7.3: Propiedad Transversal

Si la línea$t$ se cruza con cada línea$\ell$ y$m$ en un punto, entonces decimos que$t$ es una transversal a$\ell$ y$m$. Por ejemplo, en el diagrama, la línea ($CB$) es una transversal a ($AB$) y ($CD$).

Teorema$\PageIndex{1}$: Transversal Property

$(AB) \parallel (CD)$si y solo si

$$2 \cdot (\measuredangle ABC + \measuredangle BCD) \equiv 0. \nonumber$$

Equivalentemente

$\measuredangle ABC + \measuredangle BCD \equiv 0$o$\measuredangle ABC + \measuredangle BCD \equiv \pi.$

Por otra parte$(AB) \ne (CD)$, si, entonces en el primer caso,$A$ y se$D$ encuentran en lados opuestos de$(BC)$; en el segundo caso,$A$ y se$D$ encuentran en los mismos lados de$(BC)$.

Prueba

“solo si” parte. Denotar por$O$ el punto medio de$[BC]$.

Asumir$(AB) \parallel (CD)$. Según el Teorema 7.2.1,$(CD)$ es un reflejo de$(AB)$ a través$O$.

Que$A'$ sea el reflejo de$A$ través$O$. Entonces$A' \in (CD)$ y por la Proposición 7.2.1 tenemos que

$$\measuredangle ABO = \measuredangle A'CO.$$

Tenga en cuenta que

$$\measuredangle ABO \equiv \measuredangle ABC, \ \ \ \ \measuredangle A'CO \equiv \measuredangle BCA'.$$

Dado que$A', C$ y$D$ se encuentran en una línea, el Ejercicio 2.4.2 implica que

$$2 \cdot \measuredangle BCD \equiv 2 \cdot \measuredangle BCA'.$$

Por último señalar que 7.3.2, 7.3.3 y 7.3.4 implican 7.3.1.

“Si” -parte. Por Teorema 7.2.1 hay una línea única$(CD)$ a través$C$ que es paralela a$(AB)$. De la parte “solo si” sabemos que 7.3.1 sostiene.

Por otro lado, hay una línea única$(CD)$ tal que 7.3.1 sostiene. En efecto, supongamos que hay dos líneas de este tipo$(CD)$ y$(CD')$, entonces

$2 \cdot (\measuredangle ABC + \measuredangle BCD) \equiv 2 \cdot (\measuredangle ABC + \measuredangle BCD') \equiv 0$.

Por lo tanto$2 \cdot \measuredangle BCD \equiv 2 \cdot BCD'$ y por el Ejercicio 2.4.2$D' \in (CD)$,, o equivalentemente la línea$(CD)$ coincide con$(CD')$.

Por lo tanto si 7.3.1 se mantiene, entonces$(CD) \parallel (AB)$.

Por último, si$(AB) \ne (CD)$ y$A$ y$D$ se encuentran en los lados opuestos de$(BC)$, entonces$\angle ABC$ y$\angle BCD$ tienen signos opuestos. Por lo tanto

$-\pi < \measuredangle ABC + \measuredangle BCD < \pi.$

Aplicando 7.3.1, obtenemos$\measuredangle ABC + \measuredangle BCD = 0$.

Del mismo modo si$A$ y se$D$ encuentran en el mismo lado de$(BC)$, entonces$\angle ABC$ y$\angle BCD$ tienen el mismo signo. Por lo tanto

$0 < |\measuredangle ABC + \measuredangle BCD| < 2\cdot \pi$

y 7.3.1 implica eso$\measurdangle ABC + \measuredangle BCD \equiv \pi$.

Ejercicio$\PageIndex{1}$

$\triangle ABC$Sea un triángulo no degenerado, y$P$ se encuentra entre$A$ y$B$. Supongamos que una línea$\ell$ pasa a través$P$ y es paralela a$(AC)$. Demostrar que$\ell$ cruza el costado$[BC]$ en otro punto, digamos$Q$, y

$\triangle ABC \sim \triangle PBQ.$

En particular,

$\dfrac{PB}{AB} = \dfrac{QB}{CB}.$

Pista

Ya que$\ell \parallel (AC)$, no puede cruzar$[AC]$. Por el teorema de Pasch (Teorema 3.4.1),$\ell$ tiene que cruzar otro lado de$\triangle ABC$. Por lo tanto$\ell$ cruzar$[BC]$; denotar el punto de intersección por$Q$.

Utilizar la propiedad transversal (Teorema$\PageIndex{1}$) para mostrar eso$\measuredangle BAC = \measuredangle BPQ$. El mismo argumento demuestra que$\measuredangel ACB = \measuredangle PQB$; queda por aplicar la condición de similitud AA.

Ejercicio$\PageIndex{2}$

Trisecta un segmento dado con una regla y una brújula.

Contestar

Supongamos que necesitamos trisectar segmento$[AB]$. Construye una línea$\ell \ne (AB)$ con cuatro puntos$A, C_1, C_2, C_3$ tales que$C_1$ y$C_2$ trisecta$[AC_3]$. Dibuja la línea$(BC_3)$ y dibuja líneas paralelas a través$C_1$ y$C_2$. Los puntos de intersecciones de estas dos líneas con$(AB)$ trisectan el segmento$[AB]$.