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11.5: Secciones Cónicas

  • Page ID
    116190
    • Edwin “Jed” Herman & Gilbert Strang
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    Objetivos de aprendizaje
    • Identificar la ecuación de una parábola en forma estándar con enfoque y directrix dados.
    • Identificar la ecuación de una elipse en forma estándar con focos dados.
    • Identificar la ecuación de una hipérbola en forma estándar con focos dados.
    • Reconocer una parábola, elipse o hipérbola a partir de su valor de excentricidad.
    • Escribe la ecuación polar de una sección cónica con excentricidad\(e\).
    • Identificar cuando una ecuación general de grado dos es una parábola, elipse o hipérbola.

    Las secciones cónicas se han estudiado desde la época de los antiguos griegos, y se consideraron un concepto matemático importante. Ya en el 320 a. C., matemáticos griegos como Menaechmus, Appollonius y Arquímedes quedaron fascinados por estas curvas. Appollonius escribió un tratado completo de ocho volúmenes sobre secciones cónicas en el que, por ejemplo, era capaz de derivar un método específico para identificar una sección cónica mediante el uso de la geometría. Desde entonces, han surgido importantes aplicaciones de secciones cónicas (por ejemplo, en astronomía), y las propiedades de las secciones cónicas se utilizan en radiotelescopios, receptores de antena parabólica e incluso arquitectura. En esta sección discutimos las tres secciones cónicas básicas, algunas de sus propiedades y sus ecuaciones.

    Las secciones cónicas obtienen su nombre porque se pueden generar cruzando un plano con un cono. Un cono tiene dos partes de forma idéntica llamadas nappes. Un nappe es lo que la mayoría de la gente quiere decir con “cono”, que tiene la forma de un sombrero de fiesta. Se puede generar un cono circular derecho girando una línea que pasa por el origen alrededor del eje y como se muestra en la Figura\(\PageIndex{1}\).

    Se dibuja la línea y = 3x y luego se gira alrededor del eje y para crear dos nappes, es decir, un cono que está tanto por encima como por debajo del eje x.
    Figura\(\PageIndex{1}\): Un cono generado al girar la línea\(y=3x\) alrededor del\(y\) eje.

    Las secciones cónicas son generadas por la intersección de un plano con un cono (Figura\(\PageIndex{2}\)). Si el plano es paralelo al eje de revolución (el eje y), entonces la sección cónica es una hipérbola. Si el plano es paralelo a la línea generadora, la sección cónica es una parábola. Si el plano es perpendicular al eje de revolución, la sección cónica es un círculo. Si el plano se cruza con un nappe en ángulo con el eje (distinto de 90 #xB0;),90°)," role="presentation" tabindex="0">90 ° ) , entonces la sección cónica es una elipse.

    Esta cifra tiene tres cifras. La primera figura muestra un cono liso con dos nappes. La segunda figura muestra un cono con un plano a través de una nappes y el círculo en la parte superior, lo que crea una parábola. También hay un círculo, que ocurre cuando un plano se cruza con una de las siestas mientras es paralelo a las bases circulares. También hay una elipse, la cual ocurre cuando un avión insecta una de las nappes mientras no es paralela a una de las bases circulares. Tenga en cuenta que el círculo y la elipse están delimitados por los bordes del cono en todos los lados. La última figura muestra una hipérbola, la cual se obtiene cuando un plano cruza ambas siestas.
    Figura\(\PageIndex{2}\): Las cuatro secciones cónicas. Cada cónica está determinada por el ángulo que hace el plano con el eje del cono.

    Parábolas

    Se genera una parábola cuando un plano cruza un cono paralelo a la línea generadora. En este caso, el avión cruza sólo una de las siestas. Una parábola también se puede definir en términos de distancias.

    Definiciones: El foco, directrix y vértice

    Una parábola es el conjunto de todos los puntos cuya distancia desde un punto fijo, llamado foco, es igual a la distancia desde una línea fija, llamada directriz. El punto a medio camino entre el foco y la directrix se llama el vértice de la parábola.

    Se dibuja una parábola con vértice en el origen y apertura. Se dibuja un foco como F en (0, p). Un punto P se marca en la línea en las coordenadas (x, y), y la distancia desde el foco a P se marca d. Se dibuja una línea marcada con la directriz, y es y = − p. La distancia de P a la directriz en (x, −p) se marca con d.
    Figura\(\PageIndex{3}\): Parábola típica en la que la distancia desde el foco hasta el vértice está representada por la variable\(p\).

    Una gráfica de una parábola típica aparece en la Figura\(\PageIndex{3}\). Usando este diagrama en conjunto con la fórmula de distancia, podemos derivar una ecuación para una parábola. Recordemos la fórmula de distancia: Dado el punto P con coordenadas\((x_1,y_1)\) y el punto Q con coordenadas\((x_2,y_2),\) la distancia entre ellos viene dada por la fórmula

    \[d(P,Q)=\sqrt{(x_2−x_1)^2+(y_2−y_1)^2}. \nonumber \]

    Luego de la definición de una parábola y Figura\(\PageIndex{3}\), obtenemos

    \[d(F,P)=d(P,Q) \nonumber \]

    \[\sqrt{(0−x)^2+(p−y)^2}=\sqrt{(x−x)^2+(−p−y)^2}. \nonumber \]

    Cuadrando ambos lados y simplificando los rendimientos

    \[ \begin{align} x^2+(p−y)^2 = 0^2+(−p−y)^2 \\ x^2+p^2−2py+y^2 = p^2+2py+y^2 \\ x^2−2py =2py \\ x^2 =4py. \end{align} \nonumber \]

    Ahora supongamos que queremos reubicar el vértice. Utilizamos las variables\((h,k)\) para denotar las coordenadas del vértice. Entonces si el foco está directamente por encima del vértice, tiene coordenadas\((h,k+p)\) y la directrix tiene la ecuación\(y=k−p\). Al pasar por la misma derivación se obtiene la fórmula\((x−h)^2=4p(y−k)\). Resolver esta ecuación para\(y\) lleva al siguiente teorema.

    Ecuaciones para Parábolas: forma estándar

    Dada una parábola que se abre hacia arriba con el vértice ubicado en\((h,k)\) y el foco ubicado en\((h,k+p)\), donde\(p\) es una constante, la ecuación para la parábola viene dada por

    \[y=\dfrac{1}{4p}(x−h)^2+k. \nonumber \]

    Esta es la forma estándar de una parábola.

    También podemos estudiar los casos en que la parábola se abre hacia abajo o hacia la izquierda o hacia la derecha. La ecuación para cada uno de estos casos también se puede escribir en forma estándar como se muestra en las siguientes gráficas.

