4.7: Problemas de optimización aplicada

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Edwin “Jed” Herman & Gilbert Strang
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Objetivos de aprendizaje

Configurar y resolver problemas de optimización en varios campos aplicados.

Una aplicación común del cálculo es calcular el valor mínimo o máximo de una función. Por ejemplo, las empresas a menudo quieren minimizar los costos de producción o maximizar los ingresos. En la fabricación, a menudo es deseable minimizar la cantidad de material utilizado para envasar un producto con un cierto volumen. En esta sección, mostramos cómo configurar este tipo de problemas de minimización y maximización y resolverlos utilizando las herramientas desarrolladas en este capítulo.

Solución de problemas de optimización a lo largo de un intervalo cerrado y delimitado

La idea básica de los problemas de optimización que siguen es la misma. Tenemos una cantidad particular que nos interesa maximizar o minimizar. No obstante, también tenemos alguna condición auxiliar que necesita ser satisfecha. Por ejemplo, en Ejemplo$\PageIndex{1}$, nos interesa maximizar el área de un jardín rectangular. Ciertamente, si seguimos haciendo que las longitudes laterales del jardín sean más grandes, el área seguirá haciéndose más grande. No obstante, ¿y si tenemos alguna restricción sobre la cantidad de esgrima que podemos usar para el perímetro? En este caso, no podemos hacer que el jardín sea tan grande como nos gusta. Veamos cómo podemos maximizar el área de un rectángulo sujeto a alguna restricción en el perímetro.

Ejemplo$\PageIndex{1}$: Maximizing the Area of a Garden

Se construirá un jardín rectangular utilizando una pared de roca como un lado del jardín y cercado de alambre para los otros tres lados (Figura$\PageIndex{1}$). Dado$100\,\text{ft}$ el cercado de alambre, determinar las dimensiones que crearían un jardín de área máxima. ¿Cuál es el área máxima?

Un dibujo de un jardín tiene x e y escritos en los lados vertical y horizontal, respectivamente. Hay una pared de roca que corre a lo largo de toda la longitud horizontal inferior del dibujo. — Figura$\PageIndex{1}$: Queremos determinar las medidas$x$ y$y$ eso creará un jardín con un área máxima utilizando$100\,\text{ft}$ de cercado.

Solución

Dejar$x$ denotar la longitud del lado del jardín perpendicular a la pared de roca y$y$ denotar la longitud del lado paralelo a la pared de roca. Entonces el área del jardín es

$A=x⋅y.$

Queremos encontrar el área máxima posible sujeta a la restricción de que es el cercado total$100\,\text{ft}$. De la Figura$\PageIndex{1}$, la cantidad total de cercado utilizado será$2x+y.$ Por lo tanto, la ecuación de restricción es

$2x+y=100.$

Resolviendo esta ecuación para$y$, tenemos$y=100−2x.$ Así, podemos escribir el área como

$A(x)=x⋅(100−2x)=100x−2x^2.$

Antes de intentar maximizar la función de área$A(x)=100x−2x^2,$ necesitamos determinar el dominio bajo consideración. Para construir un jardín rectangular, ciertamente necesitamos que las longitudes de ambos lados sean positivas. Por lo tanto, necesitamos$x>0$ y$y>0$. Ya que$y=100−2x$, si$y>0$, entonces$x<50$. Por lo tanto, estamos tratando de determinar el valor máximo de$A(x)$ for$x$ sobre el intervalo abierto$(0,50)$. No sabemos que una función necesariamente tenga un valor máximo sobre un intervalo abierto. Sin embargo, sí sabemos que una función continua tiene un máximo absoluto (y un mínimo absoluto) en un intervalo cerrado. Por lo tanto, consideremos la función$A(x)=100x−2x^2$ sobre el intervalo cerrado$[0,50]$. Si el valor máximo ocurre en un punto interior, entonces hemos encontrado el valor$x$ en el intervalo abierto$(0,50)$ que maximiza el área del jardín.

Por lo tanto, consideramos el siguiente problema:

$A(x)=100x−2x^2$Maximizar en el intervalo$[0,50].$

Como se mencionó anteriormente, ya que$A$ es una función continua en un intervalo cerrado, acotado, por el teorema del valor extremo, tiene un máximo y un mínimo. Estos valores extremos ocurren ya sea en puntos finales o puntos críticos. En los puntos finales,$A(x)=0$. Dado que el área es positiva para todos$x$ en el intervalo abierto$(0,50)$, el máximo debe ocurrir en un punto crítico. Diferenciando la función$A(x)$, obtenemos

$A′(x)=100−4x.$

Por lo tanto, el único punto crítico es$x=25$ (Figura$\PageIndex{2}$). Se concluye que el área máxima debe ocurrir cuando$x=25$.

