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16.5: Divergencia y Curl

  • Edwin “Jed” Herman & Gilbert Strang
  • OpenStax

( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\)

Objetivos de aprendizaje
  • Determinar la divergencia a partir de la fórmula para un campo vectorial dado.
  • Determine curl a partir de la fórmula para un campo vectorial dado.
  • Utilice las propiedades de curl y divergencia para determinar si un campo vectorial es conservador.

En esta sección, examinamos dos operaciones importantes en un campo vectorial: divergencia y curl. Son importantes para el campo del cálculo por varias razones, entre ellas el uso del rizo y la divergencia para desarrollar algunas versiones de dimensiones superiores del Teorema Fundamental del Cálculo. Además, el rizo y la divergencia aparecen en las descripciones matemáticas de la mecánica de fluidos, el electromagnetismo y la teoría de la elasticidad, que son conceptos importantes en física e ingeniería. También podemos aplicar rizo y divergencia a otros conceptos que ya exploramos. Por ejemplo, bajo ciertas condiciones, un campo vectorial es conservador si y solo si su rizo es cero.

Además de definir el rizo y la divergencia, observamos algunas interpretaciones físicas de las mismas y mostramos su relación con campos vectoriales conservadores y libres de fuentes.

Divergencia

La divergencia es una operación en un campo vectorial que nos dice cómo se comporta el campo hacia o lejos de un punto. Localmente, la divergencia de un campo vectorialFR3 enR2 o en un punto particularP es una medida del “flujo de salida” del campo vectorial enP. SiF representa la velocidad de un fluido, entonces la divergencia deF atP mide la tasa neta de cambio con respecto al tiempo de la cantidad de fluido que fluye lejosP (la tendencia del fluido a fluir “fuera de” P). En particular, si la cantidad de fluido que fluye hacia adentroP es la misma que la cantidad que fluye hacia afuera, entonces la divergencia aP es cero.

Definición: divergencia enR3

SiF=P,Q,R es un campo vectorial enR3 yPx,Qy, yRz todos existen, entonces la divergencia deF se define por

divF=Px+Qy+Rz=Px+Qy+Rz.

Tenga en cuenta que la divergencia de un campo vectorial no es un campo vectorial, sino una función escalar. En términos del operador de gradiente

=x,y,z

la divergencia se puede escribir simbólicamente como el producto de punto

divF=F.

Tenga en cuenta que esto es meramente una notación útil, porque el producto punto de un vector de operadores y un vector de funciones no está definido de manera significativa dada nuestra definición actual de producto de punto.

SiF=P,Q es un campo vectorial enR2,Px yQy ambos existen, entonces la divergencia deF se define de manera similar como

divF=Px+Qy=Px+Qy=F.

Para ilustrar este punto, considere los dos campos vectoriales en la Figura16.5.1. En cualquier punto en particular, la cantidad que fluye adentro es la misma que la cantidad que fluye hacia afuera, por lo que en cada punto la “salida” del campo es cero. Por lo tanto, esperamos que la divergencia de ambos campos sea cero, y esto es efectivamente el caso, ya que

div(1,2)=x(1)+y(2)=0

y

div(y,x)=x(y)+y(x)=0.

Dos imágenes de los campos vectoriales A y B en dos dimensiones. El campo vectorial A tiene flechas apuntando hacia arriba y hacia la derecha. No cambian de tamaño ni de dirección. Tiene cero divergencia. El campo vectorial B tiene flechas que rodean el origen en sentido contrario a las agujas del reloj. Las flechas son más grandes cuanto más cerca están del origen. También tiene cero divergencia.
Figura16.5.1: (a)1,2 El campo vectorial tiene divergencia cero. (b) El campo vectorialy,x también tiene divergencia cero.

Por el contrario, considere el campo vectorial radialR(x,y)=x,y en la Figura16.5.2. En cualquier punto dado, fluye más fluido que fluye hacia afuera, y por lo tanto la “salida” del campo es negativa. Esperamos que la divergencia de este campo sea negativa, y esto es efectivamente el caso, ya que

div(R)=x(x)+y(y)=2.

Un campo vectorial en dos dimensiones con divergencia negativa. Las flechas apuntan hacia el origen en un patrón radial. Cuanto más cerca están las flechas del origen, más grandes son.
Figura16.5.2: Este campo vectorial tiene divergencia negativa.