    Esta figura tiene cuatro figuras, cada una de ellas una parábola enfrentada de una manera diferente. En la primera figura, se dibuja una parábola abriéndose con la ecuación y = (1/ (4p)) (x − h) 2 + k. El vértice se da como (h, k), el foco se dibuja en (h, k + p), y la directriz se dibuja como y = k − p. En la segunda figura, se dibuja una parábola abriendo hacia abajo con la ecuación y = y − (1/ (4p)) (x − h) 2 + k. Se da el vértice as (h, k), el foco se dibuja en (h, k − p), y la directriz se dibuja como y = k + p. En la tercera figura, se dibuja una parábola que se abre a la derecha con la ecuación x = (1/ (4p)) (y − k) 2 + h. El vértice se da como (h, k), el foco se dibuja en (h + p, k), y la directriz se dibuja como x = h − p. En la cuarta figura , se dibuja una parábola abriendo a la izquierda con la ecuación x = − (1/ (4p)) (y − k) 2 + h. El vértice se da como (h, k), el foco se dibuja en (h — p, k), y la directriz se dibuja como x = h + p.
    Figura\(\PageIndex{4}\): Cuatro parábolas, que se abren en diversas direcciones, junto con sus ecuaciones en forma estándar.

    Además, la ecuación de una parábola se puede escribir en la forma general, aunque en esta forma los valores de\(h\),\(k\), y no\(p\) son inmediatamente reconocibles. La forma general de una parábola está escrita como

    \[ax^2+bx+cy+d=0 \label{para1} \]

    o

    \[ay^2+bx+cy+d=0.\label{para2} \]

    La ecuación\ ref {para1} representa una parábola que se abre hacia arriba o hacia abajo. La ecuación\ ref {para2} representa una parábola que se abre ya sea a la izquierda o a la derecha. Para poner la ecuación en forma estándar, utilice el método de completar el cuadrado.

    Ejemplo\(\PageIndex{1}\): Converting the Equation of a Parabola from General into Standard Form

    Poner la ecuación

    \[x^2−4x−8y+12=0 \nonumber \]

    en forma estándar y grafica la parábola resultante.

    Solución

    Dado que y no está al cuadrado en esta ecuación, sabemos que la parábola se abre ya sea hacia arriba o hacia abajo. Por lo tanto, necesitamos resolver esta ecuación para y, que pondrá la ecuación en forma estándar. Para hacer eso, primero agregue\(8y\) a ambos lados de la ecuación:

    \[8y=x^2−4x+12. \nonumber \]

    El siguiente paso es completar el cuadrado en el lado derecho. Comience agrupando los dos primeros términos en el lado derecho usando paréntesis:

    \[8y=(x^2−4x)+12. \nonumber \]

    A continuación determinar la constante que, cuando se agrega dentro de los paréntesis, hace que la cantidad dentro de los paréntesis sea un trinomio cuadrado perfecto. Para ello, toma la mitad del coeficiente de x y cuadrázala. Esto da a\((\dfrac{−4}{2})^2=4.\) Sumar 4 dentro de los paréntesis y restar 4 fuera de los paréntesis, por lo que no se cambia el valor de la ecuación:

    \[8y=(x^2−4x+4)+12−4. \nonumber \]

    Ahora combine términos similares y factifique la cantidad dentro de los paréntesis:

    \[8y=(x−2)^2+8. \nonumber \]

    Por último, dividir por 8:

    \[y=\dfrac{1}{8}(x−2)^2+1. \nonumber \]

    Esta ecuación se encuentra ahora en forma estándar. Comparando esto con la ecuación da\(h=2, k=1\), y\(p=2\). La parábola se abre, con vértice en\((2,1)\), enfoque y directrix\(y=−1\).\((2,3)\) La gráfica de esta parábola aparece de la siguiente manera.

    Se dibuja una parábola con vértice en (2, 1) y abriéndose con la ecuación x2 — 4x — 8y + 12 = 0. El foco se dibuja en (1, 3). La directriz se dibuja en y = − 1.
    Figura\(\PageIndex{5}\): La parábola en el Ejemplo\(\PageIndex{1}\).
    Ejercicio\(\PageIndex{1}\)

    Poner la ecuación\(2y^2−x+12y+16=0\) en forma estándar y graficar la parábola resultante.

    Pista

    Resolver para\(x\). Comprueba en qué dirección se abre la parábola.

    Contestar

    \[x=2(y+3)^2−2 \nonumber \]

    Se dibuja una parábola con vértice en (−2, −3) y abriéndose a la derecha con la ecuación x = 2 (y + 3) 2 — 2. El foco se dibuja en (0, −3). La directriz se dibuja en x = −4.

    El eje de simetría de una parábola vertical (apertura hacia arriba o hacia abajo) es una línea vertical que pasa por el vértice. La parábola tiene una interesante propiedad reflectante. Supongamos que tenemos una antena parabólica con sección transversal parabólica. Si un haz de ondas electromagnéticas, como la luz o las ondas de radio, entra en el plato en línea recta desde un satélite (paralelo al eje de simetría), entonces las ondas se reflejan en el plato y se recogen en el foco de la parábola como se muestra.

    Se dibuja una parábola con vértice en el origen y apertura. Se dibujan dos líneas paralelas que golpean la parábola y reflejan al foco.

    Considera una antena parabólica diseñada para recoger señales de un satélite en el espacio. El plato está dirigido directamente al satélite, y un receptor se ubica en el foco de la parábola. Las ondas de radio que llegan desde el satélite se reflejan desde la superficie de la parábola hacia el receptor, que recoge y decodifica las señales digitales. Esto permite que un pequeño receptor recoja señales desde un gran ángulo de cielo. Las linternas y los faros de un automóvil funcionan según el mismo principio, pero a la inversa: la fuente de la luz (es decir, la bombilla) se ubica en el foco y la superficie reflectante en el espejo parabólico enfoca el haz en línea recta. Esto permite que una pequeña bombilla ilumine un gran ángulo de espacio frente a la linterna o automóvil.

    Elipses

    Una elipse también se puede definir en términos de distancias. En el caso de una elipse, hay dos focos (plural de foco), y dos directrices (plural de directrix). Analizamos las instrucciones con más detalle más adelante en esta sección.

    Definición: Elipse

    Una elipse es el conjunto de todos los puntos para los cuales la suma de sus distancias desde dos puntos fijos (los focos) es constante.

    En la Figura se muestra una gráfica de una elipse típica\(\PageIndex{6}\). En esta figura los focos están etiquetados como\(F\) y\(F′\). Ambos tienen la misma distancia fija desde el origen, y esta distancia está representada por la variable\(c\). Por lo tanto las coordenadas de\(F\) son\((c,0)\) y las coordenadas de\(F′\) son\((−c,0).\) Los puntos\(P\) y\(P′\) se localizan en los extremos del eje mayor de la elipse, y tienen coordenadas\((a,0)\) y\((−a,0)\), respectivamente. El eje mayor es siempre la distancia más larga a través de la elipse, y puede ser horizontal o vertical. Así, la longitud del eje mayor en esta elipse es\(2a\). Además,\(P\) y\(P′\) se llaman los vértices de la elipse. Los puntos\(Q\) y\(Q′\) están ubicados en los extremos del eje menor de la elipse, y tienen coordenadas\((0,b)\) y\((0,−b),\) respectivamente. El eje menor es la distancia más corta a través de la elipse. El eje menor es perpendicular al eje mayor.

