9.3: Serie de Fourier

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Nuestra solución de las ecuaciones de difusión y onda requerirá el uso de una serie de Fourier. Una función periódica$f(x)$ con punto$2L$, se puede representar como una serie de Fourier en la forma $$\label{eq:1}f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum\limits_{n=1}^\infty\left(a_n\cos\frac{n\pi x}{L}+b_n\sin\frac{n\pi x}{L}\right).$$

Determinación de los coeficientes$a_0,\: a_1,\: a_2,\ldots$ y$b_1,\: b_2,\: b_3,\ldots$ hace uso de relaciones de ortogonalidad para seno y coseno. Primero definimos el delta de Kronecker ampliamente utilizado$\delta_{nm}$ como $$\delta_{nm}=\left\{\begin{array}{rl}1&\text{if }n=m; \\ 0&\text{otherwise.}\end{array}\right.\nonumber$$

Las relaciones de ortogonalidad para$n$ y los enteros$m$ positivos se dan entonces con notación compacta como las fórmulas de integración $$\label{eq:2} \int_{-L}^L\cos\left(\frac{m\pi x}{L}\right)\cos\left(\frac{n\pi x}{L}\right)dx=L\delta_{nm},$$ $$\label{eq:3}\int_{-L}^L\sin\left(\frac{m\pi x}{L}\right)\sin\left(\frac{n\pi x}{L}\right)dx=L\delta_{nm},$$ $$\label{eq:4}\int_{-L}^L\cos\left(\frac{m\pi x}{L}\right)\sin\left(\frac{n\pi x}{L}\right)dx=0.$$

Para ilustrar la técnica de integración utilizada para obtener estos resultados, derivamos$\eqref{eq:3}$ asumiendo que$n$ y$m$ son enteros positivos con$n\neq m$. Cambiando variables a$ξ = \pi x/L$, obtenemos $$\begin{aligned}\int_{-L}^L\sin&\left(\frac{m\pi x}{L}\right)\sin\left(\frac{n\pi x}{L}\right)dx \\ &=\frac{L}{\pi}\int_{-\pi}^\pi\sin(m\xi)\sin(n\xi)d\xi \\ &=\frac{L}{2\pi}\int_{-\pi}^\pi [\cos ((m-n)\xi)-\cos((m+n)\xi)]d\xi \\ &=\frac{L}{2\pi}\left[\frac{1}{m-n}\sin((m-n)\xi)-\frac{1}{m+n}\sin((m+n)\xi)\right]_{-\pi}^\pi \\ &=0.\end{aligned}$$

Pues$m=n$, sin embargo, $$\begin{aligned}\int_{-L}^L\sin^2\left(\frac{n\pi x}{L}\right)dx&=\frac{L}{\pi}\int_{-\pi}^\pi\sin^2(n\xi)d\xi \\ &=\frac{L}{2\pi}\int_{-\pi}^\pi(1-\cos(2n\xi))d\xi \\ &=\frac{L}{2\pi}\left[\xi-\frac{1}{2n}\sin 2n\xi\right]_{-\pi}^\pi \\ &=L.\end{aligned}$$

Las fórmulas de integración dadas por$\eqref{eq:2}$ y$\eqref{eq:4}$ pueden derivarse de manera similar.

Para determinar el coeficiente$a_n$, multiplicamos ambos lados de$\eqref{eq:1}$ por$\cos (n\pi x/L)$ con$n$ un entero no negativo, y cambiamos la variable de suma ficticio de$n$ a$m$. Integrando sobre$x$ de$−L$ a$L$ y asumiendo que la integración se puede hacer término por término en la suma infinita, obtenemos $$\begin{aligned}\int_{-L}^Lf(x)\cos &\frac{n\pi x}{L}dx=\frac{a_0}{2}\int_{-L}^L\cos\frac{n\pi x}{L}dx \\ &+\sum\limits_{m=1}^\infty\left\{a_m\int_{-L}^L\cos\frac{n\pi x}{L}\cos\frac{m\pi x}{L}dx+b_m\int_{-L}^L\cos\frac{n\pi x}{L}\sin\frac{m\pi x}{L}dx\right\}.\end{aligned}$$

Si$n = 0$, entonces la segunda y tercera integrales en el lado derecho son cero y la primera integral es$2L$ para que el lado derecho se convierta$La_0$. Si$n$ es un entero positivo, entonces la primera y tercera integrales en el lado derecho son cero, y la segunda integral es$L\delta_{nm}$. Para este caso, tenemos $$\begin{aligned}\int_{-L}^Lf(x)\cos\frac{n\pi x}{L}dx&=\sum\limits_{m=1}^\infty La_m\delta_{nm} \\ &=La_n,\end{aligned}$$ donde todos los términos en la suma excepto$m = n$ son cero en virtud del delta del Kronecker. Por lo tanto, obtenemos para$n = 0, 1, 2,\ldots$ $$\label{eq:5}a_n=\frac{1}{L}\int_{-L}^L f(x)\cos\frac{n\pi x}{L}dx.$$

Para determinar los coeficientes$b_1,\: b_2,\: b_3,\ldots$, multiplicamos ambos lados de$\eqref{eq:1}$ por$\sin (n\pi x/L)$, con$n$ un entero positivo, y nuevamente cambiamos la variable de suma ficticio de$n$ a$m$. Integrando, obtenemos $$\begin{aligned}\int_{-L}^L f(x)\sin &\frac{n\pi x}{L}dx=\frac{a_0}{2}\int_{-L}^L\sin\frac{n\pi x}{L}dx \\ &+\sum\limits_{m=1}^\infty\left\{a_m\int_{-L}^L\sin\frac{n\pi x}{L}\cos\frac{m\pi x}{L}dx+b_m\int_{-L}^L\sin\frac{n\pi x}{L}\sin\frac{m\pi x}{L}dx\right\}.\end{aligned}$$

Aquí, la primera y segunda integrales en el lado derecho son cero, y la tercera integral es$L\delta_{nm}$ para que $$\begin{aligned}\int_{-L}^L f(x)\sin\frac{n\pi x}{L}dx&=\sum\limits_{m=1}^\infty Lb_m\delta_{nm} \\ &=Lb_n.\end{aligned}$$

Por lo tanto, para$n = 1,\: 2,\: 3,\ldots$, $$\label{eq:6}b_n=\frac{1}{L}\int_{-L}^L f(x)\sin\frac{n\pi x}{L}dx.$$

Nuestros resultados para la serie de Fourier de una función$f(x)$ con periodo$2L$ son dados por$\eqref{eq:1}$,$\eqref{eq:5}$ y$\eqref{eq:6}$.