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LibreTexts Español

11.5E: Ejercicios para la Sección 11.5

  • Edwin “Jed” Herman & Gilbert Strang
  • OpenStax

( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\)

En los ejercicios 1 - 8, determinar la ecuación de la parábola utilizando la información dada.

1) Enfoque(4,0) y directrixx=4

Contestar
y2=16x

2) Enfoque(0,3) y directrixy=3

3) Enfoque(0,0.5) y directrixy=0.5

Contestar
x2=2y

4) Enfoque(2,3) y directrixx=2

5) Enfoque(0,2) y directrixy=4

Contestar
x2=4(y3)

6) Enfoque(1,4) y directrixx=5

7) Enfoque(3,5) y directrixy=1

Contestar
(x+3)2=8(y3)

8) Enfoque(52,4) y directrixx=72

En los ejercicios 9 - 16, determinar la ecuación de la elipse utilizando la información dada.

9) Puntos finales del eje principal en(4,0),(4,0) y focos ubicados en(2,0),(2,0)

Contestar
x216+y212=1

10) Puntos finales del eje principal en(0,5),(0,5) y focos ubicados en(0,3),(0,3)

11) Puntos finales del eje mayor en(0,2),(0,2) y focos ubicados en(3,0),(3,0)

Contestar
x213+y24=1

12) Puntos finales del eje principal en(3,3),(7,3) y focos ubicados en(2,3),(6,3)

13) Puntos finales del eje principal en(3,5),(3,3) y focos ubicados en(3,3),(3,1)

Contestar
(y1)216+(x+3)212=1

14) Puntos finales del eje mayor en(0,0),(0,4) y focos ubicados en(5,2),(5,2)

15) Focos ubicados en(2,0),(2,0) y excentricidad de12

Contestar
x216+y212=1

16) Focos ubicados en(0,3),(0,3) y excentricidad de34

En los ejercicios 17 - 24, determinar la ecuación de la hipérbola utilizando la información dada.

17) Vértices ubicados en(5,0),(5,0) y focos ubicados en(6,0),(6,0)

Contestar
x225y211=1

18) Vértices ubicados en(0,2),(0,2) y focos ubicados en(0,3),(0,3)

19) Puntos finales del eje conjugado ubicados en(0,3),(0,3) y focos localizados(4,0),(4,0)

Contestar
x27y29=1

20) Vértices ubicados en(0,1),(6,1) y foco ubicado en(8,1)

21) Vértices ubicados en(2,0),(2,4) y foco ubicado en(2,8)

Contestar
(y+2)24(x+2)232=1

22) Puntos finales del eje conjugado ubicados en(3,2),(3,4) y foco localizado en(3,7)

23) Focos ubicados en(6,0),(6,0) y excentricidad de3

Contestar
x24y232=1

24)(0,10),(0,10) y excentricidad de 2.5

En los ejercicios 25 - 30, considere las siguientes ecuaciones polares de cónicas. Determinar la excentricidad e identificar la cónica.

25)r=11+cosθ

Contestar
e=1,parábola

26)r=82sinθ

27)r=52+sinθ

Contestar
e=12,elipse

28)r=51+2sinθ

29)r=326sinθ

Contestar
e=3, hipérbola

30)r=34+3sinθ

En los ejercicios 31 - 34, encontrar una ecuación polar de la cónica con foco en el origen y la excentricidad y directriz como se da.

31) Directrix:x=4;e=15

Contestar
r=45+cosθ

32) Directrix:x=4;e=5

33) Directrix:y=2;e=2

Contestar
r=41+2sinθ

34) Directrix:y=2;e=12

En los ejercicios 35 - 51, esboza la gráfica de cada cónica.

35)r=11+sinθ

Contestar
Gráfica de una parábola abierta hacia abajo con el centro en el origen.

36)r=11cosθ

37)r=41+cosθ

Contestar
Gráfica de una parábola abierta a la izquierda con centro cerca del origen.

