3.9: Derivadas de funciones exponenciales y logarítmicas
( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\)
- Encuentra la derivada de las funciones exponenciales.
- Encuentra la derivada de funciones logarítmicas.
- Utilizar la diferenciación logarítmica para determinar la derivada de una función.
Hasta ahora, hemos aprendido a diferenciar una variedad de funciones, incluyendo funciones trigonométricas, inversas e implícitas. En esta sección, exploramos las derivadas de funciones exponenciales y logarítmicas. Como se discutió en Introducción a las Funciones y Gráficas, las funciones exponenciales juegan un papel importante en el modelado del crecimiento poblacional y la desintegración de materiales radiactivos. Las funciones logarítmicas pueden ayudar a reescalar grandes cantidades y son particularmente útiles para reescribir expresiones complicadas.
Derivada de la Función Exponencial
Así como cuando encontramos las derivadas de otras funciones, podemos encontrar las derivadas de funciones exponenciales y logarítmicas usando fórmulas. A medida que desarrollamos estas fórmulas, necesitamos hacer ciertas suposiciones básicas. Las pruebas que estos supuestos sostienen están más allá del alcance de este curso.
En primer lugar, comenzamos con el supuesto de que la funciónB(x)=bx,b>0, está definida para cada número real y es continua. En cursos anteriores, se definieron los valores de las funciones exponenciales para todos los números racionales —comenzando con la definición debn, dónden es un entero positivo— como producto deb multiplicar por sí mismo losn tiempos. Posteriormente, definimosb0=1,b−n=1bn, para un entero positivon, ybs/t=(t√b)s para enteros positivoss yt. Estas definiciones dejan abierta la cuestión del valor debr dónder es un número real arbitrario. Al asumir la continuidad deB(x)=bx,b>0, podemos interpretarbr comolim donde los valores dex como tomamos el límite son racionales. Por ejemplo, podemos ver4^π como el número satisfactorio
4^3<4^π<4^4,\quad 4^{3.1}<4^π<4^{3.2},\quad 4^{3.14}<4^π<4^{3.15}, \nonumber
4^{3.141}<4^{π}<4^{3.142},\quad 4^{3.1415}<4^{π}<4^{3.1416},\quad …. \nonumber
Como vemos en la siguiente tabla,4^π≈77.88.
x | 4^x | x | 4^x |
---|---|---|---|
\ (x\)” style="text-align:center; ">4^3 | \ (4^x\)” style="text-align:center; ">64 | \ (x\)” style="text-align:center; ">4^{3.141593} | \ (4^x\)” style="text-align:center; ">77.8802710486 |
\ (x\)” style="text-align:center; ">4^{3.1} | \ (4^x\)” style="text-align:center; ">73.5166947198 | \ (x\)” style="text-align:center; ">4^{3.1416} | \ (4^x\)” style="text-align:center; ">77.8810268071 |
\ (x\)” style="text-align:center; ">4^{3.14} | \ (4^x\)” style="text-align:center; ">77.7084726013 | \ (x\)” style="text-align:center; ">4^{3.142} | \ (4^x\)” style="text-align:center; ">77.9242251944 |
\ (x\)” style="text-align:center; ">4^{3.141} | \ (4^x\)” style="text-align:center; ">77.8162741237 | \ (x\)” style="text-align:center; ">4^{3.15} | \ (4^x\)” style="text-align:center; ">78.7932424541 |
\ (x\)” style="text-align:center; ">4^{3.1415} | \ (4^x\)” style="text-align:center; ">77.8702309526 | \ (x\)” style="text-align:center; ">4^{3.2} | \ (4^x\)” style="text-align:center; ">84.4485062895 |
\ (x\)” style="text-align:center; ">4^{3.14159} | \ (4^x\)” style="text-align:center; ">77.8799471543 | \ (x\)” style="text-align:center; ">4^{4} | \ (4^x\)” style="text-align:center; ">256 |
Aproximación a un valor de4^π
También asumimos que paraB(x)=b^x,\, b>0, el valorB′(0) de la derivada existe. En esta sección, mostramos que al hacer esta suposición adicional, es posible demostrar que la funciónB(x) es diferenciable en todas partes.
