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10.7: Dividir monomios (Parte 2)

Última actualización

30 oct 2022
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- 10.6: Dividir monomios (Parte 1)
- 10.8: Exponentes enteros y notación científica (Parte 1)

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Simplificar expresiones mediante la aplicación de varias propiedades

Ahora vamos a resumir todas las propiedades de los exponentes para que estén todos juntos para referirse a medida que simplificamos las expresiones usando varias propiedades. Observe que ahora están definidos para exponentes de número entero.

Resumen de Exponent Properties

Si a, b son números reales y m, n son números enteros, entonces

Propiedad del producto	$a^m • a^n = a^{m + n}$
Propiedad de energía	$(a^m)^n = a^{m • n}$
Producto a una propiedad de potencia	$(ab)^m = a^mb^m$
Propiedad del cociente	$\dfrac{a^{m}}{a^{n}} = a^{m − n},\quad a ≠ 0,\, m > n$
	$\dfrac{a^{m}}{a^{n}} = \dfrac{1}{a^{n-m}}, \quad a ≠ 0, \,n > m$
Propiedad de exponente cero	$a^0 = 1, \quad a ≠ 0$
Cociente a una propiedad de energía	$\left(\dfrac{a}{b}\right)^{m} = \dfrac{a^{m}}{b^{m}}, b ≠ 0$

Ejemplo $\PageIndex{8}$ :

Simplificar: $\dfrac{(x^{2})^{3}}{x^{5}}$ .

Solución

Multiplica los exponentes en el numerador, usando la Propiedad Power.	$\dfrac{x^{6}}{x^{5}} \label{10.4.46}$
Restar los exponentes.	$x \label{10.4.47}$

Ejercicio $\PageIndex{15}$ :

Simplificar: $\dfrac{(a^{4})^{5}}{a^{9}}$ .

Responder: $a^{11}$

Ejercicio $\PageIndex{16}$ :

Simplificar: $\dfrac{(b^{5})^{6}}{b^{11}}$ .

Responder: $b^{19}$

Ejemplo $\PageIndex{9}$ :

Simplificar: $\dfrac{(m^{8})}{(m^{2})^{4}}$ .

Solución

Multiplica los exponentes en el numerador, usando la Propiedad Power.	$\dfrac{m^{8}}{m^{8}} \label{10.4.48}$
Restar los exponentes.	$m^{0} \label{10.4.49}$
Propiedad de potencia cero	1

Ejercicio $\PageIndex{17}$ :

Simplificar: $\dfrac{(k^{11}}{(k^{3})^{3}}$ .

Responder: $k^2$

Ejercicio $\PageIndex{18}$ :

Simplificar: $\dfrac{(d^{23}}{(d^{4})^{6}}$ .

Responder: $\frac{1}{d}$

Ejemplo $\PageIndex{10}$ :

Simplificar: $\left(\dfrac{x^{7}}{x^{3}}\right)^{2}$ .

Solución

Recuerda que los paréntesis vienen antes de los exponentes, y las bases son las mismas para que podamos simplificar dentro de los paréntesis. Restar los exponentes.	$(x^{7-3})^{2} \label{10.4.50}$
Simplificar.	$(x^{4})^{2} \label{10.4.51}$
Multiplicar los exponentes.	$x^{8} \label{10.4.52}$

Ejercicio $\PageIndex{19}$ :

Simplificar: $\left(\dfrac{f^{14}}{f^{8}}\right)^{2}$ .

Responder: $f^{12}$

Ejercicio $\PageIndex{20}$ :

Simplificar: $\left(\dfrac{b^{6}}{b^{11}}\right)^{2}$ .

Responder: $\frac{1}{b^{10}}$

Ejemplo $\PageIndex{11}$ :

Simplificar: $\left(\dfrac{p^{2}}{q^{5}}\right)^{3}$ .

Solución

Aquí no podemos simplificar primero dentro de los paréntesis, ya que las bases no son las mismas.

Elevar el numerador y el denominador a la tercera potencia usando el Cociente a una Propiedad de Potencia, $\left(\dfrac{a}{b}\right)^{m} = \dfrac{a^{m}}{b^{m}}$	$\dfrac{(p^{2})^{3}}{(q^{5})^{3}} \label{10.4.53}$
Utilice la Propiedad de Potencia, (a ^m) ⁿ = a ^{m • n}.	$\dfrac{p^{6}}{q^{15}} \label{10.4.54}$

Ejercicio $\PageIndex{21}$ :

Simplificar: $\left(\dfrac{m^{3}}{n^{8}}\right)^{5}$ .

