10.7: Optimización

Preguntas Motivadoras

• ¿Cómo podemos encontrar los puntos en los que\(f(x,y)\) tiene un máximo o mínimo local?
• ¿Cómo podemos determinar si los puntos críticos de\(f(x,y)\) son máximos o mínimos locales?
• ¿Cómo podemos encontrar el máximo y mínimo absoluto de\(f(x,y)\) en un dominio cerrado y acotado?

Aprendemos en el cálculo de una sola variable que la derivada es una herramienta útil para encontrar los máximos y mínimos locales de funciones, y que estas ideas pueden emplearse a menudo en entornos aplicados. En particular, si una función\(f\text{,}\) como la que se muestra en la Figura 10.7.1 es en todas partes diferenciable, sabemos que la línea tangente es horizontal en cualquier punto donde\(f\) tenga un máximo o mínimo local. Esto, por supuesto, significa que la derivada\(f'\) es cero en cualquier punto de ese tipo. De ahí que una forma en que busquemos valores extremos de una función dada es encontrar primero dónde la derivada de la función es cero.

Figura 10.7.1. La gráfica de\(y=f(x)\text{.}\)

En el cálculo multivariable, a menudo estamos igualmente interesados en encontrar el mayor y/o menor valor (es) que una función pueda lograr. Además, hay muchos ajustes aplicados en los que una cantidad de interés depende de varias variables diferentes. En la siguiente actividad de vista previa, comenzamos a ver cómo algunas ideas clave en el cálculo multivariable pueden ayudarnos a responder tales preguntas pensando en la geometría de la superficie generada por una función de dos variables.

Vista previa de Actividad 10.7.1

Dejar\(z = f(x,y)\) ser una función diferenciable, y supongamos que en el punto\((x_0, y_0)\text{,}\)\(f\) logra un máximo local. Es decir, el valor de\(f(x_0,y_0)\) es mayor que el valor de\(f(x,y)\) para todos los\((x,y)\) cercanos\((x_0,y_0)\text{.}\) Puede resultarle útil esbozar una imagen aproximada de una posible función\(f\) que tenga esta propiedad.

1. Si consideramos la traza dada por mantener\(y=y_0\) constante, entonces la función de variable única definida por\(f(x, y_0)\) debe tener un máximo local en\(x_0\text{.}\) ¿Qué dice esto sobre el valor de la derivada parcial\(f_x(x_0,y_0)\text{?}\)
2. De la misma manera, la traza dada por mantener\(x=x_0\) constante tiene un máximo local en\(y=y_0\text{.}\) Qué dice esto sobre el valor de la derivada parcial\(f_y(x_0,y_0)\text{?}\)
3. ¿Qué podemos concluir ahora sobre el gradiente\(\nabla f(x_0,y_0)\) en el máximo local? ¿Cómo es esto consistente con la afirmación “\(f\)aumenta más rápidamente en la dirección\(\nabla f(x_0,y_0)\text{?}\)”
4. Cómo aparecerá el plano tangente a la superficie\(z = f(x,y)\) en el punto\((x_0, y_0, f(x_0,y_0))\text{?}\)
5. Al computar primero las derivadas parciales, encuentra cualquier punto en el que\(f(x,y) = 2x - x^2 - (y + 2)^2\) pueda tener un máximo local.

10.7.1 Puntos Extremos y Críticos

Una de las aplicaciones importantes del cálculo de una sola variable es el uso de derivadas para identificar extremos locales de funciones (es decir, máximos locales y mínimos locales). Usando las herramientas que hemos desarrollado hasta ahora, podemos extender naturalmente el concepto de máximos y mínimos locales a varias funciones variables.

Definición 10.7.2

Dejar\(f\) ser una función de dos variables\(x\) y\(y\text{.}\)

• La función\(f\) tiene un máximo local en un punto\((x_0,y_0)\) siempre que\(f(x,y) \leq f(x_0,y_0)\) para todos los puntos\((x,y)\) cercanos\((x_0,y_0)\text{.}\) En esta situación decimos que\(f(x_0, y_0)\) es un valor máximo local.
• La función\(f\) tiene un mínimo local en un punto\((x_0,y_0)\) siempre que\(f(x,y) \geq f(x_0,y_0)\) para todos los puntos\((x,y)\) cercanos\((x_0,y_0)\text{.}\) En esta situación decimos que\(f(x_0, y_0)\) es un valor mínimo local.
• Un punto máximo absoluto es un punto\((x_0,y_0)\) para el cual\(f(x,y)\leq f(x_0,y_0)\) para todos los puntos\((x,y)\) en el dominio de\(f\text{.}\) El valor de\(f\) en un punto máximo absoluto es el valor máximo de\(f\text{.}\)
• Un punto mínimo absoluto es un punto tal que\(f(x,y) \geq f(x_0,y_0)\) para todos los puntos\((x,y)\) en el dominio de\(f\text{.}\) El valor de\(f\) en un punto mínimo absoluto es el valor mínimo de\(f\text{.}\)

