3.5: Comentarios y soluciones

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78.

a) Esta es la forma más simple de todas: se dan 3; 2 se quitan; entonces lo que queda es “3 - 2”.

b) La longitud es una cantidad continua (en lugar de una cantidad discreta, como manzanas o dulces). Así que tenemos que percibir un segmento de línea (parcialmente oculto bajo el agua) en lugar de una cantidad. Conocemos la longitud total del poste, y la longitud de la porción sobresaliente. Entonces podemos inferir la longitud oculta restando.

Nota: Este tipo de “resta geométrica” es necesaria en muchos contextos (tales como: probar la fórmula general

$\begin{matrix} \frac{1}{2} (base \times altura) \end{matrix}$

para el área de un triángulo, o mostrando que el área del paralelogramo abarcada por el origen y los vectores (a, b), (c, d) es |ad — bc|, o en Elementos de Euclides, Libro I, Proposición 2). La idea puede ser extrañamente esquiva

c) La situación aquí es significativamente diferente. Comenzamos con los hermanos y hermanas de Tanya, y terminamos con la noción relacionada, pero diferente, de “niños y niñas en la familia de Tanya”. El “3” no representa nada específico: es un exceso numérico (de los hermanos de Tanya sobre sus hermanas). En contraste, el “1” parece representar a la propia Tanya, a quien hay que tomar en cuenta cuando cambiamos del escenario inicial (hermanos y hermanas de Tanya) a la pregunta final sobre “niños y niñas en la familia de Tanya”.

d) Sin duda esto puede resolverse dibujando un cuadro en el que la estructura subyacente sólo se aprecia superficialmente. Pero debajo de la superficie, parece ser una representación mucho más abstracta de “3 — 1 = 2”. El “3” sin duda representa las “tres piezas”. Pero la operación “—1” obviamente no está restando nada.

La observación relevante es simplemente que, a partir de un extremo, se alternan piezas y cortes. Entonces, si ignoramos el final inicial, debe haber el mismo número de piezas y cortes -salvo que si empezamos con un tronco (en lugar de una cinta larga de la que estamos cortando piezas), el “último corte” es “el otro extremo del tronco”, que ya ha sido cortado- así que no necesita ser cortado de nuevo, y esto obliga nosotros para restar 1 del número de piezas para obtener el número de cortes adicionales.

Nota: Esta idea surge en muchos escenarios, y a veces se la conoce como “Publicaciones y brechas”. A veces uno tiene que “restar 1” como aquí; en otras ocasiones uno tiene que “sumar 1” (por ejemplo, al contar el número de “postes”, si se nos da el número de “huecos”, o “paneles de cerco”).

e) Una vez más nos encontramos ante una cantidad - tiempo continuo. En esta ocasión el problema nos invita a construir una (¿horizontal?) diagrama muy parecido al polo y al agua en (b). Pero esta vez, es probable que el origen se perciba como “ahora”, con una línea de tiempo que se remonta a 1 hora (¿a la izquierda?) para marcar la hora en que vencía el tren, para luego pasar 3 horas (a la derecha), pasando por el origen hasta un punto dentro de 2 horas.

f) No está claro cómo los niños pequeños podrían abordar esto con “las manos desnudas”. Sin embargo, en algún momento uno quisiera que vieran las palabras como evocando la poderosa (y bastante diferente) imagen subyacente de las “escalas”, o una “ecuación” imaginada. Una vez que uno 've' las dos cacerolas de una balanza, con un “ladrillo y una pala” en un lado equilibrados por “tres ladrillos” en el otro, uno puede imaginar quitar “1 ladrillo” de cada sartén para quedar con la pala por sí sola equilibrada por ladrillos “3 — 1 = 2”.

g) Se trata de alguna manera de una versión más sencilla de “Puestos y brechas”. No obstante, hay un paso adicional -ya que ya no estamos simplemente contando las brechas, sino traduciendo este número de conteo en una distancia. En esta instancia, si uno no presta demasiada atención al paso extra, ambos dan una respuesta “2”.

Nota: El impacto del paso extra (cambiar del número de conteo discreto a la distancia continua) se puede ver más claramente en el número de errores que se cometen cuando los estudiantes se enfrentan a variaciones tales como:

“Hay diez farolas en mi calle, y están a 70 metros de distancia.
¿Qué tan lejos está de la primera a la última?”

h) Se sospecha que este problema superficialmente simple resultaría inaccesible a menos que los alumnos hayan aprendido a representar los problemas verbales de manera diagramática, o que ya hayan dominado el álgebra simple. El “3” y el “1” no representan entidades del mundo real; por lo que uno tiene que estar preparado para marcar un “3” en una recta numérica, e interpretar “promedio” como indicativo de que las dos cantidades desconocidas se encuentran igualmente espaciadas a cada lado de la misma. “La mitad de su diferencia” es entonces mirar uno a la cara, y el número menor (a la izquierda) es claramente “3 — 1”.