Para tener una idea global de lo que nos está diciendo la divergencia, supongamos que un campo vectorial enR2 representa la velocidad de un fluido. Imagina tomar un círculo elástico (un círculo con una forma que puede ser cambiada por el campo vectorial) y dejándolo caer en un fluido. Si el círculo mantiene su área exacta a medida que fluye a través del fluido, entonces la divergencia es cero. Esto ocurriría para ambos campos vectoriales en la Figura16.5.1. Por otro lado, si la forma del círculo se distorsiona para que su área se encoja o se expanda, entonces la divergencia no es cero. Imagínese caer tal círculo elástico en el campo vectorial radial en la Figura16.5.2 para que el centro del círculo aterrice en el punto(3,3). El círculo fluiría hacia el origen, y al hacerlo el frente del círculo viajaría más despacio que el trasero, provocando que el círculo se “arremolcara” y perdiera área. Es así como se puede ver una divergencia negativa.

Ejemplo16.5.1: Calculating Divergence at a Point

SiF(x,y,z)=exˆi+yzˆjyz2ˆk, entonces encuentra la divergencia deF at(0,2,1).

Solución

La divergencia deF es

x(ex)+y(yz)z(yz2)=ex+z2yz.

Por lo tanto, la divergencia en(0,2,1) ese01+4=4. SiF representa la velocidad de un fluido, entonces fluye más fluido que fluyendo hacia adentro en el punto(0,2,1).

Ejercicio16.5.1

BuscardivF para

F(x,y,z)=xy,5z2,x2+y2.

Pista

Seguir Ejemplo16.5.1.

Contestar

divF=y

Una aplicación para la divergencia ocurre en la física, cuando se trabaja con campos magnéticos. Un campo magnético es un campo vectorial que modela la influencia de corrientes eléctricas y materiales magnéticos. Los físicos utilizan la divergencia en la ley de Gauss para el magnetismo, que establece que siB es un campo magnético, entoncesB=0; en otras palabras, la divergencia de un campo magnético es cero.

Ejemplo16.5.2: Determining Whether a Field Is Magnetic

¿Es posibleF(x,y)=x2y,yxy2 que sea un campo magnético?

Solución

SiF fueran magnéticos, entonces su divergencia sería cero. La divergencia deF es

x(x2y)+y(yxy2)=2xy+12xy=1

y por lo tantoF no puede modelar un campo magnético (Figura16.5.3).

Un campo vectorial en dos dimensiones con divergencia igual a 1. Las flechas son bastante planas cerca del eje x y verticales cerca del eje y. Parecen acercarse asintóticamente a los ejes en los cuadrantes 2 y 4, apuntando hacia arriba y hacia la derecha en el cuadrante 2 y hacia abajo y a la izquierda en el cuadrante 4. En el cuadrante 1, empiezan apuntando hacia arriba y hacia la derecha cerca del eje y, pero pronto se desplazan para apuntar hacia abajo y hacia la derecha. En el cuadrante 3, comienzan apuntando hacia abajo y hacia la izquierda cerca del eje y, bu pronto se desplazan para apuntar hacia arriba y hacia la izquierda. Cuanto más cerca están las flechas del origen, más cortas son.
Figura16.5.3: La divergencia del campo vectorialF(x,y)=x2y,yxy2 es una, por lo que no puede modelar un campo magnético.

Otra aplicación para la divergencia es detectar si un campo está libre de fuente. Recordemos que un campo libre de fuente es un campo vectorial que tiene una función de flujo; equivalentemente, un campo libre de fuente es un campo con un flujo que es cero a lo largo de cualquier curva cerrada. Los dos teoremas siguientes dicen que, bajo ciertas condiciones, los campos vectoriales libres de fuente son precisamente los campos vectoriales con divergencia cero.

Teorema: Divergencia de un Campo Vector Libre de Fuente

SiF=P,Q es un campo vectorial continuo sin fuente con funciones de componentes diferenciables, entoncesdivF=0.

Prueba

Ya queF es fuente libre, hay una funcióng(x,y) congy=P ygx=Q. Por lo tanto,F=gy,gx ydivF=gyxgxy=0 por el teorema de Clairaut.

