6.5: Funciones inversas
( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\)
Para esta sección, utilizaremos el concepto de producto cartesiano de dos conjuntosA yB, denotado porA×B, que es el conjunto de todos los pares ordenados(x,y) dondex∈A yy∈B. Es decir,
A×B={(x,y) | x∈A and y∈B}.
Consulte la Vista previa de la Actividad6.5.2 en la Sección 5.4 para una discusión más exhaustiva de este concepto.
Cuando graficamos una función real, trazamos pares ordenados en el plano cartesiano donde la primera coordenada es la entrada de la función y la segunda coordenada es la salida de la función. Por ejemplo, sig:R→R, entonces cada punto en la gráfica deg es un par ordenado(x,y) de números reales dondey=g(x). Esto muestra cómo podemos generar pares ordenados a partir de una función. Sucede que podemos hacer esto con cualquier función. Por ejemplo, vamos
A={1,2,3}yB={a,b}.
Definir la funciónF:A→B por
F(1)=a,F(2)=b, yF(3)=b.
Podemos convertir cada uno de estos a un par ordenado enA×B usando la entrada como la primera coordenada y la salida como la segunda coordenada. Por ejemplo,F(1)=a se convierte a(1,a),F(2)=b se convierte a(2,b), yF(3)=b se convierte a(3,b). Entonces podemos pensar en esta función como un conjunto de pares ordenados, que es un subconjunto deA×B, y escribir
F={(1,a),(2,b),(3,b)}.
Nota: Dado queF es el nombre de la función, es costumbre usarF como nombre para el conjunto de pares ordenados.
1. DejarA={1,2,3} y dejarC={a,b,c,d}. Definir la funcióng:A→C porg(1)=a,g(2)=b, yg(3)=d. Escribe la funcióng como un conjunto de pares ordenados enA×C.
Para otro ejemplo, si tenemos una función real, tal como:g:R→R byg(x)=x2−2, entonces podemos pensar eng como el siguiente subconjunto infinito deR×R:
g={(x,y)∈R×R | y=x2−2}.
También podemos escribir esto a veces escribir esto comog={(x,x2−2) | x∈R}.
2. f:Z→ZDéjese definir porf(m)=3m+5, para todosm∈Z. Use la notación set builder para escribir la funciónf como un conjunto de pares ordenados y luego use el método roster para escribir la funciónf como un conjunto de pares ordenados.
Entonces, cualquier funciónf:A→B puede considerarse como un conjunto de pares ordenados que es un subconjunto deA×B. Este subconjunto es
f={(a,f(a)) | a∈A}of={(a,b)∈A×B | b=f(a)}.
Por otro lado, si empezamos conA={1,2,3},B={a,b}, y
G={(1,a),(2,a),(3,b)}⊆A×B,
entonces podríamos pensar enG como una función deA aB conG(1)=aG(2)=a, yG(3)=b. La idea es usar la primera coordenada de cada par ordenado como entrada, y la segunda coordenada como salida. Sin embargo, no todos los subconjuntos deA×B pueden usarse para definir una función deA aB. Esto se explora en las siguientes preguntas.
- Vamosf={(1,a),(2,a),(3,a),(1,b)}. ¿Podría usarse este conjunto de pares ordenados para definir una función deA aB? Explique.
- Vamosg={(1,a),(2,a),(3,a)}. ¿Podría usarse este conjunto de pares ordenados para definir una función deA aB? Explique.
- Vamosh={(1,a),(2,b)}. ¿Podría usarse este conjunto de pares ordenados para definir una función deA aB? Explique.
DejarA={a,b,c,d} y dejarB={p,q,r,s}.
- Construir un ejemplo de una funciónf:A→B que sea una biyección. Dibuja un diagrama de flechas para esta función.
- En tu diagrama de flechas, dibuja una flecha desde cada elemento deB atrás hasta su elemento correspondiente enA. Explique por qué esto define una función deB aA.
- Si el nombre de la función en la Parte (2) esg, así queg:B→A, ¿qué song(p),g(q),g(r), yg(s)?
- Construir una tabla de valores para cada una de las funcionesg∘f:A→A yf∘g:B→B. ¿Qué observas de estas tablas de valores?
La representación de pares ordenados de una función
En Preview Activity6.5.1, observamos que si tenemos una funciónf:A→B, podemos generar un conjunto de pares ordenadosf que es un subconjunto de laA×B siguiente manera:
f={(a,f(a) | a∈A}of={(a,b)∈A×B | b=f(a)}.
