4.8.E: Problemas en la Continuidad Uniforme; Continuidad en Conjuntos Compactos
- Page ID
- 113891
Demostrar que si\(f\) es relativamente continuo en cada subconjunto compacto de\(D,\) entonces es relativamente continuo en\(D .\)
[Pista: Use el Teorema 1 de §2 y Problema 7 en §6.]
Hacer Problema 4 en el Capítulo 3, §17, y así completar los últimos detalles en la prueba del Teorema 4.
Dé un ejemplo de un mapa continuo uno a uno\(f\) tal que no\(f^{-1}\) sea continuo.
[Pista: Mostrar que cualquier mapa es continuo en un espacio discreto\((S, \rho)\).]
Dar un ejemplo de una función continua\(f\) y un conjunto compacto\(D \subseteq\)\(\left(T, \rho^{\prime}\right)\) tal que no\(f^{-1}[D]\) sea compacto.
[Pista: Vamos a\(f\) ser constantes en\(E^{1}\).]
Complete los detalles faltantes en Ejemplos\((1)\) y\((2)\) y\((\mathrm{c})-(\mathrm{h})\).
Demostrar que cada polinomio de grado uno\(E^{n} (\text {*or } C^{n})\) es uniformemente continuo.
Mostrar que la función arcoseno es uniformemente continua en\([-1,1] .\)
\(\text { [Hint: Use Example (d) and Theorems } 3 \text { and } 4 .]\)
\(\Rightarrow 8 .\)Demostrar que si\(f\) es uniformemente continuo\(B,\) y si\(\left\{x_{m}\right\} \subseteq B\) es una secuencia de Cauchy, así es\(\left\{f\left(x_{m}\right)\right\} .\) (Brevemente,\(f\) conserva secuencias de Cauchy.) Demostrar que esto puede fallar si sólo\(f\) es continuo en el sentido ordinario. (Ver Ejemplo (h).)
Demostrar que si\(f : S \rightarrow T\) es uniformemente continuo encendido\(B \subseteq S,\) y\(g : T \rightarrow U\) es uniformemente continuo\(f[B],\) entonces la función compuesta\(g \circ f\) es uniformemente continua en\(B\).
Demostrar que las funciones\(f\) y\(f^{-1}\) en el Problema 5 del Capítulo 3, §11 son mapas de contracción, 5 de ahí uniformemente continuos. Por Teorema 1, vuelve a encontrar que\(\left(E^{*}, \rho^{\prime}\right)\) es compacto.
Dejar\(A^{\prime}\) ser el conjunto de todos los puntos de clúster de\(A \subseteq(S, \rho) .\) Let\(f : A \rightarrow\left(T, \rho^{\prime}\right)\) ser uniformemente continuo encendido\(A,\) y dejar\(\left(T, \rho^{\prime}\right)\) estar completo.
(i) Demostrar que\(\lim _{x \rightarrow p} f(x)\) existe en cada uno\(p \in A^{\prime}\).
(ii) Definir así\(f(p)=\lim _{x \rightarrow p} f(x)\) para cada uno\(p \in A^{\prime}-A,\) y mostrar
que\(f\) así extendido es uniformemente continuo en el conjunto\(\overline{A}=A \cup A^{\prime} .\)
(iii) Considerar, en particular, el caso de\(A=(a, b) \subseteq E^{1},\) manera que
\ [\ overline {A} =A^ {\ prime} = [a, b] .
\]
[Pista: Toma cualquier secuencia\(\left\{x_{m}\right\} \subseteq A, x_{m} \rightarrow p \in A^{\prime} .\) Como es Cauchy (¿por qué?) , así es\(\left\{f\left(x_{m}\right)\right\}\) por Problema\(8 .\) Utilizar Corolario 1 en §2 para probar la existencia de\(\lim _{x \rightarrow p} f(x)\). Para una continuidad uniforme, use definiciones; en el caso (iii), use el Teorema 4.]
Demostrar que si dos funciones\(f, g\) con valores en un espacio vectorial normado son uniformemente continuas en un conjunto\(B,\) así también son\(f \pm g\) y\(a f\) para un escalar fijo\(a .\)
Para funciones reales, probar esto también para\(f \vee g\) y\(f \wedge g\) definido por
\ [
(f\ vee g) (x) =\ max (f (x), g (x))
\]
y
\ [
(f\ cuña g) (x) =\ min (f (x), g (x)).
\]
[Pista: Después de probar las primeras declaraciones, verifique que
\ [
\ max (a, b) =\ frac {1} {2} (a+b+|b-a|)\ text {y}\ min (a, b) =\ frac {1} {2} (a+b-|b-a|)
\]
y use Problema 9 y Ejemplo\((\mathrm{b})\).]
\(f\)Sea vector valorado y\(h\) escalar, con ambos uniformemente continuos en\(B \subseteq(S, \rho) .\)
Probar que
(i) si\(f\) y\(h\) están delimitados en\(B\), entonces\(h f\) es uniformemente continuo en\(B\);
(ii) la función \(f / h\)es uniformemente continuo en\(B\) si\(f\) está delimitado\(B\) y\(h\) está “delimitado” de 0 en adelante\(B\), es decir,
\ [
(\ existe\ delta>0) (\ forall x\ in B)\ quad|h (x) |\ geq\ delta.