Lo contrario de Divergencia de un Campo Vector Libre de Fuente es cierto en regiones simplemente conectadas, pero la prueba es demasiado técnica para incluirla aquí. Así, tenemos el siguiente teorema, que puede probar si un campo vectorial enR2 es libre de fuente.

Teorema: prueba de divergencia para campos vectoriales libres de fuente

LetF=P,Q Ser un campo vectorial continuo con funciones componentes diferenciables con un dominio que simplemente está conectado. Entonces,divF=0 si y sólo siF es fuente libre.

Ejemplo16.5.3: Determining Whether a Field Is Source Free

¿LaF(x,y)=x2y,5xy2 fuente de campo es gratuita?

Solución

Tenga en cuenta el dominio deF esR2 el que simplemente está conectado. Además,F es continuo con funciones de componentes diferenciables. Por lo tanto, podemos usar la prueba de divergencia para campos vectoriales libres de fuente para analizarF. La divergencia deF es

x(x2y)+y(5xy2)=2xy2xy=0.

Por lo tanto,F es fuente libre por la prueba de divergencia para campos vectoriales libres de fuente.

Ejercicio16.5.2

DejarF(x,y)=ay,bx ser un campo rotacional dondea yb son constantes positivas. ¿LaF fuente es gratuita?

Pista

Calcular la divergencia.

Contestar

Recordemos que la forma de flujo del teorema de Green dice que

CFNds=DPx+QydA,

dondeC es una curva cerrada simple yD es la región encerrada porC. Ya quePx+Qy=divF, el teorema de Green a veces se escribe como

CFNds=DdivFdA.

Por lo tanto, el teorema de Green puede escribirse en términos de divergencia. Si pensamos en la divergencia como una especie de derivado, entonces el teorema de Green dice que el “derivado” deF en una región puede traducirse en una línea integral deF a lo largo del límite de la región. Esto es análogo al Teorema Fundamental del Cálculo, en el que la derivada de una funciónf en un segmento de línea[a,b] puede traducirse en una declaraciónf sobre en el límite de[a,b]. Usando la divergencia, podemos ver que el teorema de Green es un análogo de mayor dimensión del Teorema Fundamental del Cálculo.

Podemos utilizar todo lo que hemos aprendido en la aplicación de la divergencia. Letv Ser un campo vectorial modelando la velocidad de un fluido. Dado que la divergencia dev en el puntoP mide el “flujo de salida” del fluido enP,divv(P)>0 implica que fluye más fluido fuera de loP que fluye hacia adentro. Del mismo modo,divv(P)<0 implicaP que cuanto más fluido fluye hacia adentro que fluye hacia afuera, edivv(P)=0 implica que la misma cantidad de fluido está fluyendo hacia adentro que fluye hacia afuera.

Ejemplo16.5.4: Determining Flow of a Fluid

Supongamos quev(x,y)=xy,y,y>0 modela el flujo de un fluido. ¿Fluye más fluido hacia el punto(1,4) que fluye hacia afuera?

Solución

Para determinar si fluye más fluido que el(1,4) que fluye hacia afuera, calculamos la divergencia dev at(1,4):

div(v)=x(xy)+y(y)=y+1.

Para encontrar la divergencia en(1,4) sustituir el punto en la divergencia:4+1=3. Dado que la divergencia dev at(1,4) es negativa, fluye más fluido hacia adentro que fluyendo hacia afuera (Figura16.5.4).

Un campo vectorial en dos dimensiones con divergencia negativa en (1,4). Las flechas son muy planas pero se vuelven más verticales más cerca del eje y. Por encima del eje x, las flechas apuntan hacia arriba y hacia el eje y a cada lado del mismo. Debajo del eje x, las flechas apuntan hacia abajo y lejos del eje y a cada lado del mismo.
Figura16.5.4:v(x,y)=xy,y El campo vectorial tiene divergencia negativa en(1,4)
Ejercicio16.5.3

Para el campo vectorialv(x,y)=xy,y,y>0, encuentre todos los puntos deP tal manera que la cantidad de fluido que fluye hacia adentroP sea igual a la cantidad de fluido que fluye fuera deP.

Pista

Encuentra donde la divergencia es cero.

Contestar

Todos los puntos en líneay=1.

