7.E: Aplicaciones de Integración (Ejercicios)
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Términos y Conceptos
1. T/F: El son entre curvas siempre es positivo.
2. T/F: El cálculo se puede utilizar para encontrar el área de formas geométricas básicas.
3. En sus propias palabras, describa cómo encontrar el área total que encierra\(y=f(x)\text{ and }y=g(x)\).
Problemas
En Ejercicios 4-10, encuentra el área de la región sombreada en la gráfica dada.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
En Ejercicios 11-16, encuentra el área total encerrada por las funciones\(f\) y\(g\).
11. \(f(x)=2x^2+5x-3,\, g(x)=x^2+4x-1\)
12. \(f(x)=x^2-3x+2,\, g(x)=-3x+3\)
13. \(f(x)=\sin x,\, g(x)=2x/\pi\)
14.. \(f(x)=x^3-4x^2+x-1,\, g(x)=-x^2+2x-4\)
15. \(f(x)=x,\, g(x)=\sqrt{x}\)
16. \(f(x)=-x^3+5x^2+2x+1,\, g(x)=3x^2+x+3\)
17. Las funciones se\(f(x)=\cos (2x)\text{ and }g(x) =\sin x\) cruzan infinitamente muchas veces, formando un número infinito de regiones repetidas y cerradas. Encuentra las zonas de estas regiones.
En los Ejercicios 18-22, encontrar el área de la región cerrada de dos maneras:
1. tratando los límites como funciones de x, y
2. tratando los límites como funciones de y.
18.
19.
20.
21.
22.
En Ejercicios 23-26, encuentra el triángulo are formado por los tres puntos dados.
23. \((1,1),\, (2,3)\text{ and }(3,3)\)
24. \((-1,1),\, (1,3)\text{ and }(2,-1)\)
25. \((1,1),\, (3,3)\text{ and }(3,3)\)
26. \((0,0),\, (2,5)\text{ and }(5,2)\)
27. Use la Regla Trapezoidal para aproximar el área del lago representado cuyas longitudes, en cientos de pies, se miden en incrementos de 100 pies.
28. Use la Regla de Simpson para aproximar el área del lago en la foto cuyas longitudes, en cientos de pies, se miden en incrementos de 200 pies.
7.2: Volumen por Área de la Transversal: Métodos de Disco y Arandela
Términos y Conceptos
1. T/F: Un sólido de revolución se forma girando una forma alrededor de un eje.
2. En sus propias palabras, explique cómo se relacionan los Métodos de Disco y Lavadora.
3 Explicar cómo se encuentran las unidades de volumen en la integral del Teorema 54: si\(A(x)\) tiene unidades de in\(^2\), ¿cómo\(\int A(x)\,dx\) tiene unidades de in\(^3\)?
Problemas
En los Ejercicios 4-7, se sombrea una región del plano cartesiano. Utilice el Método de Disco/Arandela para encontrar el volumen del sólido de revolución formado al girar la región alrededor del eje x.
4.
5.
6.
7.
En los Ejercicios 8-11 se sombrea una región del plano cartesiano. Utilice el Método de Disco/Arandela para encontrar el volumen del sólido de revolución formado al girar la región alrededor del eje y.
8.
9.
10.
(Sugerencia: La integración por partes será necesaria, dos veces. Primero vamos\(u=\text{arccos}^2 x\), luego vamos\(u=\text{arccos } x\).)
11.
En los Ejercicios 12-17 se describe una región del plano cartesiano. Utilice el Método de Disco/Arandela para encontrar el volumen del sólido de revolución formado al girar la región alrededor de cada uno de los ejes dados.