Se grafica la función A (x) = 100x — 2x. En su máximo hay una intersección de dos líneas discontinuas y texto que dice “El área máxima es de 1250 pies cuadrados cuando x = 25 pies”. — Figura$\PageIndex{2}$: Para maximizar el área del jardín, necesitamos encontrar el valor máximo de la función$A(x)=100x−2x^2$.

Entonces tenemos$y=100−2x=100−2(25)=50.$ Para maximizar el área del jardín, dejar$x=25\,\text{ft}$ y$y=50\,\text{ft}$. El área de este jardín es$1250\, \text{ft}^2$.

Ejercicio$\PageIndex{1}$

Determinar el área máxima si queremos hacer el mismo jardín rectangular que en Figura$\PageIndex{2}$, pero tenemos$200\,\text{ft}$ de cercado.

Pista: Necesitamos maximizar la función a$A(x)=200x−2x^2$ lo largo del intervalo$[0,100].$

Contestar: El área máxima es$5000\, \text{ft}^2$.

Ahora veamos una estrategia general para resolver problemas de optimización similar a Ejemplo$\PageIndex{1}$.

Estrategia de resolución de problemas: resolución de problemas de optimización

Introducir todas las variables. Si corresponde, dibuje una figura y etiquete todas las variables.
Determinar qué cantidad se va a maximizar o minimizar, y para qué rango de valores de las otras variables (si esto se puede determinar en este momento).
Escribe una fórmula para que la cantidad sea maximizada o minimizada en términos de las variables. Esta fórmula puede involucrar más de una variable.
Escribe cualquier ecuación que relacione las variables independientes en la fórmula a partir del paso$3$. Utilice estas ecuaciones para escribir la cantidad a maximizar o minimizar en función de una variable.
Identificar el dominio de consideración para la función en paso con$4$ base en el problema físico a resolver.
Localizar el valor máximo o mínimo de la función desde el paso$4.$ Este paso generalmente implica buscar puntos críticos y evaluar una función en los puntos finales.

Ahora vamos a aplicar esta estrategia para maximizar el volumen de una caja abierta dada una restricción en la cantidad de material a utilizar.

Ejemplo$\PageIndex{2}$: Maximizing the Volume of a Box

Una caja abierta debe hacerse a partir de una$24\,\text{in.}$$36\,\text{in.}$ pieza de cartón quitando un cuadrado de cada esquina de la caja y plegando las solapas en cada lado. ¿Qué tamaño cuadrado se debe cortar de cada esquina para obtener una caja con el volumen máximo?

Solución

Paso 1: Deja$x$ ser la longitud lateral del cuadrado que se va a quitar de cada esquina (Figura$\PageIndex{3}$). Luego, las cuatro solapas restantes se pueden plegar para formar una caja abierta. Dejar$V$ ser el volumen de la caja resultante.

Hay dos cifras para esta figura. El primero es un rectángulo con lados de 24 pulgadas y 36 pulgadas, con cada esquina teniendo un cuadrado de longitud lateral x sacada de ella. En la segunda imagen, hay una caja con longitudes laterales x in, 24 — 2x in y 36 — 2x in. — Figura$\PageIndex{3}$: Se retira un cuadrado con$x$ pulgadas de longitud lateral de cada esquina de la pieza de cartón. Las solapas restantes se pliegan para formar una caja abierta.

Paso 2: Estamos tratando de maximizar el volumen de una caja. Por lo tanto, el problema es maximizar$V$.

Paso 3: Como se mencionó en el paso 2, están tratando de maximizar el volumen de una caja. El volumen de una caja es

\[V=L⋅W⋅H \nonumber, \nonumber \]

donde$L,\,W,$ y$H$ son la longitud, anchura y altura, respectivamente.

