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10.7: Dividir monomios (Parte 2)

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    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

    Simplificar expresiones mediante la aplicación de varias propiedades

    Ahora vamos a resumir todas las propiedades de los exponentes para que estén todos juntos para referirse a medida que simplificamos las expresiones usando varias propiedades. Observe que ahora están definidos para exponentes de número entero.

    Resumen de Exponent Properties

    Si a, b son números reales y m, n son números enteros, entonces

    Propiedad del producto \(a^m • a^n = a^{m + n}\)
    Propiedad de energía \((a^m)^n = a^{m • n}\)
    Producto a una propiedad de potencia \((ab)^m = a^mb^m\)
    Propiedad del cociente \(\dfrac{a^{m}}{a^{n}} = a^{m − n},\quad a ≠ 0,\, m > n\)
      \(\dfrac{a^{m}}{a^{n}} = \dfrac{1}{a^{n-m}}, \quad a ≠ 0, \,n > m\)
    Propiedad de exponente cero \(a^0 = 1, \quad a ≠ 0\)
    Cociente a una propiedad de energía \(\left(\dfrac{a}{b}\right)^{m} = \dfrac{a^{m}}{b^{m}}, b ≠ 0\)
    Ejemplo\(\PageIndex{8}\):

    Simplificar:\(\dfrac{(x^{2})^{3}}{x^{5}}\).

    Solución

    Multiplica los exponentes en el numerador, usando la Propiedad Power. \(\dfrac{x^{6}}{x^{5}} \label{10.4.46}\)
    Restar los exponentes. \(x \label{10.4.47}\)
    Ejercicio\(\PageIndex{15}\):

    Simplificar:\(\dfrac{(a^{4})^{5}}{a^{9}}\).

    Responder

    \(a^{11}\)

    Ejercicio\(\PageIndex{16}\):

    Simplificar:\(\dfrac{(b^{5})^{6}}{b^{11}}\).

    Responder

    \(b^{19}\)

    Ejemplo\(\PageIndex{9}\):

    Simplificar:\(\dfrac{(m^{8})}{(m^{2})^{4}}\).

    Solución

    Multiplica los exponentes en el numerador, usando la Propiedad Power. \(\dfrac{m^{8}}{m^{8}} \label{10.4.48}\)
    Restar los exponentes. \(m^{0} \label{10.4.49}\)
    Propiedad de potencia cero 1
    Ejercicio\(\PageIndex{17}\):

    Simplificar:\(\dfrac{(k^{11}}{(k^{3})^{3}}\).

    Responder

    \(k^2\)

    Ejercicio\(\PageIndex{18}\):

    Simplificar:\(\dfrac{(d^{23}}{(d^{4})^{6}}\).

    Responder

    \(\frac{1}{d}\)

    Ejemplo\(\PageIndex{10}\):

    Simplificar:\(\left(\dfrac{x^{7}}{x^{3}}\right)^{2}\).

    Solución

    Recuerda que los paréntesis vienen antes de los exponentes, y las bases son las mismas para que podamos simplificar dentro de los paréntesis. Restar los exponentes. \((x^{7-3})^{2} \label{10.4.50}\)
    Simplificar. \((x^{4})^{2} \label{10.4.51}\)
    Multiplicar los exponentes. \(x^{8} \label{10.4.52}\)
    Ejercicio\(\PageIndex{19}\):

    Simplificar:\(\left(\dfrac{f^{14}}{f^{8}}\right)^{2}\).

    Responder

    \(f^{12}\)

    Ejercicio\(\PageIndex{20}\):

    Simplificar:\(\left(\dfrac{b^{6}}{b^{11}}\right)^{2}\).

    Responder

    \(\frac{1}{b^{10}}\)

    Ejemplo\(\PageIndex{11}\):

    Simplificar:\(\left(\dfrac{p^{2}}{q^{5}}\right)^{3}\).

    Solución

    Aquí no podemos simplificar primero dentro de los paréntesis, ya que las bases no son las mismas.

    Elevar el numerador y el denominador a la tercera potencia usando el Cociente a una Propiedad de Potencia,\(\left(\dfrac{a}{b}\right)^{m} = \dfrac{a^{m}}{b^{m}}\) \(\dfrac{(p^{2})^{3}}{(q^{5})^{3}} \label{10.4.53}\)
    Utilice la Propiedad de Potencia, (a m) n = a m • n. \(\dfrac{p^{6}}{q^{15}} \label{10.4.54}\)
    Ejercicio\(\PageIndex{21}\):

    Simplificar:\(\left(\dfrac{m^{3}}{n^{8}}\right)^{5}\).