12. Región delimitada por:\(y=\sqrt{x},\,y=0\text{ and }x=1.\)
Rotar alrededor de:
(a) el eje x
(b)\(y=1\)
(c) el eje y
(d)\(x=1\)
13. Región delimitada por:\(y=4-x^2\text{ and }y=0.\)
Rotar alrededor de:
(a) el eje x
(b)\(y=4\)
(c)\(y=-1\)
(d)\(x=2\)
14. El triángulo con vértices\((1,1),\,(1,2)\text{ and }(2,1).\)
Rota alrededor de:
(a) el eje x
(b)\(y=2\)
(c) el eje y
(d)\(x=1\)
15. Región delimitada por:\(y=y=x^2-2x+2,\text{ and }y=2x-1.\)
Rotar alrededor de:
(a) el eje x
(b)\(y=1\)
(c)\(y=5\)
16. Región delimitada por:\(y=1/\sqrt{x^2+1},\,x=-1,\,x=1 \text{ and the x-axis}.\)
Rotar alrededor de:
(a) el eje x
(b)\(y=1\)
(c)\(y=-1\)
17. Región delimitada por:\(y=2x,\,y=x\text{ and }x=2.\)
Rotar alrededor de:
(a) el eje x
(b)\(y=4\)
(c) el eje y
(d)\(x=2\)
En los Ejercicios 18-21, se describe un sólido. Orientar el sólido a lo largo del eje x de tal manera que se\(A(x)\) pueda obtener una función de área de sección transversal, luego aplique el Teorema 54 para encontrar el volumen del sólido.
18. Un cono circular derecho con altura de 10 y radio base de 5.
19. Un cono circular derecho oblicuo con altura de 10 y radio base de 5. (Pista: todas las secciones transversales son círculos.)
20. Un cono triángulo rectángulo con altura de 10 y cuya base es un triángulo isósceles derecho con longitud lateral 4.
21. Un sólido con longitud 10 con base rectangular y tapa triangular, en donde un extremo es un cuadrado con longitud lateral 5 y el otro extremo es un triángulo con base y altura de 5.
7.3: El Método Shell
Términos y Conceptos
1. T/F: Un sólido de revolución se forma girando una forma alrededor de un eje.
2. T/F: El Método Shell solo se puede usar cuando falla el Método de Arandela.
3. T/F: El Método Shell funciona integrando áreas transversales de un sólido.
4. T/F: Al encontrar el volumen de un sólido de revolución que giraba alrededor de un eje vertical, el Método Shell se integra con respecto a x.
Problemas
En los Ejercicios 5-8, se sombrea una región del plano cartesiano. Utilice el Método Shell para encontrar el volumen del sólido de revolución formado al girar la región alrededor del eje y.
5.
6.
7.
8.
En los Ejercicios 9-12 se sombrea una región del plano cartesiano. Utilice el Método Shell para encontrar el volumen del sólido de revolución formado al girar la región alrededor del eje x.
9.
10.
11.
12.
En los Ejercicios 13-18 se describe una región del plano cartesiano. Utilice el Método Shell para encontrar el volumen del sólido de revolución formado por la rotación de la región alrededor de cada uno de los ejes dados.
13. Región delimitada por:\(y=\sqrt{x},\,y=0\text{ and }x=1.\)
Rotar alrededor de:
(a) el eje x
(b)\(y=1\)
(c) el eje y
(d)\(x=1\)
14. Región delimitada por:\(y=4-x^2\text{ and }y=0.\)
Rotar alrededor de:
(a)\(x=2\)
(b)\(x=-2\)
(c) el eje x
(d)\(y=4\)
15. El triángulo con vértices\((1,1),\,(1,2)\text{ and }(2,1).\)
Rota alrededor de:
(a) el eje x
(b)\(x=1\)
(c) el eje x
(d)\(y=2\)
16. Región delimitada por:\(y=y=x^2-2x+2,\text{ and }y=2x-1.\)
Rotar alrededor de:
(a) el eje x
(b)\(x=1\)
(c)\(x=-1\)
17. Región delimitada por:\(y=1/\sqrt{x^2+1},\,x=1 \text{ and the x and y-axis}.\)
Rotar alrededor de:
(a) el eje x
(b)\(x=1\)
18. Región delimitada por:\(y=2x,\,y=x\text{ and }x=2.\)
Rotar alrededor de:
(a) el eje y
(b)\(x=2\)
(c) el eje x
(d)\(y=4\)
7.4: Longitud del arco y superficie
Términos y Conceptos
1. T/F: La fórmula integral para calcular la longitud del arco se encontró aproximando primero la longitud del arco con segmentos de línea recta.
2. T/F: La fórmula integral para calcular la longitud del arco incluye una raíz cuadrada, lo que significa que la integración probablemente sea fácil.