Nota: Esto puede parecerse más bien al tren atrasado en la parte (e). Sugerimos que es significativamente diferente.

(i) El argumento agrega claramente capas de dificultad que tendemos a pasar por alto. Aprender a “reconocer la estructura” y a traducir las palabras en una forma que permita calcular es claramente un arte no trivial (y descuidado). Las distancias en kilómetros pueden transmitir algo más activo que la “longitud de un poste de barcaza” dada en la parte (b), o los tiempos reportados en la parte (e), aunque el diagrama -una vez construido- sea muy similar (siempre que por supuesto que “a lo largo de la misma carretera” se interprete como “en la misma dirección”).

Nota: Considere el siguiente ítem de un estudio internacional autorizado TIMSS 2011 ⁶ para alumnos de alrededor de 14 años:

“Los puntos A, B y C se encuentran en una línea y B está entre A y C. Si AB = 10 cm y BC = 5.2 cm, ¿cuál es la distancia entre los puntos medios de AB y BC?

A 2.4 cm B 2.6 cm C 5.0 cm D 7.6 cm”

La pregunta es una pregunta de opción múltiple, y las opciones representan diferentes formas de no traducir las palabras en un diagrama adecuado, o interpretarlas correctamente. El muestreo (en alrededor de 50 países) se realizó con mucho cuidado. Por lo que las diferentes tasas de éxito en diferentes países (de los cuales 5 se dan a continuación) sugieren que algunos sistemas prestan muy poca atención a ayudar a los alumnos a aprender el arte subyacente relevante:

Rusia 60%, Hungría 41%, Australia 40%, Inglaterra 38%, Estados Unidos 29%

(j) La historia aquí tiene un sabor diferente. La línea de tiempo es el reverso del tren atrasado en la parte (e), sin embargo, la medición en siglos puede hacer que la cuestión sea menos accesible de inmediato. Puede ser más difícil “sentir” una interpretación natural, por lo que el éxito puede depender más de la voluntad de representar la información dada de manera abstracta.

(k) Hasta ahora, todos los problemas eran estáticos o implicaban el movimiento en una forma directamente accesible. Aquí nos encontramos por primera vez con la necesidad de interpretar las palabras en términos de “movimiento relativo”. Puede que llegue hasta imaginarme nadando río arriba en el río (contra la corriente); pero ni el “3” ni el “1” tienen ninguna relevancia directa para mí en ese momento: hay que imaginarlos (como “yo nadando en aguas inmóviles”, y “el efecto del río en frenarme”), y luego interpretarlos de una manera que permita un cálculo sencillo.

(l) Las palabras necesitan ser interpretadas desde un tipo de historia muy diferente: si el ^segundo es un domingo, entonces el “primer martes” debe ser el 4 ^º. Por lo tanto, hay “3” días anteriores al primer martes -de los cuales solo “1” (domingo) no es un día hábil. Todo lo que se necesita es “contar”; pero la redacción requiere de un tipo diferente de interpretación.

⁶ Tendencias en el Estudio Internacional de Matemáticas y Ciencias, https://timssandpirls.bc.edu/timss2011/index.html

(m) Este es otro ejemplo de “velocidades relativas”, pero la necesidad de restar ya no surge por el desplazamiento en direcciones opuestas. De alguna manera es más simple que (k); sin embargo, la pregunta final se relaciona con algo menos tangible -es decir, la “velocidad a la que disminuye la distancia entre nosotros”. Antes de que uno entienda las velocidades relativas, uno tiene que optar por enfocarse en “lo que sucede durante cada hora”, donde cubro 3 km y mi amigo cubre solo 1 km, con la diferencia “3 — 1” no midiendo nada tangible, sino siendo la cantidad por la que nuestra separación disminuye durante esa hora.

(n) Aquí es aún más importante traducir en forma concreta la información dada sobre “tarifas”. “Al mismo tiempo” deberían desencadenar las preguntas: “¿Cuántas tripulaciones se necesitarían para (3 — 1) km?” , que luego puede desencadenar la pregunta: “¿Cuánto tiempo podría cavar una zanja 1 tripulación al mismo tiempo?”. Sea cual sea el enfoque que se tome, vale la pena preguntarse “Si la respuesta es “3 — 1”, ¿qué es exactamente el “3”? ¿Y cuál es el “1”?”