    Responder

    \(\frac{m^{15}}{n^{40}}\)

    Ejercicio\(\PageIndex{22}\):

    Simplificar:\(\left(\dfrac{t^{10}}{u^{7}}\right)^{2}\).

    Responder

    \(\frac{t^{20}}{u^{14}}\)

    Ejemplo\(\PageIndex{12}\):

    Simplificar:\(\left(\dfrac{2x^{3}}{3y}\right)^{4}\).

    Solución

    Elevar el numerador y el denominador a la cuarta potencia usando el Cociente a una Propiedad de Poder. \(\dfrac{(2x^{3})^{4}}{(3y)^{4}} \label{10.4.55}\)
    Elevar cada factor a la cuarta potencia, usando el Poder a una Propiedad de Poder. \(\dfrac{2^{4} (x^{3})^{4}}{3^{4} y^{4}} \label{10.4.56}\)
    Utilice la propiedad Power y simplifique. \(\dfrac{16x^{12}}{81y^{4}} \label{10.4.57}\)
    Ejercicio\(\PageIndex{23}\):

    Simplificar:\(\left(\dfrac{5b}{9c^{3}}\right)^{2}\).

    Responder

    \(\frac{25b^2}{81c^6}\)

    Ejercicio\(\PageIndex{24}\):

    Simplificar:\(\left(\dfrac{4p^{4}}{7q^{5}}\right)^{3}\).

    Responder

    \(\frac{64p^{12}}{343q^{15}}\)

    Ejemplo\(\PageIndex{13}\):

    Simplificar:\(\dfrac{(y^{2})^{3} (y^{2})^{4}}{(y^{5})^{4}}\).

    Solución

    Utilice la Propiedad Power. \(\dfrac{(y^{6})(y^{8})}{y^{20}} \label{10.4.58}\)
    Agrega los exponentes en el numerador, usando la Propiedad del Producto. \(\dfrac{y^{14}}{y^{20}} \label{10.4.59}\)
    Utilice la Propiedad Cociente. \(\dfrac{1}{y^{6}} \label{10.4.60}\)
    Ejercicio\(\PageIndex{25}\)

    Simplificar:\(\dfrac{(y^{4})^{4} (y^{3})^{5}}{(y^{7})^{6}}\).

    Responder

    \(\frac{1}{y^{11}}\)

    Ejercicio\(\PageIndex{26}\)

    Simplificar:\(\dfrac{(3x^{4})^{2} (x^{3})^{4}}{(x^{5})^{3}}\).

    Responder

    \(9x^5\)

    Dividir monomios

    Ahora hemos visto todas las propiedades de los exponentes. Los usaremos para dividir monomios. Posteriormente, los usarás para dividir polinomios.

    Ejemplo\(\PageIndex{14}\):

    Encuentra el cociente: 56x 5 ÷ 7x 2.

    Solución

    Reescribir como una fracción. \(\dfrac{56x^{5}}{7x^{2}} \label{10.4.61}\)
    Utilice la multiplicación de fracciones para separar la parte numérica de la parte variable. \(\dfrac{56}{7} \cdot \dfrac{x^{5}}{x^{2}} \label{10.4.62}\)
    Utilice la Propiedad Cociente. \(8x^{3} \label{10.4.63}\)
    Ejercicio\(\PageIndex{27}\):

    Encuentra el cociente: 63x 8 ÷ 9x 4.

    Responder

    \(7x^4\)

    Ejercicio\(\PageIndex{28}\):

    Encuentra el cociente: 96 años 11 ÷ 6y 8.

    Responder

    \(16y^3\)

    Cuando dividimos los monomios con más de una variable, escribimos una fracción para cada variable.

    Ejemplo\(\PageIndex{15}\):

    Encuentra el cociente:\(\dfrac{42x^{2} y^{3}}{−7xy^{5}}\).

    Solución

    Utilice la multiplicación de fracciones. \(\dfrac{42}{-7} \cdot \dfrac{x^{2}}{x} \cdot \dfrac{y^{3}}{y^{5}} \label{10.4.64}\)
    Simplifique y utilice la Propiedad Cociente. \(-6 \cdot x \cdot \dfrac{1}{y^{2}} \label{10.4.65}\)
    Multiplicar. \(- \dfrac{6x}{y^{2}} \label{10.4.66}\)
    Ejercicio\(\PageIndex{29}\):

    Encuentra el cociente:\(\dfrac{-84x^{8} y^{3}}{7x^{10} y^{2}}\).