Responder: $\frac{m^{15}}{n^{40}}$

Ejercicio $\PageIndex{22}$ :

Simplificar: $\left(\dfrac{t^{10}}{u^{7}}\right)^{2}$ .

Responder: $\frac{t^{20}}{u^{14}}$

Ejemplo $\PageIndex{12}$ :

Simplificar: $\left(\dfrac{2x^{3}}{3y}\right)^{4}$ .

Solución

Elevar el numerador y el denominador a la cuarta potencia usando el Cociente a una Propiedad de Poder.	$\dfrac{(2x^{3})^{4}}{(3y)^{4}} \label{10.4.55}$
Elevar cada factor a la cuarta potencia, usando el Poder a una Propiedad de Poder.	$\dfrac{2^{4} (x^{3})^{4}}{3^{4} y^{4}} \label{10.4.56}$
Utilice la propiedad Power y simplifique.	$\dfrac{16x^{12}}{81y^{4}} \label{10.4.57}$

Ejercicio $\PageIndex{23}$ :

Simplificar: $\left(\dfrac{5b}{9c^{3}}\right)^{2}$ .

Responder: $\frac{25b^2}{81c^6}$

Ejercicio $\PageIndex{24}$ :

Simplificar: $\left(\dfrac{4p^{4}}{7q^{5}}\right)^{3}$ .

Responder: $\frac{64p^{12}}{343q^{15}}$

Ejemplo $\PageIndex{13}$ :

Simplificar: $\dfrac{(y^{2})^{3} (y^{2})^{4}}{(y^{5})^{4}}$ .

Solución

Utilice la Propiedad Power.	$\dfrac{(y^{6})(y^{8})}{y^{20}} \label{10.4.58}$
Agrega los exponentes en el numerador, usando la Propiedad del Producto.	$\dfrac{y^{14}}{y^{20}} \label{10.4.59}$
Utilice la Propiedad Cociente.	$\dfrac{1}{y^{6}} \label{10.4.60}$

Ejercicio $\PageIndex{25}$

Simplificar: $\dfrac{(y^{4})^{4} (y^{3})^{5}}{(y^{7})^{6}}$ .

Responder: $\frac{1}{y^{11}}$

Ejercicio $\PageIndex{26}$

Simplificar: $\dfrac{(3x^{4})^{2} (x^{3})^{4}}{(x^{5})^{3}}$ .

Responder: $9x^5$

Dividir monomios

Ahora hemos visto todas las propiedades de los exponentes. Los usaremos para dividir monomios. Posteriormente, los usarás para dividir polinomios.

Ejemplo $\PageIndex{14}$ :

Encuentra el cociente: 56x ⁵ ÷ 7x ².

Solución

Reescribir como una fracción.	$\dfrac{56x^{5}}{7x^{2}} \label{10.4.61}$
Utilice la multiplicación de fracciones para separar la parte numérica de la parte variable.	$\dfrac{56}{7} \cdot \dfrac{x^{5}}{x^{2}} \label{10.4.62}$
Utilice la Propiedad Cociente.	$8x^{3} \label{10.4.63}$

Ejercicio $\PageIndex{27}$ :

Encuentra el cociente: 63x ⁸ ÷ 9x ⁴.

Responder: $7x^4$

Ejercicio $\PageIndex{28}$ :

Encuentra el cociente: 96 años ¹¹ ÷ 6y ⁸.

Responder: $16y^3$

Cuando dividimos los monomios con más de una variable, escribimos una fracción para cada variable.

Ejemplo $\PageIndex{15}$ :

Encuentra el cociente: $\dfrac{42x^{2} y^{3}}{−7xy^{5}}$ .

Solución

Utilice la multiplicación de fracciones.	$\dfrac{42}{-7} \cdot \dfrac{x^{2}}{x} \cdot \dfrac{y^{3}}{y^{5}} \label{10.4.64}$
Simplifique y utilice la Propiedad Cociente.	$-6 \cdot x \cdot \dfrac{1}{y^{2}} \label{10.4.65}$
Multiplicar.	$- \dfrac{6x}{y^{2}} \label{10.4.66}$

Ejercicio $\PageIndex{29}$ :

Encuentra el cociente: $\dfrac{-84x^{8} y^{3}}{7x^{10} y^{2}}$ .