Sin embargo, también aprendimos que algunos conjuntos de pares ordenados no se pueden usar para definir una función. Ahora queremos explorar bajo qué condiciones se puede usar un conjunto de pares ordenados para definir una función. Comenzando con una funciónf:A→B, ya que dom (f) =A, sabemos que
For every a∈A, there exists a b∈B such that (a,b)∈f.
Específicamente, utilizamosb=f(a). Esto dice que cada elemento deA puede ser utilizado como entrada. Además, para ser una función, cada entrada puede producir solo una salida. En cuanto a pares ordenados, esto significa que nunca habrá dos pares ordenados(a,b) y(a,c) en la funciónf dondea∈A,b,c∈B, yb≠c. Podemos formular esto como una declaración condicional de la siguiente manera:
For every a∈A and every b,c∈B,if (a,b)∈f and (a,c)∈f, then b=c.
Esto también significa que si comenzamos con un subconjuntof deA×B que satisface las condiciones en la Ecuación\ ref {6.5.1} y\ ref {6.5.2}, entonces podemos considerarf que es una función deA aB usandob=f(a) siempre que(a,b) esté enf. Esto prueba el siguiente teorema.
LetA yB be conjuntos no vacíos y letf ser un subconjunto deA×B que satisfaga las siguientes dos propiedades:
- Por cadaa∈A, existeb∈B tal que(a,b)∈f; y
- Por todosa∈A y cada unob,c∈B, si(a,b)∈f y(a,c)∈f, entoncesb=c.
Si usamosf(a)=b siempre(a,b)∈f, entoncesf es una función deA aB.
Una Nota sobre el Teorema 6.22. La primera condición en el Teorema 6.22 significa que cada elemento de A es una entrada, y la segunda condición asegura que cada entrada tenga exactamente una salida. Muchos textos utilizarán Teorema 6.22 como definición de una función. Muchos matemáticos creen que esta representación ordenada por pares de una función es la definición más rigurosa de una función. Nos permite utilizar la teoría de conjuntos para trabajar y comparar funciones. Por ejemplo, la igualdad de funciones se convierte en cuestión de igualdad de conjuntos. Por lo tanto, muchos libros de texto utilizarán la representación de pares ordenados de una función como definición de una función.
DejarA={1,2,3} y dejarB={a,b}. Explique por qué cada uno de los siguientes subconjuntos deA×B no se puede utilizar para definir una función deA aB.
- F={(1,a),(2,a)},
- G={(1,a),(2,b),(3,c),(2,c)}.
- Contestar
-
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La inversa de una función
En cursos previos de matemáticas aprendimos que la función exponencial (con basee) y las funciones de logaritmo natural son inversas unas de otras. Esto se expresó a menudo de la siguiente manera:
Para cada unox∈R conx>0 y para cada unoy∈R,y=lnx si y solo six=ey.
Observe que esto significa quex es la entrada yy es la salida para la función de logaritmo natural si y solo siy es la entrada yx es la salida para la función exponencial. En esencia, la función inversa (en este caso, la función exponencial) invierte la acción de la función original (en este caso, la función logaritmo natural). En términos de pares ordenados (pares entrada-salida), esto significa que si(x,y) es un par ordenado para una función, entonces(y,x) es un par ordenado para su inverso. Esta idea de revertir los roles de la primera y segunda coordenadas es la base de nuestra definición de la inversa de una función.
Dejarf:A→B ser una función. El inverso def, denotado porf−1, es el conjunto de pares ordenados{(b,a)∈B×A | f(a)=b}. Es decir,
f−1={(b,a)∈B×A | f(a)=b}.
Si usamos la representación de par ordenada paraf, también podríamos escribir
f−1={(b,a)∈B×A | (a,b)∈f}.
Observe que esta definición no establece quef−1 sea una función. Es simplemente un subconjunto deB×A. Después de estudiar el material en el Capítulo 7, diremos que esto significa quef−1 es una relación deB aA. Este hecho, sin embargo, no es importante para nosotros ahora. Nos interesa principalmente la siguiente pregunta:
¿Bajo qué condiciones la inversa de la funciónf:A→B será una función deB aA?
VamosA={a,b,c},B={a,b,c,d}, yC={p,q,r}. Definir
- Dibuja un diagrama de flechas para cada función.
- Determinar la inversa de cada función como un conjunto de pares ordenados.