Paso 4: De Figura$\PageIndex{3}$, vemos que la altura de la caja es$x$ pulgadas, la longitud es$36−2x$ pulgadas, y el ancho es$24−2x$ pulgadas. Por lo tanto, el volumen de la caja es

\[ \begin{align*} V(x) &=(36−2x)(24−2x)x \\[4pt] &=4x^3−120x^2+864x \end{align*}. \nonumber \]

Paso 5: Para determinar el dominio de consideración, examinemos Figura$\PageIndex{3}$. Ciertamente, necesitamos$x>0.$ Además, la longitud lateral del cuadrado no puede ser mayor o igual a la mitad de la longitud del lado más corto,$24\,\text{in.}$; de lo contrario, una de las solapas estaría completamente cortada. Por lo tanto, estamos tratando de determinar si hay un volumen máximo de la caja para$x$ sobre el intervalo abierto$(0,12).$ Dado que$V$ es una función continua sobre el intervalo cerrado$[0,12]$, sabemos que$V$ tendrá un máximo absoluto sobre el intervalo cerrado. Por lo tanto, consideramos$V$ sobre el intervalo cerrado$[0,12]$ y verificamos si el máximo absoluto ocurre en un punto interior.

Paso 6: Dado que$V(x)$ es una función continua sobre el intervalo cerrado, delimitado$[0,12]$,$V$ debe tener un máximo absoluto (y un mínimo absoluto). Ya que$V(x)=0$ en los puntos finales y$V(x)>0$ para$0<x<12,$ el máximo debe ocurrir en un punto crítico. El derivado es

$V′(x)=12x^2−240x+864.$

Para encontrar los puntos críticos, necesitamos resolver la ecuación

$12x^2−240x+864=0.$

Dividiendo ambos lados de esta ecuación por$12$, el problema se simplifica para resolver la ecuación

$x^2−20x+72=0.$

Usando la fórmula cuadrática, encontramos que los puntos críticos son

\[\begin{align*} x &=\dfrac{20±\sqrt{(−20)^2−4(1)(72)}}{2} \\[4pt] &=\dfrac{20±\sqrt{112}}{2} \\[4pt] &=\dfrac{20±4\sqrt{7}}{2} \\[4pt] &=10±2\sqrt{7} \end{align*}. \nonumber \]

Al$10+2\sqrt{7}$ no estar en el dominio de la consideración, el único punto crítico que debemos considerar es$10−2\sqrt{7}$. Por lo tanto, el volumen se maximiza si dejamos$x=10−2\sqrt{7}\,\text{in.}$ El volumen máximo es

\[V(10−2\sqrt{7})=640+448\sqrt{7}≈1825\,\text{in}^3. \nonumber \]

como se muestra en la siguiente gráfica.

Se grafica la función V (x) = 4x3 — 120x2 + 864x. En su máximo hay una intersección de dos líneas discontinuas y texto que dice “El volumen máximo es aproximadamente 1825 pulgadas cúbicas cuando x ≈ 4.7 pulgadas”. — Figura$\PageIndex{4}$: Maximizar el volumen de la caja lleva a encontrar el valor máximo de un polinomio cúbico.

Ejercicio$\PageIndex{2}$

Supongamos que las dimensiones del cartón en Ejemplo$\PageIndex{2}$ son$20\,\text{in.}$ por$30\,\text{in.}$ Let$x$ ser la longitud lateral de cada cuadrado y escribir el volumen de la caja abierta en función de$x$. Determinar el dominio de consideración para$x$.

Pista: El volumen de la caja es$L⋅W⋅H.$

Contestar: $V(x)=x(20−2x)(30−2x).$El dominio es$[0,10]$.

Ejemplo$\PageIndex{3}$: Minimizing Travel Time

Una isla es$2$ mi debido al norte de su punto más cercano a lo largo de una costa recta. Un visitante se hospeda en una cabaña en la orilla que está$6$ mi al oeste de ese punto. El visitante planea ir de la cabaña a la isla. Supongamos que el visitante corre a una velocidad de$8$ mph y nada a una velocidad de$3$ mph. ¿Hasta dónde debe correr el visitante antes de nadar para minimizar el tiempo que lleva llegar a la isla?

Solución

Paso 1: Deja$x$ ser la distancia corriendo y deja$y$ ser la distancia nadando (Figura$\PageIndex{5}$). $T$Sea el tiempo que lleva llegar de la cabaña a la isla.

La cabaña está a x millas de la orilla. A partir de ese punto de la orilla, la isla está a y kilómetros de distancia. Si continuaras la línea desde la cabaña hasta la orilla (la x millas una) y si tuvieras que trazar una línea desde la isla paralela a la orilla, entonces las líneas se extenderían a 2 millas de la isla y a 6 millas de la cabaña antes de cruzarte. — Figura$\PageIndex{5}$: ¿Cómo podemos elegir$x$ y$y$ minimizar el tiempo de viaje de la cabina a la isla?

