11.5E: Ejercicios para la Sección 11.5
( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\)
En los ejercicios 1 - 8, determinar la ecuación de la parábola utilizando la información dada.
1) Enfoque(4,0) y directrixx=−4
- Contestar
- y2=16x
2) Enfoque(0,−3) y directrixy=3
3) Enfoque(0,0.5) y directrixy=−0.5
- Contestar
- x2=2y
4) Enfoque(2,3) y directrixx=−2
5) Enfoque(0,2) y directrixy=4
- Contestar
- x2=−4(y−3)
6) Enfoque(−1,4) y directrixx=5
7) Enfoque(−3,5) y directrixy=1
- Contestar
- (x+3)2=8(y−3)
8) Enfoque(52,−4) y directrixx=72
En los ejercicios 9 - 16, determinar la ecuación de la elipse utilizando la información dada.
9) Puntos finales del eje principal en(4,0),(−4,0) y focos ubicados en(2,0),(−2,0)
- Contestar
- x216+y212=1
10) Puntos finales del eje principal en(0,5),(0,−5) y focos ubicados en(0,3),(0,−3)
11) Puntos finales del eje mayor en(0,2),(0,−2) y focos ubicados en(3,0),(−3,0)
- Contestar
- x213+y24=1
12) Puntos finales del eje principal en(−3,3),(7,3) y focos ubicados en(−2,3),(6,3)
13) Puntos finales del eje principal en(−3,5),(−3,−3) y focos ubicados en(−3,3),(−3,−1)
- Contestar
- (y−1)216+(x+3)212=1
14) Puntos finales del eje mayor en(0,0),(0,4) y focos ubicados en(5,2),(−5,2)
15) Focos ubicados en(2,0),(−2,0) y excentricidad de12
- Contestar
- x216+y212=1
16) Focos ubicados en(0,−3),(0,3) y excentricidad de34
En los ejercicios 17 - 24, determinar la ecuación de la hipérbola utilizando la información dada.
17) Vértices ubicados en(5,0),(−5,0) y focos ubicados en(6,0),(−6,0)
- Contestar
- x225−y211=1
18) Vértices ubicados en(0,2),(0,−2) y focos ubicados en(0,3),(0,−3)
19) Puntos finales del eje conjugado ubicados en(0,3),(0,−3) y focos localizados(4,0),(−4,0)
- Contestar
- x27−y29=1
20) Vértices ubicados en(0,1),(6,1) y foco ubicado en(8,1)
21) Vértices ubicados en(−2,0),(−2,−4) y foco ubicado en(−2,−8)
- Contestar
- (y+2)24−(x+2)232=1
22) Puntos finales del eje conjugado ubicados en(3,2),(3,4) y foco localizado en(3,7)
23) Focos ubicados en(6,−0),(6,0) y excentricidad de3
- Contestar
- x24−y232=1
24)(0,10),(0,−10) y excentricidad de 2.5
En los ejercicios 25 - 30, considere las siguientes ecuaciones polares de cónicas. Determinar la excentricidad e identificar la cónica.
25)r=−11+cosθ
- Contestar
- e=1,parábola
26)r=82−sinθ
27)r=52+sinθ
- Contestar
- e=12,elipse
28)r=5−1+2sinθ
29)r=32−6sinθ
- Contestar
- e=3, hipérbola
30)r=3−4+3sinθ
En los ejercicios 31 - 34, encontrar una ecuación polar de la cónica con foco en el origen y la excentricidad y directriz como se da.
31) Directrix:x=4;e=15
- Contestar
- r=45+cosθ
32) Directrix:x=−4;e=5
33) Directrix:y=2;e=2
- Contestar
- r=41+2sinθ
34) Directrix:y=−2;e=12
En los ejercicios 35 - 51, esboza la gráfica de cada cónica.
35)r=11+sinθ
- Contestar
36)r=11−cosθ
37)r=41+cosθ
- Contestar
38)r=105+4sinθ
39)r=153−2cosθ
- Contestar
40)r=323+5sinθ
41)r(2+sinθ)=4
- Contestar
42)r=32+6sinθ
43)r=3−4+2sinθ
- Contestar
44)x29+y24=1
45)x24+y216=1
- Contestar
46)4x2+9y2=36
47)25x2−4y2=100
- Contestar
48)x216−y29=1
49)x2=12y
- Contestar
50)y2=20x
51)12x=5y2
- Contestar
Para las ecuaciones en los ejercicios 52 - 57, determinar cuál de las secciones cónicas se describe.
52)xy=4
53)x2+4xy−2y2−6=0
- Contestar
- Hipérbola
54)x2+2√3xy+3y2−6=0
55)x2−xy+y2−2=0
- Contestar
- Elipse
56)34x2−24xy+41y2−25=0
57)52x2−72xy+73y2+40x+30y−75=0
- Contestar
- Elipse
58) El espejo en un faro de automóvil tiene una sección transversal parabólica, con la bombilla en el foco. En un esquema, la ecuación de la parábola se da comox2=4y. ¿En qué coordenadas debes colocar la bombilla?
59) Una antena parabólica tiene la forma de un paraboloide de revolución. El receptor se ubicará en el foco. Si el plato tiene 12 pies de ancho en su abertura y 4 pies de profundidad en su centro, ¿dónde debe colocarse el receptor?
- Contestar
- En el punto 2.25 pies por encima del vértice.
60) Considerar la antena parabólica del problema anterior. Si el plato tiene 8 pies de ancho en la abertura y 2 pies de profundidad, ¿dónde debemos colocar el receptor?
61) Un foco de reflexión tiene la forma de un paraboloide de revolución. Una fuente de luz se encuentra a 1 pie de la base a lo largo del eje de simetría. Si la apertura del foco es de 3 pies de ancho, encuentra la profundidad.
- Contestar
- 0.5625pies
62) Las galerías Susurrantes son habitaciones diseñadas con techos elípticos. Una persona parada en un foco puede susurrar y ser escuchada por una persona parada en el otro foco porque todas las ondas sonoras que llegan al techo se reflejan a la otra persona. Si una galería susurrante tiene una longitud de 120 pies y los focos están ubicados a 30 pies del centro, encuentre la altura del techo en el centro.
63) Una persona está de pie a 8 pies de la pared más cercana en una galería susurrante. Si esa persona está en un foco y el otro enfoque está a 80 pies de distancia, ¿cuál es la longitud y la altura en el centro de la galería?
- Contestar
- La longitud es de 96 pies y la altura es de aproximadamente 26.53 pies.
En los ejercicios 64 - 67, determinar la forma de ecuación polar de la órbita dada la longitud del eje mayor y la excentricidad para las órbitas de los cometas o planetas. La distancia se da en unidades astronómicas (AU).
64) Cometa Halley: longitud del eje mayor =35.88, excentricidad =0.967
65) Cometa Hale-Bopp: longitud del eje mayor =525.91, excentricidad =0.995
- Contestar
- r=2.6161+0.995cosθ
66) Marte: longitud del eje mayor =3.049, excentricidad =0.0934
67) Júpiter: longitud del eje mayor =10.408, excentricidad =0.0484
- Contestar
- r=5.1921+0.0484cosθ