3.5: Espacios vectoriales. El Espacio C. Espacios Euclideanos
( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\)
I. Seguiremos ahora el patrón deEn para obtener la noción general de un espacio vectorial (así como generalizamosE1 para definir campos).
DejarV ser un conjunto de elementos arbitrarios (no necesariamenten -tuplas), llamados “vectores” o “puntos”, con una determinada operación (llamarlo “suma”, de+) alguna manera definido enV. LetF be any field (e.g.,E1 orC); sus elementos se llamarán escalares; su cero y la unidad se denotará por 0 y1, respectivamente. Supongamos que se ha definido otra operación más (“multiplicación de escalares por vectores”) que asigna a cada escalarc∈F y a cada vectorx∈V un determinado vector, denotadocx oxc y llamado elc -múltiplo dex. Además, supongamos que esta multiplicación y suma enV satisfacer las nueve leyes especificadas en el Teorema 1 de §§1-3. Es decir, tenemos cierre:
(∀x,y∈V)(∀c∈F)x+y∈V and cx∈V
La adición de vectores es conmutativa y asociativa. Hay un vector cero único,→0, tal que
(∀x∈V)x+→0=x
y cada unox∈V tiene un inverso único,−x, tal que
x+(−x)=→0.
Tenemos distributividad:
a(x+y)=ax+ay and (a+b)x=ax+bx.
Por último, tenemos
1x=x
y
(ab)x=a(bx)
(a,b∈F;x,y∈V).
En este caso,V junto con estas dos operaciones se llama un espacio vectorial (o un espacio lineal) sobre el campoF;F se llama su campo escalar, y los elementos deF se denominan los escalares deV.
(a)En es un espacio vectorial sobreE1 (su campo escalar).
(a')Rn, el conjunto de todos los puntos racionales deEn (es decir, puntos con coordenadas racionales es un espacio vectorial sobreR, los racionales enE1. (Tenga en cuenta que podríamos tomarR como un campo escalar para todoEn; esto produciría otro espacio vectorial,En sobreR, no confundir conEn sobreE1, es decir, lo ordinarioEn.)
(b) DejarF ser cualquier campo, y dejarFn ser el conjunto de todas lasn -tuplas ordenadas de elementos deF, con sumas y múltiplos escalares definidos como enEn (conF jugar el papel deE1). EntoncesFn es un espacio vectorial sobre laF( prueba como en el Teorema 1 de §§1 -3).
(c) Cada campoF es un espacio vectorial (sobre sí mismo) bajo la suma y multiplicación definida enF. Verify!
(d) DejarV ser un espacio vectorial sobre un campoF, y dejarW ser el conjunto de todas las asignaciones posibles
f:A→V
de algún conjunto arbitrarioA≠∅ enV. Definir la sumaf+g de dos mapas de este tipo estableciendo
(f+g)(x)=f(x)+g(x) for all x∈A.
Del mismo modo, dadoa∈F yf∈W, definir el mapaaf por
(af)(x)=af(x).
Los espacios vectoriales sobreE1 (respectivamente, seC) denominan espacios lineales reales (respectivamente, complejos). Los espacios complejos siempre se pueden transformar en reales restringiendo su campo escalarC aE1 (tratado como un subcampo deC).
II. Un ejemplo importante de un espacio lineal complejo esCn, el conjunto de todas lasn -tuplas ordenadas
x=(x1,…,xn)
de números complejosxk (ahora tratados como escalares), con sumas y múltiplos escalares definidos comoEn. en Para evitar confusiones con conjugados de números complejos, no usaremos la notación de barras¯x para un vector en esta sección, escribiendo simplementex para ello. Los productos de punto enCn están definidos por
x⋅y=n∑k=1xk¯yk,
donde¯yk está el conjugado del número complejoyk (ver §8), y de ahí un escalar enC. Note que¯yk=yk siyk∈E1. Así, para vectores con componentes reales,
x⋅y=n∑k=1xkyk,
como enEn. El lector verificará fácilmente (exactamente como paraEn) eso, parax,y∈Cn ya,b∈C, tenemos las siguientes propiedades:
1. x⋅y∈C;asíx⋅y es un escalar, no un vector.
2. x⋅x∈E1,yx⋅x≥0; además,x⋅x=0 iffx=→0. (Así el producto punto de un vector por sí mismo es un número real≥0.)
3. x⋅y=¯y⋅x(=conjugado dey⋅x). Conmutatividad falla en general.
