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# 10.3E: Ejercicios para la Sección 10.3

• Edwin “Jed” Herman & Gilbert Strang
• OpenStax

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## Polinomios de Taylor

En los ejercicios 1 - 8, se encuentran los polinomios Taylor de grado dos aproximándose a la función dada centrada en el punto dado.

1)$$f(x)=1+x+x^2$$ en$$a=1$$

2)$$f(x)=1+x+x^2$$ en$$a=−1$$

Contestar
$$f(−1)=1;\;f′(−1)=−1;\;f''(−1)=2;\quad p_2(x)=1−(x+1)+(x+1)^2$$

3)$$f(x)=\cos(2x)$$ en$$a=π$$

4)$$f(x)=\sin(2x)$$ en$$a=\frac{π}{2}$$

Contestar
$$f′(x)=2\cos(2x);\;f''(x)=−4\sin(2x);\quad p_2(x)=−2(x−\frac{π}{2})$$

5)$$f(x)=\sqrt{x}$$ en$$a=4$$

6)$$f(x)=\ln x$$ en$$a=1$$

Contestar
$$f′(x)=\dfrac{1}{x};\; f''(x)=−\dfrac{1}{x^2};\quad p_2(x)=0+(x−1)−\frac{1}{2}(x−1)^2$$

7)$$f(x)=\dfrac{1}{x}$$ en$$a=1$$

8)$$f(x)=e^x$$ en$$a=1$$

Contestar
$$p_2(x)=e+e(x−1)+\dfrac{e}{2}(x−1)^2$$

## Teorema del resto de Taylor

En los ejercicios 9 - 14, verificar que la elección dada de$$n$$ en la estimación restante$$|R_n|≤\dfrac{M}{(n+1)!}(x−a)^{n+1}$$, donde$$M$$ está el valor máximo de$$∣f^{(n+1)}(z)∣$$ en el intervalo entre$$a$$ y el punto indicado, rinde$$|R_n|≤\frac{1}{1000}$$. Encuentra el valor del polinomio Taylor$$p_n$$ de$$f$$ en el punto indicado.

9) [T]$$\sqrt{10};\; a=9,\; n=3$$

10) [T]$$(28)^{1/3};\; a=27,\; n=1$$

Contestar
$$\dfrac{d^2}{dx^2}x^{1/3}=−\dfrac{2}{9x^{5/3}}≥−0.00092…$$cuando$$x≥28$$ así la estimación del resto se aplica a la aproximación lineal$$x^{1/3}≈p_1(27)=3+\dfrac{x−27}{27}$$, lo que da$$(28)^{1/3}≈3+\frac{1}{27}=3.\bar{037}$$, mientras que$$(28)^{1/3}≈3.03658.$$

11) [T]$$\sin(6);\; a=2π,\; n=5$$

12) [T]$$e^2; \; a=0,\; n=9$$

Contestar
Usando la estimación$$\dfrac{2^{10}}{10!}<0.000283$$ podemos utilizar la expansión Taylor del orden 9 para estimar$$e^x$$ en$$x=2$$. como$$e^2≈p_9(2)=1+2+\frac{2^2}{2}+\frac{2^3}{6}+⋯+\frac{2^9}{9!}=7.3887$$... mientras que$$e^2≈7.3891.$$

13) [T]$$\cos(\frac{π}{5});\; a=0,\; n=4$$

14) [T]$$\ln(2);\; a=1,\; n=1000$$

Contestar
Ya que$$\dfrac{d^n}{dx^n}(\ln x)=(−1)^{n−1}\dfrac{(n−1)!}{x^n},R_{1000}≈\frac{1}{1001}$$. Uno tiene$$\displaystyle p_{1000}(1)=\sum_{n=1}^{1000}\dfrac{(−1)^{n−1}}{n}≈0.6936$$ mientras$$\ln(2)≈0.6931⋯.$$

## Aproximación de integrales definidas usando la serie Taylor

15) Integrar la aproximación$$\sin t≈t−\dfrac{t^3}{6}+\dfrac{t^5}{120}−\dfrac{t^7}{5040}$$ evaluada a$$π$$ t a aproximada$$\displaystyle ∫^1_0\frac{\sin πt}{πt}\,dt$$.