Problemas
En Ejercicios 3-12, encuentra la longitud del arco de la función en el intervalo dado.
3. \(f(x) = x\text{ on }[0,1].\)
4. \(f(x) = \sqrt{8}x\text{ on }[-1,1].\)
5. \(f(x) = \frac{1}{3}x^{3/2}-x^{1/2}\text{ on }[0,1].\)
6. \(f(x) = \frac{1}{12}x^3+\frac{1}{x}\text{ on }[1,4].\)
7. \(f(x) = 2x^{3/2}-\frac{1}{6}\sqrt{x}\text{ on }[0,9].\)
8. \(f(x) = \cosh x \text{ on }[-\ln 2,\ln 2].\)
9. \(f(x) = \frac{1}{2}(e^2+e^{-x})\text{ on }[0,\ln 5].\)
10. \(f(x) = \frac{1}{12}x^5+\frac{1}{5x^3}\text{ on }[0.1,1].\)
11. \(f(x) = \ln \left ( \sin x \right ) \text{ on }[\pi/6,\pi/2].\)
12. \(f(x) = \ln \left ( \cos x \right )\text{ on }[0,\pi/4].\)
En los Ejercicios 13-20, configura la integral para calcular la longitud del arco de la función en el intervalo dado. No evaluar la integral.
13. \(f(x) = x^2\text{ on }[0,1].\)
14. \(f(x) = x^{10}\text{ on }[0,1].\)
15. \(f(x) = \sqrt{x}\text{ on }[0,1].\)
16. \(f(x) = \ln x \text{ on }[1,e].\)
17. \(f(x) = \sqrt{1-x^2}\text{ on }[-1,1].\)(Nota: esto describe la mitad superior de un círculo con radio 1.)
18. \(f(x) = \sqrt{1-x^2/9} \text{ on }[-3,3]\). (Nota: esto describe la mitad superior de un eclipse con un eje mayor de longitud 6 y un eje menor de longitud 2.)
19. \(f(x) = \frac{1}{x}\text{ on }[1,2]\).
20. \(f(x) = \sec x\text{ on }[-\pi/4, \pi/4]\).
En los Ejercicios 21-28, use la Regla de Simpson, con\(n=4\), para aproximar la longitud del arco de la función en el intervalo dado. Nota: estos son los mismos problemas que en los Ejercicios 13-20.
21. \(f(x) = x^2\text{ on }[0,1].\)
22. \(f(x) = x^{10}\text{ on }[0,1].\)
23. \(f(x) = \sqrt{x}\text{ on }[0,1].\)(Nota: no\(f'(x)\) se define en\(x=0\).)
24. \(f(x) = \ln x \text{ on }[1,e].\)
25. \(f(x) = \sqrt{1-x^2}\text{ on }[-1,1].\)(Nota: no\(f'(x)\) se define en los puntos finales.)
26. \(f(x) = \sqrt{1-x^2/9} \text{ on }[-3,3]\). (Nota: no\(f'(x)\) se define en los puntos finales.)
27. \(f(x) = \frac{1}{x}\text{ on }[1,2]\).
28. \(f(x) = \sec x\text{ on }[-\pi/4, \pi/4]\).
En los Ejercicios 29-33, encuentra la superficie del sólido de revolución descrito.
29. El sólido se formó al girar\(y=2x \text{ on }[0,1]\) alrededor del eje x.
30. El sólido se formó al girar\(y=x^2 \text{ on }[0,1]\) alrededor del eje y.
31. El sólido se formó al girar\(y=x^3 \text{ on }[0,1]\) alrededor del eje x.
32. El sólido se formó al girar\(y=\sqrt{x} \text{ on }[0,1]\) alrededor del eje x.
33. El sólido se formó al girar\(y=\sqrt{1-x^2} \text{ on }[-1,1]\) alrededor del eje x.
7.5: Trabajo
Términos y Conceptos
1. ¿Cuáles son las típicas unidades de trabajo?
2. Si un hombre tiene una masa de 80kg en la Tierra, ¿su masa en la luna será más grande, más pequeña o la misma?
3. Si una mujer pesa 130 lb en la Tierra, ¿su peso en la luna será más grande, menor o igual?
Problemas
4. Una cuerda de 100 pies, que pesa 0.1 lb/ft, cuelga sobre el borde de un edificio alto.
a) ¿Cuánto trabajo se realiza tirando de toda la cuerda hasta lo alto del edificio?
b) ¿Cuánta cuerda se tira cuando se realiza la mitad del trabajo total?