Paso 2: El problema es minimizar$T$.

Paso 3: Para encontrar el tiempo empleado viajando de la cabaña a la isla, agregue el tiempo dedicado a correr y el tiempo dedicado a nadar. Desde Distancia = Tasa × Tiempo$(D=R×T),$ el tiempo dedicado a correr es

$T_{running}=\dfrac{D_{running}}{R_{running}}=\dfrac{x}{8}$,

y el tiempo dedicado a nadar es

$T_{swimming}=\dfrac{D_{swimming}}{R_{swimming}}=\dfrac{y}{3}$.

Por lo tanto, el tiempo total dedicado a viajar es

$T=\dfrac{x}{8}+\dfrac{y}{3}$.

Paso 4: De la Figura$\PageIndex{5}$, el segmento lineal de$y$ millas forma la hipotenusa de un triángulo rectángulo con patas de longitud$2$ mi y$6−x$ mi. Por lo tanto, por el teorema de Pitágoras$2^2+(6−x)^2=y^2$,, y obtenemos$y=\sqrt{(6−x)^2+4}$. Por lo tanto, el tiempo total que se pasa viajando viene dado por la función

$T(x)=\dfrac{x}{8}+\dfrac{\sqrt{(6−x)^2+4}}{3}$.

Paso 5: De la Figura$\PageIndex{5}$, vemos eso$0≤x≤6$. Por lo tanto,$[0,6]$ es el dominio de consideración.

Paso 6: Dado que$T(x)$ es una función continua sobre un intervalo cerrado, acotado, tiene un máximo y un mínimo. Comencemos buscando cualquier punto crítico de$T$ sobre el intervalo$[0,6].$ La derivada es

\[\begin{align*} T′(x) &=\dfrac{1}{8}−\dfrac{1}{2}\dfrac{[(6−x)^2+4]^{−1/2}}{3}⋅2(6−x) \\[4pt] &=\dfrac{1}{8}−\dfrac{(6−x)}{3\sqrt{(6−x)^2+4}} \end{align*}\]

Si$T′(x)=0,$, entonces

\[\dfrac{1}{8}=\dfrac{6−x}{3\sqrt{(6−x)^2+4}} \label{ex3eq1} \]

Por lo tanto,

\[3\sqrt{(6−x)^2+4}=8(6−x). \label{ex3eq2} \]

Al cuadrar ambos lados de esta ecuación, vemos que si$x$ satisface esta ecuación, entonces$x$ debe satisfacer

\[9[(6−x)^2+4]=64(6−x)^2,\nonumber \]

lo que implica

\[55(6−x)^2=36. \nonumber \]

Concluimos que si$x$ es un punto crítico, entonces$x$ satisface

\[(x−6)^2=\dfrac{36}{55}. \nonumber \]

[Tenga en cuenta que como estamos cuadrando,$ (x-6)^2 = (6-x)^2.$]

Por lo tanto, las posibilidades de puntos críticos son

\[x=6±\dfrac{6}{\sqrt{55}}.\nonumber \]

Ya que no$x=6+6/\sqrt{55}$ está en el dominio, no es una posibilidad para un punto crítico. Por otro lado,$x=6−6/\sqrt{55}$ está en el dominio. Ya que cuadramos ambos lados de la Ecuación\ ref {ex3eq2} para llegar a los posibles puntos críticos, queda por verificar que$x=6−6/\sqrt{55}$ satisface la Ecuación\ ref {ex3eq1}. Dado que$x=6−6/\sqrt{55}$ sí satisface esa ecuación, concluimos que$x=6−6/\sqrt{55}$ es un punto crítico, y es el único. Para justificar que se minimiza el tiempo para este valor de$x$, solo necesitamos verificar los valores de$T(x)$ en los puntos finales$x=0$ y$x=6$, y compararlos con el valor de$T(x)$ en el punto crítico$x=6−6/\sqrt{55}$. Nos encontramos con eso$T(0)≈2.108\,\text{h}$ y$T(6)≈1.417\,\text{h}$, mientras

\[T(6−6/\sqrt{55})≈1.368\,\text{h}. \nonumber \]

Por lo tanto, concluimos que$T$ tiene un mínimo local a$x≈5.19$ mi.