- (a) ¿Esf−1 una función deC aA? Explique.
b) ¿Esg−1 una función deC aA? Explique.
c) ¿Esh−1 una función deC aB? Explique. - Dibuja un diagrama de flechas para cada inverso de la Parte (3) que es una función. Utilice su diagrama de flechas existente de la Parte (1) para dibujar este diagrama de flechas.
- Hacer una conjetura sobre qué condiciones en una funciónF:S→T asegurará que su inversa sea una función deT aS.
- Contestar
-
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Consideraremos ahora un argumento general sugerido por las exploraciones en Avance Check 6.24. Por definición, sif:A→B es una función, entoncesf−1 es un subconjunto deB×A. Sin embargo,f−1 puede o no ser una función deB aA. Por ejemplo, supongamos ques,t∈A cons≠t yf(s)=f(t). Esto se representa en la Figura 6.9.
En este caso, si tratamos de revertir las flechas, no obtendremos una función deB aA. Esto es porque(y,s)∈f−1 y(y,t)∈f−1 cons≠t. En consecuencia, nof−1 es una función. Esto sugiere que cuando nof es una inyección, entonces nof−1 es una función.
También, si nof es una sobreyección, entonces existez∈B tal quef(a)≠z para todosa∈A, como en el diagrama de la Figura 6.9. En otras palabras, no hay par ordenado enf conz como segunda coordenada. Esto significa que no habría un par ordenado enf−1 conz como primera coordenada. En consecuencia,f−1 no puede ser una función deB aA.
Esto motiva la afirmación en el Teorema 6.25. En la prueba de este teorema, frecuentemente cambiaremos de ida y vuelta de la representación entrada-salida de una función y la representación de pares ordenados de una función. La idea es que siG:S→T es una función, entonces paras∈S yt∈T,
G(s)=tsi y sólo si(s,t)∈G.
Cuando usamos la representación de par ordenado de una función, también usaremos la representación de par ordenado de su inversa. En este caso, sabemos que
(s,t)∈Gsi y sólo si(t,s)∈G−1.
DejarA yB ser conjuntos no vacíos y dejarf:A→B. El inverso def es una función deB aA si y solo sif es una biyección.
- Prueba
-
DejarA yB ser conjuntos no vacíos y dejarf:A→B. Primero asumiremos que f es una bijección y probaremos quef−1 es una función deB aA. Para ello, mostraremos quef−1 satisface las dos condiciones del Teorema 6.22.
Primero elegimosb∈B. Dado que la funciónf es una suryección, existea∈A tal quef(a)=b. Esto implica eso(a,b)∈f y por lo tanto eso(b,a)∈f−1. Así, cada elemento deB es la primera coordenada de un par ordenado enf−1, y por lo tantof−1 satisface la primera condición del Teorema 6.22.
Para probar quef−1 satisface la segunda condición del Teorema 6.22, debemos demostrar que cada elemento deB es la primera coordenada de exactamente un par ordenado enf−1. Así que vamosb∈B,a1,a2∈A y supongamos que
(b,a1)∈f−1y(b,a2)∈f−1.
Esto significa que\ ((a_1, b)\ in f) y\ ((a_2, b)\ in f). Entonces podemos concluir que
f(a1)=byf(a2)=b.
Pero esto significa esof(a1)=f(a2). Ya quef es una biyección, es una inyección, y podemos concluir quea1=a2. Esto demuestra queb es el primer elemento de un solo par ordenado enf−1. En consecuencia, hemos demostrado quef−1 satisface ambas condiciones del Teorema 6.22 y de ahí quef−1 sea una función deB aA.
Ahora asumimos quef−1 es una funciónB paraA y demostrar quef es una biyección. Primero, para probar quef es una inyección, asumimos esoa1,a2∈A y aquellof(a1)=f(a2). Eso queremos demostrarloa1=a2. Si lo permitimosb=f(a1)=f(a2), podemos concluir que
\ ((a_1, b)\ en f) y\ ((a_2, b)\ en f).
Pero esto significa que
(b,a1)∈f−1y(b,a2)∈f−1.
Ya que hemos asumido quef−1 es una función, podemos concluir quea1=a2. De ahí que f sea una inyección.
Ahora para probar quef es una surjección, elegimosb∈B y demostraremos que existea∈A tal esof(a)=b. Ya quef−1 es una función,b debe ser la primera coordenada de algún par ordenado enf−1. En consecuencia, existea∈A tal que
(b,a)∈.f−1.
