10.3E: Ejercicios para la Sección 10.3

Polinomios de Taylor

En los ejercicios 1 - 8, se encuentran los polinomios Taylor de grado dos aproximándose a la función dada centrada en el punto dado.

1)$f(x)=1+x+x^2$ en$a=1$

2)$f(x)=1+x+x^2$ en$a=−1$

Contestar

$f(−1)=1;\;f′(−1)=−1;\;f''(−1)=2;\quad p_2(x)=1−(x+1)+(x+1)^2$

3)$f(x)=\cos(2x)$ en$a=π$

4)$f(x)=\sin(2x)$ en$a=\frac{π}{2}$

Contestar

$f′(x)=2\cos(2x);\;f''(x)=−4\sin(2x);\quad p_2(x)=−2(x−\frac{π}{2})$

5)$f(x)=\sqrt{x}$ en$a=4$

6)$f(x)=\ln x$ en$a=1$

Contestar

$f′(x)=\dfrac{1}{x};\; f''(x)=−\dfrac{1}{x^2};\quad p_2(x)=0+(x−1)−\frac{1}{2}(x−1)^2$

7)$f(x)=\dfrac{1}{x}$ en$a=1$

8)$f(x)=e^x$ en$a=1$

Contestar

$p_2(x)=e+e(x−1)+\dfrac{e}{2}(x−1)^2$

Teorema del resto de Taylor

En los ejercicios 9 - 14, verificar que la elección dada de$n$ en la estimación restante$|R_n|≤\dfrac{M}{(n+1)!}(x−a)^{n+1}$, donde$M$ está el valor máximo de$∣f^{(n+1)}(z)∣$ en el intervalo entre$a$ y el punto indicado, rinde$|R_n|≤\frac{1}{1000}$. Encuentra el valor del polinomio Taylor$p_n$ de$f$ en el punto indicado.

9) [T]$\sqrt{10};\; a=9,\; n=3$

10) [T]$(28)^{1/3};\; a=27,\; n=1$

Contestar

$\dfrac{d^2}{dx^2}x^{1/3}=−\dfrac{2}{9x^{5/3}}≥−0.00092…$cuando$x≥28$ así la estimación del resto se aplica a la aproximación lineal$x^{1/3}≈p_1(27)=3+\dfrac{x−27}{27}$, lo que da$(28)^{1/3}≈3+\frac{1}{27}=3.\bar{037}$, mientras que$(28)^{1/3}≈3.03658.$

11) [T]$\sin(6);\; a=2π,\; n=5$

12) [T]$e^2; \; a=0,\; n=9$

Contestar

Usando la estimación$\dfrac{2^{10}}{10!}<0.000283$ podemos utilizar la expansión Taylor del orden 9 para estimar$e^x$ en$x=2$. como$e^2≈p_9(2)=1+2+\frac{2^2}{2}+\frac{2^3}{6}+⋯+\frac{2^9}{9!}=7.3887$... mientras que$e^2≈7.3891.$

13) [T]$\cos(\frac{π}{5});\; a=0,\; n=4$

14) [T]$\ln(2);\; a=1,\; n=1000$

Contestar

Ya que$\dfrac{d^n}{dx^n}(\ln x)=(−1)^{n−1}\dfrac{(n−1)!}{x^n},R_{1000}≈\frac{1}{1001}$. Uno tiene$\displaystyle p_{1000}(1)=\sum_{n=1}^{1000}\dfrac{(−1)^{n−1}}{n}≈0.6936$ mientras$\ln(2)≈0.6931⋯.$

Aproximación de integrales definidas usando la serie Taylor

15) Integrar la aproximación$\sin t≈t−\dfrac{t^3}{6}+\dfrac{t^5}{120}−\dfrac{t^7}{5040}$ evaluada a$π$ t a aproximada$\displaystyle ∫^1_0\frac{\sin πt}{πt}\,dt$.

