5.4: Multiplicar polinomios
Al final de esta sección, usted será capaz de:
- Multiplicar monomios
- Multiplicar un polinomio por un monomio
- Multiplicar un binomio por un binomio
- Multiplicar un polinomio por un polinomio
- Multiplicar productos especiales
- Multiplicar funciones polinómicas
Antes de comenzar, toma este cuestionario de preparación.
Multiplicar monomios
Estamos listos para realizar operaciones sobre polinomios. Dado que los monomios son expresiones algebraicas, podemos utilizar las propiedades de los exponentes para multiplicar monomios.
Multiplicar:
- \((3x^2)(−4x^3)\)
- \(\left(\frac{5}{6}x^3y\right)(12xy^2).\)
- Contesta a
-
\(\begin{array} {ll} {} &{(3x^2)(−4x^3)} \\ {\text{Use the Commutative Property to rearrange the terms.}} &{3·(−4)·x^2·x^3} \\ {\text{}} &{−12x^5} \\ \end{array} \)
- Respuesta b
-
\(\begin{array} {ll} {} &{\left(\frac{5}{6}x^3y\right)(12xy^2)} \\ {\text{Use the Commutative Property to rearrange the terms.}} &{\frac{5}{6}·12·x^3·x·y·y^2} \\ {\text{Multiply.}} &{10x^4y^3} \\ \end{array} \)
Multiplicar:
- \((5y^7)(−7y^4)\)
- \((25a^4b^3)(15ab^3)\)
- Contesta a
-
\(−35y^{11}\)
- Respuesta b
-
\(375 a^5b^6\)
Multiplicar:
- \((−6b^4)(−9b^5)\)
- \((23r^5s)(12r^6s^7).\)
- Contesta a
-
\(54b^9\)
- Respuesta b
-
\(276 r^{11}s^8\)
Multiplica un polinomio por un monomio
Multiplicar un polinomio por un monomio es realmente solo aplicar la Propiedad Distributiva.
Multiplicar:
- \(−2y(4y^2+3y−5)\)
- \(3x^3y(x^2−8xy+y^2)\) .
- Contesta a
-
Distribuir. Multiplicar. - Respuesta b
-
\(\begin{array} {ll} {} &{3x^3y(x^2−8xy+y^2)} \\ {\text{Distribute.}} &{3x^3y⋅x^2+(3x^3y)⋅(−8xy)+(3x^3y)⋅y^2} \\ {\text{Multiply.}} &{3x^5y−24x^4y^2+3x^3y^3} \\ \end{array} \)
Multiplicar:
- \(-3y(5y^2+8y^{7})\)
- \(4x^2y^2(3x^2−5xy+3y^2)\)
- Contesta a
-
\(−15y^3−24y^8\)
- Respuesta b
-
\(12x^4y^2−20x^3y^3+12x^2y^4\)
Multiplicar:
- \(4x^2(2x^2−3x+5)\)
- \(−6a^3b(3a^2−2ab+6b^2)\)
- Contesta a
-
\(8x^4−12x^3+20x^2\)
- Respuesta b
-
\(−18a^5b+12a^4b^2−36a^3b^3\)
Multiplicar un Binomial por un Binomial
Al igual que hay diferentes formas de representar la multiplicación de números, existen varios métodos que se pueden utilizar para multiplicar un binomio por un binomio. Empezaremos usando la Propiedad Distributiva.
Multiplicar:
- \((y+5)(y+8)\)
- \((4y+3)(2y−5)\) .
- Contestar
-
ⓐ
Distribuir \((y+8)\) . Distribuir de nuevo. Combina términos similares. ⓑ
Distribuir. Distribuir de nuevo. Combina términos similares.
Multiplicar:
- \((x+8)(x+9)\)
- \((3c+4)(5c−2)\) .
- Contesta a
-
\(x^2+17x+72\)
- Respuesta b
-
\(15c^2+14c−8\)
Multiplicar:
- \((5x+9)(4x+3)\)
- \((5y+2)(6y−3)\) .
- Contesta a
-
\(20x^2+51x+27\)
- Respuesta b
-
\(30y^2−3y−6\)
Si multiplicas binomios con la suficiente frecuencia puedes notar un patrón. Note que el primer término en el resultado es producto de los primeros términos en cada binomio. El segundo y tercer término son producto de multiplicar los dos términos externos y luego los dos términos internos . Y el último término resulta de multiplicar los dos últimos términos,
Abreviamos “Primero, Exterior, Interior, Último” como FOILO. Las letras representan 'Primero, Exterior, Interior, Ultimo'. Utilizamos esto como otro método para multiplicar binomios. La palabra FOIL es fácil de recordar y asegura que encontremos los cuatro productos.
