6: Relaciones y Funciones

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Si la evolución realmente funciona, ¿cómo es que las madres solo tienen dos manos?

—Milton Berle

6.1: Relaciones
Una relación en matemáticas es un símbolo que se puede colocar entre dos números (o variables) para crear una sentencia lógica (o oración abierta). El punto principal aquí es que la inserción de un símbolo de relación entre dos números crea una declaración cuyo valor es verdadero o falso. Por ejemplo, anteriormente hemos visto el símbolo de divisibilidad (|) y notamos el error común de confundirlo con el símbolo de división (/).
6.2: Propiedades de las Relaciones
Hay dos clases especiales de relaciones que estudiaremos en las dos secciones siguientes, las relaciones de equivalencia y las relaciones de orden. El prototipo para una relación de equivalencia es la noción ordinaria de igualdad numérica, =. La relación prototípica de ordenación es ≤. Cada uno de estos tiene ciertas propiedades sobresalientes que son las causas fundamentales de su importancia. En esta sección, estudiaremos un compendio de propiedades que una relación puede o no tener.
6.3: Relaciones de equivalencia
La idea principal de una relación de equivalencia es que es algo así como la igualdad, pero no del todo. Por lo general hay alguna propiedad que podamos nombrar, por lo que esas cosas equivalentes comparten esa propiedad. Por ejemplo Albert Einstein y Adolf Eichmann eran dos seres humanos completamente diferentes, si consideras todos los diferentes criterios que se pueden utilizar para distinguir a los seres humanos hay poco que tienen en común.
6.4: Relaciones de Ordenamiento
6.5: Funciones
El concepto de función es una de las abstracciones más útiles en matemáticas. De hecho, ¡es una abstracción que se puede abstraer aún más! Por ejemplo, un operador es una entidad que toma funciones como entradas y produce funciones como salidas, por lo que un operador es para funciones como funciones en sí mismas son para números. Hay muchos operadores con los que sin duda ya te has encontrado —pero no con ese nombre.
6.6: Funciones especiales
Hay muchas funciones que fallan en la prueba de línea horizontal para la que, sin embargo, parece que tenemos funciones inversas para. Por ejemplo, x^2 falla HLT pero la raíz cuadrada de x es una inversa bastante razonable para ello; solo hay que tener cuidado con el problema de “más o menos”. Esta aparente contradicción puede resolverse utilizando la noción de restricción.