Curl

La segunda operación en un campo vectorial que examinamos es el curl, que mide la extensión de rotación del campo alrededor de un punto. Supongamos queF representa el campo de velocidad de un fluido. Entonces, el rizo deF at pointP es un vector que mide la tendencia de las partículas cercanasP a rotar alrededor del eje que apunta en la dirección de este vector. La magnitud del vector curlP mide la rapidez con la que las partículas giran alrededor de este eje. En otras palabras, el rizo en un punto es una medida del “giro” del campo vectorial en ese punto. Visualmente, imagina colocar una rueda de paletas en un fluido enP, con el eje de la rueda de paletas alineado con el vector de rizo (Figura16.5.5). El rizo mide la tendencia de la rueda de paletas a girar.

Un diagrama de una pequeña rueda de paletas en el agua. Las flechas se dibujan alrededor del centro en un círculo en sentido antihorario. En el centro, la altura está etiquetada con n.
Figura16.5.5: Para visualizar el rizo en un punto, imagine colocar una pequeña rueda de paletas en el campo vectorial en un punto.

Considere los campos vectoriales en la Figura16.5.1. En la parte (a), el campo vectorial es constante y no hay giro en ningún punto. Por lo tanto, esperamos que el rizo del campo sea cero, y este es efectivamente el caso. La parte (b) muestra un campo rotacional, por lo que el campo tiene giro. En particular, si colocas una rueda de paletas en un campo en cualquier punto para que el eje de la rueda sea perpendicular a un plano, la rueda gira en sentido antihorario. Por lo tanto, esperamos que el rizo del campo sea distinto de cero, y este es efectivamente el caso (el rizo es2ˆk).

Para ver qué rizo mide globalmente, imagina dejar caer una hoja en el fluido. A medida que la hoja se mueve junto con el flujo de fluido, el rizo mide la tendencia de la hoja a girar. Si el rizo es cero, entonces la hoja no gira a medida que se mueve a través del fluido.

Definición: Curl

SiF=P,Q,R es un campo vectorial enR3, yPx,Qy, yRz todos existen, entonces el rizo deF se define por

\ [\ begin {align}\ text {curl}\,\ vecs {F} &= (R_y - Q_z)\,\ mathbf {\ hat i} + (P_z - R_x)\,\ mathbf {\ hat j} + (Q_x - P_y)\,\ mathbf {\ hat k}\\ [4pt]
&=\ left (d\ {\ R parcial} {\ parcial y} -\ dfrac {\ parcial Q} {\ parcial z}\ derecha)\,\ mathbf {\ hat i} +\ izquierda (\ dfrac {\ P parcial} {\ z parcial} -\ dfrac {\ R parcial} {\ x parcial}\ derecha)\,\ mathbf {\ hat j} +\ izquierda (\ dfrac {\ parcial Q} {\ parcial x} -\ dfrac {\ parcial P} {\ parcial y}\ derecha)\,\ mathbf {\ hat k}. \ end {align}\ nonumber\]

Tenga en cuenta que el rizo de un campo vectorial es un campo vectorial, en contraste con la divergencia.

La definición de rizo puede ser difícil de recordar. Para ayudar a recordar, usamos la notación×F para representar un “determinante” que da la fórmula de curl:

|ˆiˆjˆkxyzPQR|.

El determinante de esta matriz es

(RyQz)ˆi(RxPz)ˆj+(QxPy)ˆk=(RyQz)ˆi+(PzRx)ˆj+(QxPy)ˆk=curlF.

Así, esta matriz es una forma de ayudar a recordar la fórmula para el rizo. Tenga en cuenta, sin embargo, que la palabra determinante se usa de manera muy floja. Un determinante no se define realmente en una matriz con entradas que son tres vectores, tres operadores y tres funciones.

SiF=P,Q es un campo vectorial enR2, entonces el rizo deF, por definición, es

curlF=(QxPy)ˆk=(QxPy)ˆk.

Ejemplo16.5.5: Finding the Curl of a Three-Dimensional Vector Field

Encuentra el rizo deF(P,Q,R)=x2z,ey+xz,xyz.

Solución

El rizo es

curlf=×F=|ˆiˆjˆk/x/y/zPQR|=(RyQz)ˆi+(PzRx)ˆj+(QxPy)ˆk=(xzx)ˆi+(x2yz)ˆj+zˆk.

