1.23: Área de Polígonos Regulares

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Puede usar una calculadora a lo largo de este módulo.

El edificio del Pentágono abarca$28.7$ acres ($116,000\text{ m}^2$), e incluye$5.1$ acres adicionales ($21,000\text{ m}^2$) como patio central. ^[1] Un pentágono es un ejemplo de un polígono regular.

$El edificio del Pentágono$

Un polígono regular tiene todos los lados de igual longitud y todos los ángulos de igual medida. Debido a esta simetría, un círculo puede ser inscrito, dibujado dentro del polígono tocando cada lado en un punto, o circunscrito, dibujado fuera del polígono que cruza cada vértice. Nos centraremos primero en el círculo inscrito.

Llamemos minúscula al radio del círculo inscrito$r$; esta es la distancia desde el centro del polígono perpendicular a uno de los lados. ^[2]

un círculo dentro de un pentágono regular. el círculo toca el centro de los cinco lados del pentágono. — Figura$\PageIndex{1}$: (izquierda) círculo inscrito (derecha) círculo inscrito con radio.

un pentágono regular con un círculo en su interior tocando el punto central de cada lado del pentágono, y un radio dibujado desde el centro recto hacia abajo hasta el centro del lado inferior, etiquetado como r minúscula — Figura$\PageIndex{1}$: (izquierda) círculo inscrito (derecha) círculo inscrito con radio.

Área de un Polígono Regular (con un radio dibujado al centro de un lado) ^[3]

Para un polígono regular con$n$ lados de longitud$s$ y radio inscrito (interior)$r$,

\[A=nsr\div2 \nonumber \]

Nota: Esta fórmula se deriva de dividir el polígono en triángulos de$n$ igual tamaño y combinar las áreas de esos triángulos.

Ejercicios$\PageIndex{1}$

1. Calcular el área de este hexágono regular.

$hexágono regular con lado 51 pulg y radio a un lado 45 in$

2. Calcular el área de este pentágono regular.

$pentágono regular con lado 7.4 cm y radio a un lado 5.1 cm$

3. Una señal de alto tiene una altura de$30$ inches, and each edge measures $12.5$ inches. Find the area of the sign.

$una señal de alto octogonal$

Contestar

1. $6,900\text{ in}^2$

2. $94\text{ cm}^2$

3. $750\text{ in}^2$

Bien, pero ¿y si conocemos la distancia del centro a una de las esquinas en lugar de la distancia del centro a un borde? Tendremos que imaginar un círculo circunscrito.

Llamemos capital al radio del círculo circunscrito$R$; esta es la distancia desde el centro del polígono a uno de los vértices (esquinas).

un círculo fuera de un pentágono regular. los cinco puntos de esquina del pentágono tocan el círculo. — Figura$\PageIndex{2}$: (izquierda) círculo circunscrito y (derecha) círculos circunscritos con círculo mayúscula.

un pentágono regular dentro de un círculo con los cinco puntos de esquina en el círculo, y un radio desde el centro hasta un punto de esquina etiquetado con mayúscula R — Figura$\PageIndex{2}$: (izquierda) círculo circunscrito y (derecha) círculos circunscritos con círculo mayúscula.

Área de un Polígono Regular (con un radio dibujado en un vértice) ^[4]

Para un polígono regular con$n$ lados de longitud$s$ y radio circunscrito (exterior)$R$,

\[A=0.25ns\sqrt{4R^2-s^2} \nonumber \]

\[A=ns\sqrt{4R^2-s^2}\div4 \nonumber \]

Nota: Esta fórmula también se deriva de dividir el polígono en triángulos de$n$ igual tamaño y combinar las áreas de esos triángulos. Esta fórmula incluye una raíz cuadrada porque involucra el teorema de Pitágoras.

Ejercicios$\PageIndex{1}$

4. Calcular el área de este hexágono regular.

$hexágono regular con lado 17 mm y radio a un vértice de 17 pulg$

5. Calcular el área de este octágono regular.

$octágono con lado 10 cm y radio a un vértice 13 cm$

6. Calcular el área de este pentágono regular.

$pentágono regular con lado 8.0 m y radio a un vértice 6.8 m$

Contestar

4. $750\text{ mm}^2$

5. $480\text{ cm}^2$

6. $110\text{ m}^2$

Como sabéis, una figura compuesta es una figura geométrica que se forma uniendo dos o más figuras geométricas básicas. Veamos una figura compuesta formada por un círculo y un polígono regular.

Ejercicio$\PageIndex{1}$

7. La cabeza hexagonal de un perno encaja perfectamente en una tapa circular con un orificio circular con diámetro interior$46\text{ mm}$ as shown in this diagram. Opposite sides of the bolt head are $40\text{ mm}$ apart. Find the total empty area in the hole around the edges of the bolt head.

$un hexágono etiquetado como “pernos r us” inscrito en un círculo$

Contestar: $280\text{ mm}^2$(el área del círculo$\approx1,660\text{ mm}^2$ y el área del hexágono es$1,380\text{ mm}^2$)

[1]https://en.Wikipedia.org/wiki/The_Pentagon
El radio interior es más comúnmente llamado apotema y etiquetado$a$, pero estamos tratando de mantener la jerga al mínimo en este libro de texto.
Esta fórmula se escribe más comúnmente como la mitad del apotema multiplicado por el perímetro$A=\dfrac{1}{2}ap$:
Tu autor creó esta fórmula porque cada otra versión de la misma usa trigonometría, que no estamos cubriendo en este libro de texto.

Ejercicios\(\PageIndex{1}\)

Ejercicios\(\PageIndex{1}\)

Ejercicio\(\PageIndex{1}\)