9.5: Cálculo y funciones polares

En la sección anterior se definieron las coordenadas polares, dando lugar a funciones polares. Investigamos trazando estas funciones y resolviendo una pregunta fundamental sobre sus gráficas, a saber, ¿dónde se cruzan dos gráficas polares?

Ahora volvemos nuestra atención a responder a otras preguntas, cuyas soluciones requieren el uso del cálculo. Una base para gran parte de lo que se hace en esta sección es la capacidad de convertir una función polar$r=f(\theta)$ en un conjunto de ecuaciones paramétricas. Usando las identidades$x=r\cos \theta$ y$y=r\sin \theta$, podemos crear las ecuaciones paramétricas$x=f(\theta)\cos\theta$,$y=f(\theta)\sin\theta$ y aplicar los conceptos de la Sección 9.3.

Funciones polares y$\frac{dy}{dx}$

Nos interesan las líneas tangentes de una gráfica dada, independientemente de que esa gráfica sea producida por ecuaciones rectangulares, paramétricas o polares. En cada uno de estos contextos, la pendiente de la línea tangente es$\frac{dy}{dx}$. Dado$r=f(\theta)$, generalmente no nos preocupa$r^\prime =f^\prime (\theta)$; eso describe qué tan rápido$r$ cambia con respecto a$\theta$. En cambio, vamos a utilizar$x=f(\theta)\cos\theta$,$y=f(\theta)\sin\theta$ para calcular$\frac{dy}{dx}$.

Usando Key Idea 37 tenemos $$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{d\theta}\Big/\frac{dx}{d\theta}.$$

Cada una de las dos derivadas del lado derecho de la igualdad requiere el uso de la Regla del Producto. Declaramos el resultado importante como una Idea Clave.

idea clave 41 Encontrar$\frac{dy}{dx}$ with Polar Functions

Dejar$r=f(\theta)$ ser una función polar. Con$x=f(\theta)\cos\theta$ y$y=f(\theta)\sin\theta$,

$$\frac{dy}{dx} = \frac{f^\prime (\theta)\sin\theta+f(\theta)\cos\theta}{f^\prime (\theta)\cos\theta-f(\theta)\sin\theta}.$$

Ejemplo$\PageIndex{1}$: Finding $\frac{dy}{dx}$ with polar functions.

Considera el limacon$r=1+2\sin\theta$ encendido$[0,2\pi]$.

1. Encuentra las ecuaciones de las líneas tangentes y normales a la gráfica en$\theta=\pi/4$.
2. Encuentra donde la gráfica tiene líneas tangentes verticales y horizontales.

Solución

1. Empezamos por la computación$\frac{dy}{dx}$. Con$f^\prime (\theta) = 2\cos\theta$, tenemos $$\begin{align*}\frac{dy}{dx} &= \frac{2\cos\theta\sin\theta + \cos\theta(1+2\sin\theta)}{2\cos^2\theta-\sin\theta(1+2\sin\theta)}\\&= \frac{\cos\theta(4\sin\theta+1)}{2(\cos^2\theta-\sin^2\theta)-\sin\theta}.\end{align*}$$
   
   Cuando$\theta=\pi/4$,$\frac{dy}{dx}=-2\sqrt{2}-1$ (esto requiere un poco de simplificación). En coordenadas rectangulares, el punto en la gráfica$\theta=\pi/4$ es$(1+\sqrt{2}/2,1+\sqrt{2}/2)$. Así, la ecuación rectangular de la línea tangente al limacon en$\theta=\pi/4$ es $$y=(-2\sqrt{2}-1)\big(x-(1+\sqrt{2}/2)\big)+1+\sqrt{2}/2 \approx -3.83 x+8.24.$$ El limacon y la línea tangente se grafican en la Figura 9.47.
   La línea normal tiene la pendiente opuesta-recíproca como la línea tangente, por lo que su ecuación es
   $$y \approx \frac{1}{3.83}x+1.26.$$
   
2. Para encontrar las líneas horizontales de tangencia, encontramos dónde$\frac{dy}{dx}=0$; así encontramos donde el numerador de nuestra ecuación para$\frac{dy}{dx}$ es 0.
   $$\cos\theta(4\sin\theta+1)=0\quad \Rightarrow \quad \cos\theta=0 \quad \text{or}\quad 4\sin\theta+1=0.$$
   En$[0,2\pi]$,$\cos\theta=0$ cuando$\theta=\pi/2,\ 3\pi/2$.
   