Utilizamos el término punto extremo para referirnos a cualquier punto\((x_0,y_0)\) en el que\(f\) tenga un máximo o mínimo local. Además, el valor de la función\(f(x_0,y_0)\) en un extremo se denomina valor extremo. La Figura 10.7.3 ilustra las gráficas de dos funciones que tienen un máximo absoluto y un mínimo, respectivamente, en el origen\((x_0,y_0) = (0,0)\text{.}\)

Figura 10.7.3. Un máximo absoluto y un mínimo absoluto

En el cálculo de una sola variable, vimos que los extremos de una función continua\(f\) siempre ocurren en puntos críticos, valores de\(x\) donde\(f\) no puede ser diferenciable o donde\(f'(x) = 0\text{.}\) dicho de manera diferente, los puntos críticos proporcionan las ubicaciones donde los extremos de una función pueden aparecen. Nuestro trabajo en Preview Activity 10.7.1 sugiere que algo similar sucede con funciones de dos variables.

Supongamos que una función continua\(f\) tiene un extremo\((x_0,y_0)\text{.}\) en En este caso, la traza\(f(x,y_0)\) tiene un extremo en lo\(x_0\text{,}\) que significa que\(x_0\) es un valor crítico de\(f(x,y_0)\text{.}\) Por lo tanto, o bien\(f_x(x_0,y_0)\) no existe o de\(f_x(x_0,y_0) = 0\text{.}\) manera similar, o bien\(f_y(x_0,y_0)\) no existe o\(f_y(x_0,y_0) = 0\text{.}\) Esto implica que los extremos de una función de dos variables ocurren en puntos que satisfacen la siguiente definición.

Definición 10.7.4

Un punto crítico\((x_0,y_0)\) de una función\(f=f(x,y)\) es un punto en el dominio de\(f\) en el que\(f_x(x_0,y_0) = 0\) y\(f_y(x_0,y_0) = 0\text{,}\) o tal que uno de\(f_x(x_0,y_0)\)\(f_y(x_0,y_0)\) o no existe.

Por lo tanto, podemos encontrar puntos críticos de una función\(f\) calculando derivadas parciales e identificando cualquier valor\((x,y)\) para el que uno de los parciales no exista o para el que ambas derivadas parciales sean simultáneamente cero. Para esto último, tenga en cuenta que tenemos que resolver el sistema de ecuaciones

\ begin {align*} f_x (x, y) & = 0\\ [4pt] f_y (x, y) & = 0. \ end {alinear*}

Actividad 10.7.2

Encuentra los puntos críticos de cada una de las siguientes funciones. Luego, utilizando la tecnología apropiada, grafica las gráficas de las superficies cercanas a cada punto crítico y compara la gráfica con tu trabajo.

1. \(\displaystyle f(x,y) = 2+x^2+y^2\)
2. \(\displaystyle f(x,y) = 2 + x^2 - y^2\)
3. \(\displaystyle f(x,y) = 2x-x^2-\frac{1}{4}y^2\)
4. \(\displaystyle f(x,y) = |x| + |y|\)
5. \(f(x,y) = 2xy - 4x + 2y - 3\text{.}\)

10.7.2 Clasificación de Puntos Críticos: La Prueba de la Segunda Derivada

Si bien los extremos de una función continua\(f\) siempre ocurren en puntos críticos, es importante señalar que no todos los puntos críticos conducen a un extremo. Recordemos, por ejemplo,\(f(x) = x^3\) del cálculo de una sola variable. Sabemos que\(x_0=0\) es un punto crítico ya que\(f'(x_0) = 0\text{,}\) pero no\(x_0 = 0\) es ni un máximo local ni un mínimo local de\(f\text{.}\)

Una situación similar puede surgir en un entorno multivariable. Considere la función\(f\) definida por\(f(x,y) = x^2 - y^2\) cuya gráfica y gráfica de contorno se muestran en la Figura 10.7.5. Porque\(\nabla f = \langle 2x, -2y\rangle\text{,}\) vemos que el origen\((x_0,y_0)=(0,0)\) es un punto crítico. Sin embargo, este punto crítico no es ni un máximo o mínimo local; el origen es un mínimo local en la traza definida por\(y=0\text{,}\) mientras que el origen es un máximo local en la traza definida por\(x=0\text{.}\) Llamamos a tal punto crítico un punto de silla de montar debido a la forma de la gráfica cerca de la crítica punto.