Hacemos una suposición final: que hay un valor únicob>0 para el cualB′(0)=1. Definimos e como este valor único, como lo hicimos en Introducción a las Funciones y Gráficas. La figura\PageIndex{1} proporciona gráficas de las funcionesy=2^x, \,y=3^x, \,y=2.7^x, yy=2.8^x. Una estimación visual de las pendientes de las líneas tangentes a estas funciones en 0 proporciona evidencia de que el valor de e se encuentra en algún lugar entre 2.7 y 2.8. La funciónE(x)=e^x se llama la función exponencial natural. Su inversa,L(x)=\log_e x=\ln x se llama la función logarítmica natural.
Para una mejor estimación dee, podemos construir una tabla de estimaciones deB′(0) para funciones de la formaB(x)=b^x. Antes de hacer esto, recordemos que
B′(0)=\lim_{x→0}\frac{b^x−b^0}{x−0}=\lim_{x→0}\frac{b^x−1}{x}≈\frac{b^x−1}{x} \nonumber
para valoresx muy cercanos a cero. Para nuestras estimaciones, elegimosx=0.00001 yx=−0.00001
para obtener la estimación
\frac{b^{−0.00001}−1}{−0.00001}<B′(0)<\frac{b^{0.00001}−1}{0.00001}. \nonumber
Consulte la siguiente tabla.
b | \frac{b^{−0.00001}−1}{−0.00001}<B′(0)<\frac{b^{0.00001}−1}{0.00001}. | b | \frac{b^{−0.00001}−1}{−0.00001}<B′(0)<\frac{b^{0.00001}−1}{0.00001}. |
---|---|---|---|
\ (b\)” style="text-align:center; ">2 | \ (\ frac {b^ {−0.00001} −1} {−0.00001} <B′ (0) <\ frac {b^ {0.00001} −1} {0.00001}.\)” style="text-align:center; ">0.693145<B′(0)<0.69315 | \ (b\)” style="text-align:center; ">2.7183 | \ (\ frac {b^ {−0.00001} −1} {−0.00001} <B′ (0) <\ frac {b^ {0.00001} −1} {0.00001}.\)” style="text-align:center; ">1.000002<B′(0)<1.000012 |
\ (b\)” style="text-align:center; ">2.7 | \ (\ frac {b^ {−0.00001} −1} {−0.00001} <B′ (0) <\ frac {b^ {0.00001} −1} {0.00001}.\)” style="text-align:center; ">0.993247<B′(0)<0.993257 | \ (b\)” style="text-align:center; ">2.719 | \ (\ frac {b^ {−0.00001} −1} {−0.00001} <B′ (0) <\ frac {b^ {0.00001} −1} {0.00001}.\)” style="text-align:center; ">1.000259<B′(0)<1.000269 |
\ (b\)” style="text-align:center; ">2.71 | \ (\ frac {b^ {−0.00001} −1} {−0.00001} <B′ (0) <\ frac {b^ {0.00001} −1} {0.00001}.\)” style="text-align:center; ">0.996944<B′(0)<0.996954 | \ (b\)” style="text-align:center; ">2.72 | \ (\ frac {b^ {−0.00001} −1} {−0.00001} <B′ (0) <\ frac {b^ {0.00001} −1} {0.00001}.\)” style="text-align:center; ">1.000627<B′(0)<1.000637 |
\ (b\)” style="text-align:center; ">2.718 | \ (\ frac {b^ {−0.00001} −1} {−0.00001} <B′ (0) <\ frac {b^ {0.00001} −1} {0.00001}.\)” style="text-align:center; ">0.999891<B′(0)<0.999901 | \ (b\)” style="text-align:center; ">2.8 | \ (\ frac {b^ {−0.00001} −1} {−0.00001} <B′ (0) <\ frac {b^ {0.00001} −1} {0.00001}.\)” style="text-align:center; ">1.029614<B′(0)<1.029625 |
\ (b\)” style="text-align:center; ">2.7182 | \ (\ frac {b^ {−0.00001} −1} {−0.00001} <B′ (0) <\ frac {b^ {0.00001} −1} {0.00001}.\)” style="text-align:center; ">0.999965<B′(0)<0.999975 | \ (b\)” style="text-align:center; ">3 | \ (\ frac {b^ {−0.00001} −1} {−0.00001} <B′ (0) <\ frac {b^ {0.00001} −1} {0.00001}.\)” style="text-align:center; ">1.098606<B′(0)<1.098618 |
La evidencia de la tabla sugiere que2.7182<e<2.7183.