(o) Esto sí presume cierto grado de fluidez en “modelar” la información dada (por ejemplo, saber que las “zonas horarias adyacentes” casi siempre difieren en 1 hora, y que la rotación de la Tierra es de Occidente a Oriente, de modo que el Sol “sale” primero en Oriente). En la superficie, si el “3” se interpreta como el “3” en 3 pm, entonces el cálculo “3 — 1” es un ajuste, más que una resta estricta (las 3 pm y la “diferencia horaria de 1 hora” no son realmente cantidades comparables con las que se puede hacer aritmética). A un nivel más profundo se puede convertir tanto el “3” como el “1” en cantidades comparables, y así justificar la aritmética.

(p) Aquí nos enfrentamos de lleno a lo que ha estado acechando justo debajo de la superficie de ciertos problemas anteriores (como (n)) -es decir, que estamos tratando con proporción (aproximada). Ignoramos las diferencias marginales en la distancia a un objeto distante en ángulos ligeramente diferentes, y comparamos por un lado

distancias a lo largo de la trayectoria del avión (medidas en “longitudes del plano”), y

y por otro lado

el tiempo que tardó el fuego antiaéreo en llegar al avión.

Esta comparación tiene que hacerse debido a la complicación añadida del cambio en la velocidad relativa de la pistola y el avión.

La regla general dada especifica la dirección en la que debe apuntar un artillero estacionario; y el movimiento reportado (irrealistamente rápido, pero presumido que es constante) del arma introduce una versión bidimensional (vectorial) de “nadar aguas arriba”, lo que sugiere la respuesta esperada “dos tercios de 3 longitudes de plano”, por lo que que “1” de las “3 longitudes del avión” se compensa con el movimiento del arma.

(q) Una solución vuelve a depender de representar la información dada de alguna forma. Ya sea que uno use símbolos o no, la redacción invita al solucionador a usar “mi edad actual (en años)” como unidad preferida, y a representar “la edad actual de mi hermano” como “3” de estas unidades básicas. El “3 — 1” representa entonces cuánto mayor es que yo -y de ahí la edad que tenía cuando yo nací, o “cuántas veces mi edad actual tenía cuando yo nací”.

Nota: La elección de unidad puede ocultar el hecho de que la pregunta y la solución están enraizadas en proporción y proporción.

(r) La resta “3 — 1” aquí solo tiene sentido en aritmética (mod 3), donde “resto 0 (en división por 3)” y “resto 3” son en cierto sentido equivalentes. Si bien el “1” en “3 — 1” puede tomarse como el “1” que se agrega al número original en la pregunta, el “3” es un resto inventado, que es intercambiable con “0” cuando se trabaja (mod 3).

(s) En la respuesta habitual “3 — 1”, se podría argumentar que el “1” sí aparece en la pregunta, pero que el “3” no. Nuevamente se trata de la proporción, donde los tiempos tomados (a velocidad constante) son proporcionales a las longitudes, o a las distancias recorridas. Primero la longitud dada (1 km) del tren y el tiempo dado (1 minuto) en relación con el “polo por el lado de la vía” da una simple constante de proporción (= 1), lo que nos permite traducir el tiempo tomado en la distancia recorrida (y por lo tanto calcular la velocidad). Si reinterpretamos el “punto final del túnel” como que es como otro “polo al lado de la vía”, entonces toma 1 minuto para que el tren salga del túnel, y por lo tanto “3 — 1 minutos” para que los amortiguadores frontales del tren cubran toda la longitud del túnel, que por lo tanto tiene “(3 — 1) km” de largo (dado que la constante de proporcionalidad = 1).

(t) No está claro cómo interpretar el “3” y el “1” en “3 — 1” sin ensuciarse las manos con la configuración descrita. En particular, en algún lugar a lo largo de la línea se tiene que interpretar la separación de “3 km” entre tranvías como reveladora de que la longitud total de la vía es de 9 km, y de ahí que cada uno de los dos tramos paralelos de vía es de 4.5 km.

El “tranvía en la vía opuesta” se desplaza en sentido contrario, se encuentra a 1 km de distancia, y está “3 km adelante” (o” 3 km atrás”); por lo que uno de estos tranvías se encuentra a 1 km del final de la vía, y el otro está en la otra vía y a 2 km de un extremo (viajando en sentido contrario). Hay exactamente dos configuraciones posibles, cada una surgida de la otra si invertimos la dirección de desplazamiento. Al elegir la dirección de desplazamiento (o al permitir “velocidad negativa”) podemos suponer que el tranvía A está a 2 km del mismo extremo de la vía y que el tranvía B frente a él está a 1 km más allá del final de la vía en el lado opuesto. El tranvía C está 3 km por delante de B, y de ahí 4 km abajo de ese tramo de vía de 4.5 km (por lo que aún no ha “girado la esquina”). De ahí que esté 1 km más cerca de su vecino más cercano (A) que a B.