Figura 10.7.5. Una punta de sillín.

Al igual que en el cálculo de una sola variable, nos gustaría tener algún tipo de prueba que nos ayude a identificar si un punto crítico es un máximo local, máximo local, o ninguno de los dos.

Actividad 10.7.3

Recordemos que la Prueba de Segunda Derivada para funciones de una sola variable establece que si\(x_0\) es un punto crítico de una función de\(f\) manera que\(f'(x_0)=0\) y si\(f''(x_0)\) existe, entonces

• si\(f''(x_0) \lt 0\text{,}\)\(x_0\) es un máximo local,
• si\(f''(x_0) > 0\text{,}\)\(x_0\) es un mínimo local, y
• si\(f''(x_0) = 0\text{,}\) esta prueba no arroja información.

Nuestro objetivo en esta actividad es comprender una prueba similar para clasificar valores extremos de funciones de dos variables. Considere las siguientes tres funciones:

\[ f_1(x,y) = 4-x^2-y^2, \ \ f_2(x,y) = x^2+y^2, \ \ f_3(x,y) = x^2-y^2. \nonumber \]

Puedes verificar que cada función tenga un punto crítico en el origen\((0,0)\text{.}\) Debes verificar esto.

Figura 10.7.6. Tres superficies.

1. Las gráficas de estas tres funciones se muestran en la Figura 10.7.6, con\(z=4-x^2-y^2\) a la izquierda,\(z=x^2+y^2\) en el medio y\(z=x^2-y^2\) a la derecha. Utilice las gráficas para decidir si una función tiene un máximo local, un mínimo local, un punto de sillín o ninguno de los anteriores en el origen.
2. No existe una sola segunda derivada de una función de dos variables, por lo que consideramos una cantidad que combina las derivadas parciales de segundo orden. Deje\(D = f_{xx}f_{yy} - f_{xy}^2\text{.}\) Calcular\(D\) en el origen para cada una de las funciones\(f_1\text{,}\)\(f_2\text{,}\) y\(f_3\text{.}\) ¿Qué diferencia nota entre los valores de\(D\) cuando una función tiene un valor máximo o mínimo en el origen versus cuando una función tiene un punto de sillín en el origen?
3. Consideremos ahora los casos donde\(D \gt 0\text{.}\) Es en estos casos que una función tiene un máximo o mínimo local en un punto. Lo que es necesario en estos casos es encontrar una condición que distinga entre un máximo y un mínimo. En los casos donde\(D \gt 0\) en el origen, evaluar\(f_{xx}(0,0)\text{.}\) ¿Qué valor\(f_{xx}(0,0)\) tiene cuando\(f\) tiene un valor máximo local en el origen? ¿Cuándo\(f\) tiene un valor mínimo local en el origen? Explique por qué. (Pista: Esto debería ser muy similar a la Prueba de Segunda Derivada para funciones de una sola variable.) ¿Qué pasaría si consideráramos los valores de\(f_{yy}(0,0)\) en su lugar?

La Actividad 10.7.3 proporciona las ideas básicas para la Prueba de Segunda Derivada para funciones de dos variables.

La Segunda Prueba Derivada

Supongamos que\((x_0,y_0)\) es un punto crítico de la función\(f\) para la cual\(f_x(x_0,y_0) = 0\) y\(f_y(x_0,y_0) = 0\text{.}\) Let\(D\) sea la cantidad definida por

\[ D = f_{xx}(x_0,y_0) f_{yy}(x_0,y_0) - f_{xy}(x_0,y_0)^2. \nonumber \]

• Si\(D>0\) y\(f_{xx}(x_0,y_0) \lt 0\text{,}\) luego\(f\) tiene un máximo local en\((x_0,y_0)\text{.}\)
• Si\(D>0\) y\(f_{xx}(x_0,y_0) > 0\text{,}\) luego\(f\) tiene un mínimo local en\((x_0,y_0)\text{.}\)
• Si\(D \lt 0\text{,}\) entonces\(f\) tiene un punto de sillín en\((x_0,y_0)\text{.}\)
• Si\(D = 0\text{,}\) entonces esta prueba no arroja información sobre lo que sucede en\((x_0,y_0)\text{.}\)

