7.4: Longitud del arco y superficie
( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\)
Longitud del arco
En secciones anteriores hemos utilizado la integración para responder a las siguientes preguntas:
- Dada una región, ¿cuál es su área?
- Dado un sólido, ¿cuál es su volumen?
En esta sección, abordamos una pregunta relacionada: Dada una curva, ¿cuál es su longitud? Esto a menudo se conoce como longitud de arco.
Considere la gráfica dey=sinx on[0,π] dada en la Figura7.4.1a. ¿Cuánto dura esta curva? Es decir, si tuviéramos que usar un trozo de cuerda para que coincida exactamente con la forma de esta curva, ¿cuánto tiempo tendría la cuerda?
Como lo hemos hecho en el pasado, comenzamos por aproximarnos; posteriormente, refinaremos nuestra respuesta usando límites para obtener una solución exacta.
La longitud de los segmentos de línea recta es fácil de calcular con la fórmula de distancia. Podemos aproximar la longitud de la curva dada aproximando la curva con líneas rectas y midiendo sus longitudes.
Figura7.4.1: Graficary=sinx[0,π] y aproximar la curva con segmentos de línea.
En la Figura7.4.1b, la curva sey=sinx ha aproximado con 4 segmentos de línea (el intervalo se[0,π] ha dividido en 4 subintervalos de igual longitud). Es claro que estos cuatro segmentos de línea se aproximany=sinx muy bien en el primer y último subintervalo, aunque no tan bien en el medio. Independientemente, la suma de las longitudes de los segmentos de línea es3.79, por lo que aproximamos la longitud del arco dey=sinx on[0,π] a ser3.79.
En general, podemos aproximar la longitud del arco dey=f(x) on[a,b] de la siguiente manera. Dejara=x1<x2<…<xn<xn+1=b ser una partición de[a,b] enn subintervalos. Letdxi representar la longitud delith subintervalo[xi,xi+1].
Figura7.4.2: Acercar elith subintervalo[xi,xi+1] de una partición de[a,b].
La figura7.4.2 amplía elith subintervalo dondey=f(x) se aproxima por un segmento de línea recta. Las líneas discontinuas muestran que podemos ver este segmento de línea como hipotenusa de un triángulo rectángulo cuyos lados tienen longituddxi ydyi. Usando el Teorema de Pitágoras, la longitud de este segmento de línea es√dx2i+Δy2i. Sumando en todos los subintervalos da una aproximación de longitud de arco
L≈n∑i=1√dx2i+Δy2i.
Como se muestra aquí, esto no es una suma de Riemann. Si bien podríamos concluir que tomar un límite ya que la longitud del subintervalo va a cero da la longitud exacta del arco, no podríamos calcular la respuesta con una integral definida. Primero tenemos que hacer un poco de álgebra.
En el factor de expresión anterior a cabo undx2i término:
n∑i=1√dx2i+Δy2i=n∑i=1√dx2i(1+Δy2idx2i).
Ahora saca eldx2i término de la raíz cuadrada:
=n∑i=1√1+Δy2idx2i dxi.
Esto es casi un Riemann Sum. Considera elΔy2i/dx2i término. La expresiónΔyi/dxi mide el “cambio eny /cambio en”x, es decir, el “ascenso sobre carrera” def en elith subintervalo. El Teorema del Valor Medio de la Diferenciación (Teorema 3.2.1) establece que hay unaci en elith subintervalo dondef′(ci)=Δyi/dxi. Así podemos reescribir nuestra expresión anterior como:
=n∑i=1√1+f′(ci)2 dxi.
Se trata de un Riemann Sum. Mientrasf′ sea continuo, podemos invocar el Teorema 5.3.2 y concluir
=∫ba√1+f′(x)2 dx.
Idea Clave 27: Longitud del Arco
Dejarf ser diferenciable en un intervalo abierto que contiene[a,b], donde tambiénf′ es continuo en[a,b]. Entonces la longitud del arco def desdex=a ax=b es
L=∫ba√1+f′(x)2 dx.
Como el integrando contiene una raíz cuadrada, a menudo es difícil usar la fórmula de Key Idea 27 para encontrar exactamente la longitud. Cuando las respuestas exactas son difíciles de encontrar, recurrimos al uso de métodos numéricos para aproximar integrales definidas. Los siguientes ejemplos lo demostrarán.
Ejemplo7.4.1: Finding arc length
Encuentra la longitud del arco def(x)=x3/2 desdex=0 hastax=4.
Figura7.4.3: Un gráficof(x)=x3/2 del Ejemplo7.4.1
Solución
Empezamos por encontrarf′(x)=32x1/2. Usando la fórmula, encontramos la longitud del arcoL como
L=∫40√1+(32x1/2)2 dx=∫40√1+94x dx=∫40(1+94x)1/2 dx=2349(1+94x)3/2|40=827(103/2−1)≈9.07units.