La gráfica deE(x)=e^x junto con la líneay=x+1 se muestran en la Figura\PageIndex{2}. Esta línea es tangente a la gráfica deE(x)=e^x atx=0.
Ahora que hemos establecido nuestros supuestos básicos, comenzamos nuestra investigación explorando el derivado deB(x)=b^x, \,b>0. Recordemos que hemos asumido que esoB′(0) existe. Al aplicar la definición límite a la derivada concluimos que
B′(0)=\lim_{h→0}\frac{b^{0+h}−b^0}{h}=\lim_{h→0}\frac{b^h−1}{h} \nonumber
Pasando aB′(x), obtenemos lo siguiente.
\ (\ displaystyle\ begin {align*} B′ (x) &=\ lim_ {h→0}\ frac {b^ {x+h} −b^x} {h} &\ text {Aplica la definición límite de la derivada.}\\ [4pt]
&=\ lim_ {h→0}\ frac {b^xb^h−b^x} {h} & &\ text {Tenga en cuenta que} b^ {x+h} =b^xb^h.\\ [4pt]
&=\ lim_ {h→0}\ frac {b^x (b^h−1)} {h} &\ text {Factor de salida} b^x.\\ [4pt]
&=b^x\ lim_ {h→0}\ frac {b^h−1} {h} & &\ text {Aplicar una propiedad de límites.}\\ [4pt]
&=b^xb′ (0) &\ text {Usar} B′ (0) =\ lim_ {h→0}\ frac {b^ {0+h} −b^0} {h} =\ lim_ {h→0}\ frac {b^h−1} {h}. \ end {alinear*}\)
Vemos que sobre la base de la suposición queB(x)=b^x es diferenciable en no sólo0,B(x) es diferenciable en todas partes, sino que su derivada es
B′(x)=b^xB′(0).\nonumber
ParaE(x)=e^x, \,E′(0)=1. Así, tenemosE′(x)=e^x. (El valor deB′(0) para una función arbitraria de la forma seB(x)=b^x, \,b>0, derivará más adelante.)
E(x)=e^xSea la función exponencial natural. Entonces
E′(x)=e^x. \nonumber
En general,
\frac{d}{dx}\Big(e^{g(x)}\Big)=e^{g(x)}g′(x) \nonumber
Encuentra la derivada def(x)=e^{\tan(2x)}.
Solución:
Usando la fórmula derivada y la regla de la cadena,
f′(x)=e^{\tan(2x)}\frac{d}{dx}\Big(\tan(2x)\Big)=e^{\tan(2x)}\sec^2(2x)⋅2 \nonumber
Encuentra la derivada dey=\dfrac{e^{x^2}}{x}.
Solución
Utilice la derivada de la función exponencial natural, la regla del cociente y la regla de la cadena.
\ (\ begin {align*} y′&=\ dfrac {(e^ {x^2} y′&=\ dfrac {(e^ {x^2}} &\ text {Aplica la regla del cociente.}\\ [4pt]
&=\ dfrac {e^ {x^2} (2x^2−1)} {x^2} & &\ text {Simplificar.} \ end {alinear*}\)
Encuentra la derivada deh(x)=xe^{2x}.
- Pista
-
No olvides usar la regla del producto.
- Contestar
-
h′(x)=e^{2x}+2xe^{2x}
Una colonia de mosquitos tiene una población inicial de 1000. Después det días, la población es dada porA(t)=1000e^{0.3t}. Demostrar que la proporción de la tasa de cambio de la poblaciónA′(t),, a la población,A(t) es constante.
Solución
Primer hallazgoA′(t). Al usar la regla de la cadena, tenemosA′(t)=300e^{0.3t}. Así, la relación de la tasa de cambio de la población a la población viene dada por
\frac{A′(t)}{A(t)}=\frac{300e^{0.3t}}{1000e^{0.3t}}=0.3. \nonumber
La relación entre la tasa de cambio de la población respecto a la población es la constante 0.3.