Multipliquemos \((x+3)(x+7)\) usando ambos métodos.
A continuación resumimos los pasos del método FOILE. ¡El método FOIL solo se aplica a binomios multiplicadores, no a otros polinomios!
Cuando multiplicas por el método FOILO, dibujar las líneas ayudará a tu cerebro a enfocarse en el patrón y hacer que sea más fácil de aplicar.
Ahora haremos un ejemplo donde usamos el patrón FOIL para multiplicar dos binomios.
Multiplicar:
- \((y−7)(y+4)\)
- \((4x+3)(2x−5)\) .
- Contestar
-
a.
b.
Multiplicar:
- \((x−7)(x+5)\)
- \((3x+7)(5x−2)\) .
- Contestar
-
a. \(x^2−2x−35\)
b. \(15x^2+29x−14\)
Multiplicar:
- \((b−3)(b+6)\)
- \((4y+5)(4y−10)\) .
- Contestar
-
a. \(b^2+3b−18\)
b. \(16y^2−20y−50\)
Los productos finales en el último ejemplo fueron trinomios porque pudimos combinar los dos términos medios. Esto no siempre es así.
Multiplicar:
- \((n^2+4)(n−1)\)
- \((3pq+5)(6pq−11)\) .
- Contestar
-
a.
Paso 1. Multiplicalos primeros términos. Paso 2. Multiplicalos términos Externos . Paso 3. Multiplicalos términos internos . Paso 4. Multiplicalos últimos términos. Paso 5. Combinatérminos similares: no hay ninguno. b.
Paso 1. Multiplicalos primeros términos. Paso 2. Multiplicalos términos Externos . Paso 3. Multiplicalos términos internos . Paso 4. Multiplicalos últimos términos. Paso 5. Combinatérminos similares.
Multiplicar:
- \((x^2+6)(x−8)\)
- \((2ab+5)(4ab−4)\) .
- Contestar
-
a. \(x^3−8x^2+6x−48\)
b. \(8a^2b^2+12ab−20\)
Multiplicar:
- \((y^2+7)(y−9)\)
- \((2xy+3)(4xy−5)\) .
- Contestar
-
a. \(y^3−9y^2+7y−63\)
b. \(8x^2y^2+2xy−15\)
El método FOILE suele ser el método más rápido para multiplicar dos binomios, pero solo funciona para binomios. Puedes usar la Propiedad Distributiva para encontrar el producto de dos polinomios cualquiera. Otro método que funciona para todos los polinomios es el Método Vertical. Es muy parecido al método que usas para multiplicar números enteros. Mira cuidadosamente este ejemplo de multiplicar números de dos dígitos.
Ahora aplicaremos este mismo método para multiplicar dos binomios.
Multiplicar usando el Método Vertical: \((3y−1)(2y−6)\) .
- Contestar
-
No importa qué binomio vaya en la parte superior.
\ (\ begin {align*} & & &\ quad\;\;\; 3y - 1\\ [4pt]
& & &\ subrayado {\ quad\ times\; 2y-6}\\ [4pt]
&\ text {Multiplicar} 3y-1\ text {por} -6. & &\ quad -18y + 6 & &\ texto {producto parcial}\\ [4pt]
&\ text {Multiplicar} 3y-1\ text {por} 2y. & &\ subrayado {6y^2 - 2y} & &\ text {producto parcial}\\ [4pt]
&\ text {Agregar como términos.} & & 6y^2 - 20y + 6\ end {align*}\)Observe que los productos parciales son los mismos que los términos en el método FOIL.
Multiplicar usando el Método Vertical: \((5m−7)(3m−6)\) .
- Contestar
-
\(15m^2−51m+42\)
Multiplicar usando el Método Vertical: \((6b−5)(7b−3)\) .
- Contestar
-
\(42b^2−53b+15\)
Ahora hemos utilizado tres métodos para multiplicar binomios. Asegúrate de practicar cada método, y trata de decidir cuál prefieres. Los métodos se enumeran aquí todos juntos, para ayudarte a recordarlos.
Para multiplicar binomios, use el:
- Propiedad Distributiva
- Método de la lámina
- Método Vertical
Multiplicar un polinomio por un polinomio
Hemos multiplicado monomios por monomios, monomios por polinomios y binomios por binomios. Ahora estamos listos para multiplicar un polinomio por un polinomio. Recuerda, FOILO no funcionará en este caso, pero podemos usar ya sea la Propiedad Distributiva o el Método Vertical.