   Ajuste$4\sin\theta+1=0$ da$\theta=\sin^{-1}(-1/4)\approx -0.2527 = -14.48^\circ$. Queremos los resultados en$[0,2\pi]$; también reconocemos que hay dos soluciones, una en el$^\text{rd}$ cuadrante 3 y otra en el 4$^\text{th}$. Usando ángulos de referencia, tenemos nuestras dos soluciones as$\theta =3.39$ y$6.03$ radianes. Los cuatro puntos que obtuvimos donde el limacon tiene una línea tangente horizontal se dan en la Figura 9.47 con puntos negros rellenos.
   
   Para encontrar las líneas verticales de tangencia, establecemos el denominador de$\frac{dy}{dx}=0$.
   \[\begin{align*}2(\cos^2\theta -\sin^2\theta)-\sin\theta &= 0 .\\ \text{Convert the $\cos^2\theta$ term to $1-\sin^2\theta$:}& \\ 2(1-\sin^2\theta-\sin^2\theta)-\sin\theta &= 0\\4\sin^2\theta + \sin\theta -1 &= 0.\\ \text{Recognize this as a quadratic in the variable $\sin\theta$.}&\text{ Using the quadratic formula, we have} \\\sin\theta &= \frac{-1\pm\sqrt{33}}{8}.\end{align*}\]
   
   Resolvemos$\sin\theta = \frac{-1+\sqrt{33}}8$ y$\sin\theta = \frac{-1-\sqrt{33}}8$:
   $$\begin{align*}\sin\theta &=\frac{-1+\sqrt{33}}8 & \sin\theta &= \frac{-1-\sqrt{33}}{8}\\\theta &= \sin^{-1}\left(\frac{-1+\sqrt{33}}8\right) & \theta &= \sin^{-1}\left(\frac{-1-\sqrt{33}}8\right)\\ \theta &= 0.6399 & \theta &= -1.0030\end{align*}$$
   
   En cada una de las soluciones anteriores, solo obtenemos una de las dos soluciones posibles ya que$\sin^{-1}x$ solo devuelve soluciones en $[-\pi/2,\pi/2]$, el 4$^\text{th}$ y$1^\text{st}$ cuadrantes. Nuevamente usando ángulos de referencia, tenemos:
   $$\sin\theta = \frac{-1+\sqrt{33}}8 \quad \Rightarrow \quad \theta = 0.6399,\ 3.7815 \text{ radians}$$
   y
   $$\sin\theta = \frac{-1-\sqrt{33}}8 \quad \Rightarrow \quad \theta = 4.1446,\ 5.2802 \text{ radians.}$$
   Estos puntos también se muestran en la Figura 9.47 con puntos rellenos de blanco.

Figura 9.47: El limacon en el Ejemplo 9.5.1 con su línea tangente en$\theta = \pi /4$ y puntos de tangencia vertical y horizontal.

Cuando la gráfica de la función polar$r=f(\theta)$ se cruza con el polo, significa que$f(\alpha)=0$ para algún ángulo$\alpha$. Así la fórmula para$\frac{dy}{dx}$ en tales casos es muy simple, reduciendo simplemente a

$$\frac{dy}{dx} = \tan \alpha.$$

Esta ecuación hace un punto interesante. Nos dice que la pendiente de la línea tangente en el polo es$\tan \alpha$; parte de nuestro trabajo anterior (ver, por ejemplo, Ejemplo 9.4.3) nos muestra que la línea a través del polo con pendiente$\tan \alpha$ tiene ecuación polar$\theta=\alpha$. Así, cuando una gráfica polar toca el polo en$\theta=\alpha$, la ecuación de la línea tangente en el polo es$\theta=\alpha$.

Ejemplo$\PageIndex{2}$: Finding tangent lines at the pole.

Vamos$r=1+2\sin\theta$, un limacon. Encuentra las ecuaciones de las líneas tangentes a la gráfica en el polo.

Figura 9.48: Graficando las líneas tangentes en el polo en el Ejemplo 9.5.2.

Solución

Necesitamos saber cuándo$r=0$.

