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## Ejercicio$$\PageIndex{1}$$

Demostrar que si$$f$$ es relativamente continuo en cada subconjunto compacto de$$D,$$ entonces es relativamente continuo en$$D .$$
[Pista: Use el Teorema 1 de §2 y Problema 7 en §6.]

## Ejercicio$$\PageIndex{2}$$

Hacer Problema 4 en el Capítulo 3, §17, y así completar los últimos detalles en la prueba del Teorema 4.

## Ejercicio$$\PageIndex{3}$$

Dé un ejemplo de un mapa continuo uno a uno$$f$$ tal que no$$f^{-1}$$ sea continuo.
[Pista: Mostrar que cualquier mapa es continuo en un espacio discreto$$(S, \rho)$$.]

## Ejercicio$$\PageIndex{4}$$

Dar un ejemplo de una función continua$$f$$ y un conjunto compacto$$D \subseteq$$$$\left(T, \rho^{\prime}\right)$$ tal que no$$f^{-1}[D]$$ sea compacto.
[Pista: Vamos a$$f$$ ser constantes en$$E^{1}$$.]

## Ejercicio$$\PageIndex{5}$$

Complete los detalles faltantes en Ejemplos$$(1)$$ y$$(2)$$ y$$(\mathrm{c})-(\mathrm{h})$$.

## Ejercicio$$\PageIndex{6}$$

Demostrar que cada polinomio de grado uno$$E^{n} (\text {*or } C^{n})$$ es uniformemente continuo.

## Ejercicio$$\PageIndex{7}$$

Mostrar que la función arcoseno es uniformemente continua en$$[-1,1] .$$
$$\text { [Hint: Use Example (d) and Theorems } 3 \text { and } 4 .]$$

## Ejercicio$$\PageIndex{8}$$

$$\Rightarrow 8 .$$Demostrar que si$$f$$ es uniformemente continuo$$B,$$ y si$$\left\{x_{m}\right\} \subseteq B$$ es una secuencia de Cauchy, así es$$\left\{f\left(x_{m}\right)\right\} .$$ (Brevemente,$$f$$ conserva secuencias de Cauchy.) Demostrar que esto puede fallar si sólo$$f$$ es continuo en el sentido ordinario. (Ver Ejemplo (h).)

## Ejercicio$$\PageIndex{9}$$

Demostrar que si$$f : S \rightarrow T$$ es uniformemente continuo encendido$$B \subseteq S,$$ y$$g : T \rightarrow U$$ es uniformemente continuo$$f[B],$$ entonces la función compuesta$$g \circ f$$ es uniformemente continua en$$B$$.

## Ejercicio$$\PageIndex{10}$$

Demostrar que las funciones$$f$$ y$$f^{-1}$$ en el Problema 5 del Capítulo 3, §11 son mapas de contracción, 5 de ahí uniformemente continuos. Por Teorema 1, vuelve a encontrar que$$\left(E^{*}, \rho^{\prime}\right)$$ es compacto.

## Ejercicio$$\PageIndex{11}$$

Dejar$$A^{\prime}$$ ser el conjunto de todos los puntos de clúster de$$A \subseteq(S, \rho) .$$ Let$$f : A \rightarrow\left(T, \rho^{\prime}\right)$$ ser uniformemente continuo encendido$$A,$$ y dejar$$\left(T, \rho^{\prime}\right)$$ estar completo.
(i) Demostrar que$$\lim _{x \rightarrow p} f(x)$$ existe en cada uno$$p \in A^{\prime}$$.
(ii) Definir así$$f(p)=\lim _{x \rightarrow p} f(x)$$ para cada uno$$p \in A^{\prime}-A,$$ y mostrar
que$$f$$ así extendido es uniformemente continuo en el conjunto$$\overline{A}=A \cup A^{\prime} .$$
(iii) Considerar, en particular, el caso de$$A=(a, b) \subseteq E^{1},$$ manera que

\ [\ overline {A} =A^ {\ prime} = [a, b] .
\]
[Pista: Toma cualquier secuencia$$\left\{x_{m}\right\} \subseteq A, x_{m} \rightarrow p \in A^{\prime} .$$ Como es Cauchy (¿por qué?) , así es$$\left\{f\left(x_{m}\right)\right\}$$ por Problema$$8 .$$ Utilizar Corolario 1 en §2 para probar la existencia de$$\lim _{x \rightarrow p} f(x)$$. Para una continuidad uniforme, use definiciones; en el caso (iii), use el Teorema 4.]

