8.2: Serie Geométrica

Preguntas Motivadoras

• ¿Qué es una serie geométrica?
• ¿Qué es una suma parcial de una serie geométrica? ¿Qué es una forma simplificada de la\(n\) suma parcial de una serie geométrica?
• ¿Bajo qué condiciones converge una serie geométrica? ¿Cuál es la suma de una serie geométrica convergente?

Muchas secuencias importantes se generan por adición. En Preview Activity 8.2.1, vemos un ejemplo de una secuencia que está conectada a una suma.

Vista previa de la actividad 8.2.1

La warfarina es un anticoagulante que previene la coagulación de la sangre; muchas veces se prescribe a las víctimas de un ictus con el fin de ayudar a asegurar el flujo sanguíneo. El nivel de warfarina tiene que alcanzar cierta concentración en la sangre para ser efectivo.

Supongamos que la warfarina es tomada por un paciente en particular en una dosis de 5 mg cada día. El fármaco es absorbido por el cuerpo y parte se excreta del sistema entre dosis. Supongamos que al término de un periodo de 24 horas, el 8% de la droga permanece en el cuerpo. Dejar\(Q(n)\) ser la cantidad (en mg) de warfarina en el cuerpo antes de que se administre la\((n+1)\) st dosis del medicamento.

1. Explique por qué\(Q(1) = 5 \times 0.08\) mg.
2. Explique por qué\(Q(2) = (5+Q(1)) \times 0.08\) mg. Entonces demuéstralo

   \[ Q(2) = (5 \times 0.08)\left(1+0.08\right) \text{mg}\text{.} \nonumber \]

3. Explique por qué\(Q(3) = (5+Q(2)) \times 0.08\) mg. Entonces demuéstralo
   \[ Q(3) = (5 \times 0.08)\left(1+0.08+0.08^2\right) \text{mg}\text{.} \nonumber \]
4. Explique por qué\(Q(4) = (5+Q(3)) \times 0.08\) mg. Entonces demuéstralo
   \[ Q(4) = (5 \times 0.08)\left(1+0.08+0.08^2+0.08^3\right) \text{mg}\text{.} \nonumber \]
5. Hay un patrón que deberías ver emergiendo. Utilice este patrón para encontrar una fórmula para\(Q(n)\text{,}\) donde\(n\) es un entero positivo arbitrario.
6. Completa la Tabla 8.2.1 con valores de\(Q(n)\) para los\(n\) valores proporcionados (reportando\(Q(n)\) a 10 decimales). ¿Qué parece estar pasando con la secuencia a\(Q(n)\) medida que\(n\) aumenta?

   Cuadro 8.2.1. Valores de\(Q(n)\) para valores seleccionados de\(n\)

   \(n\)	\(1\)	\(2\)	\(3\)	\(4\)	\(5\)	\(6\)	\(7\)	\(8\)	\(9\)	\(10\)
   \(Q(n)\)	\(0.40\)

8.2.1 Serie geométrica

En Vista previa Actividad 8.2.1 encontramos la suma

\[ (5 \times 0.08)\left(1+0.08+0.08^2+0.08^3+ \cdots + 0.08^{n-1}\right) \nonumber \]

para el nivel a largo plazo de Warfarina en el sistema del paciente. Esta suma tiene la forma

\[ a+ar+ar^2+ \cdots + ar^{n-1}\label{AuQ}\tag{8.2.1} \]

donde\(a=5 \times 0.08\) y\(r=0.08\text{.}\) Tal suma se llama una serie geométrica finita con relación\(r\text{.}\)

Actividad 8.2.2

Dejar\(a\) y\(r\) ser números reales (con\(r \ne 1\)) y dejar

\[ S_n = a+ar+ar^2 + \cdots + ar^{n-1}\text{.} \nonumber \]

En esta actividad encontraremos una fórmula de atajo para\(S_n\) que no implique una suma de\(n\) términos.

1. Multiplicar\(S_n\) por\(r\text{.}\) ¿Cómo se ve la suma resultante?
2. Restar\(rS_n\)\(S_n\) y explicar por qué
   \[ S_n - rS_n = a - ar^n\text{.}\label{RRw}\tag{8.2.2} \]
3. Resolver ecuación (8.2.2)\(S_n\) para encontrar una fórmula simple para\(S_n\) que no implique agregar\(n\) términos.

La suma de los términos de una secuencia se llama serie. Resumimos el resultado de la Actividad 8.2.2 de la siguiente manera.