Ahora esto implica eso(a,b)∈f y de ahí esof(a)=b. Esto prueba quef es una sobrejección. Como también hemos demostrado quef es una inyección, concluimos quef es una biyección.
Notación de función inversa
En la situación dondef:A→B es una biyección yf−1 es una función deB aA, podemos escribirf−1:B→A. En este caso, con frecuencia decimos quef es una función invertible, y generalmente no usamos la representación de pares ordenados para ningunof of−1. En lugar de escribir(a,b)∈f, escribimosf(a)=b, y en lugar de escribir(b,a)∈.f−1, escribimosf−1(b)=a. Usando el hecho de que(a,b)∈f si y solo si(b,a)∈.f−1, ahora podemos escribirf(a)=b si y solo sif−1(b)=a. Resumimos esto en el Teorema 6.26.
DejarA yB ser conjuntos no vacíos y dejarf:A→B que sea una bijección. Entoncesf−1:B→A es una función, y para cadaa∈A yb∈B.
f(a)=bsi y sólo sif−1(b)=a.
Para un ejemplo del uso de la notación en Teorema 6.26, letR+={x∈R | x>0}. Definir
f:R→Rporf(x)=x3; yg:R→R+ porg(x)=ex.
Observe queR+ es el codominio deg. Entonces podemos decir que ambasf yg son bijecciones. En consecuencia, las inversas de estas funciones también son funciones. De hecho,
f−1:R→Rporf−1(y)=3√y; yg−1:R+→R porg−1(y)=Iny.
Para cada función (y su inversa), podemos escribir el resultado del Teorema 6.26 de la siguiente manera:
Teoremas sobre las funciones inversas
Los siguientes dos resultados en esta sección son dos teoremas importantes sobre las funciones inversas. El primero es en realidad un corolario del Teorema 6.26.
DejarA yB ser conjuntos no vacíos y dejar quef:A→B sea una bijección. Entonces
- Para cadax enA,(f−1∘f)(x)=x).
- Para caday enB,(f∘f−1)(y)=y).
- Prueba
-
DejarA yB ser conjuntos no vacíos y asumir quef:A→B es una bijección. Así que vamosx∈A y vamosf(x)=y. Por Teorema 6.26, podemos concluir quef−1(y)=x. Por lo tanto,
\begin{array} {rcl} {(f^{-1} \circ f)(x)} &= & {f^{-1}(f(x))} \\ {} &= & {f^{-1}(y}} \\ {} &= & {x.} \end{array}
De ahí, para cada unox∈A,(f−1∘f)(x)=x).
El comprobante que para cada unoy enB,(f∘f−1)(y)=y) es Ejercicio (4).
Para la función de cubo y la función de raíz cúbica, hemos visto que
Parax,y∈R,x3=y si y solo si3√y=x.
Observe que
- Si sustituimosx3=y en la ecuación3√y=x, obtenemos3√x3=x.
- Si sustituimos3√y=x en la ecuaciónx3=y, obtenemos(3√y)3=y.
Esta es una ilustración de Corolario 6.28. Podemos ver esto usandof:R→R definido porf(x)=x3 yf−1:R→R definido porf−1(y)=3√y. Entoncesf−1∘f:R→R yf−1∘f=IR,
\boldsymbol{\beign{array} {rcl} [(f^{-1} \circ f)(x)} &= & {x} \\ {f^{-1}(f(x))} &= & {x} \\ {f^{-1}(x^3)} &= & {x} \\ {\sqrt[3]{x^3}} &= & {x.} \end{array}}
De igual manera, la ecuación(3√y)3=y para cada uno sey∈R puede obtener del hecho de que para cada unoy∈R,(f∘f−1)(y)=y).
Ahora vamos a considerar el caso dondef:A→B yg:B→C son ambas bijecciones. En este caso,f−1:B→A yg−1:C→B. La Figura 6.10 puede ser utilizada para ilustrar esta situación.
Por Teorema 6.20,g∘f:A→C es también una biyección. De ahí que, por el Teorema 6.25,(g∘f)−1 sea una función y, de hecho,(g∘f)−1:C→A. Observe que también podemos formar la composición deg−1 seguido porf−1 para obtenerf−1∘g−1:C→A. La Figura 6.10 ayuda a ilustrar el resultado del siguiente teorema.