\ [\ begin {align*}
1+2\ sin\ theta &= 0\\
\ sin\ theta &= -1/2\\
\ theta &=\ frac {7\ pi} {6},\\ frac {11\ pi} 6.
\ end {alinear*}\]

Así las ecuaciones de las líneas tangentes, en polar, son$\theta = 7\pi/6$ y$\theta = 11\pi/6$. En forma rectangular, las líneas tangentes son$y=\tan(7\pi/6)x$ y$y=\tan(11\pi/6)x$. El limacon completo se puede ver en la Figura 9.47; acercamos las líneas tangentes en la Figura 9.48.

Nota: Recordemos que el área de un sector de un círculo con radio r subtendido por un ángulo$\theta$ es$A=\frac{1}{2}\theta r^2$.

Área

Cuando se utilizan coordenadas rectangulares, las ecuaciones$x=h$ y líneas verticales y horizontales$y=k$ definidas, respectivamente, y las combinaciones de estas líneas crean rectángulos (de ahí el nombre “coordenadas rectangulares”). Entonces es algo natural usar rectángulos para aproximar el área como lo hicimos al aprender sobre la integral definida.

Cuando se utilizan coordenadas polares, las ecuaciones$\theta=\alpha$ y$r=c$ forman líneas a través del origen y círculos centrados en el origen, respectivamente, y combinaciones de estas curvas forman sectores de círculos. Entonces es algo natural calcular el área de regiones definidas por funciones polares aproximándose primero con sectores de círculos.

Considere la Figura 9.49 (a) donde$[\alpha,\beta]$ se da una región definida por$r=f(\theta)$ on. (Obsérvese cómo los “lados” de la región son las líneas$\theta=\alpha$ y$\theta=\beta$, mientras que en las coordenadas rectangulares los “lados” de las regiones eran a menudo las líneas verticales$x=a$ y$x=b$.)

Figura 9.49: Cálculo del área de una región polar.

Dividir el intervalo$[\alpha,\beta]$ en subintervalos$n$ igualmente espaciados como$\alpha = \theta_1 < \theta_2 <\cdots <\theta_{n+1}=\beta$. La longitud de cada subintervalo es$\Delta\theta = (\beta-\alpha)/n$, representando un pequeño cambio en el ángulo. El área de la región definida por el$i\,^\text{th}$ subintervalo se$[\theta_i,\theta_{i+1}]$ puede aproximar con un sector de un círculo con radio$f(c_i)$, para algunos$c_i$ en$[\theta_i,\theta_{i+1}]$. El área de este sector es$\frac12f(c_i)^2\Delta\theta$. Esto se muestra en la parte (b) de la figura, donde se$[\alpha,\beta]$ ha dividido en 4 subintervalos. Aproximamos el área de toda la región sumando las áreas de todos los sectores:

$$\text{Area} \approx \sum_{i=1}^n \frac12f(c_i)^2\Delta\theta.$$

Se trata de una suma de Riemann. Al tomar el límite de la suma como$n\to\infty$, encontramos el área exacta de la región en forma de integral definida.

TEORMA 83 ÁREA DE UNA REGIÓN POLAR

Dejar$f$ ser continuo y no negativo en$[\alpha,\beta]$, donde$0\leq \beta-\alpha\leq 2\pi$. El área$A$ de la región delimitada por la curva$r=f(\theta)$ y las líneas$\theta=\alpha$ y$\theta=\beta$ es

$$A \ =\ \frac12\int_\alpha^\beta f(\theta)^2 \ d\theta\ =\ \frac12\int_\alpha^\beta r^{\,2} \ d\theta$$

El teorema afirma que$0\leq \beta-\alpha\leq 2\pi$. Esto asegura que la región no se superponga a sí misma, lo que daría un resultado que no corresponde directamente a la zona.

Ejemplo$\PageIndex{3}$: Area of a polar region

Encuentra el área del círculo definida por$r=\cos \theta$. (Recordemos que este círculo tiene radio$1/2$.)

Solución

Esta es una aplicación directa del Teorema 83. El círculo se traza en$[0,\pi]$, lo que lleva a la integral

\ [\ begin {align*}
\ text {Área} &=\ frac12\ int_0^\ pi\ cos^2\ theta\ d\ theta\\
&=\ frac12\ int_0^\ pi\ frac {1+\ cos (2\ theta)} {2}\ d\ theta\
&=\ frac14\ big (\ theta +\ frac12\ sin (\ theta)\ grande)\ Bigg|_0^\ pi\\
&=\ frac14\ pi.
\ end {alinear*}\]

Por supuesto, ya conocíamos el área de un círculo con radio$1/2$. Hicimos este ejemplo para demostrar que la fórmula de área es correcta.

