9.3: Serie de Fourier

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Nuestra solución de las ecuaciones de difusión y onda requerirá el uso de una serie de Fourier. Una función periódica\(f(x)\) con punto\(2L\), se puede representar como una serie de Fourier en la forma \[\label{eq:1}f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum\limits_{n=1}^\infty\left(a_n\cos\frac{n\pi x}{L}+b_n\sin\frac{n\pi x}{L}\right).\]

Determinación de los coeficientes\(a_0,\: a_1,\: a_2,\ldots\) y\(b_1,\: b_2,\: b_3,\ldots\) hace uso de relaciones de ortogonalidad para seno y coseno. Primero definimos el delta de Kronecker ampliamente utilizado\(\delta_{nm}\) como\[\delta_{nm}=\left\{\begin{array}{rl}1&\text{if }n=m; \\ 0&\text{otherwise.}\end{array}\right.\nonumber\]

Las relaciones de ortogonalidad para\(n\) y los enteros\(m\) positivos se dan entonces con notación compacta como las fórmulas de integración \[\label{eq:2} \int_{-L}^L\cos\left(\frac{m\pi x}{L}\right)\cos\left(\frac{n\pi x}{L}\right)dx=L\delta_{nm},\]\[\label{eq:3}\int_{-L}^L\sin\left(\frac{m\pi x}{L}\right)\sin\left(\frac{n\pi x}{L}\right)dx=L\delta_{nm},\]\[\label{eq:4}\int_{-L}^L\cos\left(\frac{m\pi x}{L}\right)\sin\left(\frac{n\pi x}{L}\right)dx=0.\]

Para ilustrar la técnica de integración utilizada para obtener estos resultados, derivamos\(\eqref{eq:3}\) asumiendo que\(n\) y\(m\) son enteros positivos con\(n\neq m\). Cambiando variables a\(ξ = \pi x/L\), obtenemos\[\begin{aligned}\int_{-L}^L\sin&\left(\frac{m\pi x}{L}\right)\sin\left(\frac{n\pi x}{L}\right)dx \\ &=\frac{L}{\pi}\int_{-\pi}^\pi\sin(m\xi)\sin(n\xi)d\xi \\ &=\frac{L}{2\pi}\int_{-\pi}^\pi [\cos ((m-n)\xi)-\cos((m+n)\xi)]d\xi \\ &=\frac{L}{2\pi}\left[\frac{1}{m-n}\sin((m-n)\xi)-\frac{1}{m+n}\sin((m+n)\xi)\right]_{-\pi}^\pi \\ &=0.\end{aligned}\]

Pues\(m=n\), sin embargo,\[\begin{aligned}\int_{-L}^L\sin^2\left(\frac{n\pi x}{L}\right)dx&=\frac{L}{\pi}\int_{-\pi}^\pi\sin^2(n\xi)d\xi \\ &=\frac{L}{2\pi}\int_{-\pi}^\pi(1-\cos(2n\xi))d\xi \\ &=\frac{L}{2\pi}\left[\xi-\frac{1}{2n}\sin 2n\xi\right]_{-\pi}^\pi \\ &=L.\end{aligned}\]

Las fórmulas de integración dadas por\(\eqref{eq:2}\) y\(\eqref{eq:4}\) pueden derivarse de manera similar.

Para determinar el coeficiente\(a_n\), multiplicamos ambos lados de\(\eqref{eq:1}\) por\(\cos (n\pi x/L)\) con\(n\) un entero no negativo, y cambiamos la variable de suma ficticio de\(n\) a\(m\). Integrando sobre\(x\) de\(−L\) a\(L\) y asumiendo que la integración se puede hacer término por término en la suma infinita, obtenemos\[\begin{aligned}\int_{-L}^Lf(x)\cos &\frac{n\pi x}{L}dx=\frac{a_0}{2}\int_{-L}^L\cos\frac{n\pi x}{L}dx \\ &+\sum\limits_{m=1}^\infty\left\{a_m\int_{-L}^L\cos\frac{n\pi x}{L}\cos\frac{m\pi x}{L}dx+b_m\int_{-L}^L\cos\frac{n\pi x}{L}\sin\frac{m\pi x}{L}dx\right\}.\end{aligned}\]

Si\(n = 0\), entonces la segunda y tercera integrales en el lado derecho son cero y la primera integral es\(2L\) para que el lado derecho se convierta\(La_0\). Si\(n\) es un entero positivo, entonces la primera y tercera integrales en el lado derecho son cero, y la segunda integral es\(L\delta_{nm}\). Para este caso, tenemos\[\begin{aligned}\int_{-L}^Lf(x)\cos\frac{n\pi x}{L}dx&=\sum\limits_{m=1}^\infty La_m\delta_{nm} \\ &=La_n,\end{aligned}\] donde todos los términos en la suma excepto\(m = n\) son cero en virtud del delta del Kronecker. Por lo tanto, obtenemos para\(n = 0, 1, 2,\ldots\) \[\label{eq:5}a_n=\frac{1}{L}\int_{-L}^L f(x)\cos\frac{n\pi x}{L}dx.\]

Para determinar los coeficientes\(b_1,\: b_2,\: b_3,\ldots\), multiplicamos ambos lados de\(\eqref{eq:1}\) por\(\sin (n\pi x/L)\), con\(n\) un entero positivo, y nuevamente cambiamos la variable de suma ficticio de\(n\) a\(m\). Integrando, obtenemos\[\begin{aligned}\int_{-L}^L f(x)\sin &\frac{n\pi x}{L}dx=\frac{a_0}{2}\int_{-L}^L\sin\frac{n\pi x}{L}dx \\ &+\sum\limits_{m=1}^\infty\left\{a_m\int_{-L}^L\sin\frac{n\pi x}{L}\cos\frac{m\pi x}{L}dx+b_m\int_{-L}^L\sin\frac{n\pi x}{L}\sin\frac{m\pi x}{L}dx\right\}.\end{aligned}\]

Aquí, la primera y segunda integrales en el lado derecho son cero, y la tercera integral es\(L\delta_{nm}\) para que\[\begin{aligned}\int_{-L}^L f(x)\sin\frac{n\pi x}{L}dx&=\sum\limits_{m=1}^\infty Lb_m\delta_{nm} \\ &=Lb_n.\end{aligned}\]

Por lo tanto, para\(n = 1,\: 2,\: 3,\ldots\), \[\label{eq:6}b_n=\frac{1}{L}\int_{-L}^L f(x)\sin\frac{n\pi x}{L}dx.\]

Nuestros resultados para la serie de Fourier de una función\(f(x)\) con periodo\(2L\) son dados por\(\eqref{eq:1}\),\(\eqref{eq:5}\) y\(\eqref{eq:6}\).