    Responder

    \(-\frac{12y}{x^2}\)

    Ejercicio\(\PageIndex{30}\):

    Encuentra el cociente:\(\dfrac{-72a^{4} b^{5}}{−8a^{9} b^{5}}\).

    Responder

    \(\frac{9}{a^5}\)

    Ejemplo\(\PageIndex{16}\):

    Encuentra el cociente:\(\dfrac{24a^{5} b^{3}}{48ab^{4}}\).

    Solución

    Utilice la multiplicación de fracciones. \(\dfrac{24}{48} \cdot \dfrac{a^{5}}{a} \cdot \dfrac{b^{3}}{b^{4}} \label{10.4.67}\)
    Simplifique y utilice la Propiedad Cociente. \(\dfrac{1}{2} \cdot a^{4} \cdot \dfrac{1}{b} \label{10.4.68}\)
    Multiplicar. \(\dfrac{a^{4}}{2b} \label{10.4.69}\)
    Ejercicio\(\PageIndex{31}\):

    Encuentra el cociente:\(\dfrac{16a^{7} b^{6}}{24ab^{8}}\).

    Responder

    \(\frac{2a^6}{3b^2}\)

    Ejercicio\(\PageIndex{32}\):

    Encuentra el cociente:\(\dfrac{27p^{4} q^{7}}{-45p^{12} q}\).

    Responder

    \(-\frac{3q^6}{5p^8}\)

    Una vez que se familiarice con el proceso y lo haya practicado paso a paso varias veces, es posible que pueda simplificar una fracción en un solo paso.

    Ejemplo\(\PageIndex{17}\):

    Encuentra el cociente:\(\dfrac{14x^{7} y^{12}}{21x^{11} y^{6}}\).

    Solución

    Simplifique y utilice la Propiedad Cociente. \(\dfrac{2y^{6}}{3x^{4}} \label{10.4.70}\)

    Tenga mucho cuidado de simplificar\(\dfrac{14}{21}\) dividiendo un factor común, y de simplificar las variables restando sus exponentes.

    Ejercicio\(\PageIndex{33}\):

    Encuentra el cociente:\(\dfrac{28x^{5} y^{14}}{49x^{9} y^{12}}\).

    Responder

    \(\frac{4y^2}{7x^4}\)

    Ejercicio\(\PageIndex{34}\):

    Encuentra el cociente:\(\dfrac{30m^{5} n^{11}}{48m^{10} n^{14}}\).

    Responder

    \(\frac{5}{8m^5 n^3}\)

    En todos los ejemplos hasta el momento, no había trabajo que hacer en el numerador o denominador antes de simplificar la fracción. En el siguiente ejemplo, primero encontraremos el producto de dos monomios en el numerador antes de simplificar la fracción.

    Ejemplo\(\PageIndex{18}\):

    Encuentra el cociente:\(\dfrac{(3x^{3} y^{2})(10x^{2} y^{3})}{6x^{4} y^{5}}\).

    Solución

    Recuerde, la barra de fracciones es un símbolo de agrupación. Primero simplificaremos el numerador.

    Simplifica el numerador. \(\dfrac{30x^{5} y^{5}}{6x^{4} y^{5}} \label{10.4.71}\)
    Simplificar, usando la Regla del Cociente. \(5x \label{10.4.72}\)
    Ejercicio\(\PageIndex{35}\):

    Encuentra el cociente:\(\dfrac{(3x^{4} y^{5})(8x^{2} y^{5})}{12x^{5} y^{8}}\).

    Responder

    \(2xy^2\)

    Ejercicio\(\PageIndex{36}\):

    Encuentra el cociente:\(\dfrac{(-6a^{6} b^{9})(-8a^{5} b^{8})}{-12a^{10} b^{12}}\).

    Responder

    \(-4ab^5\)

    ACCEDE A RECURSOS

    Simplificar un cociente

    Exponente Cero

    Regla del cociente

    División Polinomial

    Polinomio División 2

    La práctica hace la perfección

    Simplificar expresiones usando la propiedad de cociente de exponentes

    En los siguientes ejercicios, simplifique.

    1. \(\dfrac{4^{8}}{4^{2}}\)
    2. \(\dfrac{3^{12}}{3^{4}}\)
    3. \(\dfrac{x^{12}}{x^{3}}\)
    4. \(\dfrac{u^{9}}{u^{3}}\)
    5. \(\dfrac{r^{5}}{r}\)
    6. \(\dfrac{y^{4}}{y}\)
    7. \(\dfrac{y^{4}}{y^{20}}\)
    8. \(\dfrac{x^{10}}{x^{30}}\)
    9. \(\dfrac{10^{3}}{10^{15}}\)
    10. \(\dfrac{r^{2}}{r^{8}}\)
    11. \(\dfrac{a}{a^{9}}\)
    12. \(\dfrac{2}{2^{5}}\)

    Simplifique las expresiones con cero exponentes

    En los siguientes ejercicios, simplifique.