Nota

Una serie geométrica finita\(S_n\) es una suma de la forma

\[ S_n = a + ar + ar^2 + \cdots + ar^{n-1}\text{,}\label{gBZ}\tag{8.2.3} \]

donde\(a\) y\(r\) son números reales tales que\(r \ne 1\text{.}\) La serie geométrica finita se\(S_n\) puede escribir de manera más simple como

\[ S_n = a+ar+ar^2+ \cdots + ar^{n-1} = \frac{a(1-r^n)}{1-r}\text{.}\label{MJi}\tag{8.2.4} \]

Ahora aplicamos la Ecuación (8.2.4) al ejemplo que involucra Warfarina de la Actividad Previa 8.2.1. Recordemos que

\[ Q(n)=(5 \times 0.08)\left(1+0.08+0.08^2+0.08^3+ \cdots + 0.08^{n-1}\right) \text{mg}\text{,} \nonumber \]

así\(Q(n)\) es una serie geométrica con\(a=5 \times 0.08 = 0.4\) y\(r = 0.08\text{.}\) Así,

\[ Q(n) = 0.4\left(\frac{1-0.08^n}{1-0.08}\right) = \frac{1}{2.3} \left(1-0.08^n\right)\text{.} \nonumber \]

Observe que como\(n\) va al infinito, el valor de\(0.08^n\) va a 0. Entonces,

\[ \lim_{n \to \infty} Q(n) = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{2.3} \left(1-0.08^n\right) = \frac{1}{2.3} \approx 0.435\text{.} \nonumber \]

Por lo tanto, el nivel a largo plazo de Warfarina en la sangre bajo estas condiciones es el\(\frac{1}{2.3}\text{,}\) cual es de aproximadamente 0.435 mg.

Para determinar el efecto a largo plazo de la Warfarina, consideramos una serie geométrica finita de\(n\) términos, para luego considerar lo que sucedió ya que\(n\) se permitió crecer sin ataduras. En este sentido, en realidad nos interesaba una serie geométrica infinita (el resultado de dejar\(n\) ir al infinito en la suma finita).

Definición 8.2.2

Una serie geométrica infinita es una suma infinita de la forma

\[ a + ar + ar^2 + \cdots = \sum_{n=0}^{\infty} ar^n\text{.}\label{llS}\tag{8.2.5} \]

El valor de\(r\) en la serie geométrica (8.2.5) se llama la relación común de la serie porque la relación del (\(n+1\)) st término,\(ar^n\text{,}\) al término\(n\) th,\(ar^{n-1}\text{,}\) es siempre\(r\text{:}\)

\[ \frac{ar^n}{ar^{n-1}} = r\text{.} \nonumber \]

Las series geométricas son comunes en las matemáticas y surgen naturalmente en muchas situaciones diferentes. Como ejemplo familiar, supongamos que queremos escribir el número con expansión decimal repetida

\[ N=0.1212\overline{12} \nonumber \]

como un número racional. Observe que

\ begin {alinear*} N & = 0.12 + 0.0012 + 0.000012 +\ cdots\\ [4pt] & =\ izquierda (\ frac {12} {100}\ derecha) +\ izquierda (\ frac {12} {100}\ derecha)\ izquierda (\ frac {1} {100}\ derecha) +\ izquierda (\ frac {12} {100}\ derecha) izquierda\ (\ frac {1} {100}\ derecha) ^2 +\ cdots\ texto {.} \ end {alinear*}

Esta es una serie geométrica infinita con\(a=\frac{12}{100}\) y\(r = \frac{1}{100}\text{.}\)

Mediante el uso de la fórmula para el valor de una suma geométrica finita, también podemos desarrollar una fórmula para el valor de una serie geométrica infinita. Exploramos esta idea en la siguiente actividad.

Actividad 8.2.3

Dejar\(r \ne 1\) y\(a\) ser números reales y dejar

\[ S = a+ar+ar^2 + \cdots ar^{n-1} + \cdots \nonumber \]

ser una serie geométrica infinita. Para cada entero positivo\(n\text{,}\) let

\[ S_n = a+ar+ar^2 + \cdots + ar^{n-1}\text{.} \nonumber \]

Recordemos que

\[ S_n = a\frac{1-r^n}{1-r}\text{.} \nonumber \]

1. Qué debemos\(n\) permitir acercarnos para tener\(S_n\) acercamiento\(S\text{?}\)
2. Cuál es el valor de\(\lim_{n \to \infty} r^n\)\(|r| \gt 1\text{?}\) para\(|r| \lt 1\text{?}\) Explique.
3. Si\(|r| \lt 1\text{,}\) usa la fórmula para\(S_n\) y sus observaciones en (a) y (b) para explicar por qué\(S\) es finito y encuentre una fórmula resultante para\(S\text{.}\)