Ejercicio16.5.4

Encuentra el rizo deF=sinxcosz,sinysinz,cosxcosy en el punto(0,π2,π2).

Pista

Encuentra el determinante de la matriz×F.

Contestar

ˆi

Ejemplo16.5.6: Finding the Curl of a Two-Dimensional Vector Field

Encuentra el rizo deF=P,Q=y,0.

Solución

Observe que este campo vectorial consiste en vectores que son todos paralelos. De hecho, cada vector en el campo es paralelo al eje x. Este hecho podría llevarnos a la conclusión de que el campo no tiene giro y que el rizo es cero. Para probar esta teoría, tenga en cuenta que

curlF=(QxPy)ˆk=ˆk0.

Por lo tanto, este campo vectorial sí tiene giro. Para ver por qué, imagina colocar una rueda de paletas en cualquier punto del primer cuadrante (Figura16.5.6). Las mayores magnitudes de los vectores en la parte superior de la rueda hacen que la rueda gire. La rueda gira en sentido horario (negativo), haciendo que el coeficiente del rizo sea negativo.

Dos diagramas de campo vectoriales que consisten en vectores que son todos paralelos. Cuanto más cerca están del eje x, más cortas son las flechas. Por encima del eje x, las flechas apuntan a la derecha, y debajo del eje x, las flechas apuntan a la izquierda.
Figura16.5.6:F(x,y)=y,0 El campo vectorial consiste en vectores que son todos paralelos.

Tenga en cuenta que siF=P,Q es un campo vectorial en un plano, entoncescurlFˆk=(QxPy)ˆkˆk=QxPy. Por lo tanto, la forma de circulación del teorema de Green a veces se escribe como

CFdr=DcurlFˆkdA,

dondeC es una curva cerrada simple yD es la región encerrada porC. Por lo tanto, la forma de circulación del teorema de Green se puede escribir en términos del rizo. Si pensamos en curl como una especie de derivado, entonces el teorema de Green dice que el “derivado” deF en una región puede traducirse en una línea integral deF a lo largo del límite de la región. Esto es análogo al Teorema Fundamental del Cálculo, en el que la derivada de una funciónf en segmento de línea[a,b] puede traducirse en una declaraciónf sobre en el límite de[a,b]. Usando curl, podemos ver que la forma de circulación del teorema de Green es un análogo de mayor dimensión del Teorema Fundamental del Cálculo.

Ahora podemos usar lo que hemos aprendido sobre el curl para mostrar que los campos gravitacionales no tienen “giro”. Supongamos que hay un objeto en el origen con masam1 en el origen y un objeto con masam2. Recordemos que la fuerza gravitacional que el objeto 1 ejerce sobre el objeto 2 viene dada por campo

F(x,y,z)=Gm1m2x(x2+y2+z2)3/2,y(x2+y2+z2)3/2,z(x2+y2+z2)3/2.

Ejemplo16.5.7: Determining the Spin of a Gravitational Field

Demostrar que un campo gravitacional no tiene giro.

Solución

Para demostrar que noF tiene giro, calculamos su rizo. Let

  • P(x,y,z)=x(x2+y2+z2)3/2,
  • Q(x,y,z)=y(x2+y2+z2)3/2, y
  • R(x,y,z)=z(x2+y2+z2)3/2.

Entonces,

\ [\ begin {align*}\ text {curl}\,\ vecs {F} &= - GM_1m_2 [(R_y - Q_z)\ mathbf {\ hat i} + (P_z - R_x)\ mathbf {\ hat j} + (Q_x - P_y)\ mathbf {\ hat k}]\\ [4pt]
&= - gm= _1m_2\ begin {pmatrix}\ left (\ dfrac {-3yz} {(x^2 + y^2 + z^2) ^ {5/2}} -\ izquierda (\ dfrac {-3yz} {(x^2 + y^2 + z^2) ^ {5/2}}\ derecha)\ derecha)\ mathbf {\ hat i}\ nonumber\\ [4pt]
+\ izquierda (\ dfrac {-3xz} {(x^2 + y^2 + z^2) ^ {5/2}} -\ izquierda (\ dfrac {-3xz} {(x^2 + y^2 + z^2) ^ {5/2}}\ derecha)\ derecha)\ mathbf {\ sombrero}\ nonumber\\ [4pt]
+\ izquierda (\ dfrac {-3xy} {(x^2 + y^2 + z^2) ^ {5/2}} -\ izquierda (\ dfrac {-3xy} {(x^2 + y^2 + z^2) ^ {5/2}}\ derecha)\ derecha)\ mathbf {\ hat k}\ end {pmatrix}\\ [4pt]
&=\ vecs 0. \ end {alinear*}\]

Dado que el rizo del campo gravitacional es cero, el campo no tiene giro.