    Se dibuja una elipse con el centro en el origen O, siendo el punto focal F' (−c, 0) y el punto focal F siendo (c, 0). La elipse tiene puntos P y P' en el eje x y puntos Q y Q' en el eje y. Hay líneas dibujadas de F' a Q y F a Q. También hay líneas dibujadas de F' y F a un punto A en la elipse marcada (x, y). La distancia de O a Q y O a Q' está marcada con b, y la distancia de P a O y O a P' está marcada como a.
    Figura\(\PageIndex{6}\): Una elipse típica en la que la suma de las distancias desde cualquier punto de la elipse a los focos es constante.

    Según la definición de la elipse, podemos elegir cualquier punto de la elipse y la suma de las distancias desde este punto a los dos focos es constante. Supongamos que elegimos el punto\(P\). Dado que las coordenadas de punto\(P\) son\((a,0),\) la suma de las distancias es

    \[d(P,F)+d(P,F′)=(a−c)+(a+c)=2a. \nonumber \]

    Por lo tanto, la suma de las distancias desde un punto arbitrario A con coordenadas también\((x,y)\) es igual a\(2a\). Usando la fórmula de distancia, obtenemos

    \[d(A,F)+d(A,F′)=2a. \nonumber \]

    \[\sqrt{(x−c)^2+y^2}+\sqrt{(x+c)^2+y^2}=2a \nonumber \]

    Restar el segundo radical de ambos lados y cuadrar ambos lados:

    \[\sqrt{(x−c)^2+y^2}=2a−\sqrt{(x+c)^2+y^2} \nonumber \]

    \[(x−c)^2+y^2=4a^2−4a\sqrt{(x+c)^2+y^2}+(x+c)^2+y^2 \nonumber \]

    \[x^2−2cx+c^2+y^2=4a^2−4a\sqrt{(x+c)^2+y^2}+x^2+2cx+c^2+y^2 \nonumber \]

    \[−2cx=4a^2−4a\sqrt{(x+c)^2+y^2}+2cx. \nonumber \]

    Ahora aísle el radical en el lado derecho y vuelva a cuadrar:

    \[−2cx=4a^2−4a\sqrt{(x+c)^2+y^2}+2cx \nonumber \]

    \[4a\sqrt{(x+c)^2+y^2}=4a^2+4cx \nonumber \]

    \[\sqrt{(x+c)^2+y^2}=a+\dfrac{cx}{a} \nonumber \]

    \[(x+c)^2+y^2=a^2+2cx+\dfrac{c^2x^2}{a^2} \nonumber \]

    \[x^2+2cx+c^2+y^2=a^2+2cx+\dfrac{c^2x^2}{a^2} \nonumber \]

    \[x^2+c^2+y^2=a^2+\dfrac{c^2x^2}{a^2}. \nonumber \]

    Aísle las variables en el lado izquierdo de la ecuación y las constantes en el lado derecho:

    \[x^2−\dfrac{c^2x^2}{a^2}+y^2=a^2−c^2 \nonumber \]

    \[\dfrac{(a^2−c^2)x^2}{a^2}+y^2=a^2−c^2. \nonumber \]

    Divide ambos lados por\(a^2−c^2\). Esto da la ecuación

    \[\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{a^2−c^2}=1. \nonumber \]

    Si nos referimos de nuevo a Figura\(\PageIndex{6}\), entonces la longitud de cada uno de los dos segmentos de línea verde es igual a\(a\). Esto es cierto porque la suma de las distancias desde el punto\(Q\) a los focos\(F\) y\(F′\) es igual a\(2a\), y las longitudes de estos dos segmentos de línea son iguales. Este segmento de línea forma un triángulo rectángulo con longitud de hipotenusa\(a\) y longitudes de pierna\(b\) y\(c\). Del teorema de Pitágoras,\(b^2+c^2=a^2\) y\(b^2=a^2−c^2\). Por lo tanto, la ecuación de la elipse se convierte

    \[\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1. \nonumber \]

    Finalmente, si el centro de la elipse se mueve del origen a un punto\((h,k)\), tenemos la siguiente forma estándar de elipse.

    Ecuación de una elipse en forma estándar

    Considera la elipse con centro\((h,k)\), un eje mayor horizontal con longitud\(2a\) y un eje menor vertical con longitud\(2b\). Entonces la ecuación de esta elipse en forma estándar es

    \[\dfrac{(x−h)^2}{a^2}+\dfrac{(y−k)^2}{b^2}=1 \label{HorEllipse} \]

    y los focos se encuentran en\((h±c,k)\), donde\(c^2=a^2−b^2\). Las ecuaciones de las lineas son\(x=h±\dfrac{a^2}{c}\).

    Si el eje mayor es vertical, entonces la ecuación de la elipse se convierte en

    \[\dfrac{(x−h)^2}{b^2}+\dfrac{(y−k)^2}{a^2}=1 \label{VertEllipse} \]

    y los focos se encuentran en\((h,k±c)\), donde\(c^2=a^2−b^2\). Las ecuaciones de las instrucciones en este caso son\(y=k±\dfrac{a^2}{c}\).

    Si el eje mayor es horizontal, entonces la elipse se llama horizontal, y si el eje mayor es vertical, entonces la elipse se llama vertical. La ecuación de una elipse está en forma general si está en la forma

    \[Ax^2+By^2+Cx+Dy+E=0, \nonumber \]

    donde A y B son ambos positivos o ambos negativos. Para convertir la ecuación de forma general a forma estándar, utilice el método de completar el cuadrado.

    Ejemplo\(\PageIndex{2}\): Finding the Standard Form of an Ellipse

    Poner la ecuación

    \[9x^2+4y^2−36x+24y+36=0 \nonumber \]

    en forma estándar y grafica la elipse resultante.

    Solución

    Primero resta 36 de ambos lados de la ecuación:

    \[9x^2+4y^2−36x+24y=−36. \nonumber \]

    A continuación,\(x\) agrupe los términos y los\(y\) términos juntos, y factorizar el factor común:

    \[(9x^2−36x)+(4y^2+24y)=−36 \nonumber \]

    \[9(x^2−4x)+4(y^2+6y)=−36. \nonumber \]

    Necesitamos determinar la constante que, cuando se agrega dentro de cada conjunto de paréntesis, da como resultado un cuadrado perfecto. En el primer conjunto de paréntesis, tomar la mitad del coeficiente de x y cuadrarlo. Esto da\((\dfrac{−4}{2})^2=4.\) En el segundo conjunto de paréntesis, tomar la mitad del coeficiente de y y cuadrarlo. Esto da a\((\dfrac{6}{2})^2=9.\) Agregar estos dentro de cada par de paréntesis. Dado que el primer conjunto de paréntesis tiene un 9 al frente, en realidad estamos agregando 36 al lado izquierdo. De igual manera, también estamos sumando 36 al segundo set. Por lo tanto la ecuación se convierte

    \[9(x^2−4x+4)+4(y^2+6y+9)=−36+36+36 \nonumber \]

    \[9(x^2−4x+4)+4(y^2+6y+9)=36. \nonumber \]

    Ahora factoriza ambos conjuntos de paréntesis y divídalo por 36:

    \[9(x−2)^2+4(y+3)^2=36 \nonumber \]

    \[\dfrac{9(x−2)^2}{36}+\dfrac{4(y+3)^2}{36}=1 \nonumber \]

    \[\dfrac{(x−2)^2}{4}+\dfrac{(y+3)^2}{9}=1. \nonumber \]

    La ecuación se encuentra ahora en forma estándar. Comparando esto con la ecuación\ ref {vertellipse} da\(h=2, k=−3, a=3,\) y\(b=2\). Se trata de una elipse vertical con centro en\((2,−3)\), eje mayor 6 y eje menor 4. La gráfica de esta elipse aparece de la siguiente manera.