Ahora podemos encontrar el valor de la serie geométrica

\[ N = \left(\frac{12}{100}\right) + \left(\frac{12}{100}\right)\left(\frac{1}{100}\right) + \left(\frac{12}{100}\right)\left(\frac{1}{100}\right)^2 + \cdots\text{.} \nonumber \]

Usando\(a = \frac{12}{100}\) y\(r = \frac{1}{100}\text{,}\) vemos que

\[ N = \frac{12}{100} \left(\frac{1}{1-\frac{1}{100}}\right) = \frac{12}{100} \left(\frac{100}{99}\right) = \frac{4}{33}\text{.} \nonumber \]

La suma de un número finito de términos de una serie geométrica infinita a menudo se denomina suma parcial de la serie. Por lo tanto,

\[ S_n = a+ar+ar^2 + \cdots + ar^{n-1} = \sum_{k=0}^{n-1} ar^k\text{.} \nonumber \]

se llama la\(n\) th suma parcial de la serie\(\sum_{k=0}^{\infty} ar^k\text{.}\) Resumimos nuestro trabajo reciente con series geométricas de la siguiente manera.

Nota

• Una serie geométrica infinita es una suma infinita de la forma
  \[ a + ar + ar^2 + \cdots = \sum_{n=0}^{\infty} ar^n\text{,}\label{Ckd}\tag{8.2.6} \]

  donde\(a\) y\(r\) son números reales tales que\(r \ne 0\text{.}\)

• La\(n\) suma parcial\(S_n\) de una serie geométrica infinita es
  \[ S_n = a+ar+ar^2+ \cdots + ar^{n-1}\text{.} \nonumber \]
• Si\(|r| \lt 1\text{,}\) entonces usando el hecho de que\(S_n = a\frac{1-r^n}{1-r}\text{,}\) se deduce que la suma\(S\) de la serie geométrica infinita (8.2.6) es
  \[ S = \lim_{n \to \infty} S_n = \lim_{n \to \infty} a\frac{1-r^n}{1-r} = \frac{a}{1-r} \nonumber \]

Actividad 8.2.4

Las fórmulas que hemos derivado para una serie geométrica infinita y su suma parcial han asumido que comenzamos a indexar las sumas en\(n=0\text{.}\) Si en cambio tenemos una suma que no comienza en\(n=0\text{,}\) podemos facturar términos comunes y usar las fórmulas establecidas. Este proceso se ilustra en los ejemplos de esta actividad.

1. Considera la suma
   \[ \sum_{k=1}^{\infty} (2)\left(\frac{1}{3}\right)^k = (2)\left(\frac{1}{3}\right) + (2)\left(\frac{1}{3}\right)^2 + (2)\left(\frac{1}{3}\right)^3 + \cdots\text{.} \nonumber \]

   Eliminar el factor común de\((2)\left(\frac{1}{3}\right)\) de cada término y de ahí encontrar la suma de la serie.

2. Siguiente dejar\(a\) y\(r\) ser números reales con\(-1\lt r\lt 1\text{.}\) Considera la suma
   \[ \sum_{k=3}^{\infty} ar^k = ar^3+ar^4+ar^5 + \cdots\text{.} \nonumber \]

   Eliminar el factor común de\(ar^3\) de cada término y encontrar la suma de la serie.

3. Por último, consideramos el caso más general. Let\(a\) y\(r\) ser números reales con\(-1\lt r\lt 1\text{,}\) let\(n\) ser un entero positivo, y considerar la suma
   \[ \sum_{k=n}^{\infty} ar^k = ar^n+ar^{n+1}+ar^{n+2} + \cdots\text{.} \nonumber \]

   Eliminar el factor común de\(ar^n\) de cada término para encontrar la suma de la serie.

8.2.2 Resumen

• Una serie geométrica infinita es una suma infinita de la forma
  \[ \sum_{k=0}^{\infty} ar^k \nonumber \]

  donde\(a\) y\(r\) son números reales y\(r \neq 0\text{.}\)

• La\(n\) suma parcial de la serie geométrica\(\sum_{k=0}^{\infty} ar^k\) es
  \[ S_n = \sum_{k=0}^{n-1} ar^k\text{.} \nonumber \]

  Una fórmula para la\(n\) suma parcial de una serie geométrica es

  \[ S_n = a \frac{1-r^n}{1-r}\text{.} \nonumber \]

  Si\(|r| \lt 1\text{,}\) la serie geométrica infinita\(\sum_{k=0}^{\infty} ar^k\) tiene la suma finita\(\frac{a}{1-r}\text{.}\)