79. Si ignoramos la primera oración, entonces podría haber cero niñas (y cinco niños). Pero la primera frase garantiza que hay al menos una niña (“Katya y sus amigas”). Por lo que los niños y niñas deben alternar, dando lugar a 5 niñas.

80. El problema requiere un grado de “modelización” en que “solución al 60% de ácido” sugiere que la relación inicial

$\begin{matrix} “ácido : agua” = 60 : 40. \end{matrix}$

De ahí que los 10 litros iniciales estén constituidos por 4 litros de agua y 6 litros de ácido. Agregar agua no cambia la cantidad de ácido; por lo que queremos que 6 litros sean 20% de la mezcla final, que por lo tanto debe ser de 30 litros. De ahí que debemos agregar 20 litros.

81. La diferencia de edades es $\frac{3}{2} \times d$ , donde d es la edad de la hija en años. Hace seis años la diferencia era tres veces la edad de la hija, que entonces era d — 6 años. De ahí

$\begin{matrix} 3 (d - 6) = \frac{3}{2} \times d, \end{matrix}$

así que d = 12.

82.

Nota: Apuntalando todos esos problemas está el “método unitario”, que aquí entra en sí mismo. Se trata de una herramienta esencial, que apenas se enseña, y no se practica suficientemente. (Como resultado muchos estudiantes traducen sin pensar “Tom toma 2 horas” como “T = 2”, etc.)

(a) Cuando todos trabajan juntos necesitamos saber no cuánto tiempo tarda cada uno en hacer el trabajo, sino a qué ritmo trabaja cada colaborador.

Tom hace el trabajo en 2 horas, así que trabaja a razón de” $\frac{1}{2}$ de un trabajo en 1 hora”. Dick trabaja a un ritmo de” $\frac{1}{3}$ de un trabajo en 1 hora”, y Harry trabaja a razón de” $\frac{1}{4}$ de un trabajo en 1 hora”.

Así que trabajando juntos, pueden gestionar

$\begin{matrix} \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} = \frac{13}{12} \end{matrix}$

de un trabajo en 1 hora.

Por lo tanto, para completar 1 trabajo requieren $\frac{12}{13}$ de una hora.

b) Como en la parte (a), necesitamos conocer la velocidad a la que trabaja cada hombre.

Supongamos que Tom completa la fracción t de un trabajo en 1 hora, que Dick complete la fracción d de un trabajo en 1 hora, y que Harry complete la fracción h de un trabajo en 1 hora.

Después en 1 hora, trabajando juntos, completan (t + d + h) trabajos; así que para completar 1 trabajo los lleva

$\begin{matrix} \frac{1}{t + d + h} horas. \end{matrix}$

Por lo tanto, necesitamos encontrar “t + d + h”.

En 1 hora, Tom y Dick juntos completan t + d trabajos. Y nos dicen que en 2 horas completan 1 trabajo, así $t + d = \frac{1}{2}$ . Del mismo modo $d + h = \frac{1}{3}$ , y $h + t = \frac{1}{4}$ .

Adición de rendimientos

$\begin{matrix} 2 (t + d + h) = \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4}, \end{matrix}$

por lo

$\begin{matrix} t + d + h = \frac{13}{24} . \end{matrix}$

De ahí que el tiempo requerido para que Tom, Dick y Harry terminen 1 trabajo trabajando juntos es

$\begin{matrix} \frac{1}{t + d + h} = \frac{24}{13} \end{matrix}$

horas.

Nota: Alternativamente, uno podría dejar que Tom tome T horas para completar 1 trabajo, Dick tome D horas para completar 1 trabajo y Harry tome H horas para completar 1 trabajo. Entonces

$\begin{matrix} t = \frac{1}{T}, d = \frac{1}{D}, h = \frac{1}{H} . \end{matrix}$

83. Imagina los dos campos como tiras de igual ancho, con el campo más grande dos veces más largo que el más pequeño.

La tira grande fue completamente segada en dos partes:

(i) por todo el equipo trabajando durante el primer medio día, y

ii) a la mitad del equipo que trabaje durante la segunda mitad del día.

De ahí que todo el equipo cortara dos tercios del campo grande y el medio equipo cortara el tercio restante.

Entonces el medio equipo, que trabajaba en el campo más pequeño, cortó el equivalente a un tercio del campo más grande, es decir, dos tercios del campo (medio tamaño) más pequeño. Por lo tanto, el tercio restante del campo más pequeño fue segado por un solo hombre al segundo día.

Los dos tercios anteriores del campo más pequeño (el doble) se cortaron en medio día (la mitad del tiempo), por lo que debió haber requerido 4 (= cuatro veces más) hombres. Por lo que todo el equipo contenía 8 segadoras.