Responder: $-\frac{12y}{x^2}$

Ejercicio $\PageIndex{30}$ :

Encuentra el cociente: $\dfrac{-72a^{4} b^{5}}{−8a^{9} b^{5}}$ .

Responder: $\frac{9}{a^5}$

Ejemplo $\PageIndex{16}$ :

Encuentra el cociente: $\dfrac{24a^{5} b^{3}}{48ab^{4}}$ .

Solución

Utilice la multiplicación de fracciones.	$\dfrac{24}{48} \cdot \dfrac{a^{5}}{a} \cdot \dfrac{b^{3}}{b^{4}} \label{10.4.67}$
Simplifique y utilice la Propiedad Cociente.	$\dfrac{1}{2} \cdot a^{4} \cdot \dfrac{1}{b} \label{10.4.68}$
Multiplicar.	$\dfrac{a^{4}}{2b} \label{10.4.69}$

Ejercicio $\PageIndex{31}$ :

Encuentra el cociente: $\dfrac{16a^{7} b^{6}}{24ab^{8}}$ .

Responder: $\frac{2a^6}{3b^2}$

Ejercicio $\PageIndex{32}$ :

Encuentra el cociente: $\dfrac{27p^{4} q^{7}}{-45p^{12} q}$ .

Responder: $-\frac{3q^6}{5p^8}$

Una vez que se familiarice con el proceso y lo haya practicado paso a paso varias veces, es posible que pueda simplificar una fracción en un solo paso.

Ejemplo $\PageIndex{17}$ :

Encuentra el cociente: $\dfrac{14x^{7} y^{12}}{21x^{11} y^{6}}$ .

Solución

Simplifique y utilice la Propiedad Cociente.

$\dfrac{2y^{6}}{3x^{4}} \label{10.4.70}$

Tenga mucho cuidado de simplificar $\dfrac{14}{21}$ dividiendo un factor común, y de simplificar las variables restando sus exponentes.

Ejercicio $\PageIndex{33}$ :

Encuentra el cociente: $\dfrac{28x^{5} y^{14}}{49x^{9} y^{12}}$ .

Responder: $\frac{4y^2}{7x^4}$

Ejercicio $\PageIndex{34}$ :

Encuentra el cociente: $\dfrac{30m^{5} n^{11}}{48m^{10} n^{14}}$ .

Responder: $\frac{5}{8m^5 n^3}$

En todos los ejemplos hasta el momento, no había trabajo que hacer en el numerador o denominador antes de simplificar la fracción. En el siguiente ejemplo, primero encontraremos el producto de dos monomios en el numerador antes de simplificar la fracción.

Ejemplo $\PageIndex{18}$ :

Encuentra el cociente: $\dfrac{(3x^{3} y^{2})(10x^{2} y^{3})}{6x^{4} y^{5}}$ .

Solución

Recuerde, la barra de fracciones es un símbolo de agrupación. Primero simplificaremos el numerador.

Simplifica el numerador.	$\dfrac{30x^{5} y^{5}}{6x^{4} y^{5}} \label{10.4.71}$
Simplificar, usando la Regla del Cociente.	$5x \label{10.4.72}$

Ejercicio $\PageIndex{35}$ :

Encuentra el cociente: $\dfrac{(3x^{4} y^{5})(8x^{2} y^{5})}{12x^{5} y^{8}}$ .

Responder: $2xy^2$

Ejercicio $\PageIndex{36}$ :

Encuentra el cociente: $\dfrac{(-6a^{6} b^{9})(-8a^{5} b^{8})}{-12a^{10} b^{12}}$ .

Responder: $-4ab^5$

ACCEDE A RECURSOS

Simplificar un cociente

La práctica hace la perfección

Simplificar expresiones usando la propiedad de cociente de exponentes

En los siguientes ejercicios, simplifique.