Nota: El Ejemplo 9.5.3 requiere el uso de la integral$\int \cos^2\theta\ d\theta$. Esto se maneja bien mediante el uso de la fórmula reductora de potencia como se encuentra en el reverso de este texto. Debido a la naturaleza de la fórmula de área, integrando$\cos^2\theta$ y$\sin^2\theta$ se requiere a menudo. Ofrecemos aquí estas integrales indefinidas como medida de ahorro de tiempo.

$$\int\cos^2\theta\ d\theta = \frac12\theta+\frac14\sin(2\theta)+C$$

$$\int\sin^2\theta\ d\theta = \frac12\theta-\frac14\sin(2\theta)+C$$

Ejemplo$\PageIndex{4}$: Area of a polar region

Encontrar el área del cardiod$r=1+\cos\theta$ unida entre$\theta=\pi/6$ y$\theta=\pi/3$, como se muestra en la Figura 9.50.

Figura 9.50: Encontrar el área de la región sombreada de un cardiod en el Ejemplo 9.5.4

Solución
Esta es nuevamente una aplicación directa del Teorema 83.

\ [\ begin {align*}
\ text {Área} &=\ frac12\ int_ {\ pi/6} ^ {\ pi/3} (1+\ cos\ theta) ^2\ d\ theta\
&=\ frac12\ int_ {\ pi/6} ^ {\ pi/3} (1+2\ cos\ theta+\ cos^2\ theta)\ d\ theta\\
&=\ frac12\ izquierda (\ theta+2\ sin\ theta+\ frac12\ theta+\ frac14\ sin (2\ theta)\ derecha)\ Bigg|_ {\ pi/6} ^ {\ pi/3} \\
&=\ frac18\ grande (\ pi+4\ sqrt {3} -4\ grande)\ aproximadamente 0.7587.
\ end {alinear*}\]

Área entre curvas

Nuestro estudio del área en el contexto de las funciones rectangulares condujo naturalmente a encontrar áreas delimitadas entre curvas. Consideramos lo mismo en el contexto de las funciones polares. \ index {polar! ¡funciones! área entre curvas}

Considere la región sombreada que se muestra en la Figura 9.51. Podemos encontrar el área de esta región calculando el área delimitada por$r_2=f_2(\theta)$ y restando el área delimitada por$r_1=f_1(\theta)$ on$[\alpha,\beta]$. Por lo tanto

$$\text{Area}\ = \ \frac12\int_\alpha^\beta r_2^{\,2}\ d\theta - \frac12\int_\alpha^\beta r_1^{\,2}\ d\theta = \frac12\int_\alpha^\beta \big(r_2^{\,2}-r_1^{\,2}\big)\ d\theta.$$

Figura 9.51: Ilustrando el área ligada entre dos curvas polares.

IDEA CLAVE 42 área entre curvas polares

El área$A$ de la región delimitada por$r_1=f_1(\theta)$ y$r_2=f_2(\theta)$,$\theta=\alpha$ y$\theta=\beta$, donde$f_1(\theta)\leq f_2(\theta)$$[\alpha,\beta]$, es

$$A = \frac12\int_\alpha^\beta \big(r_2^{\,2}-r_1^{\,2}\big)\ d\theta.$$

Ejemplo$\PageIndex{5}$: Area between polar curves

Encuentra el área delimitada entre las curvas$r=1+\cos \theta$ y$r=3\cos\theta$, como se muestra en la Figura 9.52.

Figura 9.52: Encontrar el área entre curvas polares en el Ejemplo 9.5.5.

Solución
Necesitamos encontrar los puntos de intersección entre estas dos funciones. Estableciéndolos iguales entre sí, encontramos:

\ [\ comenzar {alinear*}
1+\ cos\ theta &= 3\ cos\ theta\
\ cos\ theta &=1/2\\
\ theta &=\ pm\ pi/3
\ final {alinear*}\]

Así nos integramos$\frac12\big((3\cos\theta)^2-(1+\cos\theta)^2\big)$ en$[-\pi/3,\pi/3]$.