16) Integrar la aproximación$$e^x≈1+x+\dfrac{x^2}{2}+⋯+\dfrac{x^6}{720}$$ evaluada$$−x^2$$ a aproximada$$\displaystyle ∫^1_0e^{−x^2}\,dx.$$

Contestar
$$\displaystyle ∫^1_0\left(1−x^2+\frac{x^4}{2}−\frac{x^6}{6}+\frac{x^8}{24}−\frac{x^{10}}{120}+\frac{x^{12}}{720}\right)\,dx =1−\frac{1^3}{3}+\frac{1^5}{10}−\frac{1^7}{42}+\frac{1^9}{9⋅24}−\frac{1^{11}}{120⋅11}+\frac{1^{13}}{720⋅13}≈0.74683$$mientras que$$\displaystyle ∫^1_0e^{−x^2}dx≈0.74682.$$

## Más problemas del teorema del resto de Taylor

En los ejercicios 17 - 20, encuentra el valor más pequeño de$$n$$ tal manera que la estimación del resto$$|R_n|≤\dfrac{M}{(n+1)!}(x−a)^{n+1}$$, donde$$M$$ está el valor máximo de$$∣f^{(n+1)}(z)∣$$ en el intervalo entre$$a$$ y el punto indicado, rinde$$|R_n|≤\frac{1}{1000}$$ sobre el intervalo indicado.

17)$$f(x)=\sin x$$ en$$[−π,π],\; a=0$$

18)$$f(x)=\cos x$$ en$$[−\frac{π}{2},\frac{π}{2}],\; a=0$$

Contestar
Ya que$$f^{(n+1)}(z)$$ es$$\sin z$$ o$$\cos z$$, tenemos$$M=1$$. Ya que$$|x−0|≤\frac{π}{2}$$, buscamos los más pequeños de$$n$$ tal manera que$$\dfrac{π^{n+1}}{2^{n+1}(n+1)!}≤0.001$$. El menor tal valor es$$n=7$$. La estimación del resto es$$R_7≤0.00092.$$

19)$$f(x)=e^{−2x}$$ en$$[−1,1],a=0$$

20)$$f(x)=e^{−x}$$ en$$[−3,3],a=0$$

Responder
Ya que$$f^{(n+1)}(z)=±e^{−z}$$ uno tiene$$M=e^3$$. Ya que$$|x−0|≤3$$, se busca el más pequeño$$n$$ tal que$$\dfrac{3^{n+1}e^3}{(n+1)!}≤0.001$$. El menor tal valor es$$n=14$$. La estimación del resto es$$R_{14}≤0.000220.$$

En los ejercicios 21 - 24, el máximo del lado derecho de la estimación del resto$$|R_1|≤\dfrac{max|f''(z)|}{2}R^2$$ en$$[a−R,a+R]$$ ocurre en$$a$$ o$$a±R$$. Estimar el valor máximo de$$R$$ tal que$$\dfrac{max|f''(z)|}{2}R^2≤0.1$$ en$$[a−R,a+R]$$ trazando este máximo en función de$$R$$.

21) [T]$$e^x$$ aproximado por$$1+x,\; a=0$$

22) [T]$$\sin x$$ aproximado por$$x,\; a=0$$

Responder

Ya que$$\sin x$$ está aumentando para pequeños$$x$$ y desde entonces$$\frac{d^2}{dx^2}\left(\sin x\right)=−\sin x$$, la estimación se aplica siempre$$R^2\sin(R)≤0.2$$, que aplica hasta$$R=0.596.$$

23) [T]$$\ln x$$ aproximado por$$x−1,\; a=1$$

24) [T]$$\cos x$$ aproximado por$$1,\; a=0$$

Responder

Dado que la segunda derivada de$$\cos x$$ es$$−\cos x$$ y desde$$\cos x$$ está disminuyendo alejándose de$$x=0$$, la estimación se aplica cuando$$R^2\cos R≤0.2$$ o$$R≤0.447$$.

## Serie Taylor

En los ejercicios 25 - 35, encuentra la serie Taylor de la función dada centrada en el punto indicado.