    Se dibuja una elipse con la ecuación 9x2 + 4y2 — 36x + 24y + 36 = 0. Tiene centro en (2, −3), toca el eje x en (2, 0) y toca el eje y en (0, −3).
    Figura\(\PageIndex{7}\): La elipse en Ejemplo\(\PageIndex{2}\).
    Ejercicio\(\PageIndex{2}\)

    Poner la ecuación

    \[9x^2+16y^2+18x−64y−71=0 \nonumber \]

    en forma estándar y grafica la elipse resultante.

    Pista

    Mueva la constante y complete el cuadrado.

    Contestar

    \[\dfrac{(x+1)^2}{16}+\dfrac{(y−2)^2}{9}=1 \nonumber \]

    Se dibuja una elipse con la ecuación 9x2 + 16y2 + 18x — 64y − 71 = 0. Tiene centro en (−1, 2), toca el eje x en (2, 0) y (−4, 0), y toca el eje y cerca de (0, −1) y (0, 5).

    Según la primera ley de movimiento planetario de Kepler, la órbita de un planeta alrededor del Sol es una elipse con el Sol en uno de los focos como se muestra en la Figura\(\PageIndex{8A}\). Debido a que la órbita de la Tierra es una elipse, la distancia al Sol varía a lo largo del año. Un concepto erróneo comúnmente sostenido es que la Tierra está más cerca del Sol en el verano. De hecho, en verano para el hemisferio norte, la Tierra está más lejos del Sol que durante el invierno. La diferencia en la estación es causada por la inclinación del eje de la Tierra en el plano orbital. Los cometas que orbitan el Sol, como el cometa Halley, también tienen órbitas elípticas, al igual que las lunas que orbitan los planetas y los satélites que orbitan la Tierra.

    Las elipses también tienen interesantes propiedades reflectantes: Un rayo de luz que emana de un foco pasa a través del otro foco después de la reflexión especular en la elipse. Lo mismo ocurre con una onda de sonido también. El Salón Nacional de Estatuas en el Capitolio de Estados Unidos en Washington, DC, es una famosa sala en forma elíptica como se muestra en la Figura\(\PageIndex{8B}\). Este salón sirvió como lugar de encuentro para la Cámara de Representantes de Estados Unidos durante casi cincuenta años. La ubicación de los dos focos de esta habitación semielíptica se identifican claramente por marcas en el piso, e incluso si la habitación está llena de visitantes, cuando dos personas se paran en estos lugares y se hablan entre sí, pueden escucharse mucho más claramente de lo que pueden escuchar a alguien parado cerca. Cuenta la leyenda que John Quincy Adams tenía su escritorio ubicado en uno de los focos y pudo escuchar a todos los demás en la Casa sin necesidad de ponerse de pie. Si bien esto hace una buena historia, es poco probable que sea verdad, porque el techo original produjo tantos ecos que toda la habitación tuvo que ser colgada con alfombras para amortiguar el ruido. El techo fue reconstruido en 1902 y sólo entonces surgió el ahora famoso efecto susurrante. Otra famosa galería susurrante, el sitio de muchas propuestas de matrimonio, se encuentra en la estación Grand Central de la ciudad de Nueva York.

    Hay dos figuras etiquetadas como a y b. En la figura a, se dibuja la tierra orbitando el sol, con enero y julio marcados. La distancia del sol a la tierra marcada en enero es de 147 millones de km, mientras que la distancia del sol a la tierra marcada en julio es de 152 millones de millas. En la figura b, se muestra una habitación con paredes curvas.
    Figura\(\PageIndex{8}\): (a) La órbita de la Tierra alrededor del Sol es una elipse con el Sol en un foco. (b) La Sala Estatuaria en el Capitolio de Estados Unidos es una galería susurrante con una sección transversal elíptica.

    Hipérbolas

    Una hipérbola también se puede definir en términos de distancias. En el caso de una hipérbola, hay dos focos y dos pautas. Las hipérbolas también tienen dos asíntotas.

    Definición: hipérbola

    Una hipérbola es el conjunto de todos los puntos donde la diferencia entre sus distancias desde dos puntos fijos (los focos) es constante.

    Una gráfica de una hipérbola típica aparece de la siguiente manera.

    Se dibuja una hipérbola con el centro en el origen. Los vértices están en (a, 0) y (−a, 0); los focos están etiquetados F1 y F2 y están en (c, 0) y (−c, 0). Se dibujan las asíntotas, y las líneas se dibujan desde los vértices a las asíntotas; las intersecciones de estas líneas están conectadas por otras líneas para formar un rectángulo; el eje más corto se llama eje conjugado y el eje mayor se llama eje transversal. La distancia desde el eje x a cualquiera de las líneas que forman el rectángulo es b.
    Figura\(\PageIndex{9}\): Una hipérbola típica en la que la diferencia de las distancias desde cualquier punto de la hipérbola a los focos es constante. El eje transversal también se llama eje mayor, y el eje conjugado también se llama eje menor.

    La derivación de la ecuación de una hipérbola en forma estándar es prácticamente idéntica a la de una elipse. Un ligero enganche radica en la definición: La diferencia entre dos números siempre es positiva. Dejar\(P\) ser un punto sobre la hipérbola con coordenadas\((x,y)\). Entonces la definición de la hipérbola da\(|d(P,F_1)−d(P,F_2)|=constant\). Para simplificar la derivación, supongamos que\(P\) está en la rama derecha de la hipérbola, por lo que caen las barras de valor absoluto. Si está en la rama izquierda, entonces se invierte la resta. El vértice de la rama derecha tiene coordenadas\((a,0),\) así

    \[d(P,F_1)−d(P,F_2)=(c+a)−(c−a)=2a. \nonumber \]

    Por lo tanto, esta ecuación es cierta para cualquier punto de la hipérbola. Volviendo a las coordenadas\((x,y)\) para\(P\):

    \[d(P,F_1)−d(P,F_2)=2a \nonumber \]

    \[\sqrt{(x+c)^2+y^2}−\sqrt{(x−c)^2+y^2}=2a. \nonumber \]

    Aísle el segundo radical y cuadre ambos lados:

    \[\sqrt{(x−c)^2+y^2}=-2a+\sqrt{(x+c)^2+y^2} \nonumber \]

    \[(x−c)^2+y^2=4a^2-4a\sqrt{(x+c)^2+y^2}+(x+c)^2+y^2 \nonumber \]

    \[x^2−2cx+c^2+y^2=4a^2-4a\sqrt{(x+c)^2+y^2}+x^2+2cx+c^2+y^2 \nonumber \]

    \[−2cx=4a^2-4a\sqrt{(x+c)^2+y^2}+2cx. \nonumber \]

    Ahora aísle el radical en el lado derecho y vuelva a cuadrar:

    \(−2cx=4a^2-4a\sqrt{(x+c)^2+y^2}+2cx\)

    \(-4a\sqrt{(x+c)^2+y^2}=−4a^2−4cx\)

    \(-\sqrt{(x+c)^2+y^2}=−a−\dfrac{cx}{a}\)

    \((x+c)^2+y^2=a^2+2cx+\dfrac{c^2x^2}{a^2}\)

    \(x^2+2cx+c^2+y^2=a^2+2cx+\dfrac{c^2x^2}{a^2}\)

    \(x^2+c^2+y^2=a^2+\dfrac{c^2x^2}{a^2}\).

