(x,y,z)\text{,}\) subdividimos la placa en altura\(z\) en tiras horizontales como en la figura

Desde

• \(x\)es esencialmente constante en cada tira teniendo la primera tira\(x=0\) y teniendo la última tira\(x=1\) y
• para cada fijo\(x\) entre\(0\) y\(z/2\text{,}\)\(y\) corre de\(0\) a\(2-z\) y
• para cada fijo\(x\) entre\(z/2\) y\(1\text{,}\)\(y\) corre de\(0\) a\(2-2x\)

tenemos

\[ I=\int_0^2 \mathrm{d}{z} \int_0^{z/2} \mathrm{d}{x} \int_0^{2-z} \mathrm{d}{y} \ f(x,y,z) +\int_0^2 \mathrm{d}{z} \int_{z/2}^{1} \mathrm{d}{x} \int_0^{2-2x} \mathrm{d}{y} \ f(x,y,z) \nonumber \]

Ejercicios

Etapa 1

1

Evaluar la integral

\[ \iint_R \sqrt{b^2-y^2}\ \mathrm{d}{x} \, \mathrm{d}{y} \text{where $R$ is the rectangle } 0\le x\le a,\ 0\le y\le b \nonumber \]

sin usar iteración. En cambio, interpretar la integral geométricamente.

2 ✳

Encuentra la masa total de la caja rectangular\([0, 1] \times [0, 2] \times [0, 3]\) (es decir, la caja definida por las desigualdades\(0 \le x \le 1\text{,}\)\(0 \le y \le 2\text{,}\)\(0 \le z \le 3\)), con función de densidad\(h(x, y, z) = x\text{.}\)

Etapa 2

3

Evaluar\(\displaystyle \iiint_R x\ \mathrm{d}V\) dónde\(R\) está el tetraedro delimitado por los planos de coordenadas y el plano\(\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1\text{.}\)

4

Evaluar\(\displaystyle \iiint_R y\ \mathrm{d}V\) dónde\(R\) está la porción del cubo que se\(0\le x,y,z\le 1\) encuentra por encima del plano\(y+z=1\) y debajo del plano\(x+y+z=2\text{.}\)

5

Para cada una de las siguientes, exprese la integral iterada dada como una integral iterada en la que las integraciones se realizan en el orden: primero\(z\text{,}\) luego\(y\text{,}\) luego\(x\text{.}\)

1. \(\displaystyle \displaystyle \int_0^1 \mathrm{d}{z} \int_0^{1-z} \mathrm{d}{y} \int_0^{1-z} \mathrm{d}{x} \ f(x,y,z)\)
2. \(\displaystyle \displaystyle \int_0^1 \mathrm{d}{z} \int_{\sqrt z}^1 \mathrm{d}{y} \int_0^y \mathrm{d}{x} \ f(x,y,z)\)

6 ✳

Una triple integral\(\displaystyle \iiint_E f\ \mathrm{d}V\) se da en forma iterada por

\[ \int_{y=-1}^{y=1} \int_{z=0}^{z=1-y^2} \int_{x=0}^{2-y-z} f(x,y,z) \ \mathrm{d}{x} \, \mathrm{d}{z} \, \mathrm{d}{y} \nonumber \]

1. Dibuje una imagen razonablemente precisa\(E\) en 3 dimensiones. Asegúrese de mostrar las unidades en los ejes de coordenadas.
2. Reescribir la triple integral\(\iiint_E f\ \mathrm{d}V\) como una o más integrales triples iteradas en el orden

   \[ \int_{y=}^{y=} \int_{x=}^{x=} \int_{z=}^{z=} f(x,y,z) \ \mathrm{d}{z} \, \mathrm{d}{x} \, \mathrm{d}{y} \nonumber \]

7 ✳

\(\iiint_E f(x,y,z)\ \mathrm{d}V\)Se da una triple integral en la forma iterada

\[ J = \int_0^1 \int_0^{1-\frac{x}{2}} \int_0^{4-2x-4z} f(x,y,z) \ \mathrm{d}{y} \, \mathrm{d}{z} \, \mathrm{d}{x} \nonumber \]

1. Esboce el dominio\(E\) en 3—dimensiones. Asegúrese de mostrar las unidades.
2. Reescribir la integral como una o más integrales iteradas en el formulario

   \[ J = \int_{y=}^{y=} \int_{x=}^{x=} \int_{z=}^{z=} f(x,y,z) \ \mathrm{d}{z} \, \mathrm{d}{x} \, \mathrm{d}{y} \nonumber \]

8 ✳

Escribe la integral que se dan a continuación\(5\) otras formas, cada una con un orden diferente de integración.

