1.3: Espacios métricos

La noción de espacio métrico proporciona una forma rigurosa de decir: “podemos medir distancias seguras entre puntos”. Es decir, en vez de (i) en la Sección 1.1, podemos decir “El plano euclidiano es un espacio métrico”.

Definición

Dejar\(\mathcal{X}\) ser un conjunto no vacío y\(d\) ser una función que devuelve un número real\(d(A, B)\) para cualquier par\(A, B \in \mathcal{X}\). Entonces\(d\) se llama métrica en\(\mathcal{X}\) si por alguna\(A, B, C \in \mathcal{X}\), se cumplen las siguientes condiciones:

a) Positividad:

\[d(A, B) \ge 0.\]

b)\(A = B\) si y sólo si

\[d(A, B) = 0.\]

c) Simetría:

\[d(A, B) = d(B, A)\]

d) Desigualdad triangular:

\[d(A, C) \le d(A, B) + d(B, C).\]

Un espacio métrico es un conjunto con una métrica en él. De manera más formal, un espacio métrico es un par\((\mathcal{X}, d)\) donde\(\mathcal{X}\) es un conjunto y\(d\) es una métrica encendido\(\mathcal{X}\).

Los elementos de\(\mathcal{X}\) se denominan puntos del espacio métrico. Dados dos puntos\(A, B \in \mathcal{X}\), el valor\(d(A, B)\) se llama distancia de\(A\) a\(B\).

Ejemplo\(\PageIndex{1}\) Discrete metric

\(\mathcal{X}\)Déjese ser un conjunto arbitrario. Para cualquiera\(A, B \in \mathcal{X}\), establezca\(d(A, B) = 0\) si\(A = B\) y de\(d(A, B) = 1\) otra manera. La métrica\(d\) se llama métrica discreta en\(\mathcal{X}\).

Ejemplo\(\PageIndex{2}\) Real line

Conjunto de todos los números reales (\(\mathbb{R}\)) con métrica\(d\) definida por

\[d(A, B) := |A - B|.\]

Ejercicio\(\PageIndex{1}\)

Mostrar que no\(d(A, B) = |A - B|^2\) es una métrica en\(\mathbb{R}\).

Métricas en el plano. Supongamos que\(\mathbb{R}^2\) denota el conjunto de todos los pares\((x, y)\) de números reales. Asumir\(A = (x_A, y_A)\) y\(B = (x_B, y_B)\). Considere las siguientes métricas sobre\(\mathbb{R}^2\):

• Métrica euclidiana, denotada por\(d_2\), y definida como
  \[d_2(A, B) = \sqrt{(x_A - x_B)^2 + (y_A - y_B)^2}.\]
• Métrica de Manhattan, denotada por\(d_1\) y definida como
  \[d_1(A, B) = |x_A - x_B| + |y_A - y_B|.\]
• Métrica máxima, denotada por\(d_{\infty}\) y definida como
  \[d_{\infty}(A, B) = \max \{|x_A - x_B|, |y_A - y_B|\}.\]

Pista

Verifique la desigualdad del triángulo para\(A = 0\),\(B = 1\) y\(C = 2\).

Ejercicio\(\PageIndex{2}\)

Demostrar que las siguientes funciones son métricas sobre\(\mathbb{R}^2\):

a)\(d_1\);
b)\(d_2\);
c)\(d_{\infty}\).

Contestar

Sólo la desigualdad triangular requiere una prueba — el resto de condiciones en la Definición 1.1 son evidentes. Vamos\(A = x_A, y_A)\),\(B = (x_B, y_B)\), y\(C = (x_C, y_C)\). Set

\(x_1 = x_B - x_A\),\(y_1 = y_B - y_A\),
\(x_2 = x_C - x_B\),\(y_2 = y_C - y_B\).

a). La desigualdad

\[d_1(A, C) \le d_1(A, B) + d_1(B, C)\]

se puede escribir como

\[|x_1 + x_2| + |y_1 + y_2| \le |x_1| + |y_1| + |x_2| + |y_2|.\]

Esto último sigue desde\(|x_1 + x_2| \le |x_1| + |x_2|\) y\(|y_1 + y_2| \le |y_1| + |y_2|\).

b). La desigualdad

\[d_2(A, C) \le d_2 (A, B) + d_2(B, C)\]

se puede escribir como

\[\sqrt{(x_1 + x_2)^2 + (y_1 + y_2)^2} \le \sqrt{x_1^2 + y_1^2} + \sqrt{x_2^2 + y_2^2}.\]

Toma el cuadrado de los lados izquierdo y derecho, simplifica, vuelve a tomar el cuadrado y vuelve a simplificar. Deberías obtener la siguiente desigualdad

\[0 \le (x_1 \cdot y_2 - x_2 \cdot y_1)^2,\]

lo que equivale a 1.3.9 y evidentemente cierto.

c). La desigualdad

\[d_{\infty} (A, C) \le d_{\infty} (A, B) + d_{\infty} (B, C)\]

se puede escribir como

\[\max \{|x_1 + x_2|, |y_1 + y_2|\} \le \max \{|x_1|, |y_1|\} + \max \{|x_2|, |y_2|\}.\]

Sin pérdida de generalidad, podemos suponer que

\[\max \{|x_1 + x_2|, |y_1 + y_2|\} = |x_1 + x_2|.\]

Además,

\[|x_1 + x_2| \le |x_1| + |x_2| \le \max \{|x_1|, |y_1|\} + \max \{|x_2|, |y_2|\}.\]

De ahí que siga 1.3.13.