3.4: Derivados como tasas de cambio
( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\)
- Determinar un nuevo valor de una cantidad a partir del valor anterior y la cantidad de cambio.
- Calcular la tasa promedio de cambio y explicar en qué se diferencia de la tasa instantánea de cambio.
- Aplicar tasas de cambio al desplazamiento, velocidad y aceleración de un objeto que se mueve a lo largo de una línea recta.
- Predecir la población futura a partir del valor presente y la tasa de crecimiento poblacional.
- Utilizar derivados para calcular el costo marginal y los ingresos en una situación de negocio.
En esta sección observamos algunas aplicaciones de la derivada centrándonos en la interpretación de la derivada como la tasa de cambio de una función. Estas aplicaciones incluyen aceleración y velocidad en física, tasas de crecimiento poblacional en biología y funciones marginales en economía.
Cantidad de fórmula de cambio
Una aplicación para derivados es estimar un valor desconocido de una función en un punto usando un valor conocido de una función en algún punto dado junto con su tasa de cambio en el punto dado. Sif(x) es una función definida en un intervalo[a,a+h], entonces la cantidad de cambio def(x) sobre el intervalo es el cambio en losy valores de la función sobre ese intervalo y viene dada por
f(a+h)−f(a).
La tasa promedio de cambio de la funciónf en ese mismo intervalo es la relación entre la cantidad de cambio en ese intervalo y el cambio correspondiente en losx valores. Está dado por
f(a+h)−f(a)h.
Como ya sabemos, la tasa instantánea de cambio def(x) ata es su derivada
f′(a)=lim
Para valores lo suficientemente pequeños deh,f′(a)≈\frac{f(a+h)−f(a)}{h}. Luego podemos resolver paraf(a+h) obtener la cantidad de fórmula de cambio:
f(a+h)≈f(a)+f′(a)h. \label{linapprox}
Podemos usar esta fórmula si solo conocemosf(a)f′(a) y deseamos estimar el valor def(a+h). Por ejemplo, podemos utilizar la población actual de una ciudad y la tasa a la que está creciendo para estimar su población en un futuro próximo. Como podemos ver en la Figura\PageIndex{1}, estamos aproximandof(a+h) por lay coordenada a a+h en la línea tangente af(x) atx=a. Observe que la precisión de esta estimación depende del valor de asíh como del valor def′(a).

Sif(3)=2 yf′(3)=5, estimarf(3.2).
Solución
Comience por encontrarh. Tenemosh=3.2−3=0.2. Así,
f(3.2)=f(3+0.2)≈f(3)+(0.2)f′(3)=2+0.2(5)=3.
Dadof(10)=−5 yf′(10)=6, estimaciónf(10.1).
- Pista
-
Utilice el mismo proceso que en el ejemplo anterior.
- Contestar
-
−4.4
Movimiento a lo largo de una línea
Otro uso para la derivada es analizar el movimiento a lo largo de una línea. Hemos descrito la velocidad como la velocidad de cambio de posición. Si tomamos la derivada de la velocidad, podemos encontrar la aceleración, o la tasa de cambio de velocidad. También es importante introducir la idea de velocidad, que es la magnitud de la velocidad. Así, podemos exponer las siguientes definiciones matemáticas.
Dejars(t) ser una función dando la posición de un objeto en el tiempo t.
- La velocidad del objeto en el momentot viene dada porv(t)=s′(t).
- La velocidad del objeto en el momentot viene dada por|v(t)|.
- La aceleración del objeto ent viene dada pora(t)=v′(t)=s''(t).
Se deja caer una pelota desde una altura de 64 pies. Su altura sobre el suelo (en pies)t segundos después viene dada pors(t)=−16t^2+64.
- ¿Cuál es la velocidad instantánea de la pelota cuando golpea el suelo?
- ¿Cuál es la velocidad promedio durante su caída?
Solución
Lo primero que hay que hacer es determinar cuánto tiempo tarda la pelota en llegar al suelo. Para ello, establezcas(t)=0. Resolviendo−16t^2+64=0, obtenemost=2, por lo que tarda 2 segundos para que la pelota llegue al suelo.
- La velocidad instantánea de la pelota a medida que golpea el suelo esv(2). Ya quev(t)=s′(t)=−32t, obtenemosv(t)=−64 pies/s.
- La velocidad promedio de la pelota durante su caída es
v_{ave}=\frac{s(2)−s(0)}{2−0}=\frac{0−64}{2}=−32pies/s.
Una partícula se mueve a lo largo de un eje de coordenadas en la dirección positiva hacia la derecha. Su posición en el momentot viene dada pors(t)=t^3−4t+2. Encuentrav(1)a(1) y usa estos valores para responder a las siguientes preguntas.
- ¿La partícula se mueve de izquierda a derecha o de derecha a izquierda en el momentot=1?