    1. 5 0
    2. 10 0
    3. a 0
    4. x 0
    5. −7 0
    6. −4 0
    7. (a) (10p) 0 (b) 10p 0
    8. (a) (3a) 0 (b) 3a 0
    9. (a) (−27x 5 y) 0 (b) −27x 5 y 0
    10. (a) (−92y 8 z) 0 (b) −92y 8 z 0
    11. a) 15 0 b) 15 1
    12. (a) −6 0 (b) −6 1
    13. 2 • x 0 + 5 • y 0
    14. 8 • m 0 − 4 • n 0

    Simplificar expresiones usando el cociente a una propiedad de potencia

    En los siguientes ejercicios, simplifique.

    1. \(\left(\dfrac{3}{2}\right)^{5}\)
    2. \(\left(\dfrac{4}{5}\right)^{3}\)
    3. \(\left(\dfrac{m}{6}\right)^{3}\)
    4. \(\left(\dfrac{p}{2}\right)^{5}\)
    5. \(\left(\dfrac{x}{y}\right)^{10}\)
    6. \(\left(\dfrac{a}{b}\right)^{8}\)
    7. \(\left(\dfrac{a}{3b}\right)^{2}\)
    8. \(\left(\dfrac{2x}{y}\right)^{4}\)

    Simplificar expresiones mediante la aplicación de varias propiedades

    En los siguientes ejercicios, simplifique.

    1. \(\dfrac{(x^{2})^{4}}{x^{5}}\)
    2. \(\dfrac{(y^{4})^{3}}{y^{7}}\)
    3. \(\dfrac{(u^{3})^{4}}{u^{10}}\)
    4. \(\dfrac{(y^{2})^{5}}{y^{6}}\)
    5. \(\dfrac{y^{8}}{(y^{5})^{2}}\)
    6. \(\dfrac{p^{11}}{(p^{5})^{3}}\)
    7. \(\dfrac{r^{5}}{(r^{4} \cdot r}\)
    8. \(\dfrac{a^{3} \cdot a^{4}}{(a^{7}}\)
    9. \(\left(\dfrac{x^{2}}{x^{8}}\right)^{3}\)
    10. \(\left(\dfrac{u}{u^{10}}\right)^{2}\)
    11. \(\left(\dfrac{a^{4} \cdot a^{6}}{a^{3}}\right)^{2}\)
    12. \(\left(\dfrac{x^{3 \cdot x^{8}}}{x^{4}}\right)^{3}\)
    13. \(\dfrac{(y^{3})^{5}}{(y^{4})^{3}}\)
    14. \(\dfrac{(z^{6})^{2}}{(z^{2})^{4}}\)
    15. \(\dfrac{(x^{3})^{6}}{(x^{4})^{7}}\)
    16. \(\dfrac{(x^{4})^{8}}{(x^{5})^{7}}\)
    17. \(\left(\dfrac{2r^{3}}{5s}\right)^{4}\)
    18. \(\left(\dfrac{3m^{2}}{4n}\right)^{3}\)
    19. \(\left(\dfrac{3y^{2} \cdot y^{5}}{y^{15} \cdot y^{8}}\right)^{0}\)
    20. \(\left(\dfrac{15z^{4} \cdot z^{9}}{0.3z^{2}}\right)^{0}\)
    21. \(\dfrac{(r^{2})^{5} (r^{4})^{2}}{(r^{3})^{7}}\)
    22. \(\dfrac{(p^{4})^{2} (p^{3})^{5}}{(p^{2})^{9}}\)
    23. \(\dfrac{(3x^{4})^{3} (2x^{3})^{2}}{(6x^{5})^{2}}\)
    24. \(\dfrac{(-2y^{3})^{4} (3y^{4})^{2}}{(-6y^{3})^{2}}\)

    Dividir monomios

    En los siguientes ejercicios, dividir los monomios.