Multiplica \((b+3)(2b^2−5b+8)\) usando ⓐ la Propiedad Distributiva y ⓑ el Método Vertical.
- Contestar
-
a.
Distribuir. Multiplicar. Combina términos similares. b. Es más fácil poner el polinomio con menos términos en la parte inferior porque obtenemos menos productos parciales de esta manera.
Multiplicar \((2b^2−5b+8)\) por 3.
Multiplicar \((2b^2−5b+8)\) por \(b\) .Agregar términos similares.
Multiplica \((y−3)(y^2−5y+2)\) usando ⓐ la Propiedad Distributiva y ⓑ el Método Vertical.
- Contestar
-
a. \(y^3−8y^2+17y−6\)
b. \(y^3−8y^2+17y−6\)
Multiplicar \((x+4)(2x^2−3x+5)\) usando a) la Propiedad Distributiva y b) El Método Vertical.
- Contestar
-
a. y b. \(2x^3+5x^2−7x+20\)
Ahora hemos visto dos métodos que puedes usar para multiplicar un polinomio por un polinomio. Después de practicar cada método, probablemente encontrarás que prefieres una forma sobre la otra. Enumeramos ambos métodos se enumeran aquí, para una fácil referencia.
Para multiplicar un trinomio por un binomio, utilice el:
- Propiedad Distributiva
- Método Vertical
Multiplicar productos especiales
A los matemáticos les gusta buscar patrones que faciliten su trabajo. Un buen ejemplo de ello es la cuadratura de binomios. Si bien siempre puedes obtener el producto escribiendo el binomio dos veces y multiplicándolos, hay menos trabajo por hacer si aprendes a usar un patrón. Empecemos por mirar tres ejemplos y buscar un patrón.
Mira estos resultados. ¿Ves algún patrón?
¿Qué pasa con el número de términos? En cada ejemplo cuadrábamos un binomio y el resultado fue un trinomio.
\[(a+b)^2=\text{___}+\text{___}+\text{___} \nonumber\]
Ahora mira el primer término en cada resultado. ¿De dónde salió?
El primer término es producto de los primeros términos de cada binomio. Ya que los binomios son idénticos, ¡es justo el cuadrado del primer término!
\[(a+b)^2=a^2+\text{___}+\text{___} \nonumber\]
Para obtener el primer término del producto, cuadre el primer término.
¿De dónde salió el último mandato ? Mira los ejemplos y encuentra el patrón.
El último término es producto de los últimos términos, que es el cuadrado del último término.
\[(a+b)^2=\text{___}+\text{___}+b^2 \nonumber\]
Para obtener el último término del producto, cuadre el último término.
Por último, fíjense en el mediano plazo . Observe que vino de agregar los términos “exterior” e “interno”, ¡que son ambos iguales! Por lo que el término medio es el doble del producto de los dos términos del binomio.
\[(a+b)^2=\text{___}+2ab+\text{___} \nonumber\]
\[(a−b)^2=\text{___}−2ab+\text{___} \nonumber\]
Para obtener el término medio del producto, multiplique los términos y duplique su producto.
Poniéndolo todo junto:
Si a y b son números reales,
Para cuadrar un binomio, cuadrar el primer término, cuadrar el último término, duplicar su producto.
Multiplicar: a. \((x+5)^2\) b \((2x−3y)^2\) .
- Contestar
-
a.
Cuadrar el primer término. Cuadrar el último término. Duplica su producto. Simplificar. b.
Usa el patrón. Simplificar.
Multiplicar: a. \((x+9)^2\) b \((2c−d)^2\) .
- Contestar
-
a. \(x^2+18x+81\)
b. \(4c^2−4cd+d^2\)
Multiplicar: a. \((y+11)^2\) b \((4x−5y)^2\) .
- Contestar
-
a. \(y^2+22y+121\)
b. \(16x^2−40xy+25y^2\)
Acabamos de ver un patrón para cuadrar binomios que podemos usar para facilitar la multiplicación de algunos binomios. De igual forma, existe un patrón para otro producto de los binomios. Pero antes de llegar a ella, necesitamos introducir algo de vocabulario.
Un par de binomios que cada uno tiene el mismo primer término y el mismo último término, pero uno es una suma y uno es una diferencia se llama par conjugado y es de la forma \((a−b)\) , \((a+b)\) .
Un par conjugado es dos binomios de la forma
\[(a−b), (a+b). \nonumber\]
El par de binomios cada uno tiene el mismo primer término y el mismo último término, pero un binomio es una suma y el otro es una diferencia.