La cantidad\(D\) se llama el discriminante de la función\(f\) en\((x_0,y_0)\text{.}\)

Para comprender adecuadamente el origen de la Prueba de Segunda Derivada, podríamos introducir una “derivada direccional de segundo orden”. Si esta derivada direccional de segundo orden fuera negativa en todas las direcciones, por ejemplo, podríamos garantizar que el punto crítico es un máximo local. Una justificación completa de la Prueba de Segunda Derivada requiere ideas clave del álgebra lineal que están más allá del alcance de este curso, por lo que en lugar de presentar una explicación detallada, aceptaremos esta prueba como se indica. En la Actividad 10.7.4, aplicamos la prueba a ejemplos más complicados.

Actividad 10.7.4

Encuentre los puntos críticos de las siguientes funciones y utilice la Prueba de Segunda Derivada para clasificar los puntos críticos.

1. \(\displaystyle f(x,y) = 3x^3+y^2-9x+4y\)
2. \(\displaystyle f(x,y) = xy + \frac{2}{x} + \frac{4}{y}\)
3. \(f(x,y) = x^3 + y^3 - 3xy\text{.}\)

Como aprendimos en el cálculo de una sola variable, encontrar valores extremos de funciones puede ser particularmente útil en entornos aplicados. Por ejemplo, a menudo podemos usar el cálculo para determinar la forma menos costosa de construir algo o para encontrar la ruta más eficiente entre dos ubicaciones. La misma posibilidad se mantiene en escenarios con dos o más variables.

Actividad 10.7.5

Si bien la cantidad de un producto demandada por los consumidores suele ser una función del precio del producto, la demanda de un producto también puede depender del precio de otros productos. Por ejemplo, la demanda de jeans azules en Old Navy puede verse afectada no sólo por el precio de los propios jeans, sino también por el precio de los caquis.

Supongamos que tenemos dos bienes cuyos respectivos precios son\(p_1\) y\(p_2\text{.}\) La demanda de estos bienes,\(q_1\) y\(q_2\text{,}\) dependemos de los precios como

\ begin {align} q_1 & = 150 - 2p_1 - p_2\ label {eq_good1}\ tag {10.7.1}\\ [4pt] q_2 & = 200 - p_1 - 3p_2. \ label {eq_good2}\ tag {10.7.2}\ end {align}

Al vendedor le gustaría fijar los precios\(p_1\) y con el\(p_2\) fin de maximizar los ingresos. Asumiremos que el vendedor satisface toda la demanda de cada producto. Así, si dejamos\(R\) ser los ingresos obtenidos por la venta de\(q_1\) artículos del primer bien a precio\(p_1\) por artículo y\(q_2\) artículos del segundo bien a precio\(p_2\) por artículo, tenemos

\[ R = p_1q_1 + p_2q_2. \nonumber \]

Entonces podemos escribir los ingresos en función de solo las dos variables\(p_1\) y\(p_2\) usando las Ecuaciones (10.7.1) y (10.7.2), dándonos

\ begin {align*} R (p_1, p_2) & = p_1 (150 - 2p_1 - p_2) + p_2 (200 - p_1 - 3p_2)\\ [4pt] & = 150p_1 + 200p_2 - 2p_1p_2 -2p_1^2 - 3p_2^2. \ end {alinear*}

Una gráfica de\(R\) como función de\(p_1\) y\(p_2\) se muestra en la Figura 10.7.7.

Figura 10.7.7. Una función de ingresos.

1. Encuentra todos los puntos críticos de la función de ingresos,\(R\text{.}\) (Pista: Se debe obtener un sistema de dos ecuaciones en dos incógnitas que se pueden resolver por eliminación o sustitución.)
2. Aplicar la Prueba de Segunda Derivada para determinar el tipo de cualquier punto crítico.
3. ¿Dónde debe fijar el vendedor los precios\(p_1\) y\(p_2\) maximizar los ingresos?

10.7.3 Optimización en un Dominio Restringido

La Prueba de Segunda Derivada nos ayuda a clasificar los puntos críticos de una función, pero no nos dice si la función realmente tiene un máximo o mínimo absoluto en cada uno de esos puntos. Para las funciones de una sola variable, el Teorema del Valor Extremo nos dijo que una función continua en un intervalo cerrado\([a, b]\) siempre tiene tanto un máximo absoluto como un mínimo en ese intervalo, y que estos extremos absolutos deben ocurrir ya sea en un punto final o en un punto crítico. Así, para encontrar el máximo y mínimo absolutos, determinamos los puntos críticos en el intervalo y luego evaluamos la función en estos puntos críticos y en los puntos finales del intervalo. Un enfoque similar funciona para funciones de dos variables.