Ejercicio$\PageIndex{3}$

Supongamos que la isla está$1$ mi de orilla, y la distancia desde la cabaña hasta el punto en la orilla más cercana a la isla es$15$ mi. Supongamos que un visitante nada a razón de$2.5$ mph y corre a una velocidad de$6$ mph. Dejar$x$ denotar la distancia que recorrerá el visitante antes de nadar, y encontrar una función para el tiempo que le lleve al visitante llegar de la cabaña a la isla.

Pista: El tiempo$T=T_{running}+T_{swimming}.$

Responder: $T(x)=\dfrac{x}{6}+\dfrac{\sqrt{(15−x)^2+1}}{2.5} $

En los negocios, las empresas están interesadas en maximizar los ingresos. En el siguiente ejemplo, consideramos un escenario en el que una empresa ha recopilado datos sobre cuántos autos es capaz de arrendar, dependiendo del precio que cobre a sus clientes por rentar un auto. Usemos estos datos para determinar el precio que la compañía debería cobrar para maximizar la cantidad de dinero que aporta.

Ejemplo$\PageIndex{4}$: Maximizing Revenue

Los dueños de una empresa de alquiler de autos han determinado que si cobran a los clientes$p$ dólares por día para rentar un auto$50≤p≤200$, donde, el número de autos$n$ que rentan por día puede ser modelado por la función lineal$n(p)=1000−5p$. Si cobran$$50$ por día o menos, rentarán todos sus autos. Si cobran$$200$ por día o más, no rentarán ningún auto. Suponiendo que los propietarios planean cobrar a los clientes entre$$200$ por$$50$ día y por día para rentar un auto, ¿cuánto deben cobrar para maximizar sus ingresos?

Solución

Paso 1: Deja$p$ ser el precio cobrado por auto por día y deja$n$ ser el número de autos rentados por día. $R$Dejen ser los ingresos por día.

Paso 2: El problema es maximizar$R.$

Paso 3: Los ingresos (por día) son iguales al número de autos rentados por día por el precio cobrado por auto por día, es decir,$R=n×p.$

Paso 4: Dado que el número de autos rentados por día está modelado por la función lineal,$n(p)=1000−5p,$ los ingresos$R$ pueden ser representados por la función

\[ \begin{align*} R(p) &=n×p \\[4pt] &=(1000−5p)p \\[4pt] &=−5p^2+1000p.\end{align*}\]

Paso 5: Dado que los propietarios planean cobrar entre$$50$ por auto por$$200$ día y por auto por día, el problema es encontrar los ingresos máximos$R(p)$ para$p$ en el intervalo cerrado$[50,200]$.

Paso 6: Dado que$R$ es una función continua sobre el intervalo cerrado y delimitado$[50,200]$, tiene un máximo absoluto (y un mínimo absoluto) en ese intervalo. Para encontrar el valor máximo, busque puntos críticos. La derivada es$R′(p)=−10p+1000.$ Por lo tanto, el punto crítico es$p=100$. Cuando$p=100, R(100)=$50,000.$ Cuando$p=50, R(p)=$37,500$. Cuando$p=200, R(p)=$0$.

Por lo tanto, el máximo absoluto ocurre en$p=$100$. La compañía de alquiler de autos debe cobrar$$100$ por día por auto para maximizar los ingresos como se muestra en la siguiente figura.

Se grafica la función R (p). En su máximo hay una intersección de dos líneas discontinuas y texto que dice “Los ingresos máximos son de 50 mil dólares diarios cuando el precio cobrado por automóvil es de $100 por día”. — Figura$\PageIndex{6}$: Para maximizar los ingresos, una empresa de alquiler de autos tiene que equilibrar el precio de un alquiler con la cantidad de autos que la gente rentará a ese precio.

Ejercicio$\PageIndex{4}$

Una empresa de alquiler de autos cobra a sus clientes$p$ dólares por día, donde$60≤p≤150$. Se ha encontrado que la cantidad de autos rentados por día puede ser modelada por la función lineal$n(p)=750−5p.$ ¿Cuánto debe cobrar la empresa a cada cliente para maximizar los ingresos?

Pista: $R(p)=n×p,$donde$n$ esta el numero de autos rentados y$p$ es el precio cobrado por auto.

Responder: La compañía debe cobrar$$75$ por automóvil por día.