Existe un bonito patrón para encontrar el producto de los conjugados. Podrías, por supuesto, simplemente FOIL para obtener el producto, pero usar el patrón facilita tu trabajo. Busquemos el patrón usando FOIL para multiplicar algunos pares conjugados.
¿Qué observa sobre los productos?
¡El producto de los dos binomios es también un binomio! La mayoría de los productos resultantes de FOILA han sido trinomios.
Cada primer término es producto de los primeros términos de los binomios, y como son idénticos es el cuadrado del primer término.
\[(a+b)(a−b)=a^2−\text{___} \nonumber\]
Para obtener el primer término, cuadre el primer término.
El último término vino de multiplicar los últimos términos, el cuadrado del último término.
\[(a+b)(a−b)=a^2−b^2 \nonumber\]
Para obtener el último término, cuadre el último término .
¿Por qué no hay término medio? Observe los dos términos medios que obtiene de FOILE se combinan a 0 en cada caso, el resultado de una suma y una resta.
El producto de los conjugados es siempre de la forma \(a^2−b^2\) . A esto se le llama diferencia de cuadrados .
Esto lleva al patrón:
Si a y b son números reales,
El producto se llama diferencia de cuadrados.
Para multiplicar los conjugados, cuadre el primer término, cuadre el último término, escríbelo como diferencia de cuadrados.
Multiplicar utilizando el producto de los conjugados patrón: a. \((2x+5)(2x−5)\) b \((5m−9n)(5m+9n)\) .
- Contestar
-
a.
¿Los binomios son conjugados? Es el producto de los conjugados. Cuadrar el primer término, 2x.2x. Cuadrar el último término, 5.5. Simplificar. El producto es una diferencia de cuadrados. b.
Esto se ajusta al patrón. Usa el patrón. Simplificar.
Multiplicar: a. \((6x+5)(6x−5)\) b \((4p−7q)(4p+7q)\) .
- Contestar
-
a. \(36x^2−25\)
b. \(16p^2−49q^2\)
Multiplicar: a. \((2x+7)(2x−7)\) b \((3x−y)(3x+y)\) .
- Contestar
-
a. \(4x^2−49\) b. \(9x^2−y^2\)
Acabamos de desarrollar patrones especiales de producto para Cuadrados Binomiales y para el Producto de Conjugado. Los productos se ven similares, por lo que es importante reconocer cuándo es apropiado utilizar cada uno de estos patrones y notar cómo difieren. Mira los dos patrones juntos y observa sus similitudes y diferencias.
| Plazas Binomiales | Producto de conjugados |
|---|---|
| \((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\) | \((a−b)(a+b)=a^2−b^2\) |
| \((a−b)^2=a^2−2ab+b^2\) | |
| • Cuadratura de un binomio | • Multiplicando conjugados |
| • El producto es un trinomio | • El producto es un binomio. |
| • Los términos internos y externos con FOILE son los mismos. | • Los términos internos y externos con FOILE son opuestos. |
| • Medio plazo es el doble del producto de los términos | • No hay término medio. |
Elige el patrón adecuado y úsalo para encontrar el producto:
a. \((2x−3)(2x+3)\) b. \((8x-5)^2\) c. \((6m+7)^2\) d \((5x−6)(6x+5)\) .
- Contestar
-
a. \((2x−3)(2x+3)\)
Estos son conjugados. Tienen los mismos primeros números, y los mismos últimos números, y un binomio es una suma y el otro es una diferencia. Se ajusta al patrón Producto de Conjugados.
Usa el patrón. Simplificar. b. \((8x−5)^2\)
Se nos pide cuadrar un binomio. Se ajusta al patrón de cuadrados binomiales.
Usa el patrón. Simplificar. c. \((6m+7)^2\)
Nuevamente, vamos a cuadrar un binomio por lo que usamos el patrón de cuadrados binomiales.
Usa el patrón. Simplificar. d. \((5x−6)(6x+5)\)
Este producto no se ajusta a los patrones, por lo que usaremos FOILA.
\(\begin{array} {ll} {} &{(5x−6)(6x+5)} \\ {\text{Use FOIL.}} & {30x^2+25x−36x−30} \\ {\text{Simplify.}} & {30x^2−11x−30} \\ \end{array}\)
Elige el patrón adecuado y úsalo para encontrar el producto:
a. \((9b−2)(2b+9)\) b. \((9p−4)^2\) c. \((7y+1)^2\) d \((4r−3)(4r+3)\) .
