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LibreTexts Español

9.4: Resolver ecuaciones cuadráticas usando la fórmula cuadrática

( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\)

Objetivos de aprendizaje

Al final de esta sección, podrás:

  • Resolver ecuaciones cuadráticas usando la Fórmula Cuadrática
  • Utilizar el discriminante para predecir el número y tipo de soluciones de una ecuación cuadrática
  • Identificar el método más apropiado para resolver una ecuación cuadrática

Antes de comenzar, toma este cuestionario de preparación.

  1. Evaluarb24ab cuándoa=3 yb=2.
  2. Simplificar108.
  3. Simplificar50.

Resolver ecuaciones cuadráticas usando la fórmula cuadrática

Cuando resolvimos ecuaciones cuadráticas en la última sección completando el cuadrado, dimos los mismos pasos cada vez. Al final del conjunto de ejercicios, quizás te hayas estado preguntando '¿no hay una manera más fácil de hacer esto?' La respuesta es 'sí'. Los matemáticos buscan patrones cuando hacen las cosas una y otra vez para facilitar su trabajo. En esta sección derivaremos y usaremos una fórmula para encontrar la solución de una ecuación cuadrática.

Ya hemos visto cómo resolver una fórmula para una variable específica 'en general', de manera que haríamos los pasos algebraicos solo una vez, y luego usaríamos la nueva fórmula para encontrar el valor de la variable específica. Ahora vamos a pasar por los pasos de completar el cuadrado usando la forma general de una ecuación cuadrática para resolver una ecuación cuadrática parax.

Comenzamos con la forma estándar de una ecuación cuadrática y la resolvemosx completando el cuadrado.

  ax2+bx+c=0,a0
Aísle los términos variables en un lado. ax2+bx=c
Hacer el coeficiente dex2 igual a1, dividiendo pora. ax2a+bax=ca
Simplificar. x2+bax=ca
Para completar el cuadrado, búscalo(12ba)2 y agregarlo a ambos lados de la ecuación.  
(12ba)2=b24a2 x2+bax+b24a2=ca+b24a2
El lado izquierdo es un cuadrado perfecto, factorizarlo. (x+b2a)2=ca+b24a2
Encuentra el denominador común del lado derecho y escribe fracciones equivalentes con el denominador común. (x+b2a)2=b24a2c4aa4a
Simplificar. (x+b2a)2=b24a24ac4a2
Combine a una fracción. (x+b2a)2=b24ac4a2
Utilice la propiedad raíz cuadrada. x+b2a=±b24ac4a2
Simplifica lo radical. x+b2a=±b24ac2a
Agregarb2a a ambos lados de la ecuación. x=b2a±b24ac2a
Combina los términos en el lado derecho. x=b±b24ac2a

La ecuación final se llama la “Fórmula Cuadrática”.

Definición9.4.1: Quadratic Formula

Las soluciones a una ecuación cuadrática de la formaax2+bx+c=0, dondea0 están dadas por la fórmula:

x=b±b24ac2a

Para usar la Fórmula Cuadrática, sustituimos los valores dea,b, yc de la forma estándar en la expresión en el lado derecho de la fórmula. Entonces simplificamos la expresión. El resultado es el par de soluciones a la ecuación cuadrática.

Observe que la Fórmula Cuadrática (Ecuación\ ref {quad}) es una ecuación. Asegúrate de usar ambos lados de la ecuación.

Ejemplo9.4.1 How to Solve a Quadratic Equation Using the Quadratic Formula

Resuelve usando la Fórmula Cuadrática:2x2+9x5=0.

Solución:

Paso 1: Escribe la ecuación cuadrática en forma estándar. Identificar losa,b,c valores. Esta ecuación está en forma estándar. ax2+bx+c=02x2+9x5=0a=2,b=9,c=5
Paso 2: Escribe la fórmula cuadrática. Después sustituir en los valores dea,b,c. Sustituto ena=2,b=9,c=5 x=b±b24ac2a
x=9±9242(5)22
Paso 3: Simplificar la fracción, y resolver parax.   x=9±81(40)4x=9±1214x=9±114x=9+114x=9114x=24x=204x=12x=5
Paso 4: Consulta las soluciones. Pon cada respuesta en la ecuación original para verificar. Sustitutox=12 yx=5.

2x2+9x5=02(12)2+9125?=0214+0125?=0214+9125?=012+925?=01025?=055?=00=0

2x2+9x5=02(5)2+9(5)5?=0225455?=050455?=00=0

Ejercicio9.4.1

Resuelve usando la Fórmula Cuadrática:3y25y+2=0.