$\dfrac{4^{8}}{4^{2}}$
$\dfrac{3^{12}}{3^{4}}$
$\dfrac{x^{12}}{x^{3}}$
$\dfrac{u^{9}}{u^{3}}$
$\dfrac{r^{5}}{r}$
$\dfrac{y^{4}}{y}$
$\dfrac{y^{4}}{y^{20}}$
$\dfrac{x^{10}}{x^{30}}$
$\dfrac{10^{3}}{10^{15}}$
$\dfrac{r^{2}}{r^{8}}$
$\dfrac{a}{a^{9}}$
$\dfrac{2}{2^{5}}$

Simplifique las expresiones con cero exponentes

En los siguientes ejercicios, simplifique.

5 ⁰
10 ⁰
a ⁰
x ⁰
−7 ⁰
−4 ⁰
(a) (10p) ⁰ (b) 10p ⁰
(a) (3a) ⁰ (b) 3a ⁰
(a) (−27x ⁵ y) ⁰ (b) −27x ⁵ y ⁰
(a) (−92y ⁸ z) ⁰ (b) −92y ⁸ z ⁰
a) 15 ⁰ b) 15 ¹
(a) −6 ⁰ (b) −6 ¹
2 • x ⁰ + 5 • y ⁰
8 • m ⁰ − 4 • n ⁰

Simplificar expresiones usando el cociente a una propiedad de potencia

En los siguientes ejercicios, simplifique.

$\left(\dfrac{3}{2}\right)^{5}$
$\left(\dfrac{4}{5}\right)^{3}$
$\left(\dfrac{m}{6}\right)^{3}$
$\left(\dfrac{p}{2}\right)^{5}$
$\left(\dfrac{x}{y}\right)^{10}$
$\left(\dfrac{a}{b}\right)^{8}$
$\left(\dfrac{a}{3b}\right)^{2}$
$\left(\dfrac{2x}{y}\right)^{4}$

Simplificar expresiones mediante la aplicación de varias propiedades

En los siguientes ejercicios, simplifique.

$\dfrac{(x^{2})^{4}}{x^{5}}$
$\dfrac{(y^{4})^{3}}{y^{7}}$
$\dfrac{(u^{3})^{4}}{u^{10}}$
$\dfrac{(y^{2})^{5}}{y^{6}}$
$\dfrac{y^{8}}{(y^{5})^{2}}$
$\dfrac{p^{11}}{(p^{5})^{3}}$
$\dfrac{r^{5}}{(r^{4} \cdot r}$
$\dfrac{a^{3} \cdot a^{4}}{(a^{7}}$
$\left(\dfrac{x^{2}}{x^{8}}\right)^{3}$
$\left(\dfrac{u}{u^{10}}\right)^{2}$
$\left(\dfrac{a^{4} \cdot a^{6}}{a^{3}}\right)^{2}$
$\left(\dfrac{x^{3 \cdot x^{8}}}{x^{4}}\right)^{3}$
$\dfrac{(y^{3})^{5}}{(y^{4})^{3}}$
$\dfrac{(z^{6})^{2}}{(z^{2})^{4}}$
$\dfrac{(x^{3})^{6}}{(x^{4})^{7}}$
$\dfrac{(x^{4})^{8}}{(x^{5})^{7}}$
$\left(\dfrac{2r^{3}}{5s}\right)^{4}$
$\left(\dfrac{3m^{2}}{4n}\right)^{3}$
$\left(\dfrac{3y^{2} \cdot y^{5}}{y^{15} \cdot y^{8}}\right)^{0}$
$\left(\dfrac{15z^{4} \cdot z^{9}}{0.3z^{2}}\right)^{0}$
$\dfrac{(r^{2})^{5} (r^{4})^{2}}{(r^{3})^{7}}$
$\dfrac{(p^{4})^{2} (p^{3})^{5}}{(p^{2})^{9}}$
$\dfrac{(3x^{4})^{3} (2x^{3})^{2}}{(6x^{5})^{2}}$
$\dfrac{(-2y^{3})^{4} (3y^{4})^{2}}{(-6y^{3})^{2}}$

Dividir monomios

En los siguientes ejercicios, dividir los monomios.