Dejarf:A→B yg:B→C ser bijecciones. Entoncesg∘f es una biyección y(g∘f)−1=f−1∘g−1.
- Prueba
-
Dejarf:A→B yg:B→C ser bijecciones. Entoncesf−1:B→A yg−1:C→B. De ahí,f−1∘g−1:C→A. También, por Teorema 6.20,g∘f:A→C es una biyección, y por lo tanto(g∘f)−1:C→A. Ahora vamos a demostrar eso para cada unoz∈C,(g∘f)−1(z)=f−1∘g−1(z).
Vamosz∈C. Dado que la funcióng es una sobreyección, existey∈B tal que
g(y)=z.
También, comof es una sobrejección, existex∈A tal que
f(x)=y.
Ahora bien, estas dos ecuaciones se pueden escribir en términos de las respectivas funciones inversas como
g^{-1}(z) = y\text[; and}
f−1(y)=x.
Usando las ecuaciones (6.5.5) y (6.5.6), vemos que
f−1∘g−1(z)=f−1(g−1(z))=f−1(y)=x.
Usando de nuevo las ecuaciones (6.5.3) y (6.5.4), vemos eso(g∘f)(x)=z. Sin embargo, en términos de la función inversa, esto significa que
(g∘f)−1(z)=x.
Comparando las ecuaciones (6.5.7) y (6.5.8), hemos demostrado que para todosz∈C,(g∘f)−1(z)=f−1∘g−1(z). Esto lo demuestra(g∘f)−1=f−1∘g−1.
- DejarA={1,2,3} yB={a,b,c}.
(a) Construir un ejemplo de una funciónf:A→B que no sea una biyección. Escribe la inversa de esta función como un conjunto de pares ordenados. ¿Es la inversa def una función? Explique. Si es así, dibuje un diagrama de flechas paraf yf−1.
(b) Construir un ejemplo de una funcióng:A→B que sea una biyección. Escribe la inversa de esta función como un conjunto de pares ordenados. ¿Es la inversa deg una función? Explique. Si es así, dibuje un diagrama de flechas parag yg−1. - VamosS={a,b,c,d}. fDefinirf:S→S definiendo ser el siguiente conjunto de pares ordenados.
f={(a,c),(b,b),(c,d),(d,a)}
(a) Dibuje un diagrama de flechas para representar la funciónf. ¿Es la función fa bijección?
(b) Escribir la inversa def como un conjunto de pares ordenados. ¿Esf−1 una función? Explique.
(c) Dibuja un diagrama de flechas paraf−1 usar el diagrama de flechas del Ejercicio (2a).
(d) Cómputos(f−1∘f)(x) y(f∘f−1(x) para cada unox enS. ¿Qué teorema ilustra esto? - Las funciones inversas se pueden utilizar para ayudar a resolver ciertas ecuaciones. La idea es usar una función inversa para deshacer la función.
(a) Dado que la función de raíz cúbica y la función de cubo son inversas entre sí, a menudo podemos usar la función de raíz cúbica para ayudar a resolver una ecuación que involucra un cubo. Por ejemplo, el paso principal para resolver la ecuación
(2t−1)3=20
es tomar la raíz cúbica de cada lado de la ecuación. Esto da
\boldsymbol{\begin{array} {rcl} {\sqrt[3]{(2t - 1)^3} &= & {\sqrt[3]{20}} \\ {2t - 1} &= &{\sqrt[3]{20}.} \end{array}}
Explicar cómo este paso en la resolución de la ecuación es un uso de Corolario 6.28.
(b) Un paso principal para resolver la ecuación\ (e^ {2t - 1} = 20} es tomar el logaritmo natural de ambos lados de esta ecuación. Explicar cómo este paso es un uso de Corolario 6.28, y luego resolver la ecuación resultante para obtener una solución para t en términos de la función logaritmo natural.
c) ¿Cómo son similares los métodos de resolución de las ecuaciones en el Ejercicio (3a) y en el Ejercicio (3b)? - Demostrar Parte (2) del Corolario 6.28. DejarA yB ser conjuntos no vacíos y dejar quef:A→B sea una bijección. Entonces para caday enB,(f∘f−1(y)=y.
- En la comprobación de progreso 6.6 en la página 298, definimos la función de identidad en un conjunto. La función de identidad en el conjuntoT, denotada porIT, es la funciónIT:T→T definida porIT(t)=t para cadat entradaT. Explicar cómo se puede afirmar el Corolario 6.28 utilizando el concepto de igualdad de funciones y las funciones de identidad en los conjuntosA yB.