Contestar

y=1,y=23

Ejercicio9.4.2

Resuelve usando la Fórmula Cuadrática:4z2+2z6=0.

Contestar

z=1,z=32

HowTo: Resolver una ecuación cuadrática usando la fórmula cuadrática
  1. Escribir la ecuación cuadrática en forma estándar,ax2+bx+c=0. Identificar los valores dea,b, yc.
  2. Escribe la Fórmula Cuadrática. Después sustituir en los valores dea,b, yc.
  3. Simplificar.
  4. Consulta las soluciones.

Si dices la fórmula mientras la escribes en cada problema, ¡la tendrás memorizada en poco tiempo! Y recuerden, la Fórmula Cuadrática es una ECUACIÓN. Asegúrate de comenzar con “x=”.

Ejemplo9.4.2

Resuelve usando la Fórmula Cuadrática:x26x=5.

Solución:

 

x26x=5

Escribe la ecuación en forma estándar sumando5 a cada lado.

x26x+5=0

Esta ecuación se encuentra ahora en forma estándar.

ax2+bx+c=0
x26x+5=0

Identificar los valores dea,b,c. a=1,b=6,c=5
Escribe la Fórmula Cuadrática.

x=b±b24ac2a

Después sustituir en los valores dea,b,c.

x=(6)±(6)241(5)21

Simplificar.

x=6±36202

x=6±162

x=6±42

Reescribe para mostrar dos soluciones.

x=6+42,x=642

Simplificar.

x=102,x=22

  x=5,x=1

Comprobar:

.
 
Ejercicio9.4.3

Resuelve usando la Fórmula Cuadrática:a22a=15.

Contestar

a=3,a=5

Ejercicio9.4.4

Resuelve usando la Fórmula Cuadrática:b2+24=10b.

Contestar

b=6,b=4

Cuando resolvimos ecuaciones cuadráticas usando la Propiedad Raíz Cuadrada, a veces obtuvimos respuestas que tenían radicales. Eso puede suceder, también, al usar la Fórmula Cuadrática. Si obtenemos un radical como solución, la respuesta final debe tener el radical en su forma simplificada.

Ejemplo9.4.3

Resuelve usando la Fórmula Cuadrática:2x2+10x+11=0.

Solución:

  .
Esta ecuación está en forma estándar. .
Identificar los valores dea,b yc. .
Escribe la Fórmula Cuadrática.

x=b±b24ac2a

Después sustituir en los valores dea,b, yc. .
Simplificar.

x=10±100884

 

x=10±124

Simplifica lo radical.

x=10±234

Factorizar el factor común en el numerador.

.

x=2(5±3)4

Eliminar los factores comunes.

x=5±32

Reescribe para mostrar dos soluciones.

x=5+32,x=532

Comprobar:

¡Te dejamos el cheque!

 
Ejercicio9.4.5

Resuelve usando la Fórmula Cuadrática:3m2+12m+7=0.

Contestar

m=6+153,m=6153

Ejercicio9.4.6

Resuelve usando la Fórmula Cuadrática:5n2+4n4=0.

Contestar

n=2+265,n=2265

Cuando sustituimosa,b, yc en la Fórmula Cuadrática y el radicando es negativo, la ecuación cuadrática tendrá soluciones imaginarias o complejas. Esto lo veremos en el siguiente ejemplo.

Ejemplo9.4.4

Resuelve usando la Fórmula Cuadrática:3p2+2p+9=0.

Solución:

  .
Esta ecuación está en forma estándar. .
Identificar los valores dea,b,c. .
Escribe la Fórmula Cuadrática. .
Después sustituir en los valores dea,b,c. .
Simplificar. .
  .
Simplifica el radical usando números complejos. .
Simplifica lo radical. .
Factorizar el factor común en el numerador. .
Eliminar los factores comunes. .
Reescribir ena+bi forma estándar. .
Escribir como dos soluciones. .
Cuadro 9.3.5
Ejercicio9.4.7

Resuelve usando la Fórmula Cuadrática:4a22a+8=0.

Contestar

a=14+314i,a=14314i

Ejercicio9.4.8

Resuelve usando la Fórmula Cuadrática:5b2+2b+4=0.

Contestar

b=15+195i,b=15195i

Recuerde, para usar la Fórmula Cuadrática, la ecuación debe estar escrita en forma estándar,ax2+bx+c=0. A veces, tendremos que hacer algo de álgebra para obtener la ecuación en forma estándar antes de poder usar la Fórmula Cuadrática.