Ejercicio16.5.7

El campov(x,y)=yx2+y2,xx2+y2 modela el flujo de un fluido. Demuestre que si deja caer una hoja en este fluido, a medida que la hoja se mueve con el tiempo, la hoja no gira.

Pista

Calcula el rizo.

Contestar

curlv=0

Usando Divergencia y Curl

Ahora que entendemos los conceptos básicos de divergencia y rizo, podemos discutir sus propiedades y establecer relaciones entre ellos y los campos vectoriales conservadores.

SiF es un campo vectorial enR3 entonces el curl de tambiénF es un campo vectorial enR3. Por lo tanto, podemos tomar la divergencia de un rizo. El siguiente teorema dice que el resultado siempre es cero. Este resultado es útil porque nos da una manera de mostrar que algunos campos vectoriales no son el rizo de ningún otro campo. Para dar a este resultado una interpretación física, recordemos que la divergencia de un campo de velocidadv en un puntoP mide la tendencia del fluido correspondiente a fluir fuera de élP. Ya quediv(curlv)=0, la tasa neta de flujo en campo vectorialcurlv en cualquier punto es cero. Tomar el rizo del campo vectorialF elimina cualquier divergencia que estuviera presente enF.

Teorema: Divergencia del Curl

LetF=P,Q,R Ser un campo vectorial enR3 tal que todas las funciones componentes tengan derivadas parciales continuas de segundo orden. Entonces,

div(curlF)=(×F)=0.

Prueba

Por las definiciones de divergencia y rizo, y por el teorema de Clairaut,

div(curlF)=div[(RyQz)ˆi+(PzRx)ˆj+(QxPy)ˆk]=RyxQxz+PyzRyx+QzxPzy=0.

Ejemplo16.5.8: Showing That a Vector Field Is Not the Curl of Another

Mostrar que noF(x,y,z)=exˆi+yzˆj+xz2ˆk es el rizo de otro campo vectorial. Es decir, mostrar que no hay otro vectorG concurlG=F.

Solución

Observe que el dominio deF es todoR3 y los parciales de segundo orden deF son todos continuos. Por lo tanto, podemos aplicar el teorema anterior aF.

La divergencia deF esex+z+2xz. SiF fueran el rizo del campo vectorialG, entoncesdivF=div(curlG)=0. Pero, la divergencia de noF es cero, y por lo tanto noF es el rizo de ningún otro campo vectorial.

Ejercicio16.5.8

¿Es posible queG(x,y,z)=sinx,cosy,sin(xyz) sea el rizo de un campo vectorial?

Pista

Encuentra la divergencia deG.

Contestar

No.

Con los dos teoremas siguientes, mostramos que siF es un campo vectorial conservador entonces su curl es cero, y si el dominio deF está simplemente conectado entonces lo contrario también es cierto. Esto nos da otra manera de probar si un campo vectorial es conservador.

Teorema: Curl de un campo vectorial conservador

SiF=P,Q,R es conservador, entoncescurlF=0.

Prueba

Dado que los campos vectoriales conservadores satisfacen la propiedad de partidos cruzados, todos los parciales cruzados deF son iguales. Por lo tanto,

curlF=(RyQz)ˆi+(PzRx)ˆj+(QxPy)ˆk=0.

El mismo teorema es cierto para los campos vectoriales en un plano.

Dado que un campo vectorial conservador es el gradiente de una función escalar, el teorema anterior dice quecurl(f)=0 para cualquier función escalarf. En términos de nuestra notación de rizo,×(f)=0. Esta ecuación tiene sentido porque el producto cruzado de un vector consigo mismo es siempre el vector cero. A veces la ecuación×(f)=0 se simplifica como×=0.

Teorema: Prueba de Curl para un Campo Conservador

LetF=P,Q,R Ser un campo vectorial en el espacio en un dominio simplemente conectado. SicurlF=0, entoncesF es conservador.