16) Integrar la aproximación$e^x≈1+x+\dfrac{x^2}{2}+⋯+\dfrac{x^6}{720}$ evaluada$−x^2$ a aproximada$\displaystyle ∫^1_0e^{−x^2}\,dx.$

Contestar

$\displaystyle ∫^1_0\left(1−x^2+\frac{x^4}{2}−\frac{x^6}{6}+\frac{x^8}{24}−\frac{x^{10}}{120}+\frac{x^{12}}{720}\right)\,dx =1−\frac{1^3}{3}+\frac{1^5}{10}−\frac{1^7}{42}+\frac{1^9}{9⋅24}−\frac{1^{11}}{120⋅11}+\frac{1^{13}}{720⋅13}≈0.74683$mientras que$\displaystyle ∫^1_0e^{−x^2}dx≈0.74682.$

Más problemas del teorema del resto de Taylor

En los ejercicios 17 - 20, encuentra el valor más pequeño de$n$ tal manera que la estimación del resto$|R_n|≤\dfrac{M}{(n+1)!}(x−a)^{n+1}$, donde$M$ está el valor máximo de$∣f^{(n+1)}(z)∣$ en el intervalo entre$a$ y el punto indicado, rinde$|R_n|≤\frac{1}{1000}$ sobre el intervalo indicado.

17)$f(x)=\sin x$ en$[−π,π],\; a=0$

18)$f(x)=\cos x$ en$[−\frac{π}{2},\frac{π}{2}],\; a=0$

Contestar

Ya que$f^{(n+1)}(z)$ es$\sin z$ o$\cos z$, tenemos$M=1$. Ya que$|x−0|≤\frac{π}{2}$, buscamos los más pequeños de$n$ tal manera que$\dfrac{π^{n+1}}{2^{n+1}(n+1)!}≤0.001$. El menor tal valor es$n=7$. La estimación del resto es$R_7≤0.00092.$

19)$f(x)=e^{−2x}$ en$[−1,1],a=0$

20)$f(x)=e^{−x}$ en$[−3,3],a=0$

Responder

Ya que$f^{(n+1)}(z)=±e^{−z}$ uno tiene$M=e^3$. Ya que$|x−0|≤3$, se busca el más pequeño$n$ tal que$\dfrac{3^{n+1}e^3}{(n+1)!}≤0.001$. El menor tal valor es$n=14$. La estimación del resto es$R_{14}≤0.000220.$

En los ejercicios 21 - 24, el máximo del lado derecho de la estimación del resto$|R_1|≤\dfrac{max|f''(z)|}{2}R^2$ en$[a−R,a+R]$ ocurre en$a$ o$a±R$. Estimar el valor máximo de$R$ tal que$\dfrac{max|f''(z)|}{2}R^2≤0.1$ en$[a−R,a+R]$ trazando este máximo en función de$R$.

21) [T]$e^x$ aproximado por$1+x,\; a=0$

22) [T]$\sin x$ aproximado por$x,\; a=0$

Responder

Ya que$\sin x$ está aumentando para pequeños$x$ y desde entonces$\frac{d^2}{dx^2}\left(\sin x\right)=−\sin x$, la estimación se aplica siempre$R^2\sin(R)≤0.2$, que aplica hasta$R=0.596.$

23) [T]$\ln x$ aproximado por$x−1,\; a=1$

24) [T]$\cos x$ aproximado por$1,\; a=0$

Responder

Dado que la segunda derivada de$\cos x$ es$−\cos x$ y desde$\cos x$ está disminuyendo alejándose de$x=0$, la estimación se aplica cuando$R^2\cos R≤0.2$ o$R≤0.447$.

Serie Taylor

En los ejercicios 25 - 35, encuentra la serie Taylor de la función dada centrada en el punto indicado.