Alternativamente, podemos suponer que hay 2n segadoras (ya que se dice que el equipo se divide en dos mitades), y que cada segadora corta a razón de “r grandes campos por día”.

El trabajo total realizado para completar el campo más grande es entonces

(i) $(2 n \times r) \times \frac{1}{2}$ por la mañana y

ii) $(n \times r) \times \frac{1}{2}$ por la tarde

donde cada parte es igual a

$\begin{matrix} (número de hombres \times tasa de trabajo) \times (duración del tiempo trabajado) . \end{matrix}$

Eso es $\frac{3}{2} n r$ . Entonces $\frac{3}{2} n r = 1$ .

El trabajo total realizado en el campo más pequeño es

(i) $(n \times r) \times \frac{1}{2}$ en la tarde del primer día, y

(ii) (1 × r) el segundo día.

Eso es $\frac{n + 2}{2} \times r$ . Entonces $\frac{n + 2}{2} \times r = \frac{1}{2}$ (ya que el campo más pequeño es la mitad del campo más grande). De ahí $\frac{3}{2} n = n + 2$ .

84. Las palabras “velocidad media” suelen provocar una suposición irreflexiva de que simplemente se le pide a uno que encuentre el promedio de los “números de velocidad” dados en el problema. El pensamiento de un momento debería recordarnos que la “velocidad media” para un viaje no es igual a la “media de las diversas velocidades tomadas como números puros”; es igual a

$\begin{matrix} (la distancia total recorrida) \div (el tiempo total) . \end{matrix}$

Si la distancia hasta el cerro es de m millas, entonces la subida toma $\frac{m}{2}$ horas, y el descenso lleva $\frac{m}{4}$ horas. La distancia total para el viaje de ida y vuelta es de 2 m millas, por lo que la velocidad promedio de Jack y Jill es

$\begin{matrix} \frac{2 m}{\frac{3 m}{4}} = \frac{8}{3} mph . \end{matrix}$

Nota: Primero cumplimos promedios para cantidades discretas, o números enteros, donde el objetivo es reemplazar una colección de cantidades, o números, por una sola estadística representativa. Si n cantidades contribuyen por igual, entonces cada una contribuye exactamente ${(\frac{1}{n})}^{th}$ a la media.

Una forma de ver esto es representar cada una de las cantidades que se promedian en un gráfico de barras, como rectángulos de ancho 1, y con altura correspondiente a la cantidad representada. “Sumando todas las cantidades y dividiendo por n” es entonces lo mismo que “calcular el área total debajo de la gráfica y luego dividir por la longitud total del intervalo”. En otras palabras, hemos sustituido el complicado gráfico de barras por una función constante (o un solo rectángulo), que tiene el mismo dominio que el gráfico de barras, y que tiene la misma área debajo de él (o integral) que el gráfico de barras más complicado.

Más generalmente, dada una función y = f (x) definida para valores de x en el intervalo [a, b], su promedio f _{[a, b]} (sobre el intervalo [a, b]) se define como

$\begin{matrix} f_{[a, b]} = \frac{\int_{a}^{b} f (x) d x}{| b - a |} . \end{matrix}$

Cuando hablamos de “velocidad promedio”, estamos pensando en cambiar la velocidad en función del tiempo; y la distancia total recorrida en cualquier intervalo de tiempo dado [a, b] es igual al área debajo de la gráfica. Queremos una sola “velocidad media” v _{[a, b]} (una función constante) que cubra la misma distancia en el mismo tiempo que la realidad más complicada de velocidad variable. Es decir,

consideramos la velocidad v (t) como una función del tiempo t,
luego integramos con respecto a t durante el intervalo de tiempo especificado [a, b], y
finalmente dividimos el resultado por la longitud total $| b - a |$ del intervalo de tiempo:

$\begin{matrix} v_{[a, b]} = \frac{\int_{a}^{b} v (t) d t}{| b - a |} . \end{matrix}$

En el Problema 84 la velocidad de marcha se da de manera engañosa en términos de “arriba” y “abajo”, que representan la primera mitad de la distancia recorrida, y la segunda mitad de la distancia recorrida. El solucionador cuidadoso sabe que tiene que encontrar “distancia total recorrida” y dividir por “tiempo total tomado”; pero puede que no note que de hecho ha reinterpretado la información dada para que la velocidad sea vista como una función del tiempo (más que de la distancia).

85.