\ [\ begin {align*}
\ text {Área} &=\ frac12\ int_ {-\ pi/3} ^ {\ pi/3}\ grande ((3\ cos\ theta) ^2- (1+\ cos\ theta) ^2\ grande)\ d\ theta\
&=\ frac12\ int_ {-\ pi/3} ^ {\ pi/3}\ grande (8\ cos^2\ theta-2\ cos\ theta-1\ grande)\ d\ theta\
&=\ grande (2\ sin (2\ theta) - 2\ sin\ theta+3\ theta\ grande)\ Bigg|_ {-\ pi/3} ^ {\ pi/3}\\
&= 2\ pi.
\ end {alinear*}\]

Sorprendentemente, el área entre estas curvas tiene un valor “agradable”

Ejemplo$\PageIndex{6}$: Area defined by polar curves

Encontrar el área delimitada entre las curvas polares$r=1$ y$r=2\cos(2\theta)$, como se muestra en la Figura 9.53 (a).

Solución

Necesitamos encontrar el punto de intersección entre las dos curvas. Estableciendo las dos funciones iguales entre sí, tenemos

$$2\cos(2\theta) = 1 \quad \Rightarrow \quad \cos(2\theta) = \frac12 \quad \Rightarrow \quad 2\theta = \pi/3\quad \Rightarrow \quad \theta=\pi/6.$$

Figura 9.53: Graficando la región delimitada por las funciones del Ejemplo 9.5.6

En la parte (b) de la figura, acercamos la región y observamos que no está realmente delimitada entre dos curvas polares, sino por dos curvas polares, junto con$\theta=0$. La línea discontinua divide la región en sus partes componentes. Debajo de la línea discontinua, la región se define por$r=1$,$\theta=0$ y$\theta = \pi/6$. (Nota: la línea discontinua se encuentra en la línea$\theta=\pi/6$.) Por encima de la línea discontinua la región está delimitada por$r=2\cos(2\theta)$ y$\theta =\pi/6$. Como tenemos dos regiones separadas, encontramos el área usando dos integrales separadas.

Llame al área debajo de la línea discontinua$A_1$ y al área por encima de la línea discontinua$A_2$. Están determinados por las siguientes integrales:
$$A_1 = \frac12\int_0^{\pi/6} (1)^2\ d\theta\qquad A_2 = \frac12\int_{\pi/6}^{\pi/4} \big(2\cos(2\theta)\big)^2\ d\theta.$$
(El límite superior de la computación integral$A_2$ es$\pi/4$ como$r=2\cos(2\theta)$ está en el polo cuando$\theta=\pi/4$.)

Omitimos los detalles de integración y dejamos que el lector verifique eso$A_1 = \pi/12$ y$A_2 = \pi/12-\sqrt{3}/8$; el área total es$A = \pi/6-\sqrt{3}/8$.

Longitud del arco

Como ya hemos considerado la longitud del arco de las curvas definidas por ecuaciones rectangulares y paramétricas, ahora la consideramos en el contexto de ecuaciones polares. Recordemos que la longitud$L$ del arco de la gráfica definida por las ecuaciones paramétricas$x=f(t)$,$y=g(t)$ on$[a,b]$ es

$$L = \int_a^b \sqrt{f^\prime (t)^2 + g^\prime(t)^2}\ dt = \int_a^b \sqrt{x^\prime(t)^2+y^\prime (t)^2}\ dt.\label{eq:polar_arclength}$$

Consideremos ahora la función polar$r=f(\theta)$. Nuevamente utilizamos las identidades$x=f(\theta)\cos\theta$ y$y=f(\theta)\sin\theta$ para crear ecuaciones paramétricas basadas en la función polar. Calculamos$x^\prime(\theta)$ y$y^\prime (\theta)$ como se hace antes al momento de calcular$\frac{dy}{dx}$, luego aplicamos la Ecuación\ ref {eq:polar_arclength}.

La expresión se$x^\prime(\theta)^2+y^\prime (\theta)^2$ puede simplificar mucho; dejamos esto como un ejercicio y declaramos que $$x^\prime(\theta)^2+y^\prime (\theta)^2 = f^\prime (\theta)^2+f(\theta)^2.$$
Esto nos lleva a la fórmula de longitud de arco.

idea clave 43 longitud de arco de curvas polares

Dejar$r=f(\theta)$ ser una función polar con$f^\prime$ continuo en un intervalo abierto$I$ que contiene$[\alpha,\beta]$, en el que la gráfica se traza solo una vez. La longitud$L$ del arco de la gráfica$[\alpha,\beta]$ es
$$L = \int_\alpha^\beta \sqrt{f^\prime (\theta)^2+f(\theta)^2}\ d\theta = \int_\alpha^\beta\sqrt{(r^\prime )^2+ r^2}\ d\theta.$$

Ejemplo$\PageIndex{7}$: Arc length of a limacon

Encuentra la longitud del arco del limacon$r=1+2\sin t$.