Ejemplo9.4.5

Resuelve usando la Fórmula Cuadrática:x(x+6)+4=0.

Solución:

Nuestro primer paso es obtener la ecuación en forma estándar.

  .
Distribuir para obtener la ecuación en forma estándar. .
Esta ecuación se encuentra ahora en forma estándar. .
Identificar los valores dea,b,c. .
Escribe la Fórmula Cuadrática. .
Después sustituir en los valores dea,b,c. .
Simplificar. .
  .
Simplifica lo radical. .
Factorizar el factor común en el numerador. .
Eliminar los factores comunes. .
Escribir como dos soluciones. .

Comprobar:

¡Te dejamos el cheque!

 
Cuadro 9.3.6
Ejercicio9.4.9

Resuelve usando la Fórmula Cuadrática:x(x+2)5=0.

Contestar

x=1+6,x=16

Ejercicio9.4.10

Resuelve usando la Fórmula Cuadrática:3y(y2)3=0.

Contestar

y=1+2,y=12

Cuando resolvimos ecuaciones lineales, si una ecuación tenía demasiadas fracciones, las limpiamos multiplicando ambos lados de la ecuación por la LCD. Esto nos dio una ecuación equivalente —sin fracciones— que resolver. Podemos usar la misma estrategia con ecuaciones cuadráticas.

Ejemplo9.4.6

Resuelve usando la Fórmula Cuadrática:12u2+23u=13.

Solución:

Nuestro primer paso es despejar las fracciones.

  .
Multiplique ambos lados por la pantalla LCD6,, para borrar las fracciones. .
Multiplicar. .
Restar2 para obtener la ecuación en forma estándar. .
Identificar los valores dea,b, yc. .
Escribe la Fórmula Cuadrática. .
Después sustituir en los valores dea,b, yc. .
Simplificar. .
  .
Simplifica lo radical. .
Factorizar el factor común en el numerador. .
Eliminar los factores comunes. .
Reescribe para mostrar dos soluciones. .

Comprobar:

¡Te dejamos el cheque!

 
Cuadro 9.3.7
Ejercicio9.4.11

Resuelve usando la Fórmula Cuadrática:14c213c=112.

Contestar

c=2+73,c=273

Ejercicio9.4.12

Resuelve usando la Fórmula Cuadrática:19d212d=13.

Contestar

d=9+334,d=9334

Piensa en la ecuación(x3)2=0. Sabemos por la Propiedad de Producto Cero que esta ecuación tiene una sola solución,x=3.

Veremos en el siguiente ejemplo cómo usar la Fórmula Cuadrática para resolver una ecuación cuya forma estándar es un trinomio cuadrado perfecto igual a0 da solo una solución. Observe que una vez que se simplifica el radicando se vuelve0, lo que lleva a una sola solución.

Ejemplo9.4.7

Resuelve usando la Fórmula Cuadrática:4x220x=25.

Solución:

  .
Agrega25 para obtener la ecuación en forma estándar. .
Identificar los valores dea,b, yc. .
Escribe la fórmula cuadrática. .
Después sustituir en los valores dea,b, yc. .
Simplificar. .
  .
Simplifica lo radical. .
Simplifica la fracción. .

Comprobar:

¡Te dejamos el cheque!

 
Cuadro 9.3.8

¿Reconoció que4x220x+25 es un trinomio cuadrado perfecto? Es equivalente a(2x5)2? Si resuelves4x220x+25=0 factorizando y luego usando la Propiedad Raíz Cuadrada, ¿obtienes el mismo resultado?

Ejercicio9.4.13

Resuelve usando la Fórmula Cuadrática:r2+10r+25=0.

Contestar

r=5

Ejercicio9.4.14

Resuelve usando la Fórmula Cuadrática:25t240t=16.

Contestar

t=45

Utilizar el discriminante para predecir el número y tipo de soluciones de una ecuación cuadrática

Cuando resolvimos las ecuaciones cuadráticas en los ejemplos anteriores, a veces obtuvimos dos soluciones reales, una solución real y otras dos soluciones complejas. ¿Hay alguna manera de predecir el número y tipo de soluciones a una ecuación cuadrática sin resolver realmente la ecuación?

Sí, la expresión bajo el radical de la Fórmula Cuadrática nos facilita determinar el número y tipo de soluciones. A esta expresión se le llama el discriminante.