Que la distancia recorrida en cada vuelta sea m km. Entonces la primera vuelta me lleva $\frac{m}{40}$ horas; la segunda vuelta me lleva $\frac{m}{30}$ horas; la tercera vuelta me lleva $\frac{m}{20}$ horas. Entonces el tiempo total necesario para las tres vueltas es

$\begin{matrix} \frac{m}{40} + \frac{m}{30} + \frac{m}{20} = \frac{13 m}{120} horas . \end{matrix}$

De ahí mi velocidad promedio para la carrera que cubre 3 m km es

$\begin{matrix} \frac{3 m}{(\frac{13 m}{120})} = \frac{360}{13} km/h . \end{matrix}$

Nota: Alternativamente, debido a que los dos factores de m en el numerador y el denominador se cancelan entre sí, esta respuesta puede formularse como la media armónica de las velocidades dadas:

$\begin{matrix} \frac{3}{[\frac{1}{40} + \frac{1}{30} + \frac{1}{20}]} . \end{matrix}$

(ii) En la primera hora ciclo 40 km; en la segunda hora ciclo 30 km; en la tercera hora ciclo 20 km. Entonces en las tres horas ciclo 40 + 30 + 20 = 90 km. Entonces mi velocidad promedio es de 30 km/h.

Nota: Alternativamente, mientras los tres intervalos de tiempo t sean iguales, aterrizamos con t como factor tanto en el numerador como en el denominador, por lo que estos factores comunes se cancelan, y la respuesta es simplemente la media aritmética de las velocidades dadas:

$\begin{matrix} \frac{20 + 30 + 40}{3} . \end{matrix}$

b) i) El segundo ciclista pasa más tiempo pedaleando a 40 km/h que a 60 km/h, por lo que el primer ciclista pasa más tiempo pedaleando a la mayor velocidad. De ahí que gane el primer ciclista

(ii) Nuevamente (a menos que u = v), el primer ciclista pasa más tiempo pedaleando a la mayor velocidad. De ahí que gane el primer ciclista.

c) i) Como en la parte (a) (ii), el primer ciclista termina con velocidad promedio $\frac{u + v}{2}$ km/h; y como en la parte (a) (i) el segundo ciclista termina con velocidad promedio

$\begin{matrix} \frac{2}{[\frac{1}{u} + \frac{1}{v}]} km/h . \end{matrix}$

De ahí que en la parte b) ii) se demuestre que

$\begin{matrix} \frac{u + v}{2} \geq \frac{2}{[\frac{1}{u} + \frac{1}{v}]} = \frac{2 u v}{u + v} . \end{matrix}$

ii) Si reorganizamos la desigualdad requerida

$\begin{matrix} \frac{u + v}{2} \geq \frac{2 u v}{u + v}, \end{matrix}$

entonces vemos que equivale a probar que ${(u + v)}^{2} \geq 4 u v$ . Esto sugiere que debemos comenzar con la afirmación universalmente verdadera:

$\begin{matrix} {(u - v)}^{2} \geq 0 para todos u, v \geq 0. \end{matrix}$

Adición de 4 uv a ambos lados rendimientos ${(u + v)}^{2} \geq 4 u v$ .

Multiplicar ambos lados por la cantidad no negativa $\frac{1}{2 (u + v)}$ luego da la desigualdad requerida.

86. El único “modelado” requerido aquí es traducir el problema usando las ecuaciones estándar de la cinemática. Para el movimiento del descanso tenemos

(i) v = at, donde t es el tiempo, a es la aceleración uniforme, y v la velocidad final, y

ii) $s = \frac{1}{2} a t^{2}$ donde s es la distancia recorrida.

Hay una pregunta en cuanto a qué unidades debemos usar. Por el momento nos apegamos a medir v en km/h según lo dado, s en km, t en horas, y a en las unidades (desconocidas) de km/h ²: así 72 = a y $4 = \frac{1}{2} a t^{2}$ .

Dividiendo la segunda ecuación por la primera da $\frac{1}{18} = \frac{1}{2} t$ , entonces $t = \frac{1}{9}$ horas (= 400 segundos).

Sustituyendo en la primera ecuación da a = 72 x 9 km/h ² ( $= \frac{1}{20}$ m/seg ²).

Nota: Las ecuaciones (i) y (ii) pueden resumirse diciendo que, bajo una aceleración uniforme a, la distancia recorrida es $s = (\frac{1}{2} a t) \times t$ . De ahí que la velocidad promedio para el viaje completo sea igual exactamente a la mitad de la velocidad final v = at.

En general, quienes abordan el problema pueden estar de acuerdo en que las unidades familiares de velocidad y distancia no nos dan una muy buena sensación de instinto para la escala de aceleración. Si medimos la aceleración en km/h ², entonces obtenemos números enormes para la aceleración con los que uno no puede relacionarse fácilmente. Y si cambiamos a m (metros), m/seg, y m/seg ², entonces obtenemos números bastante pequeños para la aceleración, que nuevamente transmiten relativamente poco.

