3.5: Espacios vectoriales. El Espacio C. Espacios Euclideanos

I. Seguiremos ahora el patrón de\(E^{n}\) para obtener la noción general de un espacio vectorial (así como generalizamos\(E^{1}\) para definir campos).

Dejar\(V\) ser un conjunto de elementos arbitrarios (no necesariamente\(n\) -tuplas), llamados “vectores” o “puntos”, con una determinada operación (llamarlo “suma”, de\(+)\) alguna manera definido en\(V .\) Let\(F\) be any field (e.g.\(, E^{1}\) or\(C\)); sus elementos se llamarán escalares; su cero y la unidad se denotará por 0 y\(1,\) respectivamente. Supongamos que se ha definido otra operación más (“multiplicación de escalares por vectores”) que asigna a cada escalar\(c \in F\) y a cada vector\(x \in V\) un determinado vector, denotado\(c x\) o\(x c\) y llamado el\(c\) -múltiplo de\(x .\) Además, supongamos que esta multiplicación y suma en\(V\) satisfacer las nueve leyes especificadas en el Teorema 1 de §§1-3. Es decir, tenemos cierre:

\[(\forall x, y \in V)(\forall c \in F) \quad x+y \in V \text{ and } c x \in V\]

La adición de vectores es conmutativa y asociativa. Hay un vector cero único,\(\overrightarrow{0},\) tal que

\[(\forall x \in V) \quad x+\overrightarrow{0}=x\]

y cada uno\(x \in V\) tiene un inverso único,\(-x,\) tal que

\[x+(-x)=\overrightarrow{0}.\]

Tenemos distributividad:

\[a(x+y)=a x+a y \text{ and } (a+b) x=a x+b x.\]

Por último, tenemos

\[1 x=x\]

y

\[(a b) x=a(b x)\]

\((a, b \in F ; x, y \in V).\)

En este caso,\(V\) junto con estas dos operaciones se llama un espacio vectorial (o un espacio lineal) sobre el campo\(F ; F\) se llama su campo escalar, y los elementos de\(F\) se denominan los escalares de\(V\).

Ejemplo\(\PageIndex{1}\)

(a)\(E^{n}\) es un espacio vectorial sobre\(E^{1}\) (su campo escalar).

(a')\(R^{n},\) el conjunto de todos los puntos racionales de\(E^{n}\) (es decir, puntos con coordenadas racionales es un espacio vectorial sobre\(R,\) los racionales en\(E^{1} .\) (Tenga en cuenta que podríamos tomar\(R\) como un campo escalar para todo\(E^{n} ;\) esto produciría otro espacio vectorial,\(E^{n}\) sobre\(R,\) no confundir con\(E^{n}\) sobre\(E^{1},\) es decir, lo ordinario\(E^{n} . )\)

(b) Dejar\(F\) ser cualquier campo, y dejar\(F^{n}\) ser el conjunto de todas las\(n\) -tuplas ordenadas de elementos de\(F,\) con sumas y múltiplos escalares definidos como en\(E^{n}\) (con\(F\) jugar el papel de\(E^{1} ) .\) Entonces\(F^{n}\) es un espacio vectorial sobre la\(F(\) prueba como en el Teorema 1 de §§1 -3).

(c) Cada campo\(F\) es un espacio vectorial (sobre sí mismo) bajo la suma y multiplicación definida en\(F .\) Verify!

(d) Dejar\(V\) ser un espacio vectorial sobre un campo\(F,\) y dejar\(W\) ser el conjunto de todas las asignaciones posibles

\[f : A \rightarrow V\]

de algún conjunto arbitrario\(A \neq \emptyset\) en\(V .\) Definir la suma\(f+g\) de dos mapas de este tipo estableciendo

\[(f+g)(x)=f(x)+g(x) \text{ for all } x \in A.\]

Del mismo modo, dado\(a \in F\) y\(f \in W,\) definir el mapa\(a f\) por

\[(a f)(x)=a f(x).\]

Los espacios vectoriales sobre\(E^{1}\) (respectivamente, se\(C )\) denominan espacios lineales reales (respectivamente, complejos). Los espacios complejos siempre se pueden transformar en reales restringiendo su campo escalar\(C\) a\(E^{1}\) (tratado como un subcampo de\(C )\).

II. Un ejemplo importante de un espacio lineal complejo es\(C^{n},\) el conjunto de todas las\(n\) -tuplas ordenadas

\[x=\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)\]

de números complejos\(x_{k}\) (ahora tratados como escalares), con sumas y múltiplos escalares definidos como\(E^{n} .\) en Para evitar confusiones con conjugados de números complejos, no usaremos la notación de barras\(\overline{x}\) para un vector en esta sección, escribiendo simplemente\(x\) para ello. Los productos de punto en\(C^{n}\) están definidos por

\[x \cdot y=\sum_{k=1}^{n} x_{k} \overline{y}_{k},\]

donde\(\overline{y}_{k}\) está el conjugado del número complejo\(y_{k}\) (ver §8), y de ahí un escalar en\(C .\) Note que\(\overline{y}_{k}=y_{k}\) si\(y_{k} \in E^{1}\). Así, para vectores con componentes reales,

\[x \cdot y=\sum_{k=1}^{n} x_{k} y_{k},\]

como en\(E^{n} .\) El lector verificará fácilmente (exactamente como para\(E^{n}\)) eso, para\(x, y \in C^{n}\) y\(a, b \in C,\) tenemos las siguientes propiedades:

1. \(x \cdot y \in C ;\)así\(x \cdot y\) es un escalar, no un vector.