Ejemplo$\PageIndex{5}$: Maximizing the Area of an Inscribed Rectangle

Un rectángulo debe ser inscrito en la elipse

\[\dfrac{x^2}{4}+y^2=1. \nonumber \]

¿Cuáles deben ser las dimensiones del rectángulo para maximizar su área? ¿Cuál es el área máxima?

Solución

Paso 1: Para que un rectángulo se inscriba en la elipse, los lados del rectángulo deben ser paralelos a los ejes. Dejar$L$ ser la longitud del rectángulo y$W$ ser su ancho. Dejar$A$ ser el área del rectángulo.

La elipse x2/4 + y2 = 1 se dibuja con sus intercepciones x siendo ±2 y sus intercepciones y siendo ±1. Hay un rectángulo inscrito en la elipse con longitud L (en la dirección x) y ancho W. — Figura$\PageIndex{7}$: Queremos maximizar el área de un rectángulo inscrito en una elipse.

Paso 2: El problema es maximizar$A$.

Paso 3: El área del rectángulo es$A=LW.$

Paso 4: Deja$(x,y)$ ser la esquina del rectángulo que se encuentra en el primer cuadrante, como se muestra en la Figura$\PageIndex{7}$. Podemos escribir largo$L=2x$ y ancho$W=2y$. Desde$\dfrac{x^2}{4}+y^2=1$ y$y>0$, tenemos$y=\sqrt{1-\dfrac{x^2}{4}}$. Por lo tanto, el área es

$A=LW=(2x)(2y)=4x\sqrt{1-\dfrac{x^2}{4}}=2x\sqrt{4−x^2}$

Paso 5: De Figura$\PageIndex{7}$, vemos que para inscribir un rectángulo en la elipse, la$x$ coordenada -coordenada de la esquina en el primer cuadrante debe satisfacer$0<x<2$. Por lo tanto, el problema se reduce a buscar el valor máximo de$A(x)$ sobre el intervalo abierto$(0,2)$. Ya que$A(x)$ tendrá un máximo absoluto (y mínimo absoluto) sobre el intervalo cerrado$[0,2]$, consideramos$A(x)=2x\sqrt{4−x^2}$ sobre el intervalo$[0,2]$. Si el máximo absoluto ocurre en un punto interior, entonces hemos encontrado un máximo absoluto en el intervalo abierto.

Paso 6: Como se mencionó anteriormente,$A(x)$ es una función continua sobre el intervalo cerrado y delimitado$[0,2]$. Por lo tanto, tiene un máximo absoluto (y mínimo absoluto). En los puntos finales$x=0$ y$x=2$,$A(x)=0.$ Para$0<x<2$,$A(x)>0$.

Por lo tanto, el máximo debe ocurrir en un punto crítico. Tomando la derivada de$A(x)$, obtenemos

\[ \begin{align*} A'(x) &=2\sqrt{4−x^2}+2x⋅\dfrac{1}{2\sqrt{4−x^2}}(−2x) \\[4pt] &=2\sqrt{4−x^2}−\dfrac{2x^2}{\sqrt{4−x^2}} \\[4pt] &=\dfrac{8−4x^2}{\sqrt{4−x^2}} . \end{align*}\]

Para encontrar puntos críticos, necesitamos encontrar dónde$A'(x)=0.$ Podemos ver que si$x$ es una solución de

\[\dfrac{8−4x^2}{\sqrt{4−x^2}}=0, \label{ex5eq1} \]

entonces$x$ debe satisfacer

\[8−4x^2=0. \nonumber \]

Por lo tanto,$x^2=2.$ Así,$x=±\sqrt{2}$ son las posibles soluciones de la Ecuación\ ref {ex5eq1}. Ya que estamos considerando$x$ sobre el intervalo$[0,2]$,$x=\sqrt{2}$ es una posibilidad para un punto crítico, pero no lo$x=−\sqrt{2}$ es. Por lo tanto, comprobamos si$\sqrt{2}$ es una solución de la Ecuación\ ref {ex5eq1}. Dado que$x=\sqrt{2}$ es una solución de la Ecuación\ ref {ex5eq1}, concluimos que$\sqrt{2}$ es el único punto crítico de$A(x)$ en el intervalo$[0,2]$.