\[ I=\int_0^1 \int_{\sqrt{x}}^1 \int_0^{1-y}\!\! f(x,y,z)\, \mathrm{d}{z} \, \mathrm{d}{y} \, \mathrm{d}{x} \nonumber \]

9 ✳

Vamos\(\displaystyle I = \iiint_E f(x,y,z)\ \mathrm{d}V\) donde\(E\) está el tetraedro con vértices\((-1, 0, 0)\text{,}\)\((0, 0, 0)\text{,}\)\((0, 0, 3)\) y\((0, -2, 0)\text{.}\)

1. Reescribir la I integral en la forma

   \[ I = \int_{x=}^{x=}\int_{y=}^{y=}\int_{z=}^{z=} f(x,y,z)\ \mathrm{d}{z} \, \mathrm{d}{y} \, \mathrm{d}{x} \nonumber \]

2. Reescribir la I integral en la forma

   \[ I = \int_{z=}^{z=}\int_{x=}^{x=}\int_{y=}^{y=} f(x,y,z)\ \mathrm{d}{y} \, \mathrm{d}{x} \, \mathrm{d}{z} \nonumber \]

10 ✳

Dejar\(T\) denotar el tetraedro delimitado por los planos de coordenadas\(x = 0\text{,}\)\(y = 0\text{,}\)\(z = 0\) y el plano\(x + y + z = 1\text{.}\) Calcular

\[ K = \iiint_T \frac{1}{ (1 + x + y + z)^4}\ \mathrm{d}V \nonumber \]

11 ✳

Dejar\(E\) ser la porción del primer octante que está por encima del plano\(z = x + y\) y por debajo del plano\(z = 2\text{.}\) La densidad en\(E\) es\(\rho(x, y, z) = z\text{.}\) Encontrar la masa de\(E\text{.}\)

12 ✳

Evaluar la triple integral\(\iiint_E x\ \mathrm{d}V\text{,}\) donde\(E\) se encuentra la región en el primer octante delimitada por el cilindro parabólico\(y = x^2\) y los planos\(y + z = 1\text{,}\)\(x = 0\text{,}\) y\(z = 0\text{.}\)

13 ✳

Dejar\(E\) ser la región en el primer octante delimitada por los planos de coordenadas, el plano\(x + y = 1\) y la superficie\(z = y^2\). Evaluar\(\iiint_E z\ \mathrm{d}V\).

14 ✳

Evaluar\(\iiint_R yz^2 e^{-xyz}\ \mathrm{d}V\) sobre la caja rectangular

\[ R=\left \{(x,y,z)|0\le x\le 1,\ 0\le y\le 2,\ 0\le z\le 3\right \} \nonumber \]

15 ✳

1. Dibuja la superficie dada por la ecuación\(z = 1 - x^2\text{.}\)
2. Dejar\(E\) ser el sólido delimitado por el plano\(y = 0\text{,}\) el cilindro\(z = 1 - x^2\text{,}\) y el plano\(y = z\text{.}\) Configurar la integral

   \[ \iiint_E f(x,y,z)\,\mathrm{d}V \nonumber \]

   como una integral iterada.

16 ✳

Let

\[ J=\int_0^1 \int_0^x\int_0^y f(x,y,z)\ \mathrm{d}{z} \, \mathrm{d}{y} \, \mathrm{d}{x} \nonumber \]

Expresar\(J\) como integral donde las integraciones se van a realizar en el orden\(x\) primero,\(y\text{,}\) luego\(z\text{.}\)

17 ✳

\(E\)Sea la región delimitada por\(z = 2x\text{,}\)\(z = y^2\text{,}\) y\(x = 3\text{.}\) La triple integral se\(\iiint f(x,y,z)\,\mathrm{d}V\) puede expresar como una integral iterada en los siguientes tres órdenes de integración. Llenar los límites de integración en cada caso. No se requiere explicación.

\[\begin{align*} &\int_{y=}^{y=}\qquad\int_{x=}^{x=}\qquad\int_{z=}^{z=}\qquad f(x,y,z)\ \mathrm{d}{z} \, \mathrm{d}{x} \, \mathrm{d}{y} \\ &\int_{y=}^{y=}\qquad\int_{z=}^{z=}\qquad\int_{x=}^{x=}\qquad f(x,y,z)\ \mathrm{d}{x} \, \mathrm{d}{z} \, \mathrm{d}{y} \\ &\int_{z=}^{z=}\qquad\int_{x=}^{x=}\qquad\int_{y=}^{y=}\qquad f(x,y,z)\ \mathrm{d}{y} \, \mathrm{d}{x} \, \mathrm{d}{z} \end{align*}\]