- ¿La partícula se está acelerando o desacelerando en el momentot=1?
Solución
Comience por encontrarv(t) ya(t).
v(t) = s'(t) = 3t^2 - 4ya(t)=v′(t)=s''(t)=6t.
Evaluando estas funciones ent=1, obtenemosv(1)=−1 ya(1)=6.
- Porquev(1)<0, la partícula se mueve de derecha a izquierda.
- Porquev(1)<0 ya(1)>0, la velocidad y la aceleración están actuando en direcciones opuestas. Es decir, la partícula se está acelerando en la dirección opuesta a la dirección en la que se desplaza, provocando|v(t)| que disminuya. La partícula se está desacelerando.
La posición de una partícula que se mueve a lo largo de un eje de coordenadas viene dada pors(t)=t^3−9t^2+24t+4,\; t≥0.
- Encuentrav(t).
- ¿A qué hora (s) está la partícula en reposo?
- ¿En qué intervalos de tiempo se mueve la partícula de izquierda a derecha? ¿De derecha a izquierda?
- Utilice la información obtenida para bosquejar la trayectoria de la partícula a lo largo de un eje de coordenadas.
Solución
a. La velocidad es la derivada de la función de posición:
v(t)=s′(t)=3t^2−18t+24.
b. La partícula está en reposo cuandov(t)=0, así se establece3t^2−18t+24=0. Factorizar el lado izquierdo de la ecuación produce3(t−2)(t−4)=0. Resolviendo, encontramos que la partícula está en reposo ent=2 yt=4.
c. La partícula se mueve de izquierda a derecha cuandov(t)>0 y de derecha a izquierda cuandov(t)<0. La figura\PageIndex{2} da el análisis del signo dev(t) fort≥0, pero no representa el eje a lo largo del cual se mueve la partícula.

- Desde3t^2−18t+24>0 el momento[0,2)∪(4,+∞), la partícula se mueve de izquierda a derecha en estos intervalos.
- Desde3t^2−18t+24<0 el momento(2,4), la partícula se mueve de derecha a izquierda en este intervalo.
d. Antes de poder esbozar la gráfica de la partícula, necesitamos conocer su posición en el momento en que comienza a moverse(t=0) y en los momentos en que cambia de dirección(t=2,4). Tenemoss(0)=4,s(2)=24, ys(4)=20. Esto significa que la partícula comienza en el eje de coordenadas4 y cambia de dirección en24 y20 sobre el eje de coordenadas. La trayectoria de la partícula se muestra en un eje de coordenadas en la Figura\PageIndex{3}.

Una partícula se mueve a lo largo de un eje de coordenadas. Su posición en el momentot viene dada pors(t)=t^2−5t+1. ¿La partícula se mueve de derecha a izquierda o de izquierda a derecha en el momentot=3?
- Pista
-
Encuentrav(3) y mira el letrero.
- Contestar
-
de izquierda a derecha
Cambio poblacional
Además de analizar velocidad, velocidad, aceleración y posición, podemos usar derivados para analizar diversos tipos de poblaciones, incluyendo aquellas tan diversas como colonias de bacterias y ciudades. Podemos utilizar una población actual, junto con una tasa de crecimiento, para estimar el tamaño de una población en el futuro. La tasa de crecimiento poblacional es la tasa de cambio de una población y en consecuencia puede ser representada por la derivada del tamaño de la población.
SiP(t) es el número de entidades presentes en una población, entonces la tasa de crecimiento poblacional deP(t) se define comoP′(t).
La población de una ciudad se triplica cada 5 años. Si su población actual es de 10 mil, ¿cuál será su población aproximada dentro de 2 años?
Solución
P(t)Sea la población (en miles)t años a partir de ahora. Así, lo sabemosP(0)=10 y con base en la información, nos anticipamosP(5)=30. Ahora estimeP′(0), la tasa de crecimiento actual, utilizando
P′(0)≈\frac{P(5)−P(0)}{5−0}=\frac{30−10}{5}=4.
Aplicando la Ecuación\ ref {linapprox} aP(t), podemos estimar la población dentro de 2 años escribiendo
P(2)≈P(0)+(2)P′(0)≈10+2(4)=18;
así, en 2 años la población será de 18 mil.
Se sabe que la población actual de una colonia de mosquitos es de 3 mil; es decir,P(0)=3,000. SiP′(0)=100, estimar el tamaño de la población en 3 días, dondet se mide en días.
- Pista
-
UsoP(3)≈P(0)+3P′(0)
- Contestar
-
3,300
Cambios en Costo e Ingresos
Además de analizar el movimiento a lo largo de una línea y el crecimiento de la población, los derivados son útiles para analizar los cambios en costos, ingresos y ganancias. El concepto de función marginal es común en los campos de los negocios y la economía e implica el uso de derivados. El costo marginal es el derivado de la función de costo. El ingreso marginal es el derivado de la función de ingresos. El beneficio marginal es el derivado de la función de ganancia, que se basa en la función de costo y la función de ingresos.