- Contestar
-
a. \(18b^2+77b−18\)
FOILA; b. Cuadrados Binomiales; \(81p^2−72p+16\)
c. Cuadrados Binomiales; \(49y^2+14y+1\)
d. Producto de Conjugados; \(16r^2−9\)
Elige el patrón adecuado y úsalo para encontrar el producto:
a. \((6x+7)^2\) b. \((3x−4)(3x+4)\) c. \((2x−5)(5x−2)\) d \((6n−1)^2\) .
- Contestar
-
a. Cuadrados Binomiales; \(36x^2+84x+49\) b. Producto de Conjugados; \(9x^2−16\) c. FOILO; \(10x^2−29x+10\) d. Cuadrados Binomiales; \(36n^2−12n+1\)
Multiplicar funciones polinómicas
Así como los polinomios se pueden multiplicar, las funciones polinómicas también se pueden multiplicar.
Para funciones \(f(x)\) y \(g(x)\) ,
\[(f·g)(x)=f(x)·g(x)\]
Para las funciones \(f(x)=x+2\) y \(g(x)=x^2−3x−4\) , encontrar:
- \((f·g)(x)\)
- \((f·g)(2)\) .
- Contestar
-
a.
\(\begin{array} {ll} {} &{(f·g)(x)=f(x)·g(x)} \\ {\text{Substitute for } f(x) \text{ and } g(x)} &{(f·g)(x)=(x+2)(x^2−3x−4)} \\ {\text{Multiply the polynomials.}} &{(f·g)(x)=x(x^2−3x−4)+2(x^2−3x−4)} \\ {\text{Distribute.}} &{(f·g)(x)=x3−3x^2−4x+2x^2−6x−8} \\ {\text{Combine like terms.}} &{(f·g)(x)=x3−x^2−10x−8} \\ \end{array}\)
b. En la parte a. encontramos \((f·g)(x)\) y ahora se les pide encontrar \((f·g)(2)\) .
\(\begin{array} {ll} {} &{(f·g)(x)=x^3−x^2−10x−8} \\ {\text{To find }(f·g)(2), \text{ substitute } x=2.} &{(f·g)(2)=2^3−2^2−10·2−8} \\ {} &{(f·g)(2)=8−4−20−8} \\ {} &{(f·g)(2)=−24} \\ \end{array}\)
Para las funciones \(f(x)=x−5\) y \(g(x)=x^2−2x+3\) , encontrar
- \((f·g)(x)\)
- \((f·g)(2)\) .
- Contesta a
-
\((f·g)(x)=x^3−7x^2+13x−15\)
- Respuesta b
-
\((f·g)(2)=−9\)
Para las funciones \(f(x)=x−7\) y \(g(x)=x^2+8x+4\) , encontrar
- \((f·g)(x)\)
- \((f·g)(2)\) .
- Contesta a
-
\((f·g)(x)=x^3+x^2−52x−28\)
- Contesta a
-
\((f·g)(2)=−120\)
Acceda a este recurso en línea para instrucción y práctica adicional con polinomios multiplicadores.
- Introducción a productos especiales de binomios
Conceptos Clave
-
Cómo utilizar el método FOIL para multiplicar dos binomios.
-
Multiplicando Dos Binomios:
Para multiplicar binomios, utilice el:
- Propiedad Distributiva
- Método de la lámina
-
Multiplicando un polinomio por un polinomio:
Para multiplicar un trinomio por un binomio, utilice el:
- Propiedad Distributiva
- Método Vertical
-
Patrón de cuadrados binomiales
Si a y b son números reales, -
Producto de Conjugados Patrón
Si a, b son números reales
El producto se llama una diferencia de cuadrados.
Para multiplicar los conjugados, cuadre el primer término, cuadre el último término, escríbelo como diferencia de cuadrados. -
Comparación de los patrones de productos especiales
Plazas Binomiales Producto de conjugados \((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\) \((a−b)^2=a^2−2ab+b^2\) \((a−b)(a+b)=a^2−b^2\) • Cuadratura de un binomio • Multiplicando conjugados • El producto es un trinomio • El producto es un binomio. • Los términos internos y externos con FOILE son los mismos. • Los términos internos y externos con FOILE son opuestos. • Medio plazo es el doble del producto de los términos • No hay término medio. -
Multiplicación de Funciones Polinómicas:
-
Para funciones
\(f(x)\)
y
\(g(x)\)
,
\[(f⋅g)(x)=f(x)⋅g(x) \nonumber\]
-
Para funciones
\(f(x)\)
y
\(g(x)\)
,
Glosario
- par conjugado
- Un par conjugado es dos binomios de la forma \((a−b)\) y \((a+b)\) . El par de binomios cada uno tiene el mismo primer término y el mismo último término, pero un binomio es una suma y el otro es una diferencia.