    Aísle las variables en el lado izquierdo de la ecuación y las constantes en el lado derecho:

    \[x^2−\dfrac{c^2x^2}{a^2}+y^2=a^2−c^2 \nonumber \]

    \[\dfrac{(a^2−c^2)x^2}{a^2}+y^2=a^2−c^2. \nonumber \]

    Por último, dividir ambos lados por\(a^2−c^2\). Esto da la ecuación

    \[\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{a^2−c^2}=1. \nonumber \]

    Ahora definimos b para que\(b^2=c^2−a^2\). Esto es posible porque\(c>a\). Por lo tanto, la ecuación de la hipérbola se convierte

    \[\dfrac{x^2}{a^2}−\dfrac{y^2}{b^2}=1. \nonumber \]

    Finalmente, si el centro de la hipérbola se mueve del origen al punto\((h,k),\) tenemos la siguiente forma estándar de una hipérbola.

    Ecuación de una hipérbola en forma estándar

    Considere la hipérbola con centro\((h,k)\), un eje mayor horizontal y un eje menor vertical. Entonces la ecuación de esta hipérbola es

    \[\dfrac{(x−h)^2}{a^2}−\dfrac{(y−k)^2}{b^2}=1 \label{HorHyperbola} \]

    y los focos se localizan en\((h±c,k),\) donde\(c^2=a^2+b^2\). Las ecuaciones de las asíntotas vienen dadas por\(y=k±\dfrac{b}{a}(x−h).\) Las ecuaciones de las pautas son

    \[x=h±\dfrac{a^2}{\sqrt{a^2+b^2}}=h±\dfrac{a^2}{c} \nonumber \]

    Si el eje mayor es vertical, entonces la ecuación de la hipérbola se convierte

    \[\dfrac{(y−k)^2}{a^2}−\dfrac{(x−h)^2}{b^2}=1 \nonumber \]

    y los focos se localizan en\((h,k±c),\) donde\(c^2=a^2+b^2\). Las ecuaciones de las asíntotas vienen dadas por\(y=k±\dfrac{a}{b}(x−h)\). Las ecuaciones de las directriz son

    \[y=k±\dfrac{a^2}{\sqrt{a^2+b^2}}=k±\dfrac{a^2}{c}. \nonumber \]

    Si el eje mayor (eje transversal) es horizontal, entonces la hipérbola se llama horizontal, y si el eje mayor es vertical entonces la hipérbola se llama vertical. La ecuación de una hipérbola está en forma general si está en la forma

    \[Ax^2+By^2+Cx+Dy+E=0, \nonumber \]

    donde A y B tienen signos opuestos. Para convertir la ecuación de forma general a forma estándar, utilice el método de completar el cuadrado.

    Ejemplo\(\PageIndex{3}\): Finding the Standard Form of a Hyperbola

    Poner la ecuación\(9x^2−16y^2+36x+32y−124=0\) en forma estándar y graficar la hipérbola resultante. ¿Cuáles son las ecuaciones de las asíntotas?

    Solución

    Primero agregue 124 a ambos lados de la ecuación:

    \(9x^2−16y^2+36x+32y=124.\)

    A continuación agrupa los términos x y los términos y juntos, luego factorizar los factores comunes:

    \((9x^2+36x)−(16y^2−32y)=124\)

    \(9(x^2+4x)−16(y^2−2y)=124\).

    Necesitamos determinar la constante que, cuando se agrega dentro de cada conjunto de paréntesis, da como resultado un cuadrado perfecto. En el primer conjunto de paréntesis, tomar la mitad del coeficiente de x y cuadrarlo. Esto da\((\dfrac{4}{2})^2=4\). En el segundo conjunto de paréntesis, tomar la mitad del coeficiente de y y cuadrarlo. Esto da a\((\dfrac{−2}{2})^2=1.\) Agregar estos dentro de cada par de paréntesis. Dado que el primer conjunto de paréntesis tiene un 9 al frente, en realidad estamos agregando 36 al lado izquierdo. De igual manera, estamos restando 16 del segundo conjunto de paréntesis. Por lo tanto la ecuación se convierte

    \(9(x^2+4x+4)−16(y^2−2y+1)=124+36−16\)

    \(9(x^2+4x+4)−16(y^2−2y+1)=144.\)

    Siguiente factor ambos conjuntos de paréntesis y dividir por 144:

    \(9(x+2)^2−16(y−1)^2=144\)

    \(\dfrac{9(x+2)^2}{144}−\dfrac{16(y−1)^2}{144}=1\)

    \(\dfrac{(x+2)^2}{16}−\dfrac{(y−1)^2}{9}=1.\)

    La ecuación se encuentra ahora en forma estándar. Comparando esto con la Ecuación\ ref {HorHyperbola} da\(h=−2, k=1, a=4,\) y\(b=3\). Se trata de una hipérbola horizontal con centro en\((−2,1)\) y asíntotas dadas por las ecuaciones\(y=1±\dfrac{3}{4}(x+2)\). La gráfica de esta hipérbola aparece en la Figura\(\PageIndex{10}\).

    Se dibuja una hipérbola con la ecuación 9x2 - 16y2 + 36x + 32y — 124 = 0. Tiene centro en (−2, 1), y las hipérbolas están abiertas a izquierda y derecha.
    Figura\(\PageIndex{10}\): Gráfica de la hipérbola en el Ejemplo\(\PageIndex{3}\).
    Ejercicio\(\PageIndex{3}\)

    Poner la ecuación\(4y^2−9x^2+16y+18x−29=0\) en forma estándar y graficar la hipérbola resultante. ¿Cuáles son las ecuaciones de las asíntotas?

    Pista

    Mueva la constante y complete el cuadrado. Comprueba en qué dirección se abre la hipérbola

    Contestar

    \(\dfrac{(y+2)^2}{9}−\dfrac{(x−1)^2}{4}=1.\)Se trata de una hipérbola vertical. asíntotas\(y=−2±\dfrac{3}{2}(x−1).\)

    Se dibuja una hipérbola con la ecuación 4y2 — 9x2 + 16x + 18y — 29 = 0. Tiene centro en (1, −2), y las hipérbolas están abiertas a la parte superior e inferior.

    Las hipérbolas también tienen interesantes propiedades reflectantes. Un rayo dirigido hacia un foco de una hipérbola es reflejado por un espejo hiperbólico hacia el otro foco. Este concepto se ilustra en la Figura\(\PageIndex{11}\).