    1. 48b 8 ÷ 6b 2
    2. 42a 14 ÷ 6a 2
    3. 36x 3 ÷ (−2x 9)
    4. 20u 8 ÷ (−4u 6)
    5. \(\dfrac{18x^{3}}{9x^{2}}\)
    6. \(\dfrac{36y^{9}}{4y^{7}}\)
    7. \(\dfrac{-35x^{7}}{-42x^{13}}\)
    8. \(\dfrac{18x^{5}}{-27x^{9}}\)
    9. \(\dfrac{18r^{5} s}{3r^{3} s^{9}}\)
    10. \(\dfrac{24p^{7} q}{6p^{2} q^{5}}\)
    11. \(\dfrac{8mn^{10}}{64mn^{4}}\)
    12. \(\dfrac{10a^{4} b}{50a^{2} b^{6}}\)
    13. \(\dfrac{-12x^{4} y^{9}}{15x^{6} y^{3}}\)
    14. \(\dfrac{48x^{11} y^{9} z^{3}}{36x^{6} y^{8} z^{5}}\)
    15. \(\dfrac{64x^{5} y^{9} z^{7}}{48x^{7} y^{12} z^{6}}\)
    16. \(\dfrac{(10u^{2} v)(4u^{3} v^{6})}{5u^{9} v^{2}}\)
    17. \(\dfrac{(6m^{2} n)(5m^{4} n^{3})}{3m^{10} n^{2}}\)
    18. \(\dfrac{(6a^{4} b^{3})(4ab^{5})}{(12a^{8} b)(a^{3} b)}\)
    19. \(\dfrac{(4u^{5} v^{4})(15u^{8} v)}{(12u^{3} v)(u^{6} v)}\)

    Práctica Mixta

    1. (a) 24a 5 + 2a 5 (b) 24a 5 − 2a 5 (c) 24a 5 • 2a 5 (d) 24a 5 ÷ 2a 5
    2. (a) 15n 10 + 3n 10 (b) 15n 10 − 3n 10 (c) 15n 10 • 3n 10 (d) 15n 10 ÷ 3n 10
    3. (a) p 4 • p 6 (b) (p 4) 6
    4. (a) q 5 • q 3 (b) (q 5) 3
    5. a\(\dfrac{ y^{3}}{y}\)) b\(\dfrac{y}{y^{3}}\)
    6. a\(\dfrac{z^{6}}{z^{5}}\)) b\(\dfrac{z^{5}}{z^{6}}\)
    7. (8x 5) (9x) ÷ 6x 3
    8. (4y 5) (12y 7) ÷ 8y 2
    9. \(\dfrac{27a^{7}}{3a^{3}} + \dfrac{54a^{9}}{9a^{5}}\)
    10. \(\dfrac{32c^{11}}{4c^{5}} + \dfrac{42c^{9}}{6c^{3}}\)
    11. \(\dfrac{32y^{5}}{8y^{2}} - \dfrac{60y^{10}}{5y^{7}}\)
    12. \(\dfrac{48x^{6}}{6x^{4}} - \dfrac{35x^{9}}{7x^{7}}\)
    13. \(\dfrac{63r^{6} s^{3}}{9r^{4} s^{2}} - \dfrac{72r^{2} s^{2}}{6s}\)
    14. \(\dfrac{56y^{4} z^{5}}{7y^{3} z^{3}} - \dfrac{45y^{2} z^{2}}{5y}\)

    Matemáticas cotidianas

    1. Memoria Un megabyte es aproximadamente 10 6 bytes. Un gigabyte es aproximadamente 10 9 bytes. ¿Cuántos megabytes hay en un gigabyte?
    2. Memoria Un megabyte es aproximadamente 10 6 bytes. Un terabyte es aproximadamente 10 12 bytes. ¿Cuántos megabytes hay en un terabyte?

    Ejercicios de escritura

    1. Vic piensa que el cociente\(\dfrac{x^{20}}{x^{4}}\) se simplifica a x 5. ¿Qué tiene de malo su razonamiento?
    2. Mai simplifica el cociente\(\dfrac{y^{3}}{y}\) escribiendo\(\dfrac{y^{3}}{y}\) = 3. ¿Qué tiene de malo su razonamiento?
    3. Cuando Dimple simplificó −3 0 y (−3) 0 obtuvo la misma respuesta. Explique cómo usar correctamente el Orden de Operaciones da diferentes respuestas.
    4. Roxie piensa que n 0 simplifica a 0. ¿Qué dirías para convencer a Roxie de que se equivoca?

    Autocomprobación

    (a) Después de completar los ejercicios, utilice esta lista de verificación para evaluar su dominio de los objetivos de esta sección.

    CNX_BMath_Figure_AppB_063.jpg

    b) En una escala del 1 al 10, ¿cómo calificaría su dominio de esta sección a la luz de sus respuestas en la lista de verificación? ¿Cómo se puede mejorar esto?

    Colaboradores y Atribuciones

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