## Ejercicio$$\PageIndex{12}$$

Demostrar que si dos funciones$$f, g$$ con valores en un espacio vectorial normado son uniformemente continuas en un conjunto$$B,$$ así también son$$f \pm g$$ y$$a f$$ para un escalar fijo$$a .$$
Para funciones reales, probar esto también para$$f \vee g$$ y$$f \wedge g$$ definido por
\ [
(f\ vee g) (x) =\ max (f (x), g (x))
\]
y
\ [
(f\ cuña g) (x) =\ min (f (x), g (x)).
\]
[Pista: Después de probar las primeras declaraciones, verifique que
\ [
\ max (a, b) =\ frac {1} {2} (a+b+|b-a|)\ text {y}\ min (a, b) =\ frac {1} {2} (a+b-|b-a|)
\]
y use Problema 9 y Ejemplo$$(\mathrm{b})$$.]

## Ejercicio$$\PageIndex{13}$$

$$f$$Sea vector valorado y$$h$$ escalar, con ambos uniformemente continuos en$$B \subseteq(S, \rho) .$$
Probar que
(i) si$$f$$ y$$h$$ están delimitados en$$B$$, entonces$$h f$$ es uniformemente continuo en$$B$$;
(ii) la función $$f / h$$es uniformemente continuo en$$B$$ si$$f$$ está delimitado$$B$$ y$$h$$ está “delimitado” de 0 en adelante$$B$$, es decir,
\ [
(\ existe\ delta>0) (\ forall x\ in B)\ quad|h (x) |\ geq\ delta.
\]
Dar ejemplos para demostrar que sin estas condiciones adicionales,$$h f$$ y$$f / h$$ puede no ser uniformemente continuo (ver Problema 14 a continuación).

## Ejercicio$$\PageIndex{14}$$

En los siguientes casos, mostrar que$$f$$ es uniformemente continuo encendido$$B \subseteq E^{1}$$, pero solo continuo (en el sentido ordinario) encendido$$D,$$ como se indica, con$$0<a<b<+\infty$$.
a)$$f(x)=\frac{1}{x^{2}} ; B=[a,+\infty) ; D=(0,1)$$.
b)$$f(x)=x^{2} ; B=[a, b] ; D=[a,+\infty)$$.
(c)$$f(x)=\sin \frac{1}{x} ; B$$ y$$D$$ como en$$(a)$$.
d)$$f(x)=x \cos x ; B$$ y$$D$$ como en$$(b)$$.

## Ejercicio$$\PageIndex{15}$$

Demostrar que si$$f$$ es uniformemente continuo en$$B,$$ él es así en cada subconjunto$$A \subseteq B$$.

## Ejercicio$$\PageIndex{16}$$

Para conjuntos no vacíos$$A, B \subseteq(S, \rho),$$ defina
\ [
\ rho (A, B) =\ inf\ {\ rho (x, y) | x\ in A, y\ in B\}.
\]
Demostrar que si$$\rho(A, B)>0$$ y si$$f$$ es uniformemente continuo en cada uno de$$A$$ y$$B,$$ es así sucesivamente$$A \cup B$$.
Mostrar con un ejemplo que esto falla si$$\rho(A, B)=0,$$ aunque sea$$A \cap B=\emptyset$$$$(\mathrm{e} . g ., \text { take } A=[0,1], B=(1,2] \text { in } E^{1}, \text { making } f \text { constant on each of } A$$$$\text { and } B)$$.
Obsérvese, sin embargo, que si$$A$$ y$$B$$ son compactos,$$A \cap B=\emptyset$$ implica$$\rho(A, B)>0 . \text { (Prove it using Problem } 13 \text { in } §6 .)$$ Así$$A \cap B=\emptyset$$ es suficiente en este caso.