    Se dibuja una hipérbola que está abierta a derecha e izquierda. Hay un rayo apuntando a un punto de la hipérbola derecha marcado como “Luz de estrella”. Golpea una “superficie de espejo” y rebota al foco en el otro lado de la hipérbola. Hay una línea discontinua desde donde el punto golpea la superficie del espejo hasta el foco en ese lado de la hipérbola.
    Figura\(\PageIndex{11}\): Un espejo hiperbólico utilizado para recoger luz de estrellas distantes.

    Esta propiedad de la hipérbola tiene importantes aplicaciones. Se utiliza en la búsqueda de dirección de radio (ya que la diferencia en las señales de dos torres es constante a lo largo de las hipérbolas), y en la construcción de espejos dentro de telescopios (para reflejar la luz proveniente del espejo parabólico al ocular). Otro dato interesante de las hipérbolas es que para que un cometa ingrese al sistema solar, si la velocidad es lo suficientemente grande como para escapar del tirón gravitacional del Sol, entonces el camino que toma el cometa a medida que pasa por el sistema solar es hiperbólico.

    Excentricidad y Directrix

    Una forma alternativa de describir una sección cónica implica las directrices, los focos y una nueva propiedad llamada excentricidad. Veremos que el valor de la excentricidad de una sección cónica puede definir de manera única esa cónica.

    Definición: Excentricidad y Orientaciones

    La excentricidad \(e\)de una sección cónica se define como la distancia desde cualquier punto de la sección cónica hasta su foco, dividida por la distancia perpendicular desde ese punto hasta la directriz más cercana. Este valor es constante para cualquier sección cónica, y también puede definir la sección cónica:

    1. Si\(e=1\), la cónica es una parábola.
    2. Si\(e<1\), es una elipse.
    3. Si\(e>1,\) se trata de una hipérbola.

    La excentricidad de un círculo es cero. La directriz de una sección cónica es la línea que, junto con el punto conocido como foco, sirve para definir una sección cónica. Las hipérbolas y elipses no circulares tienen dos focos y dos pautas asociadas. Las parábolas tienen un enfoque y una directrix.

    Las tres secciones cónicas con sus pautas aparecen en la Figura\(\PageIndex{12}\).

    Esta cifra tiene tres cifras. En la primera hay una elipse, con el centro en el origen, focos en (c, 0) y (−c, 0), siendo la mitad de su altura vertical b, la mitad de su longitud horizontal siendo a, y directriz x = ±a2/c. La segunda figura es una parábola con vértice en el origen, foco (a, 0) y directrix x = −a. La tercera figura es una hipérbola con vértice en el origen, foco (a, 0) y directrix x = −a. bola con centro en el origen, focos en (c, 0) y (−c, 0), vértices en (a, 0) y (−a, 0), y directices en x = ±a2/c.
    Figura\(\PageIndex{12}\): Las tres secciones cónicas con sus focos y pautas.

    Recordemos de la definición de una parábola que la distancia desde cualquier punto de la parábola al foco es igual a la distancia desde ese mismo punto a la directriz. Por lo tanto, por definición, la excentricidad de una parábola debe ser 1. Las ecuaciones de las pautas de una elipse horizontal son\(x=±\dfrac{a^2}{c}\). El vértice derecho de la elipse se encuentra en\((a,0)\) y el foco correcto está\((c,0)\). Por lo tanto la distancia desde el vértice al foco es\(a−c\) y la distancia desde el vértice a la directriz derecha es\(\dfrac{a^2}{c}−c.\) Esto da la excentricidad como

    \[e=\dfrac{a−c}{\dfrac{a^2}{c}−a}=\dfrac{c(a−c)}{a^2−ac}=\dfrac{c(a−c)}{a(a−c)}=\dfrac{c}{a}. \nonumber \]

    Ya que\(c<a\), este paso demuestra que la excentricidad de una elipse es menor que 1. Las pautas de una hipérbola horizontal también se localizan en\(x=±\dfrac{a^2}{c}\), y un cálculo similar muestra que la excentricidad de una hipérbola también es\(e=\dfrac{c}{a}\). Sin embargo en este caso tenemos\(c>a\), por lo que la excentricidad de una hipérbola es mayor a 1.

    Ejemplo\(\PageIndex{4}\): Determining Eccentricity of a Conic Section

    Determinar la excentricidad de la elipse descrita por la ecuación

    \(\dfrac{(x−3)^2}{16}+\dfrac{(y+2)^2}{25}=1.\)

    Solución

    De la ecuación vemos que\(a=5\) y\(b=4\). El valor de c se puede calcular usando la ecuación\(a^2=b^2+c^2\) para una elipse. Sustituir los valores de a y b y resolver por c da\(c=3\). Por lo tanto, la excentricidad de la elipse es\(e=\dfrac{c}{a}=\dfrac{3}{5}=0.6.\)

    Ejercicio\(\PageIndex{4}\)

    Determinar la excentricidad de la hipérbola descrita por la ecuación

    \(\dfrac{(y−3)^2}{49}−\dfrac{(x+2)^2}{25}=1.\)

    Pista

    Primero encuentra los valores de a y b, luego determina c usando la ecuación\(c^2=a^2+b^2\).

    Contestar

    \(e=\dfrac{c}{a}=\dfrac{\sqrt{74}}{7}≈1.229\)

    Ecuaciones polares de secciones cónicas

    A veces es útil escribir o identificar la ecuación de una sección cónica en forma polar. Para ello, necesitamos el concepto del parámetro focal. El parámetro focal de una sección cónica p se define como la distancia desde un foco hasta la directrix más cercana. La siguiente tabla da los parámetros focales para los diferentes tipos de cónicas, donde a es la longitud del semieje mayor (es decir, la mitad de la longitud del eje mayor), c es la distancia desde el origen al foco, y e es la excentricidad. En el caso de una parábola, a representa la distancia desde el vértice hasta el foco.

    Tabla\(\PageIndex{1}\): Excentricidades y parámetros focales de las secciones cónicas
    Cónico \(e\) \(p\)
    Elipse \ (e\)” style="vertical-align:middle; ">\(0<e<1\) \ (p\)” style="vertical-align:middle; ">\(\dfrac{a^2−c^2}{c}=\dfrac{a(1−e^2)}{c}\)
    Parábola \ (e\)” style="vertical-align:middle; ">\(e=1\) \ (p\)” style="vertical-align:middle; ">\(2a\)
    Hipérbola \ (e\)” style="vertical-align:middle; ">\(e>1\) \ (p\)” style="vertical-align:middle; ">\(\dfrac{c^2−a^2}{c}=\dfrac{a(e^2−1)}{c}\)

    Usando las definiciones del parámetro focal y la excentricidad de la sección cónica, podemos derivar una ecuación para cualquier sección cónica en coordenadas polares. En particular, suponemos que uno de los focos de una determinada sección cónica se encuentra en el polo. Entonces usando la definición de las diversas secciones cónicas en términos de distancias, es posible probar el siguiente teorema.