38)r=105+4sinθ

39)r=1532cosθ

Contestar
Gráfica de una elipse con centro cerca (8, 0), eje mayor horizontal y aproximadamente 18, y eje menor ligeramente superior a 12.

40)r=323+5sinθ

41)r(2+sinθ)=4

Contestar
Gráfica de un círculo con centro cerca (0, −1.5) y radio cerca de 2.5.

42)r=32+6sinθ

43)r=34+2sinθ

Contestar
Gráfica de un círculo con centro (0, −0.5) y radio 1.

44)x29+y24=1

45)x24+y216=1

Contestar
Gráfica de una elipse con centro el origen y con eje mayor vertical y de longitud 8 y eje menor de longitud 4.

46)4x2+9y2=36

47)25x24y2=100

Contestar
Gráfica de una hipérbola con centro el origen y con las dos mitades abiertas a izquierda y derecha. Los vértices están en el eje x a ±2.

48)x216y29=1

49)x2=12y

Contestar
Gráfica de una parábola con vértice el origen y apertura.

50)y2=20x

51)12x=5y2

Contestar
Gráfica de una parábola con vértice el origen y abierta a la derecha.

Para las ecuaciones en los ejercicios 52 - 57, determinar cuál de las secciones cónicas se describe.

52)xy=4

53)x2+4xy2y26=0

Contestar
Hipérbola

54)x2+23xy+3y26=0

55)x2xy+y22=0

Contestar
Elipse

56)34x224xy+41y225=0

57)52x272xy+73y2+40x+30y75=0

Contestar
Elipse

58) El espejo en un faro de automóvil tiene una sección transversal parabólica, con la bombilla en el foco. En un esquema, la ecuación de la parábola se da comox2=4y. ¿En qué coordenadas debes colocar la bombilla?

59) Una antena parabólica tiene la forma de un paraboloide de revolución. El receptor se ubicará en el foco. Si el plato tiene 12 pies de ancho en su abertura y 4 pies de profundidad en su centro, ¿dónde debe colocarse el receptor?

Contestar
En el punto 2.25 pies por encima del vértice.

60) Considerar la antena parabólica del problema anterior. Si el plato tiene 8 pies de ancho en la abertura y 2 pies de profundidad, ¿dónde debemos colocar el receptor?

61) Un foco de reflexión tiene la forma de un paraboloide de revolución. Una fuente de luz se encuentra a 1 pie de la base a lo largo del eje de simetría. Si la apertura del foco es de 3 pies de ancho, encuentra la profundidad.

Contestar
0.5625pies

62) Las galerías Susurrantes son habitaciones diseñadas con techos elípticos. Una persona parada en un foco puede susurrar y ser escuchada por una persona parada en el otro foco porque todas las ondas sonoras que llegan al techo se reflejan a la otra persona. Si una galería susurrante tiene una longitud de 120 pies y los focos están ubicados a 30 pies del centro, encuentre la altura del techo en el centro.

63) Una persona está de pie a 8 pies de la pared más cercana en una galería susurrante. Si esa persona está en un foco y el otro enfoque está a 80 pies de distancia, ¿cuál es la longitud y la altura en el centro de la galería?

Contestar
La longitud es de 96 pies y la altura es de aproximadamente 26.53 pies.

En los ejercicios 64 - 67, determinar la forma de ecuación polar de la órbita dada la longitud del eje mayor y la excentricidad para las órbitas de los cometas o planetas. La distancia se da en unidades astronómicas (AU).

64) Cometa Halley: longitud del eje mayor =35.88, excentricidad =0.967

65) Cometa Hale-Bopp: longitud del eje mayor =525.91, excentricidad =0.995

Contestar
r=2.6161+0.995cosθ

66) Marte: longitud del eje mayor =3.049, excentricidad =0.0934

67) Júpiter: longitud del eje mayor =10.408, excentricidad =0.0484

Contestar
r=5.1921+0.0484cosθ

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