- Dejarf:A→B yg:B→A. DejarIA yIB ser las funciones de identidad en los conjuntosA yB, respectivamente. Demostrar cada uno de los siguientes: a
) Sig∘f=IA, entoncesf es una inyección.
(b) Sig∘g=IB, entoncesf es una sobrejección.
(c) Sig∘f=IA yg∘g=IB, entoncesf yg son biyecciones yg=f−1. - a) Definirf:R→R porf(x)=e−x2. ¿Es la inversa def una función? Justifica tu conclusión.
b) DejarR∗={x∈R | x≥0}. Definirg:R∗→(0,1] porg(x)=e−x2. ¿Es la inversa deg una función? Justifica tu conclusión. - (a) Quef:R→R se defina porf(x)=x2. Explique por qué la inversa de nof es una función.
b) DejarR∗={t∈R | t≥0}. Definirg:R∗→R∗ porg(x)=x2. Explique por qué esta función de cuadratura (con un dominio restringido y un codominio) es una biyección.
(c) Explicar cómo definir la función raíz cuadrada como la inversa de la función en el Ejercicio (8b).
d) Verdadero o falso:(√x)2=x para todosx∈R tales quex≥0.
e) Verdadero o falso:√x2=x para todosx∈R. - Demostrar lo siguiente:
Sif:A→B es una biyección, entonces tambiénf−1:B→A es una biyección. - Para cada número naturalk, dejaAk ser un conjunto, y para cada número naturaln, dejafn:An→An+1.
Por ejemplo,f1=A1→A2,f1=A1→A2,f2=A2→A3,f3=A3→A4, y así sucesivamente.
Usa inducción matemática para demostrar que para cada número naturaln conn≥2, sif1f2,,...,fn son todas biyecciones, entoncesfn∘fn−1∘⋅⋅⋅∘f2∘f1 es una biyección y
\ [(f_n\ circ f_ {n - 1}\ circ\ cdot\ cdot\ cdot\ circ f_2\ circ f_1) ^ {-1} = f_ {1} ^ {-1}\ cdot f_ {2} ^ {-1}\ cdot\ cdot\ cdot\ cdot\ cdot\ circ f_ {n - 1} ^ {-1}\ circ f_ {n} ^ {-1}
Nota: Esta es una extensión del Teorema 6.29. De hecho, el Teorema 6.29 es el paso base de esta prueba paran=2. - a)Define\(f:R→Rporf(x)=x2−4 para todosx∈R. Explique por qué la inversa de la función nof es una función.
b) DejarR∗={x∈R | x≥0} y dejarT={y∈R | y≥−4}. DefinirF:R∗→T porF(x)=x2−4 para todosx∈R∗. Explicar por qué la inversa de la funciónF es una función y encontrar una fórmula paraF−1(y), dóndey∈T. - VamosZ5={0,1,2,3,4}.
(a) Definirf:Z5→Z5 porf(x)=x2+4 (mod 5) para todosx \in \mathbb{Z}_5. Escribe la inversa def como un conjunto de pares ordenados y explica por qué nof^{-1} es una función.
(b) Definirg: \mathbb{Z}_5 \to \mathbb{Z}_5 porg(x) = x^3 + 4 (mod 5) para todosx \in \mathbb{Z}_5. Escribe la inversa deg como un conjunto de pares ordenados y explica por qué nog^{-1} es una función.
c) ¿Es posible escribir una fórmula parag^{-1}(y), dóndey \in \mathbb{Z}_5? La respuesta a esta pregunta depende de si es posible o no definir una raíz cubo de elementos de\mathbb{Z}_5. Recordemos que para un número realx, definimos la raíz cubo de x al número realy tal quey^3 = x. Es decir,
y = \sqrt[3]{x} \text{ if and only if } y^3 = x.
Usando esta idea, ¿es posible definir la raíz cubo de cada número en\mathbb{Z}_5? Si es así, qué es\sqrt[3]{0}\sqrt[3]{1},\sqrt[3]{2},\sqrt[3]{3}, y\sqrt[3]{4}.
(d) Ahora responde a la ecuestión planteada al inicio de la Parte (c). Si es posible, determine una fórmula parag^{-1}(y) dóndeg^{-1}: \mathbb{Z}_5 \to \mathbb{Z}_5.