18 ✳

Que E sea la región dentro del cilindro\(x^2 + y^2 = 1\text{,}\) por debajo del plano\(z = y\) y por encima del plano\(z = -1\text{.}\) Exprese la integral

\[ \iiint_E f(x,y,z)\ \mathrm{d}V \nonumber \]

como tres integrales iteradas diferentes correspondientes a los órdenes de integración: (a)\( \mathrm{d}{z} \, \mathrm{d}{x} \, \mathrm{d}{y} \text{,}\) (b)\( \mathrm{d}{x} \, \mathrm{d}{y} \, \mathrm{d}{z} \text{,}\) y (c)\( \mathrm{d}{y} \, \mathrm{d}{z} \, \mathrm{d}{x} \text{.}\)

19 ✳

\(E\)Sea la región delimitada por los planos\(y=0\text{,}\)\(y=2\text{,}\)\(y+z=3\) y la superficie\(z=x^2\text{.}\) Considere la intergal

\[\begin{gather*} I=\iiint_E f(x,y,z)\ \mathrm{d}V \end{gather*}\]

Rellena los espacios en blanco a continuación. En cada parte a continuación, es posible que solo necesites una integral para expresar tu respuesta. En ese caso, deje el otro en blanco.

1. \(\displaystyle \displaystyle I=\int_{\underline{\ \ \ \ }}^{\underline{\ \ \ \ }} \int_{\underline{\ \ \ \ }}^{\underline{\ \ \ \ }} \int_{\underline{\ \ \ \ }}^{\underline{\ \ \ \ }} \! f(x,y,z)\ \mathrm{d}{z} \, \mathrm{d}{x} \, \mathrm{d}{y} + \int_{\underline{\ \ \ \ }}^{\underline{\ \ \ \ }} \int_{\underline{\ \ \ \ }}^{\underline{\ \ \ \ }} \int_{\underline{\ \ \ \ }}^{\underline{\ \ \ \ }} \! f(x,y,z)\ \mathrm{d}{z} \, \mathrm{d}{x} \, \mathrm{d}{y} \)
2. \(\displaystyle \displaystyle I=\int_{\underline{\ \ \ \ }}^{\underline{\ \ \ \ }} \int_{\underline{\ \ \ \ }}^{\underline{\ \ \ \ }} \int_{\underline{\ \ \ \ }}^{\underline{\ \ \ \ }} \! f(x,y,z)\ \mathrm{d}{x} \, \mathrm{d}{y} \, \mathrm{d}{z} + \int_{\underline{\ \ \ \ }}^{\underline{\ \ \ \ }} \int_{\underline{\ \ \ \ }}^{\underline{\ \ \ \ }} \int_{\underline{\ \ \ \ }}^{\underline{\ \ \ \ }} \! f(x,y,z)\ \mathrm{d}{x} \, \mathrm{d}{y} \, \mathrm{d}{z} \)
3. \(\displaystyle \displaystyle I=\int_{\underline{\ \ \ \ }}^{\underline{\ \ \ \ }} \int_{\underline{\ \ \ \ }}^{\underline{\ \ \ \ }} \int_{\underline{\ \ \ \ }}^{\underline{\ \ \ \ }} \! f(x,y,z)\ \mathrm{d}{y} \, \mathrm{d}{x} \, \mathrm{d}{z} + \int_{\underline{\ \ \ \ }}^{\underline{\ \ \ \ }} \int_{\underline{\ \ \ \ }}^{\underline{\ \ \ \ }} \int_{\underline{\ \ \ \ }}^{\underline{\ \ \ \ }} \! f(x,y,z)\ \mathrm{d}{y} \, \mathrm{d}{x} \, \mathrm{d}{z} \)

20 ✳

Evaluar\(\iiint_E z\,\mathrm{d}V\text{,}\) dónde\(E\) está la región delimitada por los planos\(y=0\text{,}\)\(z=0\)\(x+y=2\) y el cilindro\(y^2+z^2=1\) en el primer octante.

21 ✳

Encuentra\(\displaystyle \iiint_D x\,\mathrm{d}V\) dónde\(D\) está el tetraedro delimitado por los planos\(x=1\text{,}\)\(y=1\text{,}\)\(z=1\text{,}\) y\(x+y+z=2\text{.}\)

22 ✳

La región sólida\(T\) está delimitada por los planos\(x=0\text{,}\)\(y=0\text{,}\)\(z=0\text{,}\) y\(x+y+z=2\) y la superficie\(x^2+z=1\text{.}\)

1. Dibuja la región indicando las coordenadas de todas las esquinas.
2. Calcular\(\iiint_T x\,\mathrm{d}V\text{.}\)