4. (ax)⋅(by)=(a¯b)(x⋅y).De ahí(iv′)(ax)⋅y=a(x⋅y)=x⋅(¯ay).
5. (x+y)⋅z=x⋅z+y⋅zy(5′)z⋅(x+y)=z⋅x+z⋅y.
Observe que (5') sigue de (5) por (3). (¡Verifica!)
III. A veces (pero no siempre) los productos punteados también pueden definirse en espacios lineales realesEn o complejos distintos oCn, de tal manera que satisfagan las leyes (1) - (5), de ahí también (5'), enumeradas anteriormente, conC reemplazadas porE1 si el espacio es real. Si estas leyes se mantienen, el espacio se llama euclidiano. Por ejemplo,En es un verdadero espacio euclidiano yCn es complejo.
En cada uno de esos espacios, definimos valores absolutos de vectores por
|x|=√x⋅x.
(Esta raíz existe enE1 por la fórmula (ii).) En particular, esto se aplica aEn yCn. luego dado cualquier vectorx,y y un escalara, obtenemos como antes las siguientes propiedades:
(a')|x|≥0; e|x|=0 iffx=→0.
(b')|ax|=|a||x|.
(c') Desigualdad triangular:|x+y|≤|x|+|y|.
(d') Desigualdad de Cauchy-Schwarz:|x⋅y|≤|x||y|, e|x⋅y|=|x||y| iffx‖ (es decir,x=a y oy=a x para algún escalara ) .
Demostramos solamente (d');\) el resto se prueba como en el Teorema 4 de §§1-3.
Six \cdot y=0, todo es trivial, entonces vamosz=x \cdot y=r c \neq 0, donder=|x \cdot y| yc tiene módulo1, y lety^{\prime}=c y . Para cualquier (variable) t \in E^{1}, considerar\left|t x+y^{\prime}\right| . Por definición y (5), (3), y (4),
\begin{aligned}\left|t x+y^{\prime}\right|^{2} &=\left(t x+y^{\prime}\right) \cdot\left(t x+y^{\prime}\right) \\ &=t x \cdot t x+y^{\prime} \cdot t x+t x \cdot y^{\prime}+y^{\prime} \cdot y^{\prime} \\ &=t^{2}(x \cdot x)+t\left(y^{\prime} \cdot x\right)+t\left(x \cdot y^{\prime}\right)+\left(y^{\prime} \cdot y^{\prime}\right) \end{aligned}
desde\overline{t}=t . Ahora, desdec \overline{c}=1,
x \cdot y^{\prime}=x \cdot(c y)=(\overline{c} x) \cdot y=\overline{c} r c=r=|x \cdot y|.
Del mismo modo,
y^{\prime} \cdot x=\overline{x \cdot y^{\prime}}=\overline{r}=r=|x \cdot y|, x \cdot x=|x|^{2}, \text{ and } y^{\prime} \cdot y^{\prime}=y \cdot y=|y|^{2}.
Así obtenemos
\left(\forall t \in E^{1}\right) \quad|t x+c y|^{2}=t^{2}|x|^{2}+2 t|x \cdot y|+|y|^{2}.
Aquí|x|^{2}, 2|x \cdot y|, y|y|^{2} son números reales fijos. Los tratamos como coeficientes ent el trinomio cuadrático
f(t)=t^{2}|x|^{2}+2 t|x \cdot y|+|y|^{2}.
Ahora six y noy son paralelos, entoncesc y \neq-t x, y así
|t x+c y|=\left|t x+y^{\prime}\right| \neq 0
para cualquiert \in E^{1} . Así por(1), el trinomio cuadrático no tiene raíces reales; de ahí su discriminante,
4|x \cdot y|^{2}-4(|x||y|)^{2},
es negativo, por lo que|x \cdot y|<|x||y|.
Si, sin embargo,x \| y, se obtiene fácilmente|x \cdot y|=|x||y|, por\left(\mathrm{b}^{\prime}\right) . (Verificar.)
Así|x \cdot y|=|x||y| o|x \cdot y|<|x||y| según seax \| y o no. \square
En cualquier espacio euclidiano, definimos distancias por\rho(x, y)=|x-y| . planos, líneas y segmentos de línea se definen exactamente como enE^{n} . Así
\text{line } \overline{p q}=\left\{p+t(q-p) | t \in E^{1}\right\}( \text{in real and complex spaces alike}).