5. Una cuerda de 50 m, con una densidad de masa de 0.2 kg/m, cuelga sobre el borde de un edificio alto.
a) ¿Cuánto trabajo se realiza tirando de toda la cuerda hasta lo alto del edificio?
b) ¿Cuánto trabajo se realiza jalando en los primeros 20 m?
6. Una cuerda de\(l\) pies de longitud cuelga sobre el borde del acantilado alto. (Supongamos que el acantilado es más alto que la longitud de la cuerda). La cuerda tiene una densidad de peso de\(d\) lb/ft.
(a) ¿Cuánto trabajo se hace tirando de toda la cuerda hasta la cima del acantilado?
b) ¿Qué porcentaje del trabajo total se realiza tirando de la primera mitad de la cuerda?
c) ¿Cuánta cuerda se tira cuando se realiza la mitad del trabajo total?
7. Una cuerda de 20 m con densidad de masa de 0.5 kg/m cuelga sobre el borde de un edificio de 10 m. ¿Cuánto trabajo se hace tirando de la cuerda hacia arriba?
8. Una grúa levanta una carga de 2000 lb verticalmente 30 pies con un cable de 1" que pesa 1.68 lb/ft.
a) ¿Cuánto trabajo se realiza levantando el cable solo?
b) ¿Cuánto trabajo se realiza levantando la carga sola?
c) ¿Podría concluirse que el trabajo realizado al levantar el cable es insignificante en comparación con el trabajo realizado al levantar la carga?
9. Una bolsa de arena de 100 lb se levanta uniformemente 120 pies en un minuto. La arena gotea de la bolsa a razón de 1/4 lb/s. ¿Cuál es el trabajo total realizado en el levantamiento de la bolsa?
10. Una caja que pesa 2 lb levanta 10 lb de arena verticalmente 50 pies. Una grieta en la caja permite que la arena se escape de tal manera que hay 9 lb de arena en la caja al final del viaje. Supongamos que la arena se filtró a una tasa uniforme. ¿Cuál es el trabajo total realizado en levantar la caja y la arena?
11. Una fuerza de 1000 lb comprime un resorte de 3 pulg. ¿Cuánto trabajo se realiza en la compresión del resorte?
12. Una fuerza de 2 N estira un resorte de 5 cm. ¿Cuánto trabajo se realiza en el estiramiento de la primavera?
13. Una fuerza de 50 lb comprime un resorte de una longitud natural de 18 a 12 pulgadas. ¿Cuánto trabajo se realiza en la compresión del resorte?
14. Una fuerza de 20 lb estira un resorte de una longitud natural de 6 a 8 pulgadas. ¿Cuánto trabajo se realiza en el estiramiento de la primavera?
15. Una fuerza de 7 N estira un resorte de una longitud natural de 11 cm a 21 cm. ¿Cuánto trabajo se realiza en estirar el resorte de una longitud de 16 cm a 21 cm?
16. Una fuerza de\(f\) N estira un muelle\(d\) m desde su longitud natural. ¿Cuánto trabajo se realiza en el estiramiento de la primavera?
17. Un peso de 20 lb está unido a un resorte. El peso descansa sobre el resorte, comprimiendo el resorte de una longitud natural de 1 pie a 6 pulgadas.
¿Cuánto trabajo se realiza para levantar la caja 1.5 pies (es decir, el resorte se estirará 1 pie más allá de su longitud natural)?
18. Un peso de 20 lb está unido a un resorte. El peso descansa sobre el resorte, comprimiendo el resorte de una longitud natural de 1 pie a 6 pulgadas.
¿Cuánto trabajo se realiza para levantar la caja de 6 pulgadas (es decir, devolver el resorte a su longitud natural)?
19. Un tanque cilíndrico de 5 m de altura con radio de 2 m se llena con 3 m de gasolina, con una densidad de masa de 737.22 kg/m\(^3\). Calcular el trabajo total realizado en el bombeo de toda la gasolina a la parte superior del tanque.
