3.4.E: Aproximaciones de segundo orden (ejercicios)

Ejercicio\(\PageIndex{1}\)

Vamos\(f(x, y)=x^{3} y^{2}-4 x^{2} e^{-3 y}\). Encuentra lo siguiente.

(a)\(\frac{\partial^{2}}{\partial x \partial y} f(x, y)\)

b)\(\frac{\partial^{2}}{\partial y \partial x} f(x, y)\)

c)\(\frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}} f(x, y)\)

d)\(\frac{\partial^{3}}{\partial x \partial y \partial x} f(x, y)\)

e)\(\frac{\partial^{3}}{\partial x \partial y^{2}} f(x, y)\)

f)\(\frac{\partial^{3}}{\partial y^{3}} f(x, y)\)

g)\(f_{y y}(x, y)\)

h)\(f_{y x y}(x, y)\)

Contestar

(a)\(\frac{\partial^{2}}{\partial x \partial y} f(x, y)=6 x^{2}+24 e^{-3 y}\)

c)\(\frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}} f(x, y)=6 x y^{2}-8 e^{-3 y}\)

e)\(\frac{\partial^{3}}{\partial x \partial y^{2}} f(x, y)=6 x^{2}-72 x e^{-3 y}\)

g)\(f_{y y}(x, y)=x^{3}-36 x^{2} e^{-3 y}\)

Ejercicio\(\PageIndex{2}\)

Vamos\(f(x, y, z)=\frac{x y}{x^{2}+y^{2}+z^{2}}\). Encuentra lo siguiente.

(a)\(\frac{\partial^{2}}{\partial z \partial x} f(x, y, z)\)

b)\(\frac{\partial^{2}}{\partial y \partial z} f(x, y, z)\)

c)\(\frac{\partial^{2}}{\partial z^{2}} f(x, y, z)\)

d)\(\frac{\partial^{3}}{\partial x \partial y \partial z} f(x, y, z)\)

e)\(f_{z y x}(x, y, z)\)

f)\(f_{y y y}(x, y, z)\)

Contestar

(a)\(\frac{\partial^{2}}{\partial z \partial x} f(x, y, z)=\frac{2 y z\left(3 x^{2}-y^{2}-z^{2}\right)}{\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{3}}\)

c)\(\frac{\partial^{2}}{\partial z^{2}} f(x, y, z)=\frac{2 x y\left(3 z^{2}-x^{2}-y^{2}\right)}{\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{3}}\)

e)\(\frac{\partial^{3}}{\partial z \partial y \partial x} f(x, y, z)=\frac{2 z\left(3 x^{4}-18 x^{2} y^{2}+3 y^{4}+2 x^{2} z^{2}+2 y^{2} z^{2}-z^{4}\right)}{\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{4}}\)

Ejercicio\(\PageIndex{3}\)

Encuentra el hessian de cada una de las siguientes funciones.

(a)\(f(x, y)=3 x^{2} y-4 x y^{3}\)

b)\(g(x, y)=4 e^{-x} \cos (3 y)\)

c)\(g(x, y, z)=4 x y^{2} z^{3}\)

d)\(f(x, y, z)=-\log \left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)\)

Contestar

(a)\ (H f (x, y) =\ left [\ begin {array} {cc}
6 y & 6 x-12 y^ {2}\\
6 x-12 y^ {2} & -24 x y
\ end {array}\ derecha]\)

(b)\ (H f (x, y, z) =\ left [\ begin {array} {ccc}
0 & 8 y z^ {3} & 12 y^ {2} z^ {2}\\
8 y z^ {3} & 8 x z^ {3} & 24 x y z^ {2}\\
12 y^ {2} z^ {2} y 24 x y z^ {2}} & 24 x y^ {2} z
\ end {array}\ derecha]\)

Ejercicio\(\PageIndex{4}\)

Encuentra el polinomio Taylor de segundo orden para cada uno de los siguientes en el punto\(\mathbf{c}\).