2. \(x \cdot x \in E^{1},\)y\(x \cdot x \geq 0 ;\) además,\(x \cdot x=0\) iff\(x=\overrightarrow{0} .\) (Así el producto punto de un vector por sí mismo es un número real\(\geq 0 . )\)

3. \(x \cdot y=\overline{y \cdot x}(=\)conjugado de\(y \cdot x) .\) Conmutatividad falla en general.

4. \((a x) \cdot(b y)=(a \overline{b})(x \cdot y) .\)De ahí\(\left(\mathrm{iv}^{\prime}\right)(a x) \cdot y=a(x \cdot y)=x \cdot(\overline{a} y)\).

5. \((x+y) \cdot z=x \cdot z+y \cdot z\)y\(\left(\mathrm{5}^{\prime}\right) z \cdot(x+y)=z \cdot x+z \cdot y\).

Observe que (5') sigue de (5) por (3). (¡Verifica!)

III. A veces (pero no siempre) los productos punteados también pueden definirse en espacios lineales reales\(E^{n}\) o complejos distintos o\(C^{n},\) de tal manera que satisfagan las leyes (1) - (5), de ahí también (5'), enumeradas anteriormente, con\(C\) reemplazadas por\(E^{1}\) si el espacio es real. Si estas leyes se mantienen, el espacio se llama euclidiano. Por ejemplo,\(E^{n}\) es un verdadero espacio euclidiano y\(C^{n}\) es complejo.

En cada uno de esos espacios, definimos valores absolutos de vectores por

\[|x|=\sqrt{x \cdot x}.\]

(Esta raíz existe en\(E^{1}\) por la fórmula (ii).) En particular, esto se aplica a\(E^{n}\) y\(C^{n} .\) luego dado cualquier vector\(x, y\) y un escalar\(a,\) obtenemos como antes las siguientes propiedades:

(a')\(|x| \geq 0 ;\) e\(|x|=0\) iff\(x=\overrightarrow{0}\).

(b')\(|a x|=|a||x|\).

(c') Desigualdad triangular:\(|x+y| \leq|x|+|y|\).

(d') Desigualdad de Cauchy-Schwarz:\(|x \cdot y| \leq|x||y|,\) e\(|x \cdot y|=|x||y|\) iff\(x \| y\) (es decir,\(x=a y\) o\(y=a x\) para algún escalar\(a ) .\)

Demostramos solamente (d');\) el resto se prueba como en el Teorema 4 de §§1-3.

Si\(x \cdot y=0,\) todo es trivial, entonces vamos\(z=x \cdot y=r c \neq 0,\) donde\(r=|x \cdot y|\) y\(c\) tiene módulo\(1,\) y let\(y^{\prime}=c y .\) Para cualquier (variable\() t \in E^{1},\) considerar\(\left|t x+y^{\prime}\right| .\) Por definición y (5), (3), y (4),

\[\begin{aligned}\left|t x+y^{\prime}\right|^{2} &=\left(t x+y^{\prime}\right) \cdot\left(t x+y^{\prime}\right) \\ &=t x \cdot t x+y^{\prime} \cdot t x+t x \cdot y^{\prime}+y^{\prime} \cdot y^{\prime} \\ &=t^{2}(x \cdot x)+t\left(y^{\prime} \cdot x\right)+t\left(x \cdot y^{\prime}\right)+\left(y^{\prime} \cdot y^{\prime}\right) \end{aligned}\]

desde\(\overline{t}=t .\) Ahora, desde\(c \overline{c}=1\),

\[x \cdot y^{\prime}=x \cdot(c y)=(\overline{c} x) \cdot y=\overline{c} r c=r=|x \cdot y|.\]

Del mismo modo,

\[y^{\prime} \cdot x=\overline{x \cdot y^{\prime}}=\overline{r}=r=|x \cdot y|, x \cdot x=|x|^{2}, \text{ and } y^{\prime} \cdot y^{\prime}=y \cdot y=|y|^{2}.\]

Así obtenemos

\[\left(\forall t \in E^{1}\right) \quad|t x+c y|^{2}=t^{2}|x|^{2}+2 t|x \cdot y|+|y|^{2}.\]

Aquí\(|x|^{2}, 2|x \cdot y|,\) y\(|y|^{2}\) son números reales fijos. Los tratamos como coeficientes en\(t\) el trinomio cuadrático

\[f(t)=t^{2}|x|^{2}+2 t|x \cdot y|+|y|^{2}.\]

Ahora si\(x\) y no\(y\) son paralelos, entonces\(c y \neq-t x,\) y así

\[|t x+c y|=\left|t x+y^{\prime}\right| \neq 0\]

para cualquier\(t \in E^{1} .\) Así por\((1),\) el trinomio cuadrático no tiene raíces reales; de ahí su discriminante,

\[4|x \cdot y|^{2}-4(|x||y|)^{2},\]

es negativo, por lo que\(|x \cdot y|<|x||y|.\)

Si, sin embargo,\(x \| y,\) se obtiene fácilmente\(|x \cdot y|=|x||y|,\) por\(\left(\mathrm{b}^{\prime}\right) .\) (Verificar.)

Así\(|x \cdot y|=|x||y|\) o\(|x \cdot y|<|x||y|\) según sea\(x \| y\) o no. \(\square\)

En cualquier espacio euclidiano, definimos distancias por\(\rho(x, y)=|x-y| .\) planos, líneas y segmentos de línea se definen exactamente como en\(E^{n} .\) Así

\[\text{line } \overline{p q}=\left\{p+t(q-p) | t \in E^{1}\right\}( \text{in real and complex spaces alike}).\]