1.3: Espacios métricos

La noción de espacio métrico proporciona una forma rigurosa de decir: “podemos medir distancias seguras entre puntos”. Es decir, en vez de (i) en la Sección 1.1, podemos decir “El plano euclidiano es un espacio métrico”.

Definición

Dejar$\mathcal{X}$ ser un conjunto no vacío y$d$ ser una función que devuelve un número real$d(A, B)$ para cualquier par$A, B \in \mathcal{X}$. Entonces$d$ se llama métrica en$\mathcal{X}$ si por alguna$A, B, C \in \mathcal{X}$, se cumplen las siguientes condiciones:

a) Positividad:

$$d(A, B) \ge 0.$$

b)$A = B$ si y sólo si

$$d(A, B) = 0.$$

c) Simetría:

$$d(A, B) = d(B, A)$$

d) Desigualdad triangular:

$$d(A, C) \le d(A, B) + d(B, C).$$

Un espacio métrico es un conjunto con una métrica en él. De manera más formal, un espacio métrico es un par$(\mathcal{X}, d)$ donde$\mathcal{X}$ es un conjunto y$d$ es una métrica encendido$\mathcal{X}$.

Los elementos de$\mathcal{X}$ se denominan puntos del espacio métrico. Dados dos puntos$A, B \in \mathcal{X}$, el valor$d(A, B)$ se llama distancia de$A$ a$B$.

Ejemplo$\PageIndex{1}$ Discrete metric

$\mathcal{X}$Déjese ser un conjunto arbitrario. Para cualquiera$A, B \in \mathcal{X}$, establezca$d(A, B) = 0$ si$A = B$ y de$d(A, B) = 1$ otra manera. La métrica$d$ se llama métrica discreta en$\mathcal{X}$.

Ejemplo$\PageIndex{2}$ Real line

Conjunto de todos los números reales ($\mathbb{R}$) con métrica$d$ definida por

$$d(A, B) := |A - B|.$$

Ejercicio$\PageIndex{1}$

Mostrar que no$d(A, B) = |A - B|^2$ es una métrica en$\mathbb{R}$.

Métricas en el plano. Supongamos que$\mathbb{R}^2$ denota el conjunto de todos los pares$(x, y)$ de números reales. Asumir$A = (x_A, y_A)$ y$B = (x_B, y_B)$. Considere las siguientes métricas sobre$\mathbb{R}^2$:

• Métrica euclidiana, denotada por$d_2$, y definida como
  $$d_2(A, B) = \sqrt{(x_A - x_B)^2 + (y_A - y_B)^2}.$$
• Métrica de Manhattan, denotada por$d_1$ y definida como
  $$d_1(A, B) = |x_A - x_B| + |y_A - y_B|.$$
• Métrica máxima, denotada por$d_{\infty}$ y definida como
  $$d_{\infty}(A, B) = \max \{|x_A - x_B|, |y_A - y_B|\}.$$

Pista

Verifique la desigualdad del triángulo para$A = 0$,$B = 1$ y$C = 2$.

Ejercicio$\PageIndex{2}$

Demostrar que las siguientes funciones son métricas sobre$\mathbb{R}^2$:

a)$d_1$;
b)$d_2$;
c)$d_{\infty}$.

Contestar

Sólo la desigualdad triangular requiere una prueba — el resto de condiciones en la Definición 1.1 son evidentes. Vamos$A = x_A, y_A)$,$B = (x_B, y_B)$, y$C = (x_C, y_C)$. Set

$x_1 = x_B - x_A$,$y_1 = y_B - y_A$,
$x_2 = x_C - x_B$,$y_2 = y_C - y_B$.

a). La desigualdad

$$d_1(A, C) \le d_1(A, B) + d_1(B, C)$$

se puede escribir como

$$|x_1 + x_2| + |y_1 + y_2| \le |x_1| + |y_1| + |x_2| + |y_2|.$$

Esto último sigue desde$|x_1 + x_2| \le |x_1| + |x_2|$ y$|y_1 + y_2| \le |y_1| + |y_2|$.

b). La desigualdad

$$d_2(A, C) \le d_2 (A, B) + d_2(B, C)$$

se puede escribir como

$$\sqrt{(x_1 + x_2)^2 + (y_1 + y_2)^2} \le \sqrt{x_1^2 + y_1^2} + \sqrt{x_2^2 + y_2^2}.$$

Toma el cuadrado de los lados izquierdo y derecho, simplifica, vuelve a tomar el cuadrado y vuelve a simplificar. Deberías obtener la siguiente desigualdad

$$0 \le (x_1 \cdot y_2 - x_2 \cdot y_1)^2,$$

lo que equivale a 1.3.9 y evidentemente cierto.

c). La desigualdad

$$d_{\infty} (A, C) \le d_{\infty} (A, B) + d_{\infty} (B, C)$$

se puede escribir como

$$\max \{|x_1 + x_2|, |y_1 + y_2|\} \le \max \{|x_1|, |y_1|\} + \max \{|x_2|, |y_2|\}.$$

Sin pérdida de generalidad, podemos suponer que

$$\max \{|x_1 + x_2|, |y_1 + y_2|\} = |x_1 + x_2|.$$

Además,

$$|x_1 + x_2| \le |x_1| + |x_2| \le \max \{|x_1|, |y_1|\} + \max \{|x_2|, |y_2|\}.$$

De ahí que siga 1.3.13.