    Ecuación polar de secciones cónicas

    La ecuación polar de una sección cónica con parámetro focal p viene dada por

    \(r=\dfrac{ep}{1±e\cos θ}\)o\(r=\dfrac{ep}{1±e\sin θ}.\)

    En la ecuación de la izquierda, el eje mayor de la sección cónica es horizontal, y en la ecuación de la derecha, el eje mayor es vertical. Para trabajar con una sección cónica escrita en forma polar, primero haga que el término constante en el denominador sea igual a 1. Esto se puede hacer dividiendo tanto el numerador como el denominador de la fracción por la constante que aparece frente al más o menos en el denominador. Entonces el coeficiente del seno o coseno en el denominador es la excentricidad. Este valor identifica la cónica. Si el coseno aparece en el denominador, entonces la cónica es horizontal. Si aparece seno, entonces la cónica es vertical. Si ambos aparecen entonces los ejes se rotan. El centro de la cónica no está necesariamente en el origen. El centro está en el origen solo si la cónica es un círculo (i.e.,\(e=0\)).

    Ejemplo\(\PageIndex{5}\): Graphing a Conic Section in Polar Coordinates

    Identificar y crear una gráfica de la sección cónica descrita por la ecuación

    \(r=\dfrac{3}{1+2\cos θ}\).

    Solución

    El término constante en el denominador es 1, por lo que la excentricidad de la cónica es 2. Esto es una hipérbola. El parámetro focal p se puede calcular utilizando la ecuación\(ep=3.\) Since\(e=2\), esto da\(p=\dfrac{3}{2}\). La función coseno aparece en el denominador, por lo que la hipérbola es horizontal. Elija algunos valores\(θ\) y cree una tabla de valores. Entonces podemos graficar la hipérbola (Figura\(\PageIndex{13}\)).

    \(θ\) \(r\) \(θ\) \(r\)
    \ (θ\)” style="vertical-align:middle; ">0 \ (r\)” style="vertical-align:middle; ">1 \ (θ\)” style="vertical-align:middle; ">\(π\) \ (r\)” style="vertical-align:middle; ">−3
    \ (θ\)” style="vertical-align:middle; ">\(\dfrac{π}{4}\) \ (r\)” style="vertical-align:middle; ">\(\dfrac{3}{1+\sqrt{2}}≈1.2426\) \ (θ\)” style="vertical-align:middle; ">\(\dfrac{5π}{4}\) \ (r\)” style="vertical-align:middle; ">\(\dfrac{3}{1−\sqrt{2}}≈−7.2426\)
    \ (θ\)” style="vertical-align:middle; ">\(\dfrac{π}{2}\) \ (r\)” style="vertical-align:middle; ">3 \ (θ\)” style="vertical-align:middle; ">\(\dfrac{3π}{2}\) \ (r\)” style="vertical-align:middle; ">3
    \ (θ\)” style="vertical-align:middle; ">\(\dfrac{3π}{4}\) \ (r\)” style="vertical-align:middle; ">\(\dfrac{3}{1−\sqrt{2}}≈−7.2426\) \ (θ\)” style="vertical-align:middle; ">\(\dfrac{7π}{4}\) \ (r\)” style="vertical-align:middle; ">\(\dfrac{3}{1+\sqrt{2}}≈1.2426\)
    Gráfica de una hipérbola con la ecuación r = 3/ (1 + 2 cosθ), centro en (2, 0) y vértices en (1, 0) y (3, 0).
    Figura\(\PageIndex{13}\): Gráfica de la hipérbola descrita en el Ejemplo\(\PageIndex{5}\).
    Ejercicio\(\PageIndex{5}\)

    Identificar y crear una gráfica de la sección cónica descrita por la ecuación

    \(r=\dfrac{4}{1−0.8 \sin θ}\).

    Pista

    Primero encuentra los valores de e y p, y luego crea una tabla de valores.

    Contestar

    Aquí\(e=0.8\) y\(p=5\). Esta sección cónica es una elipse.

    Gráfico de una elipse con la ecuación r = 4/ (1 — 0.8 sinθ), cerca del centro (0, 11), eje mayor aproximadamente 22 y eje menor aproximadamente 12.

    Ecuaciones Generales de Grado Dos

    Una ecuación general de grado dos se puede escribir en la forma

    \[ Ax^2+Bxy+Cy^2+Dx+Ey+F=0. \nonumber \]

    La gráfica de una ecuación de esta forma es una sección cónica. Si\(B≠0\) entonces se rotan los ejes de coordenadas. Para identificar la sección cónica, utilizamos el discriminante de la sección cónica\(4AC−B^2.\)

    Identificación de la Sección Cónica

    Uno de los siguientes casos debe ser cierto:

    1. \(4AC−B^2>0\). Si es así, la gráfica es una elipse.
    2. \(4AC−B^2=0\). Si es así, la gráfica es una parábola.
    3. \(4AC−B^2<0\). Si es así, la gráfica es una hipérbola.

    El ejemplo más simple de una ecuación de segundo grado que involucra un término cruzado es\(xy=1\). Esta ecuación se puede resolver\(y\) para obtener\(y=\dfrac{1}{x}\). La gráfica de esta función se denomina hipérbola rectangular como se muestra.

    Gráfica de xy = 1, que tiene asíntotas en los ejes x e y. Esta hipérbola es relegada al primer y tercer cuadrantes, y la gráfica también tiene líneas discontinuas rojas a lo largo de y = x e y = −x.
    Figura\(\PageIndex{14}\): Gráfica de la ecuación\(xy=1\); Las líneas rojas indican los ejes girados.

    Las asíntotas de esta hipérbola son los ejes\(x\) y\(y\) coordinados. Para determinar el ángulo θ de rotación de la sección cónica, utilizamos la fórmula\(\cot 2θ=\frac{A−C}{B}\). En este caso\(A=C=0\) y\(B=1\), así\(\cot 2θ=(0−0)/1=0\) y\(θ=45°\). El método para graficar una sección cónica con ejes girados implica determinar los coeficientes de la cónica en el sistema de coordenadas giradas. Los nuevos coeficientes están etiquetados\(A′,B′,C′,D′,E′,\) y\(F′,\) y están dados por las fórmulas

    \[ \begin{align} A′ =A\cos^ 2θ+B\cos θ\sin θ+C\sin^2 θ \\ B′ =0 \\ C′ =A\sin^2 θ−B\sin θ\cos θ+C\cos^2θ \\ D′ =D\cos θ+E\sin θ \\ E′ =−D\sin θ+E\cosθ \\ F′ =F. \end{align} \nonumber \]

    Procedimiento: graficar una cónica girada

    El procedimiento para graficar una cónica rotada es el siguiente:

    1. Identificar la sección cónica utilizando el discriminante\(4AC−B^2\).
    2. Determinar\(θ\) usando la fórmula\[\cot2θ=\dfrac{A−C}{B} \label{rot}. \]
    3. Calcular\(A′,B′,C′,D′,E′\), y\(F′\).
    4. Reescribir la ecuación original usando\(A′,B′,C′,D′,E′\), y\(F′\).
    5. Dibuja una gráfica usando la ecuación girada.
    Ejemplo\(\PageIndex{6}\): Identifying a Rotated Conic

    Identificar la cónica y calcular el ángulo de rotación de los ejes para la curva descrita por la ecuación

    \[13x^2−6\sqrt{3}xy+7y^2−256=0. \nonumber \]

    Solución

    En esta ecuación,\(A=13,B=−6\sqrt{3},C=7,D=0,E=0,\) y\(F=−256\). El discriminante de esta ecuación es

    \[4AC−B^2=4(13)(7)−(−6\sqrt{3})^2=364−108=256. \nonumber \]

    Por lo tanto esta cónica es una elipse.