[La versión original (rusa) de este problema tenía el tren viajando 2.1 km y alcanzando una velocidad de 54 km/h Esto produce una buena respuesta para el tiempo que tomó, pero una respuesta relativamente inescrutable para la aceleración. Entonces hemos cambiado los parámetros.]

87.

“Te explicamos por qué, cuando un vehículo acelera de 0 a 20 mph, su velocidad promedio es de más de 10 mph. En general, la velocidad promedio de un vehículo que acelera es más de la mitad de la velocidad final después de la aceleración.

Considere primero el caso cuando la aceleración es constante: esto significa que la gráfica que representa la velocidad del vehículo en función del tiempo es una línea recta

En ese caso, la distancia recorrida es igual al área bajo la gráfica. Pero a partir de la fórmula para el área de un triángulo sabemos que esta área es igual al área del rectángulo con la misma base y la mitad de la altura del triángulo:

Esto significa que la velocidad promedio en ese caso es exactamente la mitad de la velocidad final (máxima).

Pero un automóvil tiene mayor aceleración en marchas más bajas, es decir, a velocidades más pequeñas. Por lo tanto, la gráfica de velocidad en función del tiempo es cóncava, y el área debajo de la gráfica es mayor que en el caso de aceleración constante. De ahí que, al tiempo que alcanza la misma velocidad, el automóvil viaja más lejos y su velocidad promedio es mayor:

Llegamos a la conclusión de que la velocidad promedio de un automóvil acelerante es mayor a la mitad de su velocidad al final de la aceleración”.

Nota: El texto de esta solución se reproduce del apéndice a un documento preparado para, y sometido a, la Fiscalía de la Corona en Inglaterra. Esto puede explicar en parte por qué no contiene una sola fórmula. Fue escrito por un estudiante que estudiaba economía, y la mezcla de lenguaje y gráficas utilizadas ilustra la forma de pensar típica del economista. Los economistas rara vez tienen datos completos, por lo que tienden a depender de una combinación del sentido común y los patrones básicos de las variables económicas, como la “convexidad” o la “concavidad” de funciones. De hecho, algunos capítulos de la economía matemática podrían describirse como delineando “la cinemática del dinero”, y tienen similitudes sorprendentes con la mecánica.

88. Supongamos que el amanecer fue t horas antes del mediodía -para que la primera mujer cubra la distancia total en t + 4 horas, mientras que la segunda cubre la misma distancia en t + 9 horas.

No sabemos nada de la distancia de A a B, por lo que tiene sentido elegir esta distancia como nuestra unidad.

Entonces la velocidad de la primera mujer es $\frac{1}{t + 4}$ , mientras que la velocidad de la segunda mujer es $\frac{1}{t + 9}$ unidades por hora.

La velocidad relativa de A y B (la velocidad con la que cambia la distancia entre ellos) es $\frac{1}{t + 4} + \frac{1}{t + 9}$

Se reúnen al mediodía, por lo que en t horas, la distancia entre ellos se reduce de 1 unidad a 0.

De ahí

$\begin{matrix} 1 = t \times (\frac{1}{t + 4} + \frac{1}{t + 9}); \end{matrix}$

es decir, t ² = 36, entonces t = 6, y el amanecer fue a (12 — 6) = 6 am.

89. Introduzcamos una nueva medida de distancia, a la que llamamos liga. (Los lectores pueden saber por documentos antiguos o por poesía que esta era una antigua medida de distancia para los viajes, sin saber exactamente qué tan lejos estaba; así que nos sentimos libres de usarla como una unidad abstracta de tamaño desconocido).

Para combinar la distancia y el tiempo, el viaje de San Luis a Nueva Orleans debe ser un múltiplo de 7, y el viaje de Nueva Orleans a San Luis debe ser un múltiplo de 5. De ahí que elegimos la distancia para que sea igual a 5 × 7 = 35 “ligas”.

Entonces la velocidad del vaporizador de paletas aguas arriba es:

$\begin{matrix} \frac{35}{7} = 5 “ligas por día” \end{matrix}$

y la velocidad aguas abajo es:

$\begin{matrix} \frac{35}{5} = 7 “ligas por día” . \end{matrix}$

La velocidad de la corriente se resta de la velocidad del vaporizador de paletas que va aguas arriba, y se suma a la velocidad del vaporizador de paletas que va aguas abajo; por lo que la velocidad de la corriente es:

$\begin{matrix} \frac{7 - 5}{2} = 1 “liga por día” . \end{matrix}$

De ahí que una balsa vaya de San Luis a Nueva Orleans en $\frac{35}{1} = 35$ días.