25)$$f(x) = x^4$$ en$$a=−1$$

26)$$f(x) = 1+x+x^2+x^3$$ en$$a=−1$$

Responder
$$(x+1)^3−2(x+1)^2+2(x+1)$$

27)$$f(x) = \sin x$$ en$$a=π$$

28)$$f(x) = \cos x$$ en$$a=2π$$

Responder
Los valores de los derivados son los mismos$$x=0$$ que para$$\displaystyle \cos x=\sum_{n=0}^∞(−1)^n\frac{(x−2π)^{2n}}{(2n)!}$$

29)$$f(x) = \sin x$$ en$$x=\frac{π}{2}$$

30)$$f(x) = \cos x$$ en$$x=\frac{π}{2}$$

Responder
$$\cos(\frac{π}{2})=0,\;−\sin(\frac{π}{2})=−1$$entonces$$\displaystyle \cos x=\sum_{n=0}^∞(−1)^{n+1}\frac{(x−\frac{π}{2})^{2n+1}}{(2n+1)!}$$, que es también$$−\cos(x−\frac{π}{2})$$.

31)$$f(x) = e^x$$ en$$a=−1$$

32)$$f(x) = e^x$$ en$$a=1$$

Responder
Los derivados son$$f^{(n)}(1)=e,$$ tan$$\displaystyle e^x=e\sum_{n=0}^∞\frac{(x−1)^n}{n!}.$$

33)$$f(x) = \dfrac{1}{(x−1)^2}$$ en$$a=0$$ (Pista: Diferenciar la serie Taylor para$$\dfrac{1}{1−x}$$.)

34)$$f(x) = \dfrac{1}{(x−1)^3}$$ en$$a=0$$

Responder
$$\displaystyle \frac{1}{(x−1)^3}=−\frac{1}{2}\frac{d^2}{dx^2}\left(\frac{1}{1−x}\right)=−\sum_{n=0}^∞\left(\frac{(n+2)(n+1)x^n}{2}\right)$$

35)$$\displaystyle F(x)=∫^x_0\cos(\sqrt{t})\,dt;\quad \text{where}\; f(t)=\sum_{n=0}^∞(−1)^n\frac{t^n}{(2n)!}$$ a a=0 (Nota:$$f$$ es la serie Taylor de$$\cos(\sqrt{t}).)$$

En los ejercicios 36 - 44, computa la serie Taylor de cada función alrededor$$x=1$$.

36)$$f(x)=2−x$$

Responder
$$2−x=1−(x−1)$$

37)$$f(x)=x^3$$

38)$$f(x)=(x−2)^2$$

Responder
$$((x−1)−1)^2=(x−1)^2−2(x−1)+1$$

39)$$f(x)=\ln x$$

40)$$f(x)=\dfrac{1}{x}$$

Responder
$$\displaystyle \frac{1}{1−(1−x)}=\sum_{n=0}^∞(−1)^n(x−1)^n$$

41)$$f(x)=\dfrac{1}{2x−x^2}$$

42)$$f(x)=\dfrac{x}{4x−2x^2−1}$$

Responder
$$\displaystyle x\sum_{n=0}^∞2^n(1−x)^{2n}=\sum_{n=0}^∞2^n(x−1)^{2n+1}+\sum_{n=0}^∞2^n(x−1)^{2n}$$

43)$$f(x)=e^{−x}$$

44)$$f(x)=e^{2x}$$

Responder
$$\displaystyle e^{2x}=e^{2(x−1)+2}=e^2\sum_{n=0}^∞\frac{2^n(x−1)^n}{n!}$$

## Serie Maclaurin

[T] En los ejercicios 45 - 48, identificar el valor de$$x$$ tal que la serie dada$$\displaystyle \sum_{n=0}^∞a_n$$ es el valor de la serie Maclaurin de$$f(x)$$ at$$x$$. Aproximar el valor de$$f(x)$$ usar$$\displaystyle S_{10}=\sum_{n=0}^{10}a_n$$.

45)$$\displaystyle \sum_{n=0}^∞\frac{1}{n!}$$

46)$$\displaystyle \sum_{n=0}^∞\frac{2^n}{n!}$$

Responder
$$x=e^2;\quad S_{10}=\dfrac{34,913}{4725}≈7.3889947$$

47)$$\displaystyle \sum_{n=0}^∞\frac{(−1)^n(2π)^{2n}}{(2n)!}$$

48)$$\displaystyle \sum_{n=0}^∞\frac{(−1)^n(2π)^{2n+1}}{(2n+1)!}$$

Responder
$$\sin(2π)=0;\quad S_{10}=8.27×10^{−5}$$

En los ejercicios 49 - 52 utilizar las funciones$$S_5(x)=x−\dfrac{x^3}{6}+\dfrac{x^5}{120}$$ y$$C_4(x)=1−\dfrac{x^2}{2}+\dfrac{x^4}{24}$$ en$$[−π,π]$$.