Ejemplo7.4.2: Finding arc length
Encuentra la longitud del arco def(x)=18x2−lnx desdex=1 hastax=2.
Figura7.4.4: Una gráficaf(x)=18x2−lnx del Ejemplo7.4.2.
Solución
Esta función se eligió específicamente porque la integral resultante puede evaluarse exactamente. Empezamos por encontrarf′(x)=x/4−1/x. La longitud del arco es
L=∫21√1+(x4−1x)2 dx=∫21√1+x216−12+1x2 dx=∫21√x216+12+1x2 dx=∫21√(x4+1x)2 dx=∫21(x4+1x) dx=(x28+lnx)|21=38+ln2≈1.07 units.
fSe da una gráfica de en la Figura7.4.4; la porción de la curva medida en este problema está en negrita.
Los ejemplos anteriores encontraron la longitud del arco exactamente a través de una cuidadosa elección de las funciones. En general, las respuestas exactas son mucho más difíciles de conseguir y son necesarias aproximaciones numéricas.
Ejemplo7.4.3: Approximating arc length numerically
Encuentra la longitud de la curva sinusoidal dex=0 ax=π.
Solución
Esto es algo así como una curiosidad matemática; en el Ejemplo 5.4.3 encontramos que el área bajo una “joroba” de la curva sinusoidal es de 2 unidades cuadradas; ahora estamos midiendo su longitud de arco.
La configuración es sencilla:f(x)=sinx yf′(x)=cosx. Así
L=∫π0√1+cos2x dx.
Esta integral no puede ser evaluada en términos de funciones elementales por lo que la aproximaremos con el Método de Simpson conn=4.
Figura7.4.5: Una tabla de valores dey=√1+cos2x para evaluar una integral definida en Ejemplo7.4.3.
x√1+cos2x0√2π/4√3/2π/213π/4√3/2π√2
Figura\ ref {fig:arc3} da√1+cos2x evaluado en 5 puntos uniformemente espaciados en[0,π]. La Regla de Simpson establece entonces que
∫π0√1+cos2x dx≈π−04⋅3(√2+4√3/2+2(1)+4√3/2+√2)=3.82918.
Usar una computadora conn=100 la aproximación esL≈3.8202; nuestra aproximación conn=4 es bastante buena.
Superficie de Sólidos de Revolución
Ya hemos visto cómo una curvay=f(x) on[a,b] puede ser girada alrededor de un eje para formar un sólido. En lugar de computar su volumen, ahora consideramos su superficie.
Figura7.4.6: Establecer la fórmula para el área de superficie.
Comenzamos como tenemos en las secciones anteriores: particionamos el intervalo[a,b] conn subintervalos, donde está elith subintervalo[xi,xi+1]. En cada subintervalo, podemos aproximar la curvay=f(x) con una línea recta que conectaf(xi) yf(xi+1) como se muestra en la Figura7.4.5a. Al girar este segmento de línea alrededor delx eje -eje se crea parte de un cono (llamado troncocono) como se muestra en la Figura7.4.5b. El área de superficie de un tronco de cono es
\[2\pi\cdot\text{ length }\cdot\text{average of the two radii R and r}.\]
La longitud viene dada porL; utilizamos el material que acaba de cubrir la longitud del arco para afirmar que
L≈√1+f′(ci)dxi
para algunosci en elith subintervalo. Los radios son solo la función evaluada en los puntos finales del intervalo. Es decir,
R=f(xi+1)andr=f(xi).
Así, el área superficial de esta muestra del tronco del cono es aproximadamente
2πf(xi)+f(xi+1)2√1+f′(ci)2dxi.
Dado quef es una función continua, el Teorema del Valor Intermedio establece que hay algunosdi en[xi,xi+1] tal quef(di)=f(xi)+f(xi+1)2; podemos usar esto para reescribir la ecuación anterior como
2πf(di)√1+f′(ci)2dxi.
Sumando todos los subintervalos obtenemos que la superficie total sea aproximadamente
Surface Area≈n∑i=12πf(di)√1+f′(ci)2dxi,
que es una suma de Riemann. Tomar el límite a medida que las longitudes del subintervalo van a cero nos da la superficie exacta, dada en la siguiente Idea Clave.
Idea Clave 28: Superficie de un Sólido de Revolución
Dejarf ser diferenciable en un intervalo abierto que contiene[a,b] donde tambiénf′ es continuo encendido[a,b].
- El área superficial del sólido formado al girar la gráfica dey=f(x), dondef(x)≥0, alrededor delx eje es
$$\ text {Superficie} = 2\ pi\ int_a^b f (x)\ sqrt {1+f' (x) ^2}\ dx.\]
- El área superficial del sólido formado al girar la gráfica dey=f(x) alrededor dely eje -, dondea,b≥0, es
$$\ text {Superficie} = 2\ pi\ int_a^b x\ sqrt {1+f' (x) ^2}\ dx.\]
Al girary=f(x) alrededor dely eje, los radios del tronco resultante sonxi yxi+1; su valor promedio es simplemente el punto medio del intervalo. En el límite, este punto medio es justox. Esto da la segunda parte de Key Idea 28.