SiA(t)=1000e^{0.3t} describe la población de mosquitos después det días, como en el ejemplo anterior, ¿cuál es la tasa de cambio deA(t) después de 4 días?
- Pista
-
EncuentraA′(4).
- Contestar
-
996
Derivada de la función logarítmica
Ahora que tenemos la derivada de la función exponencial natural, podemos usar la diferenciación implícita para encontrar la derivada de su inversa, la función logarítmica natural.
Six>0 yy=\ln x, entonces
\frac{dy}{dx}=\frac{1}{x}. \nonumber
De manera más general, dejag(x) ser una función diferenciable. Para todos los valores dex para los cualesg′(x)>0, la derivada deh(x)=\ln(g(x)) viene dada por
h′(x)=\frac{1}{g(x)}g′(x). \nonumber
Six>0 yy=\ln x, entoncese^y=x. Diferenciar ambos lados de esta ecuación da como resultado la ecuación
e^y\frac{dy}{dx}=1. \nonumber
Resolviendo\dfrac{dy}{dx} rendimientos
\frac{dy}{dx}=\frac{1}{e^y}. \nonumber
Por último, sustituimosx=e^y para obtener
\frac{dy}{dx}=\frac{1}{x}. \nonumber
También podemos derivar este resultado aplicando el teorema de la función inversa, de la siguiente manera. Desdey=g(x)=\ln x
es la inversa def(x)=e^x, aplicando el teorema de la función inversa tenemos
\frac{dy}{dx}=\frac{1}{f′(g(x))}=\frac{1}{e^{\ln x}}=\frac{1}{x}. \nonumber
Usar este resultado y aplicar la regla de la cadena ah(x)=\ln(g(x)) los rendimientos
h′(x)=\frac{1}{g(x)}g′(x). \label{lnder}
□
La gráfica dey=\ln x y su derivada\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{1}{x} se muestran en la Figura\PageIndex{3}.
Encuentra la derivada def(x)=\ln(x^3+3x−4).
Solución
Usa la ecuación\ ref {lnder} directamente.
\ (\ begin {align*} f′ (x) &=\ dfrac {1} {x^3+3x−4} ⋅ (3x^2+3) &\ text {Usar} g (x) =x^3+3x−4\ texto {en} h′ (x) =\ dfrac {1} {g (x)} g′ (x).\\ [4pt]
&=\ dfrac {3x^2+3} {x^3+3x−4} &\ text {Reescribir.} \ end {alinear*}\)
Encuentra la derivada def(x)=\ln\left(\dfrac{x^2\sin x}{2x+1}\right).
Solución
A primera vista, tomar esta derivada parece bastante complicado. Sin embargo, al usar las propiedades de logaritmos antes de encontrar la derivada, podemos simplificar mucho el problema.
\ (\ begin {align*} f (x) &=\ ln\ left (\ frac {x^2\ sin x} {2x+1}\ derecha) =2\ ln x+\ ln (\ sin x) −\ ln (2x+1) &\ text {Aplicar propiedades de logaritmos.}\\ [4pt]
f′ (x) &=\ dfrac {2} {x} +\ cot x−\ dfrac {2} {2x+1} &\ text {Aplicar regla de suma y} h′ (x) =\ dfrac {1} {g (x)} g′ (x). \ end {alinear*}\)
Diferenciar:f(x)=\ln(3x+2)^5.
- Pista
-
Utilizar una propiedad de logaritmos para simplificar antes de tomar la derivada.
- Contestar
-
f′(x)=\dfrac{15}{3x+2}
Ahora que podemos diferenciar la función logarítmica natural, podemos usar este resultado para encontrar las derivadas dey=\log_b x yy=b^x parab>0, \,b≠1.