Definición9.4.2

Discriminante

En la Fórmula Cuadrática, x es igual al cociente de b negativo más o menos la raíz cuadrada de b al cuadrado menos 4 veces a por c y 2 a, el valor bajo el radical, b cuadrado menos 4 veces por c, se llama discriminante.
Figura 9.3.85

Veamos el discriminante de las ecuaciones en algunos de los ejemplos y el número y tipo de soluciones a esas ecuaciones cuadráticas.

Ecuación cuadrática (en forma estándar) Discriminarb24ac Valor del Discriminante Número y Tipo de Soluciones
2x2+9x5=0 \ (b^ {2} -4ac\) ">9242(5)121 + 2real
4x220x+25=0 \ (b^ {2} -4ac\) ">(20)24425
0
0 1real
3p2+2p+9=0 \ (b^ {2} -4ac\) ">22439
104
2complejo
Cuadro 9.3.9
Cuando el valor bajo el radical en la Fórmula Cuadrática, el discriminante, es positivo, la ecuación tiene dos soluciones reales. Cuando el valor bajo el radical en la Fórmula Cuadrática, el discriminante, es cero, la ecuación tiene una solución real. Cuando el valor bajo el radical en la Fórmula Cuadrática, el discriminante, es negativo, la ecuación tiene dos soluciones complejas.
Figura 9.3.86

Usando el Discriminanteb24ac, para Determinar el Número y Tipo de Soluciones de una Ecuación Cuadrática

Para una ecuación cuadrática de la formaax2+bx+c=0a0,

  • Sib24ac>0, la ecuación tiene soluciones2 reales.
  • sib24ac=0, la ecuación tiene solución1 real.
  • sib24ac<0, la ecuación tiene soluciones2 complejas.
Ejemplo9.4.8

Determinar el número de soluciones a cada ecuación cuadrática.

  1. 3x2+7x9=0
  2. 5n2+n+4=0
  3. 9y26y+1=0

Solución:

Para determinar el número de soluciones de cada ecuación cuadrática, veremos su discriminante.

a.

3x2+7x9=0

La ecuación está en forma estándar, identificara,b, yc.

a=3,b=7,c=9

Escribe el discriminante.

b24ac

Sustituto en los valores dea,b, yc.

(7)243(9)

Simplificar.

49+108
157

Dado que el discriminante es positivo, hay soluciones2 reales a la ecuación.

b.

5n2+n+4=0

La ecuación está en forma estándar, identificara,b, yc.

a=5,b=1,c=4

Escribe el discriminante.

b24ac

Sustituto en los valores dea,b, yc.

(1)2454

Simplificar.

180
79

Dado que el discriminante es negativo, existen soluciones2 complejas a la ecuación.

c.

9y26y+1=0

La ecuación está en forma estándar, identificara,b, yc.

a=9,b=6,c=1

Escribe el discriminante.

b24ac

Sustituto en los valores dea,b, yc.

(6)2491

Simplificar.

3636
0

Como lo es el discriminante0, hay una solución1 real a la ecuación.

Ejercicio9.4.15

Determinar el número y tipo de soluciones a cada ecuación cuadrática.

  1. 8m23m+6=0
  2. 5z2+6z2=0
  3. 9w2+24w+16=0
Contestar
  1. 2soluciones complejas
  2. 2soluciones reales
  3. 1solución real
Ejercicio9.4.16

Determinar el número y tipo de soluciones a cada ecuación cuadrática.

  1. b2+7b13=0
  2. 5a26a+10=0
  3. 4r220r+25=0
Contestar
  1. 2soluciones reales
  2. 2soluciones complejas
  3. 1solución real

Identificar el método más apropiado para resolver una ecuación cuadrática

A continuación resumimos los cuatro métodos que hemos utilizado para resolver ecuaciones cuadráticas.

Métodos para resolver ecuaciones cuadráticas

  1. Factoring
  2. Propiedad Raíz Cuadrada
  3. Completando la Plaza
  4. Fórmula cuadrática

Dado que tenemos cuatro métodos a utilizar para resolver una ecuación cuadrática, ¿cómo decides cuál usar? La factorización suele ser el método más rápido y así lo intentamos primero. Si la ecuación esax2=k oa(xh)2=k usamos la Propiedad Raíz Cuadrada. Para cualquier otra ecuación, probablemente sea mejor usar la Fórmula Cuadrática. Recuerda, puedes resolver cualquier ecuación cuadrática usando la Fórmula Cuadrática, pero ese no siempre es el método más fácil.