\]
Dar ejemplos para demostrar que sin estas condiciones adicionales,\(h f\) y\(f / h\) puede no ser uniformemente continuo (ver Problema 14 a continuación).
En los siguientes casos, mostrar que\(f\) es uniformemente continuo encendido\(B \subseteq E^{1}\), pero solo continuo (en el sentido ordinario) encendido\(D,\) como se indica, con\(0<a<b<+\infty\).
a)\(f(x)=\frac{1}{x^{2}} ; B=[a,+\infty) ; D=(0,1)\).
b)\(f(x)=x^{2} ; B=[a, b] ; D=[a,+\infty)\).
(c)\(f(x)=\sin \frac{1}{x} ; B\) y\(D\) como en\((a)\).
d)\(f(x)=x \cos x ; B\) y\(D\) como en\((b)\).
Demostrar que si\(f\) es uniformemente continuo en\(B,\) él es así en cada subconjunto\(A \subseteq B\).
Para conjuntos no vacíos\(A, B \subseteq(S, \rho),\) defina
\ [
\ rho (A, B) =\ inf\ {\ rho (x, y) | x\ in A, y\ in B\}.
\]
Demostrar que si\(\rho(A, B)>0\) y si\(f\) es uniformemente continuo en cada uno de\(A\) y\(B,\) es así sucesivamente\(A \cup B\).
Mostrar con un ejemplo que esto falla si\(\rho(A, B)=0,\) aunque sea\(A \cap B=\emptyset\)\( (\mathrm{e} . g ., \text { take } A=[0,1], B=(1,2] \text { in } E^{1}, \text { making } f \text { constant on each of } A \)\(\text { and } B)\).
Obsérvese, sin embargo, que si\(A\) y\(B\) son compactos,\(A \cap B=\emptyset\) implica\(\rho(A, B)>0 . \text { (Prove it using Problem } 13 \text { in } §6 .)\) Así\(A \cap B=\emptyset\) es suficiente en este caso.
Demostrar que si\(f\) es relativamente continuo en cada uno de los conjuntos cerrados disjuntos
\ [
F_ {1}, F_ {2},\ ldots, F_ {n},
\]
es relativamente continuo en su unión
\ [
F=\ bigcup_ {k=1} ^ {n} F_ {k};
\]
por lo tanto (ver Problema 6 de §6) es uniformemente continuo\(F\) si los\(F_{k}\) son compactos.
[Pista: Fijar cualquier\(p \in F .\) Entonces\(p\) está en algunos\(F_{k},\) dicen,\(p \in F_{1} .\) Como los\(F_{k}\) son disjuntos, de\(p \notin F_{2}, \ldots, F_{p} ;\) ahí\(p\) también hay ningún punto de clúster de ninguno de\(F_{2}, \ldots, F_{n}\) (porque están cerrados).
Deducir que hay un globo\(G_{p}(\delta)\) disjunto de cada uno de\(F_{2}, \ldots, F_{n},\) para que\(F \cap G_{p}(\delta)=F_{1} \cap G_{p}(\delta) .\) A partir de esto sea fácil mostrar esa continuidad relativa de\(f\)\(\left.\text { on } F \text { follows from relative continuity on } F_{1} .\right]\)
\ Rightarrow 18.\) Dejar que\(\overline{p}_{0}, \overline{p}_{1}, \ldots, \overline{p}_{m}\) se fijen puntos en\(E^{n} (^{*}\) o en otro espacio normado).
Dejar
\ [
f (t) =\ overline {p} _ {k} + (t-k)\ left (\ overline {p} _ {k+1} -\ overline {p} _ _ {k}\ right)
\]
siempre que\(k \leq t \leq k+1, t \in E^{1}, k=0,1, \ldots, m-1\).
Mostrar que esto define un mapeo uniformemente continuo\(f\) del intervalo\([0, m] \subseteq E^{1}\) sobre el “polígono”
\ [
\ bigcup_ {k=0} ^ {m-1} L [p_ {k}, p_ {k+1}].
\] ¿
En qué caso es\(f\) uno a uno? ¿Es\(f^{-1}\) uniformemente continuo en cada uno\(L\left[p_{k}, p_{k+1}\right] ?\) En todo el polígono?
[Pista: Primero demuestre la continuidad ordinaria al\([0, m]\) usar el Teorema 1 de §3. (Para el\(\text { points } 1,2, \ldots, m-1, \text { consider left and right limits.) Then use Theorems } 1-4 .]\)
Demostrar el criterio secuencial para una continuidad uniforme: Una función\(f : A \rightarrow T\) es uniformemente continua en un conjunto\(B \subseteq A\) iff para dos secuencias cualesquiera (no necesariamente convergentes)\(\left\{x_{m}\right\}\) y\(\left\{y_{m}\right\}\) en\(B,\) con\(\rho\left(x_{m}, y_{m}\right) \rightarrow 0,\) tenemos\(\rho^{\prime}\left(f\left(x_{m}\right), f\left(y_{m}\right)\right) \rightarrow 0\) (es decir,\(f\) conserva pares concurrentes de secuencias; ver Problema 4 en el Capítulo 3, §17).