Exploraciones y actividades - Construyendo una Función Inversa. Sif: A \to B es una biyección, entonces sabemos que su inversa es una función. Si se nos da una fórmula para la funciónf, puede ser deseable determinar una fórmula para la funciónf^{-1}. Esto a veces se puede hacer, mientras que en otras ocasiones es muy difícil o incluso imposible.
Dejarf: \mathbb{R} \to \mathbb{R} ser definido porf(x) = 2x^3 - 7. Una gráfica de esta función sugeriría que esta función es una biyección.
a) Demostrar que la función f es una inyección y una sobreyección.
Vamosy \in \mathbb{R}. Una forma de demostrar quef es una surjección es establecery = f(x) y resolver parax. Si esto se puede hacer, entonces sabríamos que existex \in \mathbb{R} tal esof(x) = y. Para la funciónf, estamos usandox para la entrada e y para la salida. Al resolver forx en términos dey, estamos intentando escribir una fórmula dondey está la entrada yx es la salida. Esta fórmula representa la función inversa.
(b) Resolver la ecuacióny = 2x^3 - 7 parax. Usa esto para escribir una fórmula paraf^{-1}(y), dondef^{-1}: \mathbb{R} \to \mathbb{R}.
(c) Utilizar el resultado de la Parte (13b) para verificar que para cada unox \in \mathbb{R},f^{-1}(f(x)) = x y para cada unoy \in \mathbb{R},f(f^{-1}(y)) = y.
Ahora vamos\mathbb{R}^{+} = \{y \in \mathbb{R}\ |\ y > 0\}. Definirg: \mathbb{R} \to \mathbb{R}^{+} porg(x) = e^{2x - 1}.
d) Establecery = e^{2x - 1} y resolverx en términos dey.
(e) Utilice su trabajo en Ejercicio (13d) para definir una funciónh: \mathbb{R}^{+} \to \mathbb{R}.
f) Para cada unox \in \mathbb{R}, determinar(h \circ g)(x) y para cada unoy \in \mathbb{R}^{+}, determinar(g \circ h)(y).
g) Utilizar el Ejercicio (6) para explicar por quéh = g^{-1}. - La Función Sinusoidal Inversa. Hemos visto que para obtener una función inversa, a veces es necesario restringir el dominio (o el codominio) de una función.
(a) Quef: \mathbb{R} \to \mathbb{R} se defina porf(x) = sin x. Explique por qué la inversa de la función nof es una función. (Un gráfico puede ser útil.)
Observe que si usamos la representación de par ordenado, entonces la función seno se puede representar como
f = \{(x, y) \in \mathbb{R} \to \mathbb{R}\ |\ y = sin x\}.
Si denotamos la inversa de la función sinusoidal por pecado^{-1}, entonces
f^{-1} = \{(y, x) \in \mathbb{R} \to \mathbb{R}\ |\ y = sin x\}.
La parte (14a) prueba que nof^{-1} es una función. Sin embargo, en cursos previos de matemáticas, frecuentemente se utilizó la “función sinusoidal inversa”. Esta no es realmente la inversa de la función sinusoidal tal como se define en la Parte (14a) sino, más bien, es la inversa de la función sinusoidal restringida al dominio[-\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2}].
b) Explicar por qué la funciónF: [-\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2}] \to [-1, 1] definida porF(x) = sin x es una biyección.
La inversa de la función en Part (14b) es en sí misma una función y se llama la función sinusoidal inversa (o a veces la función arcoseno).
(c) ¿Cuál es el dominio de la función sinusoidal inversa? ¿Cuáles son el rango y el codominio de la función sinusoidal inversa?
Ahora usemosF(x) = \text{sin(\(x)}\) para representar la función sinusoidal restringida en la Parte (14b). Por lo tanto,F^{-1} (x) = \text{sin\(^{-1} (x)}\) se puede utilizar para representar la función sinusoidal inversa. Observe que
F: [-\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2}] \to [-1, 1] \text{ and } F^{-1}: [-1, 1] \to [-\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2}].
(d) Usando esta notación, explique por qué
\text{sin\(^{-1}} y = x\) si y solo si [y = \text{sin \(x}\) y-\dfrac{\pi}{2} \le x \le \dfrac{\pi}{2}];
\text{sin(sin\(^{-1}} (y)) = y\) para todosy \in [-1, 1]; y
\text{sin\(^{-1} (sin ( x))} = x\) para todosx \in [-\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2}].
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