Dejarb>0,b≠1, y dejarg(x) ser una función diferenciable.
i. Siy=\log_b x, entonces
\frac{dy}{dx}=\frac{1}{x\ln b}. \nonumber
De manera más general, sih(x)=\log_b(g(x)), entonces para todos los valores dex para los cualesg(x)>0,
h′(x)=\frac{g′(x)}{g(x)\ln b}. \label{genlogder}
ii. Siy=b^x, entonces
\frac{dy}{dx}=b^x\ln b. \nonumber
De manera más general, sih(x)=b^{g(x)}, entonces
h′(x)=b^{g(x)}g'(x)\ln b \label{genexpder}
Siy=\log_b x, entonces Deb^y=x. ello se deduce eso\ln(b^y)=\ln x. Por lo tantoy\ln b=\ln x. Resolviendo paray, tenemosy=\dfrac{\ln x}{\ln b}. Diferenciando y teniendo en cuenta que\ln b es una constante, vemos que
\frac{dy}{dx}=\frac{1}{x\ln b}. \nonumber
La derivada en la ecuación\ ref {genlogder} ahora sigue de la regla de la cadena.
Siy=b^x. entonces\ln y=x\ln b. Usando la diferenciación implícita, nuevamente teniendo en cuenta que\ln b es constante, se deduce de eso\dfrac{1}{y}\dfrac{dy}{dx}=\ln b. Resolviendo\dfrac{dy}{dx} y sustituyendoy=b^x, vemos que
\frac{dy}{dx}=y\ln b=b^x\ln b. \nonumber
La derivada más general (Ecuación\ ref {genexpder}) se desprende de la regla de la cadena.
□
Encuentra la derivada deh(x)=\dfrac{3^x}{3^x+2}.
Solución
Usa la regla del cociente y Note.
\ (\ begin {align*} h′ (x) &=\ dfrac {3^x\ ln 3 (3^x+2) −3^x\ ln 3 (3^x)} {(3^x+2) ^2} &\ text {Aplica la regla del cociente.}\\ [4pt]
&=\ dfrac {23^x\ ln 3} {(3x+2) ^2} & &\ text {Simplificar.} \ end {alinear*}\)
Encuentra la pendiente de la línea tangente a la gráfica dey=\log_2 (3x+1) atx=1.
Solución
Para encontrar la pendiente, debemos evaluar\dfrac{dy}{dx} enx=1. Usando la ecuación\ ref {genlogder}, vemos que
\frac{dy}{dx}=\frac{3}{(3x+1)\ln 2}. \nonumber
Al evaluar la derivada enx=1, vemos que la línea tangente tiene pendiente
\frac{dy}{dx}\bigg{|}_{x=1}=\frac{3}{4\ln 2}=\frac{3}{\ln 16}. \nonumber
Encuentra el talud para la línea tangentey=3^x ax=2.
- Pista
-
Evaluar la derivada enx=2.
- Contestar
-
9\ln(3)
La diferenciación logarítmica
En este punto, podemos tomar derivadas de funciones de la formay=(g(x))^n para ciertos valores den, así como funciones de la formay=b^{g(x)}, dóndeb>0 yb≠1. Desafortunadamente, todavía no conocemos las derivadas de funciones comoy=x^x oy=x^π. Estas funciones requieren de una técnica llamada diferenciación logarítmica, que nos permite diferenciar cualquier función de la formah(x)=g(x)^{f(x)}. También se puede utilizar para convertir un problema de diferenciación muy complejo en uno más simple, como encontrar la derivada dey=\dfrac{x\sqrt{2x+1}}{e^x\sin^3 x}. Describimos esta técnica en la siguiente estrategia de resolución de problemas.
- Para diferenciary=h(x) usando diferenciación logarítmica, tomar el logaritmo natural de ambos lados de la ecuación para obtener\ln y=\ln(h(x)).
- Usa propiedades de logaritmos para\ln(h(x)) expandirte tanto como sea posible.
- Diferenciar ambos lados de la ecuación. A la izquierda tendremos\dfrac{1}{y}\dfrac{dy}{dx}.
- Multiplique ambos lados de la ecuación pory para resolver para\dfrac{dy}{dx}.
- Reemplazary porh(x).
Encuentra la derivada dey=(2x^4+1)^{\tan x}.
Solución
Utilice la diferenciación logarítmica para encontrar esta derivada.