Por lo tanto,$A(x)$ debe tener un máximo absoluto en el punto crítico$x=\sqrt{2}$. Para determinar las dimensiones del rectángulo, necesitamos encontrar el largo$L$ y el ancho$W$. Si$x=\sqrt{2}$ entonces

\[y=\sqrt{1−\dfrac{(\sqrt{2})^2}{4}}=\sqrt{1−\dfrac{1}{2}}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}.\nonumber \]

Por lo tanto, las dimensiones del rectángulo son$L=2x=2\sqrt{2}$ y$W=2y=\dfrac{2}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}$. El área de este rectángulo es$ A=LW=(2\sqrt{2})(\sqrt{2})=4.$

Ejercicio$\PageIndex{5}$

Modifique la función de área$A$ si el rectángulo se va a inscribir en el círculo unitario$x^2+y^2=1$. ¿Cuál es el dominio de consideración?

Pista: Si$(x,y)$ es el vértice del cuadrado que se encuentra en el primer cuadrante, entonces el área del cuadrado es$A=(2x)(2y)=4xy.$

Responder: $A(x)=4x\sqrt{1−x^2}.$El dominio de consideración es$[0,1]$.

Solución de problemas de optimización cuando el intervalo no está cerrado o no tiene límites

En los ejemplos anteriores, consideramos funciones en dominios cerrados y acotados. En consecuencia, por el teorema del valor extremo, se nos garantizó que las funciones tenían extremos absolutos. Consideremos ahora funciones para las que el dominio no está cerrado ni acotado.

Muchas funciones aún tienen al menos un extremo absoluto, incluso si el dominio no está cerrado o el dominio no está limitado. Por ejemplo, la función$f(x)=x^2+4$ over$(−∞,∞)$ tiene un mínimo absoluto de$4$ at$x=0$. Por lo tanto, aún podemos considerar funciones sobre dominios no acotados o intervalos abiertos y determinar si tienen algún extremo absoluto. En el siguiente ejemplo, tratamos de minimizar una función sobre un dominio no acotado. Veremos que, aunque el dominio de consideración es$(0,∞),$ la función tiene un mínimo absoluto.

En el siguiente ejemplo, observamos la construcción de una caja de menor superficie con un volumen prescrito. No es difícil demostrar que para una caja cerrada, por simetría, entre todas las cajas con un volumen especificado, un cubo tendrá la menor superficie. En consecuencia, consideramos el problema modificado de determinar qué caja abierta con un volumen específico tiene la menor superficie.

Ejemplo$\PageIndex{6}$: Minimizing Surface Area

Se va a construir una caja rectangular con base cuadrada, una parte superior abierta y un volumen de$216 \,\text{in}^3$. ¿Cuáles deben ser las dimensiones de la caja para minimizar la superficie de la caja? ¿Cuál es la superficie mínima?

Solución

Paso 1: Dibuja una caja rectangular e introduce la variable$x$ para representar la longitud de cada lado de la base cuadrada; dejar$y$ representar la altura de la caja. Dejar$S$ denotar el área de superficie de la caja abierta.

Se muestra una caja con base cuadrada. La base tiene la longitud lateral x, y la altura es y. — Figura$\PageIndex{8}$: Queremos minimizar el área de superficie de una caja cuadrada con un volumen dado.

Paso 2: Necesitamos minimizar la superficie. Por lo tanto, necesitamos minimizar$S$.

Paso 3: Dado que la caja tiene una parte superior abierta, solo necesitamos determinar el área de los cuatro lados verticales y la base. El área de cada uno de los cuatro lados verticales es$x⋅y.$ El área de la base es$x^2$. Por lo tanto, la superficie de la caja es

$S=4xy+x^2$.

Paso 4: Dado que el volumen de esta caja es$x^2y$ y el volumen se da como$216\,\text{in}^3$, la ecuación de restricción es

$x^2y=216$.

Resolviendo la ecuación de restricción para$y$, tenemos$y=\dfrac{216}{x^2}$. Por lo tanto, podemos escribir el área de superficie en función$x$ únicamente de:

\[S(x)=4x\left(\dfrac{216}{x^2}\right)+x^2.\nonumber \]

Por lo tanto,$S(x)=\dfrac{864}{x}+x^2$.