- SiC(x) es el costo de producirx artículos, entonces el costo marginalMC(x) esMC(x)=C′(x).
- SiR(x) es el ingreso obtenido de la venta dex artículos, entonces el ingreso marginalMR(x) esMR(x)=R′(x).
- SiP(x)=R(x)−C(x) es el beneficio obtenido de la venta dex artículos, entonces el beneficio marginalMP(x) se define comoMP(x)=P′(x)=MR(x)−MC(x)=R′(x)−C′(x).
Podemos aproximarnos aproximadamente
MC(x)=C′(x)=\lim_{h→0}\frac{C(x+h)−C(x)}{h} \nonumber
eligiendo un valor apropiado parah. Dado quex representa objetos, un valor razonable y pequeño parah es 1. Así, al sustituirh=1, obtenemos la aproximaciónMC(x)=C′(x)≈C(x+1)−C(x). En consecuencia,C′(x) para un valor dado dex puede pensarse como el cambio en el costo asociado con la producción de un artículo adicional. De manera similar,MR(x)=R′(x) se aproxima a los ingresos obtenidos por la venta de un artículo adicional, yMP(x)=P′(x) se aproxima a la ganancia obtenida al producir y vender un artículo adicional.
Supongamos que el número de cenas de barbacoa que se pueden vender,x, puede relacionarse con el precio cobrado,p, por la ecuaciónp(x)=9−0.03x,0≤x≤300.
En este caso, los ingresos en dólares obtenidos por la venta de cenas dex barbacoa son dados por
R(x)=xp(x)=x(9−0.03x)=−0.03x^2+9x\;\text{ for }0≤x≤300.
Utilice la función de ingresos marginales para estimar los ingresos obtenidos de la venta de la cena de101^{\text{st}} barbacoa. Compare esto con los ingresos reales obtenidos por la venta de esta cena.
Solución
Primero, encuentra la función de ingresos marginales:MR(x)=R′(x)=−0.06x+9.
A continuación, utiliceR′(100) para aproximarR(101)−R(100), los ingresos obtenidos de la venta de la101^{\text{st}} cena. Ya queR′(100)=3, los ingresos obtenidos por la venta de la101^{\text{st}} cena son de aproximadamente $3.
Los ingresos reales obtenidos de la venta de la101^{\text{st}} cena son
R(101)−R(100)=602.97−600=2.97,o$2.97.
El ingreso marginal es una estimación bastante buena en este caso y tiene la ventaja de ser fácil de calcular.
Supongamos que la ganancia obtenida de la venta de cenasx de pescado frita viene dada porP(x)=−0.03x^2+8x−50. Utilizar la función de beneficio marginal para estimar el beneficio de la venta de la cena101^{\text{st}} de pescado frita.
- Pista
-
ÚseloP′(100) para aproximarP(101)−P(100).
- Contestar
-
$2
Conceptos clave
- Utilizandof(a+h)≈f(a)+f′(a)h, es posible estimarf(a+h) dadof′(a) yf(a).
- La tasa de cambio de posición es la velocidad, y la tasa de cambio de velocidad es la aceleración. La velocidad es el valor absoluto, o magnitud, de la velocidad.
- La tasa de crecimiento poblacional y la población actual pueden utilizarse para predecir el tamaño de una población futura.
- Las funciones de costo marginal, ingresos marginales y ganancias marginales se pueden utilizar para predecir, respectivamente, el costo de producir un artículo más, los ingresos obtenidos al vender un artículo más y el beneficio obtenido al producir y vender un artículo más.
Glosario
- aceleración
- es la tasa de cambio de la velocidad, es decir, la derivada de la velocidad
- cantidad de cambio
- la cantidad de una función af(x) lo largo de un intervalo[x,x+h] is f(x+h)−f(x)
- tasa promedio de cambio
- es una función af(x) lo largo de un intervalo[x,x+h] es\frac{f(x+h)−f(a)}{b−a}
- costo marginal
- es el derivado de la función de costo, o el costo aproximado de producir un artículo más
- ingresos marginales
- es el derivado de la función de ingresos, o los ingresos aproximados obtenidos por la venta de un artículo más
- beneficio marginal
- es la derivada de la función de ganancia, o la ganancia aproximada obtenida al producir y vender un artículo más
- tasa de crecimiento poblacional
- es el derivado de la población con respecto al tiempo
- velocidad
- es el valor absoluto de la velocidad, es decir,|v(t)| es la velocidad de un objeto en el momentot cuya velocidad viene dada porv(t)