4.11: Capítulo 4 Ejercicios de revisión

¿Verdadero o Falso? Justifica tu respuesta con una prueba o un contraejemplo. Supongamos que$f(x)$ es continuo y diferenciable a menos que se indique lo contrario.

1) Si$f(−1)=−6$ y$f(1)=2$, entonces existe al menos un punto$x∈[−1,1]$ tal que$f′(x)=4.$

Contestar

Verdadero, por Teorema del Valor Medio

2) Si$f′(c)=0,$ hay un máximo o mínimo en$x=c.$

3) Hay una función tal que$f(x)<0,f′(x)>0,$ y$f''(x)<0.$ (Una “prueba” gráfica es aceptable para esta respuesta.)

Contestar

Cierto

4) Hay una función tal que hay tanto un punto de inflexión como un punto crítico para algún valor$x=a.$

5) Dada la gráfica de$f′$, determinar dónde$f$ está aumentando o disminuyendo.

Contestar

Incrementando:$(−2,0)∪(4,∞)$, decreciente:$(−∞,−2)∪(0,4)$

6) La gráfica de$f$ se da a continuación. Empate$f′$.

7) Encuentra la aproximación lineal$L(x)$ a$y=x^2+\tan(πx)$ cerca$x=\frac{1}{4}.$

Contestar

$L(x)=\frac{17}{16}+\frac{1}{2}(1+4π)\left(x−\frac{1}{4}\right)$

8) Encontrar el diferencial de$y=x^2−5x−6$ y evaluar$x=2$ con$dx=0.1.$

Encuentra los puntos críticos y los extremos locales y absolutos de las siguientes funciones en el intervalo dado.

9)$f(x)=x+\sin^2(x)$ sobre$[0,π]$

Contestar

Punto crítico: Mínimo$x=\frac{3π}{4},$
absoluto:$0$ cuando Máximo$x=0,$
absoluto:$π$ cuando$x=π$

Solución:

10)$f(x)=3x^4−4x^3−12x^2+6$ sobre$[−3,3]$

Determine en qué intervalos las siguientes funciones están aumentando, disminuyendo, cóncavas hacia arriba y cóncavas hacia abajo.

11)$x(t)=3t^4−8t^3−18t^2$

Contestar

Creciente:$(−1,0)∪(3,∞),$
Disminución:$(−∞,−1)∪(0,3),$
Cóncava hacia arriba:$\left(−∞,\frac{1}{3}\left(2−\sqrt{13}\right)\right)∪\left(\frac{1}{3}\left(2+\sqrt{13}\right),∞\right)$,
Cóncava$\left(\frac{1}{3}\left(2−\sqrt{13}\right),\frac{1}{3}\left(2+\sqrt{13}\right)\right)$

12)$y=x+\sin(πx)$

13)$g(x)=x−\sqrt{x}$

Contestar

Creciente:$\left(\frac{1}{4},∞\right),$
Disminución:$\left(0,\frac{1}{4}\right)$,
Cóncavo arriba:$(0,∞),$
Cóncavo

14)$f(θ)=\sin(3θ)$

Evaluar los siguientes límites.

15)$\displaystyle \lim_{x→∞}\frac{3x\sqrt{x^2+1}}{\sqrt{x^4−1}}$

Contestar

$3$

16)$\displaystyle \lim_{x→∞}\cos\left(\frac{1}{x}\right)$

17)$\displaystyle \lim_{x→1}\frac{x−1}{\sin(πx)}$

Contestar

$−\frac{1}{π}$

18)$\displaystyle \lim_{x→∞}(3x)^{1/x}$

Usa el método de Newton para encontrar las dos primeras iteraciones, dado el punto de partida.

19)$y=x^3+1,\quad x_0=0.5$

Contestar

$x_1=−1,\; x_2=−1$

20)$\dfrac{1}{x+1}=\dfrac{1}{2}, \quad x_0=0$

Encuentra los antiderivados$F(x)$ de las siguientes funciones.

21)$g(x)=\sqrt{x}−\dfrac{1}{x^2}$

Contestar

$F(x)=\dfrac{2x^{3/2}}{3}+\dfrac{1}{x}+C$

22)$f(x)=2x+6\cos x,\quad F(π)=π^2+2$

Grafica las siguientes funciones a mano. Asegúrese de etiquetar los puntos de inflexión, puntos críticos, ceros y asíntotas.

23)$y=\dfrac{1}{x(x+1)^2}$

Contestar

Puntos de inflexión: ninguno; Puntos
críticos:$x=−\frac{1}{3}$;
Ceros: ninguno; asíntotas
verticales:$x=−1, \; x=0$; Asintota
horizontal:$y=0$

24)$y=x−\sqrt{4−x^2}$

25) Un automóvil está siendo compactado en un sólido rectangular. El volumen está disminuyendo a una tasa de$2\, \text{m}^3/\text{sec}$. El largo y ancho del compactador son cuadrados, pero la altura no es la misma longitud que el largo y ancho. Si las paredes de longitud y anchura se mueven una hacia la otra a una velocidad de$0.25$ m/seg, encuentre la velocidad a la que la altura está cambiando cuando la longitud y la anchura son$2$ m y la altura es$1.5$ m.

Contestar

La altura disminuye a una velocidad de$0.125$ m/seg

26) Un cohete es lanzado al espacio; su energía cinética viene dada por$K(t)=\frac{1}{2}m(t)v(t)^2$, donde$K$ está la energía cinética en julios,$m$ es la masa del cohete en kilogramos, y$v$ es la velocidad del cohete en metros/segundo. Supongamos que la velocidad está aumentando a una velocidad de$15 \,\text{m/sec}^2$ y la masa disminuye a una velocidad de$10$ kg/seg debido a que el combustible se está quemando. ¿A qué velocidad cambia la energía cinética del cohete cuando la masa es$2000$ kg y la velocidad es$5000$ m/seg? Da tu respuesta en Mega-julios (MJ), que equivale a$10^6$ J.

27) El famoso problema del regiomontano para la maximización angular se propuso durante el$15^\text{th}$ siglo. Una pintura cuelga de una pared con la parte inferior de la pintura a una distancia$a$ pies por encima del nivel de los ojos, y los$b$ pies superiores por encima del nivel de los ojos. ¿Qué distancia$x$ (en pies) de la pared debe pararse el espectador para maximizar el ángulo subtendido por la pintura,$θ$?

Contestar

$x=\sqrt{ab}$pies

28) Una aerolínea vende boletos de Tokio a Detroit por$$1200.$ Hay$500$ asientos disponibles y un vuelo típico libro$350$ asientos. Por cada$$10$ disminución de precio, la aerolínea observa cinco asientos adicionales vendidos. ¿Cuál debería ser la tarifa para maximizar las ganancias? ¿Cuántos pasajeros estarían a bordo?