3.1: Introducción a las condiciones límite e iniciales

Como todos ustedes saben, las soluciones a las ecuaciones diferenciales ordinarias no suelen ser únicas (las constantes de integración aparecen en muchos lugares). Esto es, por supuesto, igualmente un problema para los PDE. Los PDE generalmente se especifican a través de un conjunto de condiciones límite o iniciales. Una condición límite expresa el comportamiento de una función en el límite (frontera) de su área de definición. Una condición inicial es como una condición de límite, pero luego para la dirección del tiempo. No todas las condiciones límite permiten soluciones, pero generalmente la física sugiere lo que tiene sentido. Permítanme recordarles la situación de las ecuaciones diferenciales ordinarias, una con la que todos deberían estar familiarizados, una partícula bajo la influencia de una fuerza constante,

\[\begin{align} {\frac{\partial^2 x}{\partial t^2}} &= a. & \text{Which leads to} \\ {\frac{\partial x}{\partial t}} &= at + v_0, & \text{and}\\ x &= {\frac{1}{2}} a {t}^{2} + {v}_{0} t + {x}_{0}. & l. 21\\ \nonumber \end{align} \nonumber \]

Esto contiene dos constantes de integración. La práctica estándar sería especificar\(\frac{\partial x}{\partial t}(t=0) = v_0\) y\(x(t=0)=x_0\). Se trata de condiciones iniciales lineales (lineales ya que solo involucran\(x\) y sus derivados linealmente), que tienen como máximo una primera derivada en ellas. Esta diferencia de un orden entre la condición límite y la ecuación persiste en PDE's. Es algo obvio que como la ecuación ya involucra esa derivada, no podemos especificar la misma derivada en una ecuación diferente.

La diferencia importante entre la arbitrariedad de las constantes de integración en las PDE y las ODE es que mientras que las soluciones de las ODE son realmente constantes, las soluciones de las PDE contienen funciones arbitrarias.

Déjenme dar un ejemplo. Toma

\[u = y f(x) \nonumber \]entonces\[\frac{\partial u}{\partial y} = f(x). \nonumber \]

Esto se puede utilizar para eliminar\(f\) de la primera de las ecuaciones, dando\[u = y \frac{\partial u}{\partial y} \nonumber \] que tiene la solución general\(u=yf(x)\).

Se pueden construir ejemplos más complicados. Considerar\[u(x,y) = f(x+y) + g(x-y) \nonumber \] cuál da sobre la doble diferenciación\[\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} - \frac{\partial^2 u}{\partial y^2}= 0. \nonumber \]

El problema es que sin condiciones adicionales la arbitrariedad en las soluciones hace que sea casi inútil (si es posible) anotar la solución general. Necesitamos condiciones adicionales, que reduzcan esta libertad. En la mayoría de los problemas físicos se trata de condiciones de contorno, que describen cómo se comporta el sistema en sus límites (para todos los tiempos) y condiciones iniciales, que especifican el estado del sistema por un tiempo inicial\(t=0\). En el problema de la ODE discutido antes tenemos dos condiciones iniciales (velocidad y posición en el tiempo\(t=0\)).