49) [T] Parcela$$\sin^2x−(S_5(x))^2$$ en$$[−π,π]$$. Compara la diferencia máxima con el cuadrado de la estimación del resto de Taylor para$$\sin x.$$

50) [T] Parcela$$\cos^2x−(C_4(x))^2$$ en$$[−π,π]$$. Compare la diferencia máxima con el cuadrado de la estimación del resto de Taylor para$$\cos x$$.

Responder

La diferencia es pequeña en el interior del intervalo pero se acerca$$1$$ cerca de los puntos finales. La estimación del resto es$$|R_4|=\frac{π^5}{120}≈2.552.$$

51) [T] Parcela$$|2S_5(x)C_4(x)−\sin(2x)|$$ en$$[−π,π]$$.

52) [T] Comparar$$\dfrac{S_5(x)}{C_4(x)}$$$$[−1,1]$$ con$$\tan x$$. Compare esto con la estimación del resto de Taylor para la aproximación de$$\tan x$$ by$$x+\dfrac{x^3}{3}+\dfrac{2x^5}{15}$$.

Responder

La diferencia está en el orden de$$10^{−4}$$ on$$[−1,1]$$ mientras que el error de aproximación de Taylor está$$0.1$$ cerca$$±1$$. La curva superior es una gráfica de$$\tan^2x−\left(\dfrac{S_5(x)}{C_4(x)}\right)^2$$ y la gráfica discontinua inferior se muestra$$t^2−\left(\dfrac{S_5}{C_4}\right)^2$$.

53) [T] Parcela$$e^x−e_4(x)$$ donde$$e_4(x)=1+x+\dfrac{x^2}{2}+\dfrac{x^3}{6}+\dfrac{x^4}{24}$$ en$$[0,2]$$. Compara el error máximo con la estimación del resto de Taylor.

54) (Aproximaciones de Taylor y hallazgo de raíz.) Recordemos que el método de Newton$$x_{n+1}=x_n−\dfrac{f(x_n)}{f'(x_n)}$$ aproxima soluciones de$$f(x)=0$$ cerca de la entrada$$x_0$$.

a. si$$f$$ y$$g$$ son funciones inversas, explique por qué una solución de$$g(x)=a$$ es el valor$$f(a)$$ de$$f$$.

b.$$p_N(x)$$ Sea el$$N^{\text{th}}$$ grado Maclaurin polinomio de$$e^x$$. Utilice el método de Newton para aproximar soluciones de$$p_N(x)−2=0$$ para$$N=4,5,6.$$

c. Explique por qué las raíces aproximadas de$$p_N(x)−2=0$$ son valores aproximados de$$\ln(2).$$

Responder
a. Las respuestas variarán.
b. Los siguientes son los$$x_n$$ valores después de$$10$$ iteraciones del método de Newton para aproximar una raíz de$$p_N(x)−2=0$$: for$$N=4,x=0.6939...;$$ for$$N=5,x=0.6932...;$$ for$$N=6,x=0.69315...;.$$ (Nota:$$\ln(2)=0.69314...$$)
c. Las respuestas variarán.

## Evaluar límites usando la serie Taylor

En los ejercicios 55 - 58, utilizar el hecho de que si$$\displaystyle q(x)=\sum_{n=1}^∞a_n(x−c)^n$$ converge en un intervalo que contiene$$c$$, entonces$$\displaystyle \lim_{x→c}q(x)=a_0$$ para evaluar cada límite usando la serie Taylor.

55)$$\displaystyle \lim_{x→0}\frac{\cos x−1}{x^2}$$

56)$$\displaystyle \lim_{x→0}\frac{\ln(1−x^2)}{x^2}$$

Responder
$$\dfrac{\ln(1−x^2)}{x^2}→−1$$

57)$$\displaystyle \lim_{x→0}\frac{e^{x^2}−x^2−1}{x^4}$$

58)$$\displaystyle \lim_{x→0^+}\frac{\cos(\sqrt{x})−1}{2x}$$

Responder
$$\displaystyle \frac{\cos(\sqrt{x})−1}{2x}≈\frac{(1−\frac{x}{2}+\frac{x^2}{4!}−⋯)−1}{2x}→−\frac{1}{4}$$

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