    Para calcular el ángulo de rotación de los ejes, use Ecuación\ ref {rot}

    \[\cot 2θ=\dfrac{A−C}{B}. \nonumber \]

    Esto da

    \(\cot 2θ=\dfrac{A−C}{B}=\dfrac{13−7}{−6\sqrt{3}}=−\dfrac{\sqrt{3}}{3}\).

    Por lo tanto\(2θ=120^o\) y\(θ=60^o\), que es el ángulo de rotación de los ejes.

    Para determinar los coeficientes rotados, utilice las fórmulas dadas anteriormente:

    \(A′=A\cos^2θ+B\cos θ\sinθ+C\sin^2θ\)

    \(=13\cos^260+(−6\sqrt{3})\cos 60 \sin 60+7\sin^260\)

    \(=13(\dfrac{1}{2})^2−6\sqrt{3}(\dfrac{1}{2})(\dfrac{\sqrt{3}}{2})+7(\dfrac{\sqrt{3}}{2})^2\)

    \(=4,\)

    \(B′=0\)

    \(C′=A\sin^2θ−B\sin θ\cos θ+C\cos^2θ\)

    \(=13\sin^260+(6\sqrt{3})\sin 60 \cos 60+7\cos^260\)

    \(=13(\dfrac{\sqrt{3}}{2})^2+6\sqrt{3}(\dfrac{\sqrt{3}}{2})(\dfrac{1}{2})+7(\dfrac{1}{2})^2\)

    \(=16,\)

    \(D′=D\cos θ+E\sin θ\)

    \(=(0)\cos 60+(0)\sin 60\)

    \(=0,\)

    \(E′=−D\sin θ+E\cos θ\)

    \(=−(0)\sin 60+(0)\cos 60\)

    \(=0\)

    \(F′= F\)

    \(=−256.\)

    La ecuación de la cónica en el sistema de coordenadas giradas se convierte en

    \(4(x′)^2+16(y′)^2=256\)

    \(\dfrac{(x′)^2}{64}+\dfrac{(y′)^2}{16}=1\).

    Una gráfica de esta sección cónica aparece de la siguiente manera.

    Gráfica de una elipse con la ecuación 13x2 — 6 veces la raíz cuadrada de 3 veces xy + 7y2 — 256 = 0. El centro está en el origen, y la elipse parece estar sesgada 60 grados. Hay líneas rojas discontinuas a lo largo de los ejes mayor y menor.
    Figura\(\PageIndex{15}\): Gráfico de la elipse descrita por la ecuación\(13x^2−6\sqrt{3}xy+7y^2−256=0\). Los ejes son girados\(60°\). Las líneas discontinuas rojas indican los ejes girados.
    Ejercicio\(\PageIndex{6}\)

    Identificar la cónica y calcular el ángulo de rotación de los ejes para la curva descrita por la ecuación

    \[3x^2+5xy−2y^2−125=0. \nonumber \]

    Pista

    Siga los pasos 1 y 2 del método de cinco pasos descrito anteriormente

    Contestar

    La cónica es una hipérbola y el ángulo de rotación de los ejes es\(θ=22.5°.\)

    Conceptos clave

    • La ecuación de una parábola vertical en forma estándar con enfoque y directriz dados es\(y=\dfrac{1}{4p}(x−h)^2+k\) donde\(p\) está la distancia desde el vértice al foco y\((h,k)\) son las coordenadas del vértice.
    • La ecuación de una elipse horizontal en forma estándar es\(\dfrac{(x−h)^2}{a^2}+\dfrac{(y−k)^2}{b^2}=1\) donde el centro tiene coordenadas\((h,k)\), el eje mayor tiene longitud 2a, el eje menor tiene longitud 2b, y las coordenadas de los focos son\((h±c,k)\), donde\(c^2=a^2−b^2\).
    • La ecuación de una hipérbola horizontal en forma estándar es\(\dfrac{(x−h)^2}{a^2}−\dfrac{(y−k)^2}{b^2}=1\) donde el centro tiene coordenadas\((h,k)\), los vértices están ubicados y las coordenadas de los focos son\((h±c,k),\) dónde\(c^2=a^2+b^2\).\((h±a,k)\)
    • La excentricidad de una elipse es menor que 1, la excentricidad de una parábola es igual a 1, y la excentricidad de una hipérbola es mayor que 1. La excentricidad de un círculo es 0.
    • La ecuación polar de una sección cónica con excentricidad e es\(r=\dfrac{ep}{1±ecosθ}\) o\(r=\dfrac{ep}{1±esinθ}\), donde p representa el parámetro focal.
    • Para identificar una cónica generada por la ecuación\(Ax^2+Bxy+Cy^2+Dx+Ey+F=0\), primero calcule el discriminante\(D=4AC−B^2\). Si\(D>0\) entonces la cónica es una elipse, si\(D=0\) entonces la cónica es una parábola, y si\(D<0\) entonces la cónica es una hipérbola.

    Glosario

    sección cónica
    una sección cónica es cualquier curva formada por la intersección de un plano con un cono de dos nappes
    directrix
    una directriz (plural: pautas) es una línea utilizada para construir y definir una sección cónica; una parábola tiene una directriz; elipses e hipérbolas tienen dos
    discriminante
    el valor\(4AC−B^2\), que se utiliza para identificar una cónica cuando la ecuación contiene un término que implica\(xy\), se llama discriminante
    enfoque
    un foco (plural: focos) es un punto utilizado para construir y definir una sección cónica; una parábola tiene un foco; una elipse y una hipérbola tienen dos
    excentricidad
    la excentricidad se define como la distancia desde cualquier punto de la sección cónica hasta su foco dividida por la distancia perpendicular desde ese punto hasta la directriz más cercana
    parámetro focal
    el parámetro focal es la distancia desde un foco de una sección cónica hasta la directrix más cercana
    forma general
    una ecuación de una sección cónica escrita como una ecuación general de segundo grado
    eje mayor
    el eje mayor de una sección cónica pasa por el vértice en el caso de una parábola o a través de los dos vértices en el caso de una elipse o hipérbola; también es un eje de simetría de la cónica; también llamado eje transversal
    eje menor
    el eje menor es perpendicular al eje mayor e interseca el eje mayor en el centro de la cónica, o en el vértice en el caso de la parábola; también llamado eje conjugado
    nappe
    una nappe es la mitad de un cono doble
    forma estándar
    una ecuación de una sección cónica que muestra sus propiedades, como la ubicación del vértice o longitudes de los ejes mayor y menor
    vértice
    un vértice es un punto extremo en una sección cónica; una parábola tiene un vértice en su punto de inflexión. Una elipse tiene dos vértices, uno en cada extremo del eje mayor; una hipérbola tiene dos vértices, uno en el punto de inflexión de cada rama

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