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# 3.5: Espacios vectoriales. El Espacio C. Espacios Euclideanos

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I. Seguiremos ahora el patrón de$$E^{n}$$ para obtener la noción general de un espacio vectorial (así como generalizamos$$E^{1}$$ para definir campos).

Dejar$$V$$ ser un conjunto de elementos arbitrarios (no necesariamente$$n$$ -tuplas), llamados “vectores” o “puntos”, con una determinada operación (llamarlo “suma”, de$$+)$$ alguna manera definido en$$V .$$ Let$$F$$ be any field (e.g.$$, E^{1}$$ or$$C$$); sus elementos se llamarán escalares; su cero y la unidad se denotará por 0 y$$1,$$ respectivamente. Supongamos que se ha definido otra operación más (“multiplicación de escalares por vectores”) que asigna a cada escalar$$c \in F$$ y a cada vector$$x \in V$$ un determinado vector, denotado$$c x$$ o$$x c$$ y llamado el$$c$$ -múltiplo de$$x .$$ Además, supongamos que esta multiplicación y suma en$$V$$ satisfacer las nueve leyes especificadas en el Teorema 1 de §§1-3. Es decir, tenemos cierre:

$(\forall x, y \in V)(\forall c \in F) \quad x+y \in V \text{ and } c x \in V$

La adición de vectores es conmutativa y asociativa. Hay un vector cero único,$$\overrightarrow{0},$$ tal que

$(\forall x \in V) \quad x+\overrightarrow{0}=x$

y cada uno$$x \in V$$ tiene un inverso único,$$-x,$$ tal que

$x+(-x)=\overrightarrow{0}.$

$a(x+y)=a x+a y \text{ and } (a+b) x=a x+b x.$

Por último, tenemos

$1 x=x$

y

$(a b) x=a(b x)$

$$(a, b \in F ; x, y \in V).$$

En este caso,$$V$$ junto con estas dos operaciones se llama un espacio vectorial (o un espacio lineal) sobre el campo$$F ; F$$ se llama su campo escalar, y los elementos de$$F$$ se denominan los escalares de$$V$$.

## Ejemplo$$\PageIndex{1}$$

(a)$$E^{n}$$ es un espacio vectorial sobre$$E^{1}$$ (su campo escalar).

(a')$$R^{n},$$ el conjunto de todos los puntos racionales de$$E^{n}$$ (es decir, puntos con coordenadas racionales es un espacio vectorial sobre$$R,$$ los racionales en$$E^{1} .$$ (Tenga en cuenta que podríamos tomar$$R$$ como un campo escalar para todo$$E^{n} ;$$ esto produciría otro espacio vectorial,$$E^{n}$$ sobre$$R,$$ no confundir con$$E^{n}$$ sobre$$E^{1},$$ es decir, lo ordinario$$E^{n} . )$$

(b) Dejar$$F$$ ser cualquier campo, y dejar$$F^{n}$$ ser el conjunto de todas las$$n$$ -tuplas ordenadas de elementos de$$F,$$ con sumas y múltiplos escalares definidos como en$$E^{n}$$ (con$$F$$ jugar el papel de$$E^{1} ) .$$ Entonces$$F^{n}$$ es un espacio vectorial sobre la$$F($$ prueba como en el Teorema 1 de §§1 -3).

(c) Cada campo$$F$$ es un espacio vectorial (sobre sí mismo) bajo la suma y multiplicación definida en$$F .$$ Verify!

(d) Dejar$$V$$ ser un espacio vectorial sobre un campo$$F,$$ y dejar$$W$$ ser el conjunto de todas las asignaciones posibles

$f : A \rightarrow V$

de algún conjunto arbitrario$$A \neq \emptyset$$ en$$V .$$ Definir la suma$$f+g$$ de dos mapas de este tipo estableciendo

$(f+g)(x)=f(x)+g(x) \text{ for all } x \in A.$

Del mismo modo, dado$$a \in F$$ y$$f \in W,$$ definir el mapa$$a f$$ por

$(a f)(x)=a f(x).$

Los espacios vectoriales sobre$$E^{1}$$ (respectivamente, se$$C )$$ denominan espacios lineales reales (respectivamente, complejos). Los espacios complejos siempre se pueden transformar en reales restringiendo su campo escalar$$C$$ a$$E^{1}$$ (tratado como un subcampo de$$C )$$.

II. Un ejemplo importante de un espacio lineal complejo es$$C^{n},$$ el conjunto de todas las$$n$$ -tuplas ordenadas

$x=\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)$

de números complejos$$x_{k}$$ (ahora tratados como escalares), con sumas y múltiplos escalares definidos como$$E^{n} .$$ en Para evitar confusiones con conjugados de números complejos, no usaremos la notación de barras$$\overline{x}$$ para un vector en esta sección, escribiendo simplemente$$x$$ para ello. Los productos de punto en$$C^{n}$$ están definidos por

$x \cdot y=\sum_{k=1}^{n} x_{k} \overline{y}_{k},$

donde$$\overline{y}_{k}$$ está el conjugado del número complejo$$y_{k}$$ (ver §8), y de ahí un escalar en$$C .$$ Note que$$\overline{y}_{k}=y_{k}$$ si$$y_{k} \in E^{1}$$. Así, para vectores con componentes reales,

$x \cdot y=\sum_{k=1}^{n} x_{k} y_{k},$

como en$$E^{n} .$$ El lector verificará fácilmente (exactamente como para$$E^{n}$$) eso, para$$x, y \in C^{n}$$ y$$a, b \in C,$$ tenemos las siguientes propiedades:

1. $$x \cdot y \in C ;$$así$$x \cdot y$$ es un escalar, no un vector.