Para las funciones de dos variables, las regiones cerradas y delimitadas desempeñan el papel que hicieron los intervalos cerrados para las funciones de una sola variable. Una región cerrada es una región que contiene su límite (el disco unitario\(x^2+y^2 \leq 1\) está cerrado, mientras que su interior no lo\(x^2+y^2 \lt 1\) es, por ejemplo), mientras que una región delimitada es aquella que no se extiende hasta el infinito en ninguna dirección. Al igual que para las funciones de una sola variable, las funciones continuas de varias variables que se definen en regiones cerradas y delimitadas deben tener máximos y mínimos absolutos en esas regiones.

El Teorema del Valor Extremo

Dejar\(f= f(x,y)\) ser una función continua en una región cerrada y delimitada\(R\text{.}\) Entonces\(f\) tiene un máximo absoluto y un mínimo absoluto en\(R\text{.}\)

Los extremos absolutos deben ocurrir ya sea en un punto crítico en el interior de\(R\) o en un punto límite de\(R\text{.}\) Por lo tanto, debemos probar ambas posibilidades, como demostramos en el siguiente ejemplo.

Ejemplo 10.7.8

Supongamos que la\(T\) temperatura en cada punto de la placa circular\(x^2+y^2 \leq 1\) viene dada por

\[ T(x,y) = 2x^2+y^2-y. \nonumber \]

El dominio\(R=\{(x,y):x^2+y^2 \leq 1\}\) es una región cerrada y acotada, como se muestra a la izquierda de la Figura 10.7.9, por lo que el Teorema del Valor Extremo nos asegura que\(T\) tiene un máximo y mínimo absoluto en la placa. La gráfica de\(T\) sobre su dominio\(R\) se muestra en la Figura 10.7.9. Encontraremos los puntos más calientes y fríos en el plato.

Figura 10.7.9. Dominio de la temperatura\(T(x,y) = 2x^2+y^2-y\) y su gráfica.

Si el máximo o mínimo absoluto ocurre dentro del disco, será en un punto crítico por lo que comenzamos por buscar puntos críticos dentro del disco. Para ello, observe que los puntos críticos vienen dados por las condiciones\(T_x= 4x=0\) y\(T_y=2y - 1=0\text{.}\) Esto significa que hay un punto crítico de la función en el punto\((x_0,y_0) =(0,1/2)\text{,}\) que se encuentra dentro del disco.

Ahora encontramos los puntos más calientes y fríos en el límite del disco, que es el círculo del radio 1. Como hemos visto, los puntos en el círculo unitario se pueden parametrizar como

\[ x(t) = \cos(t), \ y(t) = \sin(t), \nonumber \]

donde\(0\leq t \leq 2\pi\text{.}\) La temperatura en un punto del círculo es luego descrita por

\[ T(x(t), y(t)) = 2\cos^2(t) + \sin^2(t) - \sin(t). \nonumber \]

Para encontrar los puntos más calientes y fríos en el límite, buscamos los puntos críticos de esta función de variable única en el intervalo\(0\leq t\leq 2\pi\text{.}\) Tenemos

\ begin {alinear*}\ frac {dT} {dt} & = -4\ cos (t)\ sin (t) + 2\ cos (t)\ sin (t) -\ cos (t)\\ [4pt] & = -2\ cos (t)\ sin (t) -\ cos (t) =\ cos (t) (-2\ sin (t) - 1)\\ [4pt] & = 0. \ end {alinear*}

Esto demuestra que tenemos puntos críticos cuando\(\cos(t) = 0\) o\(\sin(t) = -1/2\text{.}\) Esto ocurre cuando\(t=\pi/2\text{,}\)\(3\pi/2\text{,}\)\(7\pi/6\text{,}\) y\(11\pi/6\text{.}\) Ya que tenemos\(x(t) = \cos(t)\) y\(y(t) = \sin(t)\text{,}\) los puntos correspondientes son

\(\bullet\ \ (x,y) = (0,1)\)cuando\(t = \frac{\pi}{2}\text{,}\)

\(\bullet\ \ (x,y) = \left(\frac{\sqrt{3}}{2},-\frac{1}{2}\right)\)cuando\(t = \frac{11\pi}{6}\text{.}\)

\(\bullet\ \ (x,y) = (0,-1)\)cuando\(t = \frac{3\pi}{2}\text{,}\)

\(\bullet\ \ (x,y) = \left(-\frac{\sqrt{3}}{2},-\frac{1}{2}\right)\)cuando\(t = \frac{7\pi}{6}\text{.}\)

Estos son los puntos críticos de\(T\) en el límite y por lo que esta colección de puntos incluye los puntos más calientes y fríos del límite.