Solución

Con$r=1+2\sin t$, tenemos$r^\prime = 2\cos t$. El limacon se traza una vez$[0,2\pi]$, dándonos nuestros límites de integración. Aplicando Key Idea 43, tenemos

\ [\ begin {alinear*}
L &=\ int_0^ {2\ pi}\ sqrt {(2\ cos\ theta) ^2+ (1+2\ sin\ theta) ^2}\ d\ theta\
&=\ int_0^ {2\ pi}\ sqrt {4\ cos^2\ theta+4\ sin^2\ theta +4\ sin\ theta+4\ sin\ theta+ +1}\ d\ theta\\
&=\ int_0^ {2\ pi}\ sqrt {4\ sin\ theta+5}\ d\ theta\\
&\ aprox 13.3649.
\ end {alinear*}\]

Figura 9.54: El limacon en el Ejemplo 9.5.7 cuya longitud de arco se mide.

La integral final no puede resolverse en términos de funciones elementales, por lo que recurrimos a una aproximación numérica. (La regla de Simpson, con$n=4$, aproxima el valor con$13.0608$. El uso$n=22$ da el valor anterior, que es exacto a 4 lugares después del decimal.)

Superficie

La fórmula para la longitud del arco nos lleva a una fórmula para el área de superficie. La siguiente Idea Clave se basa en la Idea Clave 39.

KEY IDEA 44 SUPERFICIE DE UN SÓLIDO

Considera la gráfica de la ecuación polar$r=f(\theta)$, donde$f^\prime$ es continua en un intervalo abierto que contiene$[\alpha,\beta]$ sobre el cual la gráfica no se cruza a sí misma.

1. El área superficial del sólido formado al girar la gráfica alrededor del rayo inicial ($\theta=0$) es: $$\text{Surface Area} = 2\pi\int_\alpha^\beta f(\theta)\sin\theta\sqrt{f^\prime (\theta)^2+f(\theta)^2}\ d\theta.$$
2. El área superficial del sólido formado al girar la gráfica alrededor de la línea$\theta=\pi/2$ es: $$\text{Surface Area} = 2\pi\int_\alpha^\beta f(\theta)\cos\theta\sqrt{f^\prime (\theta)^2+f(\theta)^2}\ d\theta.$$

Ejemplo$\PageIndex{8}$: Surface area determined by a polar curve

Encuentra el área de superficie formada al girar un pétalo de la curva de la rosa$r=\cos(2\theta)$ alrededor de su eje central (ver Figura 9.55.

Solución

Elegimos, como implica la figura, girar la porción de la curva sobre la que se encuentra$[0,\pi/4]$ alrededor del rayo inicial. Usando Key Idea\ ref {idea:surface_area_polar} y el hecho de que$f^\prime (\theta) = -2\sin(2\theta)$, tenemos

\ [\ begin {align*}
\ text {Superficie} &= 2\ pi\ int_0^ {\ pi/4}\ cos (2\ theta)\ sin (\ theta)\ sqrt {\ grande (-2\ sin (2\ theta)\ grande) ^2+\ grande (\ cos (2\ theta)\ grande) ^2}\ d\ theta\
&\ aprox 36707.
\ end {alinear*}\]

La integral es otra que no puede ser evaluada en términos de funciones elementales. La Regla de Simpson, con$n=4$, aproxima el valor en$1.36751$.%; con$n=10$, el valor es exacto a 4 decimales.

Figura 9.55: Encontrar el área superficial de un pétalo de curva de rosa que gira alrededor de su eje central.

Este capítulo ha sido sobre las curvas en el plano. Si bien hay grandes matemáticas por descubrir en las dos dimensiones de un plano, vivimos en un mundo tridimensional y por lo tanto también debemos buscar hacer matemáticas en 3D —es decir, en el espacio. El siguiente capítulo inicia nuestra exploración en el espacio introduciendo el tema de los vectores, que son objetos matemáticos increíblemente útiles y poderosos.

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