25)$f(x) = x^4$ en$a=−1$

26)$f(x) = 1+x+x^2+x^3$ en$a=−1$

Responder

$(x+1)^3−2(x+1)^2+2(x+1)$

27)$f(x) = \sin x$ en$a=π$

28)$f(x) = \cos x$ en$a=2π$

Responder

Los valores de los derivados son los mismos$x=0$ que para$\displaystyle \cos x=\sum_{n=0}^∞(−1)^n\frac{(x−2π)^{2n}}{(2n)!}$

29)$f(x) = \sin x$ en$x=\frac{π}{2}$

30)$f(x) = \cos x$ en$x=\frac{π}{2}$

Responder

$\cos(\frac{π}{2})=0,\;−\sin(\frac{π}{2})=−1$entonces$\displaystyle \cos x=\sum_{n=0}^∞(−1)^{n+1}\frac{(x−\frac{π}{2})^{2n+1}}{(2n+1)!}$, que es también$−\cos(x−\frac{π}{2})$.

31)$f(x) = e^x$ en$a=−1$

32)$f(x) = e^x$ en$a=1$

Responder

Los derivados son$f^{(n)}(1)=e,$ tan$\displaystyle e^x=e\sum_{n=0}^∞\frac{(x−1)^n}{n!}.$

33)$f(x) = \dfrac{1}{(x−1)^2}$ en$a=0$ (Pista: Diferenciar la serie Taylor para$\dfrac{1}{1−x}$.)

34)$f(x) = \dfrac{1}{(x−1)^3}$ en$a=0$

Responder

$\displaystyle \frac{1}{(x−1)^3}=−\frac{1}{2}\frac{d^2}{dx^2}\left(\frac{1}{1−x}\right)=−\sum_{n=0}^∞\left(\frac{(n+2)(n+1)x^n}{2}\right)$

35)$\displaystyle F(x)=∫^x_0\cos(\sqrt{t})\,dt;\quad \text{where}\; f(t)=\sum_{n=0}^∞(−1)^n\frac{t^n}{(2n)!}$ a a=0 (Nota:$f$ es la serie Taylor de$\cos(\sqrt{t}).)$

En los ejercicios 36 - 44, computa la serie Taylor de cada función alrededor$x=1$.

36)$f(x)=2−x$

Responder

$2−x=1−(x−1)$

37)$f(x)=x^3$

38)$f(x)=(x−2)^2$

Responder

$((x−1)−1)^2=(x−1)^2−2(x−1)+1$

39)$f(x)=\ln x$

40)$f(x)=\dfrac{1}{x}$

Responder

$\displaystyle \frac{1}{1−(1−x)}=\sum_{n=0}^∞(−1)^n(x−1)^n$

41)$f(x)=\dfrac{1}{2x−x^2}$

42)$f(x)=\dfrac{x}{4x−2x^2−1}$

Responder

$\displaystyle x\sum_{n=0}^∞2^n(1−x)^{2n}=\sum_{n=0}^∞2^n(x−1)^{2n+1}+\sum_{n=0}^∞2^n(x−1)^{2n}$

43)$f(x)=e^{−x}$

44)$f(x)=e^{2x}$

Responder

$\displaystyle e^{2x}=e^{2(x−1)+2}=e^2\sum_{n=0}^∞\frac{2^n(x−1)^n}{n!}$

Serie Maclaurin

[T] En los ejercicios 45 - 48, identificar el valor de$x$ tal que la serie dada$\displaystyle \sum_{n=0}^∞a_n$ es el valor de la serie Maclaurin de$f(x)$ at$x$. Aproximar el valor de$f(x)$ usar$\displaystyle S_{10}=\sum_{n=0}^{10}a_n$.

45)$\displaystyle \sum_{n=0}^∞\frac{1}{n!}$

46)$\displaystyle \sum_{n=0}^∞\frac{2^n}{n!}$

Responder

$x=e^2;\quad S_{10}=\dfrac{34,913}{4725}≈7.3889947$

47)$\displaystyle \sum_{n=0}^∞\frac{(−1)^n(2π)^{2n}}{(2n)!}$

48)$\displaystyle \sum_{n=0}^∞\frac{(−1)^n(2π)^{2n+1}}{(2n+1)!}$

Responder

$\sin(2π)=0;\quad S_{10}=8.27×10^{−5}$

En los ejercicios 49 - 52 utilizar las funciones$S_5(x)=x−\dfrac{x^3}{6}+\dfrac{x^5}{120}$ y$C_4(x)=1−\dfrac{x^2}{2}+\dfrac{x^4}{24}$ en$[−π,π]$.