\ (\ begin {align*}\ ln y&=\ ln (2x^4+1) ^ {\ tan x} &\ text {Paso 1. Toma el logaritmo natural de ambos lados.}\\ [4pt]
\ ln y&=\ tan x\ ln (2x^4+1) &\ text {Paso 2. Expandir usando propiedades de logaritmos.}\\ [4pt]
\ dfrac {1} {y}\ dfrac {dy} {dx} &=\ sec^2 x\ ln (2x^4+1) +\ dfrac {8x^3} {2x^4+1} ⋅\ tan x & &\ text {Paso 3. Diferenciar ambos lados. Usa la regla del producto a la derecha.}\\ [4pt]
\ dfrac {dy} {dx} &=y⋅ (\ seg^2 x\ ln (2x^4+1) +\ dfrac {8x^3} {2x^4+1} ⋅\ tan x) &\ text {Paso 4. Multiplica por} y\ texto {en ambos lados.}\\ [4pt]
\ dfrac {dy} {dx} & =( 2x^4+1) ^ {\ tan x} (\ seg^2 x\ ln (2x^4+1) +\ dfrac {8x^3} {2x^4+1} ⋅\ tan x) &\ text {Paso 5. Sustituir} y= (2x^4+1) ^ {\ tan x}. \ end {alinear*}\)
Encuentra la derivada dey=\dfrac{x\sqrt{2x+1}}{e^x\sin^3 x}.
Solución
Este problema realmente hace uso de las propiedades de los logaritmos y las reglas de diferenciación dadas en este capítulo.
\ln y=\ln\dfrac{x\sqrt{2x+1}}{e^x\sin^3 x} | Paso 1. Toma el logaritmo natural de ambos lados. |
\ln y=\ln x+\frac{1}{2}\ln(2x+1)−x\ln e−3\ln \sin x | Paso 2. Expandir usando propiedades de logaritmos. |
\dfrac{1}{y}\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{2x+1}−1−3\dfrac{\cos x}{\sin x} | Paso 3. Diferenciar ambos lados. |
\dfrac{dy}{dx}=y\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{2x+1}−1−3\cot x\right) | Paso 4. Multiplicar pory en ambos lados. |
\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{x\sqrt{2x+1}}{e^x\sin^3 x}\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{2x+1}−1−3\cot x\right) | Paso 5. Sustitutoy=\dfrac{x\sqrt{2x+1}}{e^x\sin^3 x}. |
Utilice la diferenciación logarítmica para encontrar la derivada dey=x^x.
- Pista
-
Siga la estrategia de resolución de problemas.
- Contestar
-
Solución:\dfrac{dy}{dx}=x^x(1+\ln x)
Encuentra la derivada dey=(\tan x)^π.
- Pista
-
Usa la regla de potencia (ya que el exponente\pi es una constante) y la regla de cadena.
- Contestar
-
y′=π(\tan x)^{π−1}\sec^2 x
Conceptos clave
- Sobre la base del supuesto de que la función exponencialy=b^x, \,b>0 es continua en todas partes y diferenciable en0, esta función es diferenciable en todas partes y hay una fórmula para su derivada.
- Podemos usar una fórmula para encontrar la derivada dey=\ln x, y la relación nos\log_b x=\dfrac{\ln x}{\ln b} permite extender nuestras fórmulas de diferenciación para incluir logaritmos con bases arbitrarias.
- La diferenciación logarítmica nos permite diferenciar funciones de la formay=g(x)^{f(x)} o funciones muy complejas tomando el logaritmo natural de ambos lados y explotando las propiedades de los logaritmos antes de diferenciarlos.
Ecuaciones Clave
- Derivada de la función exponencial natural
\dfrac{d}{dx}\Big(e^{g(x)}\Big)=e^{g(x)}g′(x)
- Derivada de la función logarítmica natural
\dfrac{d}{dx}\Big(\ln g(x)\Big)=\dfrac{1}{g(x)}g′(x)
- Derivada de la función exponencial general
\dfrac{d}{dx}\Big(b^{g(x)}\Big)=b^{g(x)}g′(x)\ln b
- Derivada de la función logarítmica general
\dfrac{d}{dx}\Big(\log_b g(x)\Big)=\dfrac{g′(x)}{g(x)\ln b}
Glosario
- diferenciación logarítmica
- es una técnica que nos permite diferenciar una función tomando primero el logaritmo natural de ambos lados de una ecuación, aplicando propiedades de logaritmos para simplificar la ecuación, y diferenciando implícitamente