2. $$x \cdot x \in E^{1},$$y$$x \cdot x \geq 0 ;$$ además,$$x \cdot x=0$$ iff$$x=\overrightarrow{0} .$$ (Así el producto punto de un vector por sí mismo es un número real$$\geq 0 . )$$

3. $$x \cdot y=\overline{y \cdot x}(=$$conjugado de$$y \cdot x) .$$ Conmutatividad falla en general.

4. $$(a x) \cdot(b y)=(a \overline{b})(x \cdot y) .$$De ahí$$\left(\mathrm{iv}^{\prime}\right)(a x) \cdot y=a(x \cdot y)=x \cdot(\overline{a} y)$$.

5. $$(x+y) \cdot z=x \cdot z+y \cdot z$$y$$\left(\mathrm{5}^{\prime}\right) z \cdot(x+y)=z \cdot x+z \cdot y$$.

Observe que (5') sigue de (5) por (3). (¡Verifica!)

III. A veces (pero no siempre) los productos punteados también pueden definirse en espacios lineales reales$$E^{n}$$ o complejos distintos o$$C^{n},$$ de tal manera que satisfagan las leyes (1) - (5), de ahí también (5'), enumeradas anteriormente, con$$C$$ reemplazadas por$$E^{1}$$ si el espacio es real. Si estas leyes se mantienen, el espacio se llama euclidiano. Por ejemplo,$$E^{n}$$ es un verdadero espacio euclidiano y$$C^{n}$$ es complejo.

En cada uno de esos espacios, definimos valores absolutos de vectores por

$|x|=\sqrt{x \cdot x}.$

(Esta raíz existe en$$E^{1}$$ por la fórmula (ii).) En particular, esto se aplica a$$E^{n}$$ y$$C^{n} .$$ luego dado cualquier vector$$x, y$$ y un escalar$$a,$$ obtenemos como antes las siguientes propiedades:

(a')$$|x| \geq 0 ;$$ e$$|x|=0$$ iff$$x=\overrightarrow{0}$$.

(b')$$|a x|=|a||x|$$.

(c') Desigualdad triangular:$$|x+y| \leq|x|+|y|$$.

(d') Desigualdad de Cauchy-Schwarz:$$|x \cdot y| \leq|x||y|,$$ e$$|x \cdot y|=|x||y|$$ iff$$x \| y$$ (es decir,$$x=a y$$ o$$y=a x$$ para algún escalar$$a ) .$$

Demostramos solamente (d');\) el resto se prueba como en el Teorema 4 de §§1-3.

Si$$x \cdot y=0,$$ todo es trivial, entonces vamos$$z=x \cdot y=r c \neq 0,$$ donde$$r=|x \cdot y|$$ y$$c$$ tiene módulo$$1,$$ y let$$y^{\prime}=c y .$$ Para cualquier (variable$$) t \in E^{1},$$ considerar$$\left|t x+y^{\prime}\right| .$$ Por definición y (5), (3), y (4),

\begin{aligned}\left|t x+y^{\prime}\right|^{2} &=\left(t x+y^{\prime}\right) \cdot\left(t x+y^{\prime}\right) \\ &=t x \cdot t x+y^{\prime} \cdot t x+t x \cdot y^{\prime}+y^{\prime} \cdot y^{\prime} \\ &=t^{2}(x \cdot x)+t\left(y^{\prime} \cdot x\right)+t\left(x \cdot y^{\prime}\right)+\left(y^{\prime} \cdot y^{\prime}\right) \end{aligned}

desde$$\overline{t}=t .$$ Ahora, desde$$c \overline{c}=1$$,

$x \cdot y^{\prime}=x \cdot(c y)=(\overline{c} x) \cdot y=\overline{c} r c=r=|x \cdot y|.$

Del mismo modo,

$y^{\prime} \cdot x=\overline{x \cdot y^{\prime}}=\overline{r}=r=|x \cdot y|, x \cdot x=|x|^{2}, \text{ and } y^{\prime} \cdot y^{\prime}=y \cdot y=|y|^{2}.$

Así obtenemos

$\left(\forall t \in E^{1}\right) \quad|t x+c y|^{2}=t^{2}|x|^{2}+2 t|x \cdot y|+|y|^{2}.$

Aquí$$|x|^{2}, 2|x \cdot y|,$$ y$$|y|^{2}$$ son números reales fijos. Los tratamos como coeficientes en$$t$$ el trinomio cuadrático

$f(t)=t^{2}|x|^{2}+2 t|x \cdot y|+|y|^{2}.$

Ahora si$$x$$ y no$$y$$ son paralelos, entonces$$c y \neq-t x,$$ y así

$|t x+c y|=\left|t x+y^{\prime}\right| \neq 0$

para cualquier$$t \in E^{1} .$$ Así por$$(1),$$ el trinomio cuadrático no tiene raíces reales; de ahí su discriminante,

$4|x \cdot y|^{2}-4(|x||y|)^{2},$

es negativo, por lo que$$|x \cdot y|<|x||y|.$$

Si, sin embargo,$$x \| y,$$ se obtiene fácilmente$$|x \cdot y|=|x||y|,$$ por$$\left(\mathrm{b}^{\prime}\right) .$$ (Verificar.)

Así$$|x \cdot y|=|x||y|$$ o$$|x \cdot y|<|x||y|$$ según sea$$x \| y$$ o no. $$\square$$

En cualquier espacio euclidiano, definimos distancias por$$\rho(x, y)=|x-y| .$$ planos, líneas y segmentos de línea se definen exactamente como en$$E^{n} .$$ Así

$\text{line } \overline{p q}=\left\{p+t(q-p) | t \in E^{1}\right\}( \text{in real and complex spaces alike}).$

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