## Ejercicio$$\PageIndex{17}$$

Demostrar que si$$f$$ es relativamente continuo en cada uno de los conjuntos cerrados disjuntos
\ [
F_ {1}, F_ {2},\ ldots, F_ {n},
\]
es relativamente continuo en su unión
\ [
F=\ bigcup_ {k=1} ^ {n} F_ {k};
\]
por lo tanto (ver Problema 6 de §6) es uniformemente continuo$$F$$ si los$$F_{k}$$ son compactos.
[Pista: Fijar cualquier$$p \in F .$$ Entonces$$p$$ está en algunos$$F_{k},$$ dicen,$$p \in F_{1} .$$ Como los$$F_{k}$$ son disjuntos, de$$p \notin F_{2}, \ldots, F_{p} ;$$ ahí$$p$$ también hay ningún punto de clúster de ninguno de$$F_{2}, \ldots, F_{n}$$ (porque están cerrados).
Deducir que hay un globo$$G_{p}(\delta)$$ disjunto de cada uno de$$F_{2}, \ldots, F_{n},$$ para que$$F \cap G_{p}(\delta)=F_{1} \cap G_{p}(\delta) .$$ A partir de esto sea fácil mostrar esa continuidad relativa de$$f$$$$\left.\text { on } F \text { follows from relative continuity on } F_{1} .\right]$$

## Ejercicio$$\PageIndex{18}$$

\ Rightarrow 18.\) Dejar que$$\overline{p}_{0}, \overline{p}_{1}, \ldots, \overline{p}_{m}$$ se fijen puntos en$$E^{n} (^{*}$$ o en otro espacio normado).
Dejar
\ [
f (t) =\ overline {p} _ {k} + (t-k)\ left (\ overline {p} _ {k+1} -\ overline {p} _ _ {k}\ right)
\]
siempre que$$k \leq t \leq k+1, t \in E^{1}, k=0,1, \ldots, m-1$$.
Mostrar que esto define un mapeo uniformemente continuo$$f$$ del intervalo$$[0, m] \subseteq E^{1}$$ sobre el “polígono”
\ [
\ bigcup_ {k=0} ^ {m-1} L [p_ {k}, p_ {k+1}].
\] ¿
En qué caso es$$f$$ uno a uno? ¿Es$$f^{-1}$$ uniformemente continuo en cada uno$$L\left[p_{k}, p_{k+1}\right] ?$$ En todo el polígono?
[Pista: Primero demuestre la continuidad ordinaria al$$[0, m]$$ usar el Teorema 1 de §3. (Para el$$\text { points } 1,2, \ldots, m-1, \text { consider left and right limits.) Then use Theorems } 1-4 .]$$

## Ejercicio$$\PageIndex{19}$$

Demostrar el criterio secuencial para una continuidad uniforme: Una función$$f : A \rightarrow T$$ es uniformemente continua en un conjunto$$B \subseteq A$$ iff para dos secuencias cualesquiera (no necesariamente convergentes)$$\left\{x_{m}\right\}$$ y$$\left\{y_{m}\right\}$$ en$$B,$$ con$$\rho\left(x_{m}, y_{m}\right) \rightarrow 0,$$ tenemos$$\rho^{\prime}\left(f\left(x_{m}\right), f\left(y_{m}\right)\right) \rightarrow 0$$ (es decir,$$f$$ conserva pares concurrentes de secuencias; ver Problema 4 en el Capítulo 3, §17).

4.8.E: Problemas en la Continuidad Uniforme; Continuidad en Conjuntos Compactos is shared under a CC BY 1.0 license and was authored, remixed, and/or curated by LibreTexts.