48b ⁸ ÷ 6b ²
42a ¹⁴ ÷ 6a ²
36x ³ ÷ (−2x ⁹)
20u ⁸ ÷ (−4u ⁶)
$\dfrac{18x^{3}}{9x^{2}}$
$\dfrac{36y^{9}}{4y^{7}}$
$\dfrac{-35x^{7}}{-42x^{13}}$
$\dfrac{18x^{5}}{-27x^{9}}$
$\dfrac{18r^{5} s}{3r^{3} s^{9}}$
$\dfrac{24p^{7} q}{6p^{2} q^{5}}$
$\dfrac{8mn^{10}}{64mn^{4}}$
$\dfrac{10a^{4} b}{50a^{2} b^{6}}$
$\dfrac{-12x^{4} y^{9}}{15x^{6} y^{3}}$
$\dfrac{48x^{11} y^{9} z^{3}}{36x^{6} y^{8} z^{5}}$
$\dfrac{64x^{5} y^{9} z^{7}}{48x^{7} y^{12} z^{6}}$
$\dfrac{(10u^{2} v)(4u^{3} v^{6})}{5u^{9} v^{2}}$
$\dfrac{(6m^{2} n)(5m^{4} n^{3})}{3m^{10} n^{2}}$
$\dfrac{(6a^{4} b^{3})(4ab^{5})}{(12a^{8} b)(a^{3} b)}$
$\dfrac{(4u^{5} v^{4})(15u^{8} v)}{(12u^{3} v)(u^{6} v)}$

Práctica Mixta

(a) 24a ⁵ + 2a ⁵ (b) 24a ⁵ − 2a ⁵ (c) 24a ⁵ • 2a ⁵ (d) 24a ⁵ ÷ 2a ⁵
(a) 15n ¹⁰ + 3n ¹⁰ (b) 15n ¹⁰ − 3n ¹⁰ (c) 15n ¹⁰ • 3n ¹⁰ (d) 15n ¹⁰ ÷ 3n ¹⁰
(a) p ⁴ • p ⁶ (b) (p ⁴) ⁶
(a) q ⁵ • q ³ (b) (q ⁵) ³
a $\dfrac{ y^{3}}{y}$ ) b $\dfrac{y}{y^{3}}$
a $\dfrac{z^{6}}{z^{5}}$ ) b $\dfrac{z^{5}}{z^{6}}$
(8x ⁵) (9x) ÷ 6x ³
(4y ⁵) (12y ⁷) ÷ 8y ²
$\dfrac{27a^{7}}{3a^{3}} + \dfrac{54a^{9}}{9a^{5}}$
$\dfrac{32c^{11}}{4c^{5}} + \dfrac{42c^{9}}{6c^{3}}$
$\dfrac{32y^{5}}{8y^{2}} - \dfrac{60y^{10}}{5y^{7}}$
$\dfrac{48x^{6}}{6x^{4}} - \dfrac{35x^{9}}{7x^{7}}$
$\dfrac{63r^{6} s^{3}}{9r^{4} s^{2}} - \dfrac{72r^{2} s^{2}}{6s}$
$\dfrac{56y^{4} z^{5}}{7y^{3} z^{3}} - \dfrac{45y^{2} z^{2}}{5y}$

Matemáticas cotidianas

Memoria Un megabyte es aproximadamente 10 ⁶ bytes. Un gigabyte es aproximadamente 10 ⁹ bytes. ¿Cuántos megabytes hay en un gigabyte?
Memoria Un megabyte es aproximadamente 10 ⁶ bytes. Un terabyte es aproximadamente 10 ¹² bytes. ¿Cuántos megabytes hay en un terabyte?

Ejercicios de escritura

Vic piensa que el cociente $\dfrac{x^{20}}{x^{4}}$ se simplifica a x ⁵. ¿Qué tiene de malo su razonamiento?
Mai simplifica el cociente $\dfrac{y^{3}}{y}$ escribiendo $\dfrac{y^{3}}{y}$ = 3. ¿Qué tiene de malo su razonamiento?
Cuando Dimple simplificó −3 ⁰ y (−3) ⁰ obtuvo la misma respuesta. Explique cómo usar correctamente el Orden de Operaciones da diferentes respuestas.
Roxie piensa que n ⁰ simplifica a 0. ¿Qué dirías para convencer a Roxie de que se equivoca?

Autocomprobación

(a) Después de completar los ejercicios, utilice esta lista de verificación para evaluar su dominio de los objetivos de esta sección.