Paso 5: Ya que estamos requiriendo eso$x^2y=216$, no podemos tener$x=0$. Por lo tanto, necesitamos$x>0$. Por otro lado,$x$ se permite tener cualquier valor positivo. Tenga en cuenta que a medida que$x$ se hace grande, la altura de la caja$y$ se vuelve correspondientemente pequeña para que$x^2y=216$. De igual manera, a medida que$x$ se vuelve pequeña, la altura de la caja se vuelve correspondientemente grande. Concluimos que el dominio es el intervalo abierto e ilimitado$(0,∞)$. Tenga en cuenta que, a diferencia de los ejemplos anteriores, no podemos reducir nuestro problema a buscar un máximo absoluto o un mínimo absoluto sobre un intervalo cerrado y delimitado. Sin embargo, en el siguiente paso, descubrimos por qué esta función debe tener un mínimo absoluto sobre el intervalo$(0,∞).$

Paso 6: Tenga en cuenta que como$x→0^+,\, S(x)→∞.$ También, como$x→∞, \,S(x)→∞$. Ya que$S$ es una función continua que se acerca al infinito en los extremos, debe tener un mínimo absoluto en algunos$x∈(0,∞)$. Este mínimo debe ocurrir en un punto crítico de$S$. El derivado es

\[S′(x)=−\dfrac{864}{x^2}+2x.\nonumber \]

Por lo tanto,$S′(x)=0$ cuando$2x=\dfrac{864}{x^2}$. Resolviendo esta ecuación para$x$, obtenemos$x^3=432$, por lo$x=\sqrt[3]{432}=6\sqrt[3]{2}.$ que Dado que este es el único punto crítico de$S$, el mínimo absoluto debe ocurrir en$x=6\sqrt[3]{2}$ (ver Figura$\PageIndex{9}$).

Cuando$x=6\sqrt[3]{2}$,$y=\dfrac{216}{(6\sqrt[3]{2})^2}=3\sqrt[3]{2}\,\text{in.}$ Por lo tanto, las dimensiones de la caja deben ser$x=6\sqrt[3]{2}\,\text{in.}$ y$y=3\sqrt[3]{2}\,\text{in.}$ Con estas dimensiones, el área de superficie es

\[S(6\sqrt[3]{2})=\dfrac{864}{6\sqrt[3]{2}}+(6\sqrt[3]{2})^2=108\sqrt[3]{4}\,\text{in}^2\nonumber \]

Se grafica la función S (x) = 864/x + x2. En su mínimo hay una línea discontinua y texto que dice “La superficie mínima es 108 veces la raíz cúbica de 4 pulgadas cuadradas cuando x = 6 veces la raíz cúbica de 2 pulgadas”. — Figura$\PageIndex{9}$: Podemos utilizar una gráfica para determinar las dimensiones de una caja de dado el volumen y la superficie mínima.

Ejercicio$\PageIndex{6}$

Considera la misma caja abierta, que es tener volumen$216\,\text{in}^3$. Supongamos que el costo del material para la base es$20¢/\text{in}^2$ y el costo del material para los lados es$30¢/\text{in}^2$ y estamos tratando de minimizar el costo de esta caja. Escriba el costo en función de las longitudes laterales de la base. (Dejar$x$ ser la longitud lateral de la base y$y$ ser la altura de la caja.)

Pista: Si el costo de uno de los lados es$30¢/\text{in}^2,$ el costo de ese lado es$0.30xy$ dólares.

Responder: $c(x)=\dfrac{259.2}{x}+0.2x^2$dólares

Conceptos clave

Para resolver un problema de optimización, comience por dibujar un cuadro e introducir variables.
Encuentra una ecuación que relacione las variables.
Encuentra una función de una variable para describir la cantidad que se va a minimizar o maximizar.
Busque puntos críticos para ubicar los extremos locales.

Glosario

problemas de optimización: problemas que se resuelven encontrando el valor máximo o mínimo de una función

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Ejemplo\(\PageIndex{1}\): Maximizing the Area of a Garden

Ejercicio\(\PageIndex{1}\)

Estrategia de resolución de problemas: resolución de problemas de optimización

Ejemplo\(\PageIndex{2}\): Maximizing the Volume of a Box

Ejercicio\(\PageIndex{2}\)

Ejemplo\(\PageIndex{3}\): Minimizing Travel Time

Ejercicio\(\PageIndex{3}\)

Ejemplo\(\PageIndex{4}\): Maximizing Revenue

Ejercicio\(\PageIndex{4}\)

Ejemplo\(\PageIndex{5}\): Maximizing the Area of an Inscribed Rectangle

Ejercicio\(\PageIndex{5}\)

Ejemplo\(\PageIndex{6}\): Minimizing Surface Area

Ejercicio\(\PageIndex{6}\)