3.4.E: Aproximaciones de segundo orden (ejercicios)

Ejercicio$\PageIndex{1}$

Vamos$f(x, y)=x^{3} y^{2}-4 x^{2} e^{-3 y}$. Encuentra lo siguiente.

(a)$\frac{\partial^{2}}{\partial x \partial y} f(x, y)$

b)$\frac{\partial^{2}}{\partial y \partial x} f(x, y)$

c)$\frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}} f(x, y)$

d)$\frac{\partial^{3}}{\partial x \partial y \partial x} f(x, y)$

e)$\frac{\partial^{3}}{\partial x \partial y^{2}} f(x, y)$

f)$\frac{\partial^{3}}{\partial y^{3}} f(x, y)$

g)$f_{y y}(x, y)$

h)$f_{y x y}(x, y)$

Contestar

(a)$\frac{\partial^{2}}{\partial x \partial y} f(x, y)=6 x^{2}+24 e^{-3 y}$

c)$\frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}} f(x, y)=6 x y^{2}-8 e^{-3 y}$

e)$\frac{\partial^{3}}{\partial x \partial y^{2}} f(x, y)=6 x^{2}-72 x e^{-3 y}$

g)$f_{y y}(x, y)=x^{3}-36 x^{2} e^{-3 y}$

Ejercicio$\PageIndex{2}$

Vamos$f(x, y, z)=\frac{x y}{x^{2}+y^{2}+z^{2}}$. Encuentra lo siguiente.

(a)$\frac{\partial^{2}}{\partial z \partial x} f(x, y, z)$

b)$\frac{\partial^{2}}{\partial y \partial z} f(x, y, z)$

c)$\frac{\partial^{2}}{\partial z^{2}} f(x, y, z)$

d)$\frac{\partial^{3}}{\partial x \partial y \partial z} f(x, y, z)$

e)$f_{z y x}(x, y, z)$

f)$f_{y y y}(x, y, z)$

Contestar

(a)$\frac{\partial^{2}}{\partial z \partial x} f(x, y, z)=\frac{2 y z\left(3 x^{2}-y^{2}-z^{2}\right)}{\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{3}}$

c)$\frac{\partial^{2}}{\partial z^{2}} f(x, y, z)=\frac{2 x y\left(3 z^{2}-x^{2}-y^{2}\right)}{\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{3}}$

e)$\frac{\partial^{3}}{\partial z \partial y \partial x} f(x, y, z)=\frac{2 z\left(3 x^{4}-18 x^{2} y^{2}+3 y^{4}+2 x^{2} z^{2}+2 y^{2} z^{2}-z^{4}\right)}{\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{4}}$

Ejercicio$\PageIndex{3}$

Encuentra el hessian de cada una de las siguientes funciones.

(a)$f(x, y)=3 x^{2} y-4 x y^{3}$

b)$g(x, y)=4 e^{-x} \cos (3 y)$

c)$g(x, y, z)=4 x y^{2} z^{3}$

d)$f(x, y, z)=-\log \left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)$

Contestar

(a)\ (H f (x, y) =\ left [\ begin {array} {cc}
6 y & 6 x-12 y^ {2}\\
6 x-12 y^ {2} & -24 x y
\ end {array}\ derecha]\)

(b)\ (H f (x, y, z) =\ left [\ begin {array} {ccc}
0 & 8 y z^ {3} & 12 y^ {2} z^ {2}\\
8 y z^ {3} & 8 x z^ {3} & 24 x y z^ {2}\\
12 y^ {2} z^ {2} y 24 x y z^ {2}} & 24 x y^ {2} z
\ end {array}\ derecha]\)

Ejercicio$\PageIndex{4}$

Encuentra el polinomio Taylor de segundo orden para cada uno de los siguientes en el punto$\mathbf{c}$.

(a)$f(x, y)=x e^{-y}, \mathbf{c}=(0,0)$

b)$g(x, y)=x \sin (x+y), \mathbf{c}=(0,0)$

c)$f(x, y)=\frac{1}{x+y}, \mathbf{c}=(1,1)$

d)$g(x, y, z)=e^{x-2 y+3 z}, \mathbf{c}=(0,0,0)$

Contestar

(a)$P_{2}(x, y)=x-x y$

c)$\text { (c) } P_{2}(x, y)=\frac{1}{2}-\frac{1}{4}(x-1)-\frac{1}{4}(y-1)+\frac{1}{8}(x-1)^{2}+\frac{1}{4}(x-1)(y-1)+\frac{1}{8}(y-1)^{2}$

Ejercicio$\PageIndex{5}$

Clasifique cada una de las siguientes$2 \times 2$ matrices simétricas como positivas definidas, negativas definidas, indefinidas o no definidas.

(a)\ (\ left [\ begin {array} {ll}
3 & 2\\
2 & 4
\ end {array}\ right]\)

(b)\ (\ left [\ begin {array} {ll}
1 & 2\\
2 & 2
\ end {array}\ right]\)

(c)\ (\ left [\ begin {array} {rr}
-2 & 3\\
3 & -5
\ end {array}\ right]\)

(d)\ (\ left [\ begin {array} {ll}
0 & 1\\
1 & 0
\ end {array}\ right]\)

(e)\ (\ left [\ begin {array} {ll}
1 & 0\\
0 & 1
\ end {array}\ right]\)

(f)\ (\ left [\ begin {array} {ll}
8 & 4\\
4 & 2
\ end {array}\ right]\)

Contestar

a) Definitivo positivo

c) Definitivo negativo

e) Definitivo positivo

Ejercicio$\PageIndex{6}$

Dejar$M$ ser una matriz$n \times n$ simétrica no definida y definir$q: \mathbb{R}^{n} \rightarrow \mathbb{R}$ por

$$q(\mathbf{x})=\mathbf{x}^{T} M \mathbf{x} . \nonumber$$

Explique por qué (1) existe un vector$\mathbf{a} \neq \mathbf{0}$ tal que$q(\mathbf{a})=0$ y (2) ya sea$q(\mathbf{x}) \geq 0$ para todos$\mathbf{x}$ en$\mathbb{R}^n$ o$q(\mathbf{x}) \leq 0$ para todos$\mathbf{x}$ en$\mathbb{R}^n$.

Ejercicio$\PageIndex{7}$

Supongamos que$f: \mathbb{R}^{n} \rightarrow \mathbb{R}$ está$C^2$ en una bola abierta$B^{n}(\mathbf{c}, r), \nabla f(\mathbf{c})=\mathbf{0},$ y$H f(\mathbf{x})$ es positivo definido para todos$\mathbf{x}$ en$B^{n}(\mathbf{c}, r)$. $f(\mathbf{c})<f(\mathbf{x})$Demuéstralo para todos$\mathbf{x}$ en$B^{n}(\mathbf{c}, r)$. ¿Qué pasaría si$H f(\mathbf{x})$ fueran negativos definitivos para todos$\mathbf{x}$ en$B^{n}(\mathbf{c}, r)$? ¿Qué dice esto en el caso$n=1$?

Ejercicio$\PageIndex{8}$

Let

$$f(x, y)= \begin{cases}\frac{x y\left(x^{2}-y^{2}\right)}{x^{2}+y^{2}}, & \text { if }(x, y) \neq(0,0), \\ 0, & \text { if }(x, y)=(0,0). \end{cases} \nonumber$$

(a) Demostrar eso$f_{x}(0, y)=-y$ para todos$y$.

(b) Demostrar eso$f_{y}(x, 0)=x$ para todos$x$.

c) Demostrar que$f_{y x}(0,0) \neq f_{x y}(0,0) .$

d) ¿Es$f$$C^2$?