20. Un tanque cilíndrico de 6 pies con un radio de 3 pies está lleno de agua, que tiene una densidad de peso de 62.4 lb/ft\(^3\). El agua debe ser bombeada a un punto 2 pies por encima de la parte superior del tanque.
a) ¿Cuánto trabajo se realiza en el bombeo de toda el agua del tanque?
b) ¿Cuánto trabajo se realiza en el bombeo de 3 pies de agua del tanque?
c) ¿En qué punto es 1/2 del trabajo total realizado?
21. Un petrolero se llena con gasolina con una densidad de peso de 45.93 lb/ft\(^3\). El valor de dispensación en la base está atascado, lo que obliga al operador a vaciar el tanque bombeando el gas a un punto de 1 pie por encima de la parte superior del tanque. Supongamos que el tanque es un cilindro perfecto, 20 pies de largo con un diámetro de 7.5 pies. ¿Cuánto trabajo se realiza en el bombeo de toda la gasolina del tanque?
22. Un tanque de almacenamiento de combustible y aceite tiene 10 pies de profundidad con lados trapezoidales, 5 pies en la parte superior del 2 pies en la parte inferior y tiene 15 pies de ancho (vea el diagrama a continuación). Dado que el fuel oil pesa 55.46 lb/ft\(^3\), encuentre el trabajo realizado en bombear todo el aceite desde el tanque hasta un punto 3 pies por encima de la parte superior del tanque.
23. Un tanque cónico tiene 5 m de profundidad con un radio superior de 3 m. (Esto es similar al Ejemplo 224.) El tanque se llena con agua pura, con una densidad de masa de 1000 kg/m\(^3\).
(a) Encontrar el trabajo realizado en el bombeo de toda el agua hasta la parte superior del tanque.
(b) Encontrar el trabajo realizado en el bombeo de la parte superior 2.5 m de agua a la parte superior del tanque.
(c) Encontrar el trabajo realizado en el bombeo de la mitad superior del agua, por volumen, a la parte superior del tanque.
24. Un tanque de agua tiene la forma de un cono truncado, con las dimensiones que se indican a continuación, y se llena con agua con una densidad de peso de 62.4 lb/ft\(^3\). Encuentre el trabajo realizado para bombear toda el agua a un punto de 1 pie por encima de la parte superior del tanque.
25. Un tanque de agua tiene la forma de una pirámide invertida, con las dimensiones que se indican a continuación, y se llena de agua con una densidad de masa de 1000 kg/m\(^3\). Encuentra el trabajo realizado en el bombeo de toda el agua hasta un punto a 5 m por encima de la parte superior del tanque.
26. Un tanque de agua tiene la forma de una pirámide truncada invertida, con dimensiones dadas golpe, y se llena de agua con una densidad de masa de 1000 kg/m\(^3\). Encuentra el trabajo realizado en el bombeo de toda el agua hasta un punto a 1 m por encima de la parte superior del tanque.
7.6: Fuerzas Fluidas
Términos y Conceptos
1. Estado en sus propias palabras Principio de Pascal.
2. Exponga en sus propias palabras cómo la presión es diferente de la fuerza.
Problemas
En los Ejercicios 3-12, encuentra la fuerza fluida ejercida sobre la placa dada, sumergida en agua con una densidad de peso de 62.4 lb/ft\(^3\).
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
En los Ejercicios 13-18, se representa el costado de un contenedor. Encuentre la fuerza de fluido ejercida sobre esta placa cuando el contenedor esté lleno de:
1. agua, con una densidad de peso de 62.4 lb/ft\(^3\)
2. concreto, con una densidad de peso de 150 lb/ft\(^3\).
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19. ¿Qué tan profundo debe sumergirse en agua el centro de una placa circular orientada verticalmente con un radio de 1 pie, con una densidad de peso de 62.4 lb/ft\(^3\), para que la fuerza del fluido sobre la placa alcance 1,000 lb?
20. ¿Qué tan profundo debe sumergirse en agua el centro de una placa cuadrada orientada verticalmente con una longitud lateral de 2 pies, con una densidad de peso de 62.4 lb/ft\(^3\), para que la fuerza del fluido sobre la placa alcance 1,000 lb?