Nota: Esta elegante solución implica la introducción de un parámetro intermedio oculto, una cantidad desconocida que nos ayuda a razonar el problema. El parámetro es aparentemente la distancia (de San Luis a Nueva Orleans); pero de hecho es una medida de distancia elegida para ser compatible con el tiempo empleado.

El arte de identificar y elegir “parámetros ocultos” relevantes, y el análisis de su relación con los datos, y sus relaciones mutuas, constituyen una parte importante y desafiante del proceso de modelización matemática.

Observe que si reformulamos el problema en términos más generales, con la vaporera de paletas tomando “a días” aguas abajo y “b días” aguas arriba, entonces la respuesta “d días” (para que el tiempo se deslice aguas abajo) pasa a ser la media armónica de la cantidades “a” y “— b”:

$\begin{matrix} d = \frac{2}{\frac{1}{a} + \frac{1}{- b}} . \end{matrix}$

90. [Se trata de “Problema 108” en Tractato d'aritmetica (c.1370) de Paolo dell'Abbaco, con una traducción aproximada del procedimiento de solución dado ahí cortesía de Roy Wagner.]

“Haz lo siguiente: multiplicar 5 por 8, lo que hace 40. Entonces di así: en 40 días uno hará el viaje 8 veces, y el otro 5 veces, así que ambos juntos harán el viaje 13 veces.

Ahora di: si 40 días equivalen a 13 viajes, ¿cuántos días se necesitan [en promedio] para un viaje? Y así multiplicar 1 por 40, lo que hace 40; luego divide esto por 13, lo que hace 3 días y, $\frac{1}{13}$ de un día.

Y así digo que en 3 días y $\frac{1}{13}$ de un día los dos se unirán.

Y como se hace esto, así se hacen todos los problemas similares”.

Nota: El problema como se afirma transmite un aire de realidad al dar la distancia “de aquí a Florencia” en millas; ¡pero este hecho no se menciona en la solución! En cambio, la solución comienza introduciendo un parámetro oculto, medido por una unidad adimensional: un viaje.

Este movimiento (para inventar una unidad natural de medida) también aparece en el Problema 89 anterior y tiene razones matemáticas profundas. El problema 89 fue prestado de una entrevista con Vladimir Arnold (Avisos de la AMS, vol. 44, núm. 4), donde leemos:

Entrevistador: Por favor, cuéntanos un poco sobre tu educación temprana. ¿Ya te interesaban las matemáticas cuando eras niño?

Arnold: [...] La primera experiencia matemática real que tuve fue cuando nuestro maestro I.V. Morotzkin nos dio el siguiente problema [VA luego formuló Problema 89].

Pasé todo un día pensando en este viejo, y, la solución (basada en lo que ahora se llaman argumentos de escalado, análisis dimensional, o teoría de variedades tóricas, dependiendo de tu gusto) vino como una revelación.

El sentimiento de descubrimiento que tuve entonces (1949) fue exactamente el mismo que en todos los problemas posteriores mucho más serios -ya sea el descubrimiento de la relación entre la geometría algebraica de las curvas planas reales y la topología cuatridimensional (1970), o entre singularidades de cáusticos y de frentes de onda y, álgebras simples de Lie y grupos Coxeter (1972). Es la codicia de experimentar una sensación tan maravillosa cada vez más veces que fue, y sigue siendo, mi principal motivación en matemáticas.

Arnold se refiere aquí a argumentos de escalado o análisis dimensional: es decir, el arte matemático de elegir y analizar el uso de unidades de medida. Esto tiene su origen en, e incluye como parte integral, la teoría clásica de la proporción de Euclides.

91. Supongamos como antes que el sol salga t horas antes del mediodía; pero reemplace a las 4 pm (la hora en que la mujer a partir de A llegó a B) por una pm, y sustituya las 9 pm (la hora en que la mujer que comenzaba en B llegó a A) por b pm. Que C sea el punto donde se encuentren (al mediodía).

Entonces, como cada mujer camina a una velocidad constante, tenemos

$\begin{matrix} \frac{t}{a} = \frac{| A C |}{| C B |} (para la mujer a partir de A), \end{matrix}$

$\begin{matrix} \frac{t}{b} = \frac{| B C |}{| C A |} (para la mujer a partir de B) . \end{matrix}$

De ahí

$\frac{t}{a} = \frac{| A C |}{| C B |} = \frac{b}{t},$

entonces t ² = ab.

Nota: Este resultado totalmente inesperado valida la elección de la t desconocida como la hora en horas desde el amanecer hasta el mediodía. Sin conocer de antemano su significación, esta elección estuvo motivada por la observación de que el “mediodía” ocurre en el problema como el único “origen” común, o punto de referencia para los datos de tiempo.