Ahora tenemos una lista de candidatos a los puntos más calientes y fríos: el punto crítico en el interior del disco y los puntos críticos en el límite. Encontramos los puntos más calientes y fríos evaluando la temperatura en cada uno de estos puntos, y encontramos que

\(\bullet\ \ T\left(0,\frac{1}{2}\right) = -\frac{1}{4}\text{,}\)

\(\bullet\ \ T\left(-\frac{\sqrt{3}}{2},-\frac{1}{2}\right) = \frac{9}{4}\text{,}\)

\(\bullet\ \ T\left(0,1\right) = 0\text{,}\)

\(\bullet\ \ T\left(-\frac{\sqrt{3}}{2},-\frac{1}{2}\right) = \frac{9}{4}\text{.}\)

\(\bullet\ \ T\left(0,-1\right) = 2\text{,}\)

Entonces el valor máximo de\(T\) en el disco\(x^2+y^2\leq 1\) es el\(\frac{9}{4}\text{,}\) que ocurre en los dos puntos\(\left(\pm\frac{\sqrt{3}}{2},-\frac{1}{2}\right)\) en el límite, y el valor mínimo de\(T\) en el disco es el\(-\frac{1}{4}\) que ocurre en el punto crítico\(\left(0,\frac{1}{2}\right)\) en el interior de\(R\text{.}\)

A partir de este ejemplo, vemos que utilizamos el siguiente procedimiento para determinar el máximo absoluto y el mínimo absoluto de una función en un dominio cerrado y acotado.

• Encuentra todos los puntos críticos de la función en el interior del dominio.
• Encuentra todos los puntos críticos de la función en el límite del dominio. Trabajar en el límite del dominio reduce esta parte del problema a uno o más problemas de optimización de una sola variable. Tenga en cuenta que puede haber puntos finales en partes del límite que necesiten ser consideradas.
• Evaluar la función en cada uno de los puntos encontrados en los Pasos 1 y 2.
• El valor máximo de la función es el valor más grande obtenido en el Paso 3, y el valor mínimo de la función es el valor más pequeño obtenido en el Paso 3.

Actividad 10.7.6

Dejar\(f(x,y) = x^2-3y^2-4x+6y\) con dominio triangular\(R\) cuyos vértices están en\((0,0)\text{,}\)\((4,0)\text{,}\) y\((0,4)\text{.}\) El dominio\(R\) y una gráfica de\(f\) sobre el dominio aparecen en la Figura 10.7.10.

Figura 10.7.10. El dominio de\(f(x,y) = x^2-3y^2-4x+6y\) y su gráfica.

1. Encuentra todos los puntos críticos de\(f\) in\(R\text{.}\)
2. Parametrizar la pata horizontal del dominio triangular, y encontrar los puntos críticos de\(f\) en esa pata. (Pista: Es posible que deba considerar los puntos finales).
3. Parametrizar la pata vertical del dominio triangular, y encontrar los puntos críticos de\(f\) en esa pata. (Pista: Es posible que deba considerar los puntos finales).
4. Parametrizar la hipotenusa del dominio triangular, y encontrar los puntos críticos de\(f\) sobre la hipotenusa. (Pista: Es posible que deba considerar los puntos finales).
5. Encuentra los valores máximos absolutos y mínimos absolutos de\(f\) on\(R\text{.}\)

10.7.4 Resumen

• Para encontrar los extremos de una función\(f=f(x,y)\text{,}\) encontramos primero los puntos críticos, que son puntos donde uno de los parciales de\(f\) falla en existir, o donde\(f_x = 0\) y\(f_y=0\text{.}\)
• La Prueba de Segunda Derivada ayuda a determinar si un punto crítico es un máximo local, un mínimo local o un punto de sillín.
• Si\(f\) se define en un dominio cerrado y acotado, encontramos los máximos y mínimos absolutos al encontrar los puntos críticos en el interior del dominio, encontrar los puntos críticos en el límite y probar el valor de\(f\) en ambos conjuntos de puntos críticos.