¿Qué pasa con el método de Completar la Plaza? A la mayoría de la gente le resulta engorroso ese método y prefiere no usarlo. Necesitábamos incluirlo en la lista de métodos porque completamos el cuadrado en general para derivar la Fórmula Cuadrática. También utilizarás el proceso de Completar la Plaza en otras áreas del álgebra.

Identificar el método más apropiado para resolver una ecuación cuadrática

  1. Pruebe Factoring primero. Si los factores cuadráticos fácilmente, este método es muy rápido.
  2. Pruebe la propiedad de raíz cuadrada a continuación. Si la ecuación se ajusta a la formaax2=k oa(xh)2=k, se puede resolver fácilmente usando la Propiedad Raíz Cuadrada.
  3. Usa la Fórmula Cuadrática. Cualquier otra ecuación cuadrática se resuelve mejor usando la Fórmula Cuadrática.

El siguiente ejemplo utiliza esta estrategia para decidir cómo resolver cada ecuación cuadrática.

Ejemplo9.4.9

Identificar el método más adecuado a utilizar para resolver cada ecuación cuadrática.

  1. 5z2=17
  2. 4x212x+9=0
  3. 8u2+6u=11

Solución:

a.

5z2=17

Dado que la ecuación está en elax2=k, el método más apropiado es usar la Propiedad Raíz Cuadrada.

b.

4x212x+9=0

Reconocemos que el lado izquierdo de la ecuación es un trinomio cuadrado perfecto, por lo que factorizar será el método más apropiado.

c.

8u2+6u=11

Poner la ecuación en forma estándar.

8u2+6u11=0

Si bien nuestro primer pensamiento puede ser tratar de factorizar, pensar en todas las posibilidades de método de ensayo y error nos lleva a elegir la Fórmula Cuadrática como el método más apropiado.

Ejercicio9.4.17

Identificar el método más adecuado a utilizar para resolver cada ecuación cuadrática.

  1. x2+6x+8=0
  2. (n3)2=16
  3. 5p26p=9
Contestar
  1. Factoring
  2. Propiedad Raíz Cuadrada
  3. Fórmula cuadrática
Ejercicio9.4.18

Identificar el método más adecuado a utilizar para resolver cada ecuación cuadrática.

  1. 8a2+3a9=0
  2. 4b2+4b+1=0
  3. 5c2=125
Contestar
  1. Fórmula cuadrática
  2. Propiedad de Factoring o Raíz Cuadrada
  3. Propiedad Raíz Cuadrada

Acceda a estos recursos en línea para obtener instrucción adicional y práctica con el uso de la Fórmula Cuadrática.

Conceptos clave

  • Fórmula cuadrática
    • Las soluciones a una ecuación cuadrática de la formaax2+bx+c=0,a0 vienen dadas por la fórmula:

      x=b±b24ac2a

  • Cómo resolver una ecuación cuadrática usando la Fórmula Cuadrática.
    1. Escribir la ecuación cuadrática en forma estándar,ax2+bx+c=0. Identificar los valores dea,b,c.
    2. Escribe la Fórmula Cuadrática. Después sustituir en los valores dea,b,c.
    3. Simplificar.
    4. Consulta las soluciones.
  • Uso del discriminante,b24ac, para determinar el número y tipo de soluciones de una ecuación cuadrática
    • Para una ecuación cuadrática de la formaax2+bx+c=0,a0,
      • Sib24ac>0, la ecuación tiene soluciones2 reales.
      • Sib24ac=0, la ecuación tiene solución1 real.
      • Sib24ac<0, la ecuación tiene soluciones2 complejas.
  • Métodos para Resolver Ecuaciones Cuadráticas:
    • Factoring
    • Propiedad Raíz Cuadrada
    • Completando la Plaza
    • Fórmula cuadrática
  • Cómo identificar el método más adecuado para resolver una ecuación cuadrática.
    1. Pruebe Factoring primero. Si los factores cuadráticos fácilmente, este método es muy rápido.
    2. Pruebe la propiedad de raíz cuadrada a continuación. Si la ecuación se ajusta a la formaax2=k oa(xh)2=k, se puede resolver fácilmente usando la Propiedad Raíz Cuadrada.
    3. Usa la Fórmula Cuadrática. Cualquier otra ecuación cuadrática se resuelve mejor usando la Fórmula Cuadrática.

Glosario

discriminante
En la Fórmula Cuadrática,x=b±b24ac2a, a la cantidadb24ac se le llama el discriminante.

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