Prueba

Ya quecurlF=0, tenemos esoRy=Qz,Pz=Rx, yQx=Py. Por lo tanto,F satisface la propiedad transversal parcial en un dominio simplemente conectado, y la Propiedad Cruz-Parcial de Campos Conservadores implica queF es conservadora.

El mismo teorema también es cierto en un plano. Por lo tanto, siF es un campo vectorial en un plano o en el espacio y el dominio simplemente está conectado, entoncesF es conservador si y solo sicurlF=0.

Ejemplo16.5.9: Testing Whether a Vector Field Is Conservative

Usa el rizo para determinar siF(x,y,z)=yz,xz,xy es conservador.

Solución

Tenga en cuenta que el dominio deF es todoR3 lo cual está simplemente conectado (Figura16.5.7). Por lo tanto, podemos probar siF es conservador calculando su rizo.

Diagrama que muestra el rizo de un campo vectorial en dos dimensiones. El rizo es cero. Las flechas parecen estar apuntando hacia arriba y hacia el plano yz.
Figura16.5.7: El rizo del campo vectorialF(x,y,z)=yz,xz,xy es cero.

El rizo deF es

(yxyzxz)ˆi+(yyzzxy)ˆj+(yxzzyz)ˆk=(xx)ˆi+(yy)ˆj+(zz)ˆk=0.

Así,F es conservador.

Hemos visto que el rizo de un gradiente es cero. ¿Cuál es la divergencia de un gradiente? Sif es una función de dos variables, entoncesdiv(f)=(f)=fxx+fyy. Abreviamos este “producto de doble punto” como2. Este operador se llama operador Laplace, y en esta notación se convierte la ecuación de Laplace2f=0. Por lo tanto, una función armónica es una función que se convierte en cero después de tomar la divergencia de un gradiente.

Del mismo modo, sif es una función de tres variables entonces

div(f)=(f)=fxx+fyy+fzz.

Usando esta notación obtenemos la ecuación de Laplace para funciones armónicas de tres variables:

2f=0.

Las funciones armónicas surgen en muchas aplicaciones. Por ejemplo, la función potencial de un campo electrostático en una región del espacio que no tiene carga estática es armónica.

Ejemplo16.5.10: Finding a Potential Function

¿Es posible quef(x,y)=x2+xy sea la función potencial de un campo electrostático que se ubica en una regiónR2 libre de carga estática?

Solución

Sif fuera tal función potencial, entoncesf sería armónico. Tenga en cuenta quefxx=2 yfyy=0, y asífxx+fyy0. Por lo tanto, nof es armónico yf no puede representar un potencial electrostático.

Ejercicio16.5.10

¿Es posible que la funciónf(x,y)=x2y2+x sea la función potencial de un campo electrostático ubicado en una regiónR2 libre de carga estática?

Pista

Determinar si la función es armónica.

Contestar

Sí.

Conceptos clave

  • La divergencia de un campo vectorial es una función escalar. La divergencia mide el “flujo de salida” de un campo vectorial. Siv es el campo de velocidad de un fluido, entonces la divergencia dev en un punto es la salida del fluido menos la entrada en el punto.
  • El rizo de un campo vectorial es un campo vectorial. El rizo de un campo vectorial en el puntoP mide la tendencia de las partículasP a girar alrededor del eje que apunta en la dirección del rizo enP.
  • Un campo vectorial con un dominio simplemente conectado es conservador si y solo si su curl es cero.

Ecuaciones Clave

  • Curl

×F=(RyQz)ˆi+(PzRx)ˆj+(QxPy)ˆk

  • Divergencia

F=Px+Qy+Rz

  • La divergencia del rizo es cero

(×F)=0

  • Curl de un gradiente es el vector cero

×(f)=0

Glosario

rizo
el rizo del campo vectorialF=P,Q,R, denotado×F es el “determinante” de la matriz|ˆiˆjˆkxyzPQR|. y viene dado por la expresión(RyQz)ˆi+(PzRx)ˆj+(QxPy)ˆk; mide la tendencia de las partículas en un punto a girar alrededor del eje que apunta en la dirección del rizo en el punto
divergencia
la divergencia de un campo vectorialF=P,Q,R, denotado×F, esPx+Qy+Rz; mide el “flujo de salida” de un campo vectorial

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