49) [T] Parcela$\sin^2x−(S_5(x))^2$ en$[−π,π]$. Compara la diferencia máxima con el cuadrado de la estimación del resto de Taylor para$\sin x.$

50) [T] Parcela$\cos^2x−(C_4(x))^2$ en$[−π,π]$. Compare la diferencia máxima con el cuadrado de la estimación del resto de Taylor para$\cos x$.

Responder

La diferencia es pequeña en el interior del intervalo pero se acerca$1$ cerca de los puntos finales. La estimación del resto es$|R_4|=\frac{π^5}{120}≈2.552.$

51) [T] Parcela$|2S_5(x)C_4(x)−\sin(2x)|$ en$[−π,π]$.

52) [T] Comparar$\dfrac{S_5(x)}{C_4(x)}$$[−1,1]$ con$\tan x$. Compare esto con la estimación del resto de Taylor para la aproximación de$\tan x$ by$x+\dfrac{x^3}{3}+\dfrac{2x^5}{15}$.

Responder

La diferencia está en el orden de$10^{−4}$ on$[−1,1]$ mientras que el error de aproximación de Taylor está$0.1$ cerca$±1$. La curva superior es una gráfica de$\tan^2x−\left(\dfrac{S_5(x)}{C_4(x)}\right)^2$ y la gráfica discontinua inferior se muestra$t^2−\left(\dfrac{S_5}{C_4}\right)^2$.

53) [T] Parcela$e^x−e_4(x)$ donde$e_4(x)=1+x+\dfrac{x^2}{2}+\dfrac{x^3}{6}+\dfrac{x^4}{24}$ en$[0,2]$. Compara el error máximo con la estimación del resto de Taylor.

54) (Aproximaciones de Taylor y hallazgo de raíz.) Recordemos que el método de Newton$x_{n+1}=x_n−\dfrac{f(x_n)}{f'(x_n)}$ aproxima soluciones de$f(x)=0$ cerca de la entrada$x_0$.

a. si$f$ y$g$ son funciones inversas, explique por qué una solución de$g(x)=a$ es el valor$f(a)$ de$f$.

b.$p_N(x)$ Sea el$N^{\text{th}}$ grado Maclaurin polinomio de$e^x$. Utilice el método de Newton para aproximar soluciones de$p_N(x)−2=0$ para$N=4,5,6.$

c. Explique por qué las raíces aproximadas de$p_N(x)−2=0$ son valores aproximados de$\ln(2).$

Responder

a. Las respuestas variarán.
b. Los siguientes son los$x_n$ valores después de$10$ iteraciones del método de Newton para aproximar una raíz de$p_N(x)−2=0$: for$N=4,x=0.6939...;$ for$N=5,x=0.6932...;$ for$N=6,x=0.69315...;.$ (Nota:$\ln(2)=0.69314...$)
c. Las respuestas variarán.

Evaluar límites usando la serie Taylor

En los ejercicios 55 - 58, utilizar el hecho de que si$\displaystyle q(x)=\sum_{n=1}^∞a_n(x−c)^n$ converge en un intervalo que contiene$c$, entonces$\displaystyle \lim_{x→c}q(x)=a_0$ para evaluar cada límite usando la serie Taylor.

55)$\displaystyle \lim_{x→0}\frac{\cos x−1}{x^2}$

56)$\displaystyle \lim_{x→0}\frac{\ln(1−x^2)}{x^2}$

Responder

$\dfrac{\ln(1−x^2)}{x^2}→−1$

57)$\displaystyle \lim_{x→0}\frac{e^{x^2}−x^2−1}{x^4}$

58)$\displaystyle \lim_{x→0^+}\frac{\cos(\sqrt{x})−1}{2x}$

Responder

$\displaystyle \frac{\cos(\sqrt{x})−1}{2x}≈\frac{(1−\frac{x}{2}+\frac{x^2}{4!}−⋯)−1}{2x}→−\frac{1}{4}$