11: Ecuaciones Paramétricas y Coordenadas Polares
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Las ecuaciones paramétricas definen un grupo de cantidades como funciones de una o más variables independientes llamadas parámetros. Las ecuaciones paramétricas se utilizan comúnmente para expresar las coordenadas de los puntos que componen un objeto geométrico como una curva o superficie, en cuyo caso las ecuaciones se denominan colectivamente una representación paramétrica o parametrización. El sistema de coordenadas polares es un sistema de coordenadas bidimensional en el que cada punto en un plano está determinado por una distancia desde un punto de referencia y un ángulo desde una dirección de referencia. El punto de referencia (análogo al origen de un sistema cartesiano) se llama polo, y el rayo del polo en la dirección de referencia es el eje polar. La distancia desde el polo se llama coordenada radial o radio, y el ángulo se llama coordenada angular, ángulo polar o acimut
- 11.0: Preludio a Ecuaciones Paramétricas y Coordenadas Polares
- En este capítulo también estudiamos ecuaciones paramétricas, que nos dan una manera conveniente de describir curvas, o de estudiar la posición de una partícula u objeto en dos dimensiones en función del tiempo. Utilizaremos ecuaciones paramétricas y coordenadas polares para describir muchos temas más adelante en este texto.
- 11.1: Ecuaciones paramétricas
- En esta sección examinamos las ecuaciones paramétricas y sus gráficas. En el sistema de coordenadas bidimensionales, las ecuaciones paramétricas son útiles para describir curvas que no son necesariamente funciones. El parámetro es una variable independiente de la que dependen tanto x como y, y a medida que aumenta el parámetro, los valores de x e y trazan una trayectoria a lo largo de una curva plana.
- 11.2: Cálculo de Curvas Paramétricas
- Ahora que hemos introducido el concepto de curva parametrizada, nuestro siguiente paso es aprender a trabajar con este concepto en el contexto del cálculo. Por ejemplo, si conocemos una parametrización de una curva dada, ¿es posible calcular la pendiente de una línea tangente a la curva? ¿Qué tal la longitud del arco de la curva? ¿O el área bajo la curva?
- 11.3: Coordenadas polares
- El sistema de coordenadas rectangulares (o plano cartesiano) proporciona un medio para mapear puntos a pares ordenados y pares ordenados a puntos. Esto se denomina mapeo uno a uno desde puntos en el plano a pares ordenados. El sistema de coordenadas polares proporciona un método alternativo para mapear puntos a pares ordenados. En esta sección vemos que en algunas circunstancias, las coordenadas polares pueden ser más útiles que las coordenadas rectangulares.
- 11.4: Área y Longitud del Arco en Coordenadas Polares
- En el sistema de coordenadas rectangulares, la integral definida proporciona una forma de calcular el área bajo una curva. En particular, si tenemos una función y=f (x) definida de x=a a x=b donde f (x) >0 en este intervalo, el área entre la curva y el eje x viene dada por A=f (x) dx. Este hecho, junto con la fórmula para evaluar esta integral, se resume en el Teorema Fundamental del Cálculo. En esta sección, estudiamos fórmulas análogas para área y longitud de arco en el sistema de coordenadas polares.
- 11.5: Secciones Cónicas
- Las secciones cónicas obtienen su nombre porque se pueden generar cruzando un plano con un cono. Un cono tiene dos partes de forma idéntica llamadas nappes. Las secciones cónicas son generadas por la intersección de un plano con un cono. Si el plano es paralelo al eje de revolución (el eje y), entonces la sección cónica es una hipérbola. Si el plano es paralelo a la línea generadora, la sección cónica es una parábola. Si el plano es perpendicular al eje de revolución, la sección cónica es un círculo.