(a)\(f(x, y)=x e^{-y}, \mathbf{c}=(0,0)\)

b)\(g(x, y)=x \sin (x+y), \mathbf{c}=(0,0)\)

c)\(f(x, y)=\frac{1}{x+y}, \mathbf{c}=(1,1)\)

d)\(g(x, y, z)=e^{x-2 y+3 z}, \mathbf{c}=(0,0,0)\)

Contestar

(a)\(P_{2}(x, y)=x-x y\)

c)\( \text { (c) } P_{2}(x, y)=\frac{1}{2}-\frac{1}{4}(x-1)-\frac{1}{4}(y-1)+\frac{1}{8}(x-1)^{2}+\frac{1}{4}(x-1)(y-1)+\frac{1}{8}(y-1)^{2}\)

Ejercicio\(\PageIndex{5}\)

Clasifique cada una de las siguientes\(2 \times 2\) matrices simétricas como positivas definidas, negativas definidas, indefinidas o no definidas.

(a)\ (\ left [\ begin {array} {ll}
3 & 2\\
2 & 4
\ end {array}\ right]\)

(b)\ (\ left [\ begin {array} {ll}
1 & 2\\
2 & 2
\ end {array}\ right]\)

(c)\ (\ left [\ begin {array} {rr}
-2 & 3\\
3 & -5
\ end {array}\ right]\)

(d)\ (\ left [\ begin {array} {ll}
0 & 1\\
1 & 0
\ end {array}\ right]\)

(e)\ (\ left [\ begin {array} {ll}
1 & 0\\
0 & 1
\ end {array}\ right]\)

(f)\ (\ left [\ begin {array} {ll}
8 & 4\\
4 & 2
\ end {array}\ right]\)

Contestar

a) Definitivo positivo

c) Definitivo negativo

e) Definitivo positivo

Ejercicio\(\PageIndex{6}\)

Dejar\(M\) ser una matriz\(n \times n\) simétrica no definida y definir\(q: \mathbb{R}^{n} \rightarrow \mathbb{R}\) por

\[ q(\mathbf{x})=\mathbf{x}^{T} M \mathbf{x} . \nonumber \]

Explique por qué (1) existe un vector\(\mathbf{a} \neq \mathbf{0}\) tal que\(q(\mathbf{a})=0\) y (2) ya sea\(q(\mathbf{x}) \geq 0\) para todos\(\mathbf{x}\) en\(\mathbb{R}^n\) o\(q(\mathbf{x}) \leq 0\) para todos\(\mathbf{x}\) en\(\mathbb{R}^n\).

Ejercicio\(\PageIndex{7}\)

Supongamos que\(f: \mathbb{R}^{n} \rightarrow \mathbb{R}\) está\(C^2\) en una bola abierta\(B^{n}(\mathbf{c}, r), \nabla f(\mathbf{c})=\mathbf{0},\) y\(H f(\mathbf{x})\) es positivo definido para todos\(\mathbf{x}\) en\(B^{n}(\mathbf{c}, r)\). \(f(\mathbf{c})<f(\mathbf{x})\)Demuéstralo para todos\(\mathbf{x}\) en\(B^{n}(\mathbf{c}, r)\). ¿Qué pasaría si\(H f(\mathbf{x})\) fueran negativos definitivos para todos\(\mathbf{x}\) en\(B^{n}(\mathbf{c}, r)\)? ¿Qué dice esto en el caso\(n=1\)?

Ejercicio\(\PageIndex{8}\)

Let

\[ f(x, y)= \begin{cases}\frac{x y\left(x^{2}-y^{2}\right)}{x^{2}+y^{2}}, & \text { if }(x, y) \neq(0,0), \\ 0, & \text { if }(x, y)=(0,0). \end{cases} \nonumber \]

(a) Demostrar eso\(f_{x}(0, y)=-y\) para todos\(y\).

(b) Demostrar eso\(f_{y}(x, 0)=x\) para todos\(x\).

c) Demostrar que\(f_{y x}(0,0) \neq f_{x y}(0,0) .\)

d) ¿Es\(f\)\(C^2\)?