Ejemplo7.4.4: Finding surface area of a solid of revolution
Encuentra el área de superficie del sólido formado al girary=sinx[0,π] alrededor delx eje -como se muestra en la Figura7.4.6.
Figura7.4.7:y=sinx Girando[0,π] alrededor delx eje.
Solución
La configuración es relativamente sencilla. Usando Key Idea\ ref {idea:surface_area}, tenemos el área de superficieSA es:
SA=2π∫π0sinx√1+cos2x dx=−2π12(sinh−1(cosx)+cosx√1+cos2x)|π0=2π(√2+sinh−11)≈14.42 units2.
El paso de integración anterior es no trivial, utilizando un método de integración llamado Sustitución Trigonométrica.
Es interesante ver que el área superficial de un sólido, cuya forma está definida por una función trigonométrica, involucra tanto una raíz cuadrada como una función trigonométrica hiperbólica inversa.
Ejemplo7.4.5: Finding surface area of a solid of revolution
Encuentra el área de superficie del sólido formado girando la curvay=x2 en[0,1] aproximadamente:
- elx eje
- ely eje -.
Figura7.4.8: Los sólidos utilizados en el Ejemplo7.4.6.
Solución
- La integral es sencilla de configurar:
SA=2π∫10x2√1+(2x)2dx.
Al igual que la integral en Ejemplo\ ref {ex_sa1}, esto requiere Sustitución Trigonométrica.
=π32(2(8x3+x)√1+4x2−sinh−1(2x))|10=π32(18√5−sinh−12)≈3.81 units2.
El sólido formado al girary=x2 alrededor delx eje se grafica en la Figura7.4.7a.
- Como estamos girando alrededor dely eje -eje, el “radio” del sólido no lo esf(x) sino más bienx. Así, la integral para calcular el área superficial es:
SA=2π∫10x√1+(2x)2dx.
Esta integral se puede resolver mediante sustitución. Estableceru=1+4x2; los nuevos límites sonu=1 parau=5. Entonces tenemos
=π4∫51√udu=π423u3/2|51=π6(5√5−1)≈5.33 units2.
El sólido formado al girary=x2 alrededor dely eje se grafica en la Figura7.4.7b.
Nuestro último ejemplo es una famosa “paradoja” matemática.
Ejemplo7.4.6: The surface area and volume of Gabriel's Horn
Considere el sólido formado al girary=1/x alrededor delx eje -en[1,∞). Encuentra el volumen y la superficie de este sólido. (Esta forma, como se grafica en Figura7.4.9, es conocida como “Cuerno de Gabriel” ya que parece un cuerno muy largo que solo una persona sobrenatural, como un ángel, podría tocar.)
Figura7.4.9: Gráfica del Cuerno de Gabriel.
Solución
Para calcular el volumen es natural usar el Método de Disco. Contamos con:
V=π∫∞11x2 dx=limb→∞π∫b11x2 dx=limb→∞π(−1x)|b1=limb→∞π(1−1b)=π units3.
Cuerno de Gabriel tiene un volumen finito de unidadesπ cúbicas. Como ya hemos visto que las regiones con longitud infinita pueden tener un área finita, esto no es demasiado difícil de aceptar.
Consideramos ahora su superficie. La integral es sencilla de configurar:
SA=2π∫∞11x√1+1/x4 dx.
Integrar esta expresión no es trivial. Podemos, sin embargo, compararlo con otras integrales impropias. Desde entonces1<√1+1/x4[1,∞), podemos afirmar que
2π∫∞11xdx<2π∫∞11x√1+1/x4dx.
Por Key Idea 21, la integral impropia de la izquierda diverge. Dado que la integral de la derecha es más grande, concluimos que también diverge, lo que significa que el Cuerno de Gabriel tiene una superficie infinita.
De ahí la “paradoja”: podemos llenar el Cuerno de Gabriel con una cantidad finita de pintura, pero como tiene una superficie infinita, nunca podremos pintarlo.
De alguna manera esta paradoja llama la atención cuando la pensamos en términos de volumen y área. Sin embargo, antes hemos visto una paradoja similar, como se mencionó anteriormente. Sabemos que el área bajo la curvay=1/x2[1,∞) es finita, sin embargo, la forma tiene un perímetro infinito. Cosas extrañas pueden ocurrir cuando tratamos con lo infinito.
Una ecuación estándar de la física es “Trabajo =× distancia de fuerza”, cuando la fuerza aplicada es constante. En la siguiente sección aprendemos a calcular el trabajo cuando la fuerza aplicada es variable.