$CNX_BMath_Figure_AppB_063.jpg$

b) En una escala del 1 al 10, ¿cómo calificaría su dominio de esta sección a la luz de sus respuestas en la lista de verificación? ¿Cómo se puede mejorar esto?

Colaboradores y Atribuciones

Template:ContribOpenStaxPreAlgebra

Simplificar expresiones mediante la aplicación de varias propiedades

Resumen de Exponent Properties

Ejemplo10.7.8\PageIndex{8}:

Ejercicio10.7.15\PageIndex{15}:

Ejercicio10.7.16\PageIndex{16}:

Ejemplo10.7.9\PageIndex{9}:

Ejercicio10.7.17\PageIndex{17}:

Ejercicio10.7.18\PageIndex{18}:

Ejemplo10.7.10\PageIndex{10}:

Ejercicio10.7.19\PageIndex{19}:

Ejercicio10.7.20\PageIndex{20}:

Ejemplo10.7.11\PageIndex{11}:

Ejercicio10.7.21\PageIndex{21}:

Ejercicio10.7.22\PageIndex{22}:

Ejemplo10.7.12\PageIndex{12}:

Ejercicio10.7.23\PageIndex{23}:

Ejercicio10.7.24\PageIndex{24}:

Ejemplo10.7.13\PageIndex{13}:

Ejercicio10.7.25\PageIndex{25}

Ejercicio10.7.26\PageIndex{26}

Dividir monomios

Ejemplo10.7.14\PageIndex{14}:

Ejercicio10.7.27\PageIndex{27}:

Ejercicio10.7.28\PageIndex{28}:

Ejemplo10.7.15\PageIndex{15}:

Ejercicio10.7.29\PageIndex{29}:

Ejercicio10.7.30\PageIndex{30}:

Ejemplo10.7.16\PageIndex{16}:

Ejercicio10.7.31\PageIndex{31}:

Ejercicio10.7.32\PageIndex{32}:

Ejemplo10.7.17\PageIndex{17}:

Ejercicio10.7.33\PageIndex{33}:

Ejercicio10.7.34\PageIndex{34}:

Ejemplo10.7.18\PageIndex{18}:

Ejercicio10.7.35\PageIndex{35}:

Ejercicio10.7.36\PageIndex{36}:

ACCEDE A RECURSOS

La práctica hace la perfección

Simplificar expresiones usando la propiedad de cociente de exponentes

Simplifique las expresiones con cero exponentes

Simplificar expresiones usando el cociente a una propiedad de potencia

Simplificar expresiones mediante la aplicación de varias propiedades

Dividir monomios

Práctica Mixta

Matemáticas cotidianas

Ejercicios de escritura

Autocomprobación

Colaboradores y Atribuciones

Support Center

How can we help?

Ejemplo $\PageIndex{8}$ :

Ejercicio $\PageIndex{15}$ :

Ejercicio $\PageIndex{16}$ :

Ejemplo $\PageIndex{9}$ :

Ejercicio $\PageIndex{17}$ :

Ejercicio $\PageIndex{18}$ :

Ejemplo $\PageIndex{10}$ :

Ejercicio $\PageIndex{19}$ :

Ejercicio $\PageIndex{20}$ :

Ejemplo $\PageIndex{11}$ :

Ejercicio $\PageIndex{21}$ :

Ejercicio $\PageIndex{22}$ :

Ejemplo $\PageIndex{12}$ :

Ejercicio $\PageIndex{23}$ :

Ejercicio $\PageIndex{24}$ :

Ejemplo $\PageIndex{13}$ :

Ejercicio $\PageIndex{25}$

Ejercicio $\PageIndex{26}$

Ejemplo $\PageIndex{14}$ :

Ejercicio $\PageIndex{27}$ :

Ejercicio $\PageIndex{28}$ :

Ejemplo $\PageIndex{15}$ :

Ejercicio $\PageIndex{29}$ :

Ejercicio $\PageIndex{30}$ :

Ejemplo $\PageIndex{16}$ :

Ejercicio $\PageIndex{31}$ :

Ejercicio $\PageIndex{32}$ :

Ejemplo $\PageIndex{17}$ :

Ejercicio $\PageIndex{33}$ :

Ejercicio $\PageIndex{34}$ :

Ejemplo $\PageIndex{18}$ :

Ejercicio $\PageIndex